第一篇：极限求法

幂指型复合函数极限的公式法求解及实现 曾晓红，申云成(云南省昭通师范高等专科学校计算机科学系云南昭通657000)【摘 要】：微积分中，两个重要极限无疑是一个比较重要的内容。而常见的幂指型复合函数极限的求解方法比较复杂，针对类问题，介绍一种易于理解的求解方法，并给出求解公式，通过计算机实现求解。【关键字】：幂指型复合函数；公式解法；实现 引言 微积分是数学的一个重要分支，应用范围非常广泛，无论是 计算机科学、工程学、经济学、社会学等的研究都要用到微积分的知识。对微积分而言，极限是一个贯穿始终的重要概念,微积分的创立与发展都和对“极限”概念的认识密切相关。数学分析中，极限的定义是：设函数f(x)在点x0的某一个空心邻域内有定义，a是一个确定的数，若对任给的正数着,总存在某一个正数啄,使得当0<|x-x0|<啄时,都有|f(x)-a|<着，则称f(x)在x趋向于x0时，以a为极限。这个定义借助不等式,通过着和a之间的关系,定量地、具体地刻划了两个“无限过程”之间的联系。借助极限，可以从有限认识无限,从“不变”认识“变”，从量变认识质变，从近似认识准确。在众多极限中，为什么称 这两个极限为重要极限呢？一方面，是由于这两个极限是求解三 角函数的和幂指型函数的1∞桥梁；另一方面，如果型三角函数和1∞型幂指型函数的极限的求解，只能用极限的定义求解的话，那实在是太麻烦了。更重要的是，通过两个重要极限来求解型三角函数和1∞型幂指型函数的极限，能够加深对极限的四则运算法则和两个重要极限本身的理解，同时，能够培养要极限求解过程中灵活使用初等变换的能力。

1、类极限求解 求解类型的极限，在高等数学中较为常见，而这类题给人的第一印象就是太繁锁，往往不知道从何下手。正确的解题思路是：利用 求解，把 向 方向变形求解。令 显然，x→∞，则有u→∞，v→∞，故：

2、类极限计算机求解 利用计算机实现上述幂指型函数极限的快速求解，并体现求解的推导过程。如图1所示，上部分是 求解过程的公式推导，下部分是通过输入参数，求解 要求输入的参数是整数。图1求解幂指型函数极限（等待输入参数）图2求解幂指型函数极限（输入参数以后）显示了输入参数后等待求解的界面。由于若要幂指函数中的系数相同，所以，输入分子中的系数后，分母中的系数自动产生。图3显示了计算后的结果。图3求解幂指型函数极限（计算结果）

3、结束语 以上程序具有一定的实际性。一方面，可以帮助学习者掌握一种与众不同的利用 公式求解 的方法；另一方面，可以通过计算机快速求解，验证手工计算结果。参考文献： 1.曾晓红.基于遗传优化和模糊推理PID及MATLAB仿真.微计算机信息.2006.12 2.华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社.1980 3.李明君.对两个重要极限的再认识和应用.青岛远洋船员学院学报.2000.4 4.李照勤.关于两个重要的幂指型复合函数探讨.河北职业拉术学院学报.第5卷第1期2005.3 5.曾晓红.连续随机数的产生.福建电脑.2006年第四期 6.张洪举.VisualFoxPro6.0~9.0解决方案与范例大全.人民邮电出版社.2006.4

第二篇：浅析极限的若干求法

科技信息 ○高校讲台○ SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION

2007 年第 23 期

浅析极限的若干求法

孟金涛

(郑州航空工业管理学院数理系河南 郑州 450015)

摘要: 极限理论是高等数学的基础, 本文给出了极限的若干求法, 并用具体实例加以说明。关键词: 极限;表达式;等价无穷小

极限理论是高等数学的基础, 极限问题是高等数学中困难问题之

a +a +⋯+a

xx

x n

一。中心问题有两个: 一是证明极限的存在性, 二是求极限的值。两个 问题密切相关: 若求出了极限的值, 自然极限的存在性也就证明了。反 之, 证明了存在性, 常常也就为求极限铺平了道路。

