第一篇：综合法与分析法证明不等式(一)5

202_—202_学年度第二学期高二数学教案选修4-5不等式第5课时江苏省郑梁梅高级中学高二数学教案（理）

主备人：冯龙云做题人: 顾华章审核人: 曾庆亚

不等式的证明—综合法和分析法(1)

一、教学目的：

1、理解综合法和分析法证明不等式的原理与思维特点；

2、掌握由学过的基本不等式来证明一些新的不等式。

二、教学重难点：

重难点：综合法和分析法证明不等式

三、教学方法：通过对比，体会两种方法的异同，感受不等式证明中思路、方法的多样性。

四、教学过程：

新课讲授：

综合法证题的思维过程：条件结论

分析法证题的思维过程：结论条件

例题讲解：

例

1、已知a、b是正数，求证：

例

2例

3、已知a、b、m均是正数，且a< b，求证：

ab≥2 baama> b+mb

例

4、已知a、b、cR，求证：abc≥abbcca

例

5、已知a、b、c、dR，求证： ab

例

6、已知a、b、c是正数，求证：abc≥3abc并指出等号成立的条件

例

7、已知a、b、c是不全相等的正数，且abc1。求证：abc

五、课堂练习：

（1）xy0，求证：xy33322222c2d2≥acbd 2111 abc1xy4xyyx

28江苏省郑梁梅高级中学高二数学作业（理）

班级姓名学号_______

1、设xR下列式子正确的有

（1）、xg(l1)2xg)(l

（3）、2（2）、x212x11（4）、1x2 x21x

a2b2abab22、若a,bR，且ab0，则在①ab②2③ab 2ba

2ab2a2b2

④这四个式子中，恒成立的个数是223、已知a,b,c均大于1，且logaclogbc4，则下列式子正确的是

（1）、acb（2）、abc（3）、bca（4）、abc4、设mxcosysinnxsinycos，比较大小：mn____xy5、若x3y-10，则28的最小值为___________

6、比较大小：lg9lg11______

1三、简答题：

7、已知a,b,cR。求证：

8、已知a,bR且ab。求证：

2222xybccaababc abcabbaab9、已知a、b、c是互不相等的实数。求证：

a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)

10、已知a,b,cR，且abc1。求证：(1a)(1b)(1c)811、已知a,b,cR。求证：

12、已知a、b、c均是正数，且abc1。求证：（1a)(1-b)(1-c）8abc13、已知a、b、c是不全相等的正数。

求证： a(bc)b(ca)c(ba)6abc

222222bc-aca-bab-c3 abc

第二篇：2.4：不等式证明综合法与分析法

2.4不等式的证明（2）综合法与分析法。

【知识要点】

综合法：从已知出发，通过一系列正确的推理，得出结论的证明方法。（由因导果）分析法：从要证明的结论出发，寻找使命题成立的充分条件。（执果素因）分析法书写格式：

题目：已知A，求证B。

证明：要证B成立，只要证B1成立；要证B1成立，只要证B2成立；只要证A成立。而A是成立的，所以B成立。

注意：

1．在具体处理问题时，常常是先用分析法分析，再用综合法证明，二种方法结合使用。

2．如果采用分析法证明时，要注意书写的要求。

【基础训练】

1．判断下列推理是否正确：

（1）若a¹b，要证明a2+b2<1+a2b2，由于2ab

（2）要证|a+b|?|a||b|，只要证(|a+b|)?(|a|2|b|)。（）

2（3）要证a

2．某工厂第二年增长率为a，第三年增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）

a+ba+ba+ba+b（A）x³（B）x>（C）x£（D）x< 2222

1a+b

3．若a>b>1,P=Q，则（）(lga+lgb),R=lg22

（A）R

骣骣骣111 4．设a,b,c为正数，且a+b+c=1，若M=-1-1-1，则（）c 桫桫桫ab

（A）0?M

【精选例题】 11（B）＃M881（C）1?M8（D）M³8

例1．设x?R,0a<1，求证：logaax+a-(x2)

解法指导：用综合法证明，也可采用分析法证之，要证logaa+a

只要证logaa+a(x-x2)