利用定义证明极限的存在, 有一先决条件, 即事先要知道极限的 猜测值。通常情况下我们都不知道表达式的极限值, 那么如何根据表

→0

a1

+lim

x→0

+⋯+lim x a21 x→0 x→

1解】【(1)将根式有理化, 于是有原式为

x

解】令 t=-x,则 x→∞时, t→∞。于是lim(1-)=lim(1+)= 【

x→∞ t→∞ x t e

x

-t

=1 lim x→0x

(enπ)=sin2 【π, 由于初等函数在有定义的地方都连续,=sin

π

=sin项趋向于零求极限。1+

(1)利用收敛级数的通项趋向于零求极限。(2)利用收敛级数的余 2 π2lim =1。

原极限=sinn→∞ 2 +

1n

12×13×⋯×(n+10)例 9】求下列极限lim 【x, 其中(1)xn= 11×

十一、利用导数定义求极限n→∞ n

2×5×8⋯×(3n-1)

f(x-3h)-f(x0)例 11】设 f(x)在 x0 处可导, 求lim 0 【(2)xn=⋯+ h→0 2 2

2n)n+1 *(2n)

原极限=lim= 0 =arctan1= π 20n→∞ n i=11+x 4 i)

九、利用收敛级数的性质求极限,-

nπ

n+n +n

*)-

*

xn+1解】【(+当 x→∞时), 所以正项级数 1)由于 +x

n 3n+2 3 n =

1收敛, 从而可得通项 xn→0(当 n→∞时)。

∞

∞

∞

解】由导数定义有【

f(x03h)-f(x0)

h→0

lim

h→0

=lim

h

·(1

=0

Mathematics of Computation,1995,64:1147-1170.[ 2] A.R.Conn and Ph.L.Toint.An algorithm using quadratic interpolation for unconstrained derivative free optimization[ A].In G.Di Pillo and F.Gianessi, editors,Nonlinear Optimization and Applications [ M] ,New York, Plenum Publishing, 1996,27-47.[ 3] A.R.Conn,K.ScheinbergandPh.L.Toint.Ontheconvergenceof derivative-free methods for unconstrained optimization[ A].In A.Iserles andM.Buhmann,editors,ApproximationTheoryandOptimization: Tributes to M.J.D.Powell [ C] , Cambridge,UK,Cambridge University Press, 1997,83-103.[ 4] J.J.More and D.C.Sorensen.Computing a trust region step [ J].SIAM J.Sci.Stat.Comput,1983,4(3):553-572.Kef

≤Kk

2Kef

max$△k,△ kKgk

△k

(上接第 480 页)实可行的财务风险防范措施。

从单个企业来讲, 收益不足是导致财务风险的主要因素, 经营收 入扣除经营成本费用税金等经营费用后是经营收益, 如果从经营收益 开始就已经亏损, 说明企业已近破产倒闭, 即使总收益为盈利, 可能是 由于非主营业务或营业外收入所形成利润增加, 如出售手中持有有价 证券、固定资产等;如果经营收益为盈利, 而总收益为亏损, 问题不太 严重的话,说明已经出现危机信号, 但是可以正常经营的, 这是因为企 业的资本结构不合理, 举债规模大,利息负担重所致。企业必须针对财

务指标的评价采取有效措施加以调整。

综上所述,利用财务指标的评价, 找出企业的薄弱环节, 制定出企 业的筹资活动、投资活动、资金回收、收益分配策略及措施, 防范规避 财务风险,才能使企业长久稳定健康发展。

[ 1] 温素彬, 薛恒新.基于科学发展观的企业三重绩效评价模型[J].会计

研究.[ 2] 王化成, 刘俊勇, 孙薇.企业业绩评价[M].北京: 中国人民大学出版

参考文社.献

488

第三篇：浅谈函数极限的求法

浅谈函数极限的求法

摘要：函数极限是数学分析的基本内容之一，也是解决其它问题的基础。如何求出已知函数的极限是学习微积分必须掌握的基本技能。本文系统地介绍了利用定义、两个重要极限、无穷小量代换、洛必达法则、夹逼准则等求极限的方法，并结合具体的例子，指出了在解题中常遇见的一些问题。

关键词: 函数极限夹逼准则等价无穷小量洛必达法则泰勒展开式无穷小量

引言

极限研究的是函数的变化趋势，在自变量的某个变化过程中，对应的函数值无限解决某个确定的数，那这个数就是函数的极限了。极限是数学分析中一个非常重要的概念，是贯彻数学分析的一条主线，它将数学分析的各个知识点连在一起，所以，求极限的方法显得尤为重要的，我们知道，函数是数学分析研究的对象，而极限方法则是数学分析中研究函数的重要方法，因此怎样求极限就非常重要。

数学分析中所讨论的极限大体上分为两类：一类是数列的极限，一类是函数的极限。两类极限的本质上是相同的，在形式上数列界限是函数极限的特例。因此，本文只就函数极限进行讨论。函数极限运算是高等数学的一个重要的基本运算，一部分函数的极限可以通过直接或间接的运用“极限四则运算法则”来求解，而另一部分函数极限需要通过特殊方法解决。求函数极限的方法较多，但是每种方法都有其局限性，都不是万能的。对某个具体的求极限的问题，我们应该追求最简便的方法。在求极限的过程中，必然以相关的概念、定理以及公式为依据，并借助一些重要的方法和技巧。本文给出了十七种求极限的方法，每种方法都是以定理或简述开头，然后以例题来全面展示具体的求法。下面我们通过对一元函数和二元函数极限的求法来进行分类讨论

一元函数极限的求法

1.1利用函数定义求极限

利用函数极限的定义验证函数的极限。设函数f在点x0的某空心邻域，使得当U0(x0;)内有定义,A为定数。若对任给的0，存在正数（）

0xx0时，有f(x)A成立，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作limf(x)A或f(x)A(xx0)。xx0

x24例1设f(x),证明limf(x)4.x2x

2x244x24x2，证明: 由于当x2时，f(x)4x2

故对给定的0，只要取，则当0x2时，有f(x)4.这就证明了limf(x)4.x2

(1)定义中的正数，相当于数列极限N定义中的N，它依赖于，但也不是由所惟一确定。一般来说，愈小，也相应地要小一些，而且把取得更小一些也无妨，如在题1中可取

2或

3等等。

(2)定义中只要求函数f在点x0的某个空心领域内有定义，而一般不考虑f在点x0处的函数值是否有定义，或者取什么值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x0过程中函数值的变化趋势。如在题1中函数f在点x2是没有定义的，但当x2时,f的函数值趋于一个定数。

1.2 利用单侧极限求函数极限

这种方法适用于求分段函数在分段点处的极限。首先必须考虑分段点处的左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。如符号函数sgnx，由于它在x0处的左、右极限不相等，所以limsgnx不存在。x0

f(x)limf(x)A.定理1 limf(x)Alimxx0xx0xx0

2xx0例2 ： f(x)0 x0,求f(x)在x0处的极限.1x2x0

f(x)lim2x1，解: limx0x0

f(x)lim1x1，limx0x0

2f(x)limf(x)1， limx0x0

 limf(x)1.x0

1.3 利用函数极限的四则运算法则求极限

定理2 若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)g(x)，f(x)g(x)，xx0xx0

当xx0时也存在极限，且有

①limxx0

xx0f(x)g(x)limf(x)limg(x)； xx0xx0xx0xx0②limf(x)g(x)=limf(x)limg(x)；

limf(x)f(x)f(x)xx0③又若limg(x)0，则在xx0时也存在极限，且有lim.xx0xx0g(x)g(x)limg(x)

xx0

利用函数极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限都存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如0，等情况，都不能直接用四则运算法0

则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。

(xtanx1).例3：求limx4

解: 由xtanxxsinx2及limsinxsinlimcosx，有 xxcosx42lim(xtanx1)=limxx4limsinxx4xlimcosxxlim1x41.1.6 利用函数的连续性求函数极限