18(x-x2)骣1

8÷

2a<1，所以只要证a+a2-x2>2a。证明：因为a>0,所以ax>0,a-x>

0，所以ax+a-x匙，骣1÷11又因为x-x2=-çx-÷+，0

4ì1ïïx=2a，由于ï2不成立，所以上式等号不能成立，íï2ïïîx=-x18

22所以所以logaax+a-x

1例2．设a,bR,c0，求证：|ab|2(1c)|a|2(1)|b|2。c

解法指导：可以采用先分析后综合的方法处理。11方法一：原不等式a2b22aba2ca2b2b2ca2b22ab cc

12ab。因为c

0，所以ca2b2)2)2c方法二：用分析法写（略）。

1125例3．设x,y是正数，且xy1，求证：(x)2(y)2。xy2

11解法指导：如果用基本不等式x2,y2，则只能得出左边大于4的结论，而xy

得不出要证明的结论。这时可以考虑用分析法处理。证明：原不等式x2

(12xy)(11117117222y(xy)1x2y22 x2y22117)。22xy2

(xy)21117，所以(12xy)(122)成因为设x,y是正数，且xy1，所以xy44xy2

立。故要不得证不等式成立。

思考：还有其它方法吗？ 11111因为2(x)2(y)2(x)(y)125。xyxyxy22

变题1：设x,y是正数，且xy1，求证：（证明：（略）111)(1)9。22xy

1125变题2：设x,y是正数，且xy1，求证：(x)(y)。xy4

1125xy125证明：要证(x)(y)成立，只要证：xy，xy4yxxy4

因为 x,y是正数，所以只要证4(x2y2x2y21)25xy，又因为xy1，所以只要

33332332

证4(xy12xy1)25xyxyxy20(xy)220 488

(xy)2***332

，所以(xy)22()220。又因为xy8848844

【能力训练】

一、填空题 222

21．已知a,bÎR+，则下列不等式：

(1)a+b+（a骣1b)ç+çç桫a1÷2+2

÷吵b÷a+b;(4)2ab a+b其中恒成立的是______________。

bb+m2．设a,b,mÎR+，若<成立，则a,b的大小关系为____________。aa+m

二、选择题

3．(202_年辽宁)对于0

11+111+a ①loga(1+a)loga(1+)③a

④a1+a>a1+

1a其中成立的是________.4.（202_年山东）0a1，下列不等式一定成立的是（）

（A）log(1a)(1a)log(1a)(1a)2（B）log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（C）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

（D）log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)log(1a)(1a)

三、解答题

5.设g(x)=a b),求证|g(a)-g(b)|<|a-b|.6.设n>0,求证

:

7.若a,b,c均为大于1的数,且ab=10,求证:logac+logbc 4lgc.118.已知命题:如果a>0,b>0,a+b=1,那么+ 4.ab

（1）证明这个命题为真命题；

（2）如果a>0,b>0,c>0,a+b+c=1，推广上述命题，并加以证明；

（3）将上述命题推广为关于n个正数的命题（不必证明）。

第三篇：不等式的证明(分析法与综合法)B

不等式的证明（分析法与综合法）B

一、选择题

1、若a、bR，cQ,则使acbc成立的充分条件是（）A．a>b>0,c<0B．a>b,a>0,c>0C．b>a>0,c<0D．b>a>0,c>0

2、若a>b,m>0,则下列不等式恒成立的是（）A．(am)2(bm)2B．

bmb

C．(am)3(bm)3D． ama

3已知0a

(xy)<0B．0

a

(xy)<1C．1

a

(xy)<

2D．loga(xy)>24、设x,y,z∈(-,0),则三数x+,y+,z+中（）A．都不大于-2B.都不小于-2C.只少有一个不大于-2D.只少有一个不大于-2 △

5、设函数f(x

x1，在f(x)的定义域内任取x1

①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 ②(x1-x2)[f(1)-f(③)]>0

xx2f(x)f(x2)f(x1)-f(x2))>1其中正确的是（）0④f（122x2x1

A.②③B.①②③C.②③④D.①②③④△

6、已知a,b∈R，则下列个式中成立的是（）

A.cos2lgasin2lg(ab)

lg(ab)C.a

cos2

b

sin2

abD.a

cos2

b

sin2

ab

二、填空题

7、若a>0且a≠1,则loga(1+a)_______ loga(1+)(用不等式填空)

a8、设x,y∈R,且x+y=3,则3x3y的最小值___________。△

9、已知x,y∈R,且 xy≥x+y+1,则 x+y的最小值______________。△

10、设x,y∈R,0<θ<π,则

三、解答题

11、a、b、c、d∈R,求证：a2b2c2d2(ac)2(bd)