参考文献:

[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.[2] 陈传璋,朱学炎等.数学分析(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1998.[3] 张再云，陈湘栋等，极限计算的方法与技巧[J].湖南理工学院学报(自然科学版),2009,22(2):16-19.[4]欧阳光中.数学分析[M].上海：复旦大学出版社，2002.[5]钱吉林.数学分析解题精粹[M].武汉：崇文书局出版社，2001

第四篇：浅谈数列极限的求法

浅谈数列极限的求法

龙门中小李海东

摘要：本文主要介绍了数列极限的几种求法，并通过一个例题说明利用函数极限的求法，帮助寻找数列极限的方法，帮助学生理解和掌握求极限的方法。

关键词：数列极限方（求）法说明

引言：在初等代数，高等代数学习过程中发现或多或少都涉及到数列极限的有关内容，在数学分析中数列极限是极其重要的章节，数列极限是学习函数极限的基础和铺垫，数列极限的求法和函数极限求法在某种程度上是彼此相似的，所以可以对照学习，也可以用一种求极限的方法，求出另外一种极限，给解答习题带来一定的灵活性。方法也是比较灵活的。下面就数列极限的求法略作浅谈，且举例说明。

一 利用单调有界准则求极限

预备知识：若数列an收敛，则an为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有 anM.此方法的解题程序为：

1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界；

2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方n

程，解之即得该数列的极限。

举例说明：

例：若序列an的项满足a1a(a0)且an11aan,(n1,2,),试证2an

an有极限并求此极限。

解由a1a

21a1a12a2a1aa1aa22aa2a111

用数学归纳法证明aka需注意

22a2aka1a1akaka.ak2ak2akak

又anan12a1aana0 n2an2an

an为单调减函数且有下界。

令其极限为A 由 an1

1a

an有： 2an

1a

an2an

liman1

n

即A

1a

A 2A

AaA

a(A0)

n

从而liman

a.二 利用数列极限的定义求数列的极限

大家知道，数列极限的定义是这样的：设an为数列，a为定数，若对任给的正数，总存在正整数N，使得当nN时，有ana，则称数列收敛于a，定数a称为数列

anan的极限，记作：limn

a，当数列不单调时，我们就用此定义来求极限，其步骤：

1、先根据数列极限的唯一性求出极限；

2、再去证明极限的存在性。举例说明：

例：设x12, xn12解1.令limxnt

n

(n1)求:：limxn.nxn

则limxn1lim2

n

n



xn

 

即t2t12xn2

t2 t12(t12舍去)

1t

2.证明其极限的存在性对0xnt(2)(2)xn1t

xn1txn2t1xn1t ttxn1442



24n1

(当n足够大)



1xn1



x144n1

由极限的下定义可得：limxnt0

n

limxnt1

n

2.三 利用数列夹逼准则求数列极限

回顾一下：设收敛数列an数列{cn}满足：存在正数N0，当nN0，bn都以a为极限，时，有：ancnbn.则数列{cn}收敛，且limcna.n

此方法一般通过放大或缩小分母来找出两边数列的通项，从而达到求极限的目的。

举例说明：

11

例：求 lim12.n

nn

111n1

解由11212

nnnn

n1n11

1112 (n1)(n1)n1n1

n

n

n

n

nnn

1

显然 lim1e

n

n

nn1

111lim11并且 lim1e nn

n1n1n1

n

11

lim12e.n

nn

四 利用重要公式求极限或转化为函数的极限

此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。

举例说明：

n

n1

n11

例：求 limsin.n

nnn

n1

n11

解limsin

n

nnn

=lim

n1

nn

n1

sin1

nsin1n1n

=lim1

n

1n

n1

=lim1=e11=e

n



111nn1

n

n

sin

例：求极限lim

sinx

xasina

xa

1xa

.解lim

sinx

xasina

xa



1xa

=lim1

sinxsina

sina

1sinacosa

xacosasina

xaxa2cossin=lim1xasina

xa2cosasin

=lim1xasina

sina

cosa(xa)



cosasina

sina

cosa(xa)xa2cosasin=lim1xasina

ctga

=e

ctga

sin



xaxa

~ 22

五 利用数列极限与函数的极限等值关系来求极限

此方法把数列极限化成函数形式的极限，而后回代，从而求出数列极限的一种方法。

举例说明：

abc

.例：若 a,b,c0,求limn3

解先考虑：

1

axbxcx

ln

3

n



xln

x

1

axbxcx

3 

1

axbxcx

而limxln

x3

 

1xxxlnabcln3=lim

x1

x

2axlna2bxlnb2cxlnc=lim

x

12x

1x

1x

1x

1x1x1x

=lim

alnablnbclnc

abc

1x

1x

1x

x

=lnabc

c

 limn3

n

1

axbxcx

=lim

n3

 

n

=lime

n

111axbxcxxln



=e

lnabc

3

=e

lnabc3

=abc

通过上面简单的对求数列极限的一般方法加以归纳，并举例说明，就可以在我们大脑中造成深刻的印象，更好地掌握函数和数列极限的求法。但数列极限的求法并不限于这几种方法，或许还有很多种，希望大家在学习过程中善于归纳总结求数列极限的方法，以便我们共勉。

参考文献：

[1]程其襄.数学分析第三版[M].高等教育出版社，1981（4）[2]谢惠民.数学分析习题课讲义[M].高等教育出版社，2003（7）

[3]周建莹 李正元.高等数学解题指南[M].北京大学出版社，2002.（10）[4]王汝发.高等数学解题方法[M].兰州大学出版社，1994.（3）

第五篇：函数极限的若干求法 20121109

高等数学中极限的分析与研究

【摘 要】极限是高等数学中一个很重要的基础知识点，是微积分的前提，因此函数极限的求解是非常重要的。本文针对高等数学中极限的求解方法进行了一些分析与研究，主要以一元和二元函数的极限为主，尤其是a针对大学生如何学习并掌握极限而总结归纳了若干种求极限的方法，并对有些方法进行了改进，对于每种方法都是以定理和简述开始，然后以例题的方式展示。

【关键词】 极限 洛必达法则 积分中值定理 等价无穷小 夹逼准则 泰勒公式 一、一元函数极限求解方法 a1.利用定义求极限

这种方法的关键是找到符合定义要求的条件，这可能需要用到一些不等式的技巧，如缩放法等。

例 证明：limn4n2n1.22证0,要使|n4n1|n4nn4n(n4n)24n, a 取N4,当nN时，有|n4n21|4n4N成立，即limn4n2n1.此例题在用极限定义证明时, 只需要证明存在,当N>n时存在|f(x)-A |故求解的关键在于不等式的建立.在求解的过程中往往采用放大的技巧,注意不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑.a2.利用极限的运算法则

已知limf(x), limg(x)都存在, 极限值分别为A, B, 则

xx0xx01

(1)lim[f(x)g(x)]AB；

xx0(2)limf(x)g(x)AB；

xx0(3)limf(x)g(x)xx0AB（此时需B0成立).总的说来就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。因此对于和、差、积、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.但必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.例 求极限lim3x1xxx22

21-x(x2)(x1)x1 解：原式lim3x1x(x2)(x1)x1limx1lim13x1x

x1 lim2x2x1lim13x1xx126

3.用单调有界准则求极限

定理：在实数系中, 有界的单调数列必有极限.因此利用单调准则证明极限存在, 主要针对递推数列, 必须验证数列两个方面的性质: 单调性和有界性.解题的难点在于判断单调性, 一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项． 例 设a0,x10,xn112(xnaxn),(n1,2,)

求证：数列xn单调递减有下界

求limxxn

证明：显然xn0(n1),因此 xn112(xnaxn12)xnaxna(n2)故

x有下界

n 又xn1xn(xnaxn)xnaxn2x20(n2)