2△

12、设a1、、a2∈R+,且、a1、+ a2=1,λ

1、λ2,∈R+，求证：（1a12a2）（☆

13、设a>0,b>0,c>0, 求证：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc

a1xyxsiny(用不等式填空)xyxsiny1a22）≤(12)41

2不等式的证明（分析法与综合法）B答案；

一、C C D C C A

二、7.>8.69.2+2210.≥

三、略

第四篇：5.4不等式证明——综合法与分析法

【§5.4不等式证明——综合法与分析法】班级姓名学号

例1．设a,b,c∈R+，求证：2（ababc

3ab)3().23

例2．求证：a2b2b2c2c2a2(abc).例3．若a,b,c均为大于1的数，且ab=10，求证：logac+logbc≥4lgc.111100

例4．若正数a,b,c满足a+b+c=1，求证：(a)2(b)2(c)2.abc3

【基础训练】

1．若实数x,y满足xy>0且x2y=2，则xy+x2的最小值是（）A．3B．2C．1D．不存在 2．若0

（A．

12B．a2+b2C．2abD．a

3．已知a、b∈R+，则下列不等式不一定成立的是

（A．a+b+122B．(ab)(11ab)

42C．

a2bab

ab

D．

2ab

ab

ab 4．下列四个命题中，不正确的是

（A．若0

2则cos(1+a)

B．若0

1a

1a2a

C．若实数x,y满足y=x2则log2(2x+2y)的最小值是7

8D．若a、b∈R则a2+b

2+ab+1>a+b

5．ab+bc+ac=3则a+b+c的最小值是___________________.6．+7与1的大小关系是____________________.【备用题】 n

2SaR,i1,2,...n)，求证：SSSnk1k(akSa....1Sa2San

n1【拓展练习】

1．a

（A．a

b

1B．|a|>－b

C．11ab

D．b2>a2

2．a,b∈R+，M=a2b22,Aab2,Gab,H

111，则M、A、G、H间的大小关系是（ab2

A．M≥A≥G≥HB．M≥H≥A≥GC．A≥G≥M≥HD．A≥G≥H≥M 3．0

B．a+b

C．2ab

D．2ab

4．622与的大小关系是________________.））））））

5．a+b+c=1,a,b,c∈R+，则abc与1的大小关系是______________.27

6．a>b>0，求证：a2b22abb2a

7．x>0，求证：2x1

3x12(x1)

3x4

8．a,b,c∈R+，求证：(a+1)(b+1)(a+c)3(b+c)3≥256a2b2c3.9．x,y,z,a均大于1，且logaxyz=9，求证：logxa+logya+logza≥1.10．已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：a12b122.11n1111111．n∈N，求证：（1)n(1).（提示：(1)n1(1)(1)...(1))nn1nnnn

第五篇：2、综合法和分析法证明不等式

南化一中高三数学第一轮复习讲义55第六章《不等式》

§6.2综合法和分析法证明不等式

【复习目标】

1． 熟悉证明不等式的综合法、分析法，并能应用其证明不等式；

2． 理解分析法的实质是“执果索因”；注意用分析法证明不等式的表述格式；

3． 对于较复杂的不等式，能综合使用各种方法给予证明。

【重点难点】

综合法的难点在于从何处出发进行论证并不明确，因此我们经常用分析法寻找解题的思路，再用综合法表述。分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”。要注意分析法的表述格式。

【课前预习】

1.“a>1”是“11”的（）a

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

2.a3)

3.证明a2+b2+c2≥ab+bc+ac.4.设a,b,c∈R+,则三个数a1，b1，c1的值，则（）bca

A.都大于2B.至少有一个不大于2C.都小于2D.至少有一个不小于

2【典型例题】

113 xy

abcac.（2）设a,b,c都是正数，求证：ca例1（1）已知x,yR，且2xy

1，求证：

第55课：§6.2综合法和分析法证明不等式《高中数学学案教学方法的研究》课题组编写 例2已知a>0，b>0，2c>a+b.求证：c－c2ab

1.设a32,b5,c76, 则a,b,c大小顺序是

A．a>b>cB．b>c>aC．c>a>bD．a>c>b

2.设0

A．b<2ab

C．2ab

3.a>b>1,P=lgalgb,Q=

12(lgalgb),R=lg(ab

2)

A．R

【本课小结】

【课后作业】

1． 已知：a,b,c为正实数.求证：bc

aacab

bcabc.11

2． 设x>0,y>0,证明：(x2y2)2(x3y3)3.3． 已知a＞0,b＞0,且a2+b2

2=1,求证：ab2≤32

4.4． 若x、y是正实数,x+y=1，求证：（1+11

x）(1+y)≥9.-（）（）（）