即xn1xn，故数列xn单调递减

由知：limxnA是存在的

x 对xn112(xnaxn)两边取极限得A12(AaA)

解得Aa或Aa(舍去)

4.利用两个重要极限求极限

两个重要极限:（1)limsinxxx011；(2)lim1e.xxx 根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式进行推广:(1)limsinf(x)f(x)1(limf(x)0,yxx0sinuu,uf(x))；

xx01(2)lim1xx0g(x)g(x)u1e limg(x),y1,ug(x)xx0un1nn1n

例 求极限：lim[n(n1n)]n12 原式lim[n(n1n1nn1nn)12](n1n)2

lim(1n12)(n1n)2 lim[1nnn1nn1n)2(n12](n1n)2

lim[1nnn1n)2(n1n)2(n1n14n]nn12(n1n)(n1n)nn1limen2(n1n)(n1n)2

4nnn13nn)limen2nn2(n1 1 limen4e2

5.利用无穷小的性质和等价无穷小代换求极限

定理：设函数f(x),g(x),h(x)在U(x0,)内有定义, 且有

f(x)~g(x)(xx0).(1)若limf(x)h(x)A, 则limg(x)h(x)A；

xx0xx03

(2)若limh(x)f(x)xx0B, 则limh(x)g(x)xx0B.性质 1 有限个无穷小量的代数和为无穷小量；

性质 2 有限个无穷小量的乘积为无穷小量；

性质 3 常数与无穷小量的乘积是无穷小量.定理：设,均为无穷小, 且~,则 limlim~, 且lim存在，.对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用无穷小代换.常用等价代换公式: 当x0时, sinx~x, arcsinx~x, tanx~x，arctanx~x, e1~x, a1~xlna等.xx例 求limxlncosxetanxx0esinx

xln[1(cox1)](etanxsinx 解：原式limx01)esinxlimx(cosx1)(tanxsinx)esinxx0

limx(cox1)(1cosx)e1esinxx0sinxtanxlimxesinxx0tanx

limx0111

6.利用洛必达法则求极限

定理：若函数f(x)和g(x)满足：(1)limf(x)limg(x)0；

xx0xx0(2)在点x0的某空心邻域U0(x0,)内两者都可导, 且g(x)0；(3)limf(x)g(x)A(A可为实数, 也可为)，f(x)g(x)xx0则 lim这是对于00f(x)g(x)xx0limxx0A.型不定式极限，对于型不定式极限有类似的方法。洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限的, 在同一运算过程中可连续

使用, 直到求出所求极限.但是, 对于其他不定式的极限（如0，1,0,,00等类型）如果无法判断其极限状态, 则罗必达法则失败, 但只需

00经过简单变换, 它们一般可以化为型和12例 6 求极限lim2cotxx0x解：原极限=lim=lim=lim型的极限.sinx-xcosxsinxxcosxxsinxsinx-xcosxx322x0x0limsinx+xcosxxlimcosx+cosx-xsinx1x0

x0cosx-cosx+xsinx3xx222x0=2limx03x237． 利用导数的定义求极限

定义：设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义, 若极限

limf(x)f(x0)xx0

xx0存在,则称函数f(x)在点x0处可导, 并称该极限为函数f(x)在点x0处的导数, 记作f(x0).对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.例 a 求极限：limex1x2x

x0xlnx 解：原式lime0x0xlnxlnxx

x (e)'|x01

8.利用微分中值定理求极限

定理:(拉格朗日中值定理)若函数f(x)满足如下条件：(1)f(x)在闭区间a,b上连续；(2)f(x)在开区间(a,b)上可导，则在(a,b)上至少存在一点,使得 f()例 8 求极限limnn2f(b)f(a)ba.n+1x-nx.x>01.令f(n)=x>0nx112解:原极限=limnn+1-nnxx1xn+1所以，由拉格朗日中值定理有：f(n+1)-f(n)=即有1xn+1-1xn=f()n+1n.n,n1

'-1xn=11-2xlnx11lnx2所以limnn+1-n=-lim=0nxnxx 9.用泰勒展式求极限（或麦克劳林展式)

常用展式： cosx1x2x22!(1)nx2n2n!o(x2n1)，e1xx2!x33!2xnn!no(x)，n11x1xxxo(x), sinxxnx33!(1)n1x2n1(2n1)!o(x2n)

lnx+1=x-x22+x33-x44+-1n-1xnn+xn

等.在计算过程中, 要注意高阶无穷小的运算及处理.例 求limnsin(2en!)

n 解：将e用泰勒公式展开有e1112!1n!12!13!1n!

原式limnsin[2(11n2])n!]limnsin[2k(n1n11))]1

n1limnsin[n2n1(2

n1limnlimsin[nnn1(n1)]limnn2n126

10.利用夹逼准则与定积分求极限

夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限.基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.利用夹逼准则求函数极限的关键：

（1）构造函数f(x), h(x), 使f(x)g(x)h(x)；（2）limf(x)limh(x)A, 由此可得limg(x)A.xx0xx0xx0定理:设limf(x)limh(x)A, 且在x0某一空心邻域U0(x0,)内

xx0xx0有 f(x)g(x)h(x), 则 limg(x)A.xx0定义:设f(x)在a,b上的一个函数, J是一个确定的实数.若对任给的正数, 总存在某一正数, 使得对a,b的任何分割T, 以及其上任意选取的点集{i}, 只要T, 就有 |f(i)xiJ|，i1n则称函数f(x)在区间a,b上可积, 数J称为f(x)在a,b上的定积分, 记作 Jbaf(x)dx.nb若用极限符号表达定积分, 可写作JlimT0i1f(i)xiaf(x)dx.由定积分的定义我们知道, 定积分是某一和式的极限, 因此, 如果关于n的某一和式可以表示成某一积分的形式时, 则可利用定积分, 求出这个和式的极限, 显然, 若要利用定积分求极限, 其关键在于将和式化成某一函数的积分形式.lim例：求极限：ln(n1)n1nln(n2)n12ln(nn)n1nlnn

n解：原式lim[ni1ln(ni)n1ilnn]

nlnnln(1ni)1iilim ni1nlnn)

lnnln(1n1iln(1i)nlnnln(1i又

n1nn)lnnln(nn)n

inlnnln(1ni而i1nlnn)ni1n=1nnln(1n)i1i10ln(1x)dx

[xln(1x)]10lnnln(1n1i10xx1dxln210x11x1ndx2ln21 in而i1nlnn)lnnn1ln(1i1n

n1)lnnn1n1ln(1ii1n1n1i)ln(1)n1 n1n1in1nlnnln(1n1limni1nlnnlim(n)lnnn1ln(1n1n1)n1ln(1i1n1)n1)n1ln(1 0limni1)n1n1i10ln(1x)dx2ln21

即由夹逼准则得 原极限2ln21

11.利用积分中值定理求极限

定理：设f(x)与g(x)都在a,b上连续, 且g(x)在a,b上不变号, 则至少存在一点a,b, 使得 f(x)g(x)dxf()g(x)dx.aabb例 求极限limn1xn01xdx.解: 取a,b0,1, f(x)m1211x, g(x)xn, 则f(x)在0,1上的最小值

1n, 最大值M1, 由积分中值定理知 原式limxdxlimn0n1n

n因为121, 所以 limn1x01xdx0.12.利用级数求解极限

利用级数展开式求极限，从已知的展开式出发, 通过变量代换、四则运算、逐项求导、逐项求积定义法等直接或间接地求得函数的幂级数展开式。

例 求limsinxarctanxx3

x0 解: 利用幂级数的展开式, 可得

xx3 原式lim3!x55!x77!xx3x33x55x77

x0 lim1x2

33!55!x0613.利用黎曼引理求极限

定理:a若f(x)在a,b上可积, g(x)是以T为周期的函数, 且在0,T上可积, 则有 lim1111nbaf(x)g(nx)dx11TT0g(x)f(x)dxab.例 计算limnsin2nx201xdx.解:因为sin2x的周期为, limn1sin2nx201xdx10sinxdx2111x20dx8 二、二元函数极限求解方法

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别．在极限运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限变得更加复杂, 它实质上是包含任意方向的逼近过程, 是一个较为复杂的极限, 对于二元函数f(x,y)的二重极限, 其重点是研究极限的存在性以及具体的求解方法．

引例 求limxy2222(x,y)(0,0)xy.原解法： 因为|xy2222xy||xx2||x|,20, 取0，()1y222当x, y, 且(x,y)(0,0)时, 有xyxy22x02<, 由极限

2的定义得

xr(x,y)(0,0)limxy2222xy0.新解法：令xy2222yrsin2当（x,y)(0,0)有r0, xyrcossin,2222因为|cossin|1, 所以

(x,y)(0,0)limxy2222xylimrcossin0.r0222两者相对比, 我们就会发现, 此例用极坐标代换求极限比用定义求解简单的多, 那么, 选择一个正确的解题方法就显得尤为重要了。下面是对各类方法进行的探索.1.利用定义, 证明某极限为某数A或不存在．

例 证明极限limx3yxy1y13

证明：0,有不等式(取y0)

5xy1y13(x3)y4y1x34y

取 有|0,于是0,5>0,对x,y:|x3|与yxy1y11, xy1y13||x3|4y45,即limx33得证

y

2.将函数变形, 想办法约去零因式（或无穷大因式）例 求limx0y0(14x)(16y)12x3ylim2222 解：原式=

(14x)(16y)12x0y02x23y214x16y122

=lim(x0y02(14x)(16y)12224xy222222)

(2x3y)((14x)(16y)1)=1+0=1

3． 利用等价无穷小来代换 例 求 limx0y0sin(xy)xy33.解: 当x0,y0时, x3y30,sin(x3y3)和x3y3是等价无穷小, 故原极限limsin(xy)xy33x0y0lim(xyxy)0.22x0y04.变量代换

第一类: 依据函数f(x,y)的特殊类型, 利用两变量x,y的和xyt,平方和x2y2t及乘积xyt等做代换, 将二元函数f(x,y)求极限的问题, 整体或者部分转化为一元函数的极限问题.（1）当x,ya（a0的常数), 二元函数f(x,y)的极限, 作代换xyt, 相应的有t, 利用已知一元函数的极限知识.例 lim(1xya1xyx2)xy(a0).x2解： 因为(11xy)xy(11xyxyx(xy)y), 当x,ya时, 令xyt, 则 t,lim(1xya1xyx2)xy1tlim(1)ett1xyxyx(xy)y.1xy)xy所以 lim(1xya1xyx2)xy[ln(1]x(xy)y1lim(1xya)eea.第二类：讨论当（x,y)(0,0), 二元函数极限f(x,y), 用变量变xrcos换,.则r0.yrsin11

例 求limxyxy22x0y0

解：令xrcos,yrsin r0

xyxy22 则r2rcossincosrsin

因cossin21sin2 所以sinsin1故

22xyxy22r

而当x,y0,0时，r0所以limxyxyx0y00

【结语】极限是高等数学的基础，极限思想直接影响到微分、积分、导数的解法，如果没有极限思想和极限理论，我们的近代数学殿堂就不会如此辉煌，所以极限的重要性不言而喻。通过大一对极限的学习，我们对极限学习中所存在的不知如何求解极限的问题做出了相关方法的总结和进一步分析。相信在正确领会极限的定义以及解答方法的条件下，突破此难点并非难题。

参 考 文 献

[1] 吉米多维奇.数学分析习题集解题.济南: 山东科学技术出版社, 1999 [2] 数学考研考点精讲方法精练 西安交大出版社，2011 [3] 数学分析全程辅导及习题精讲 中国水利水电出版社，2011 [4] 高等数学辅导 国家行政学院出版社，2008 [5] 高等数学教学辅导书 高等教育出版社，2010 [6] 高等数学学习指导 北京邮电大学出版社，2011 [7] 大学生数学竞赛习题精讲 清华大学出版社，2010