第一篇：山东大学考研数学系数学分析考试大纲

山东大学数学与系统科学学院—基础数学专业科目大纲

651—数学分析考试大纲：

一、考查目标

全国硕士研究生入学统一考试基础数学硕士专业学位（数学分析）考试是为高等院校和科研究所招收基础数学专业硕士生设置的具有选拔性质的考试科目。其目的是科学、公平，有效地测试考生是否具备攻读基础数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，为国家培养具有良好职业道德和专业知识、具有较强分析与解决实际问题能力和高层次数学专业人才。考试要求是测试考生掌握数学分析理论的基本知识与内容、分析处理和证明基本问题的方法与技巧。

具体来说，要求考生：

① 掌握了基本的数学分析知识。

② 掌握实分析理论的基本方法和技巧。

③ 掌握数学分析的基本原理。

④ 具有运用时分析方法论证和解决问题的基本能力。

二、考试形式和试卷结构

1.试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间180分钟。

2.答题方式

答题方式为闭卷、笔试。不使用计算器。

3.试卷内容与题型结构

本试卷基于理解与计算，分析与证明、综合与提高的原则，题型一般包括计算题及证明题。

三、考查内容

1.函数、集合、映射的概念和基本理论。

2.极限理论与方法。

3.函数的连续性和连续函数的性质。

4.一元微分学基本理论与应用。

5.一元积分学理论与应用。

6.无穷级数理论。

7.多元函数的微分学理论与应用。

8.广义积分理论。

9.含参变量的积分与广义积分理论。

10.多重积分理论。

11.线积分与面积分理论与应用。

12.傅里叶级数与傅里叶积分。

注：参考教材：

《数学分析》（上下册）华东师范大学数学系编（第四版），高等教育出版社.1

第二篇：数学分析考试大纲

625数学分析考试大纲

一、考试目的

《数学分析》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的数学分析的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括数学分析的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决数学分析问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握数学分析的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的数学分析的知识的能力

四、考试形式

闭卷考试。

五、考试内容（或知识点）

一、数列极限

数列、数列极限的 定义，收敛数列——唯一性、有界性、保号性、不等式性、迫敛性、四则运算，单调有界数列极限存在定理。柯西准则，重要极限。

二、函数极限

函数极限。定义，定义，单侧极限，函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性、迫敛性、四则运算、归结原则（Heine 定理）。函数极限的柯西准则。

无穷小量及其阶的比较，无穷大量及其阶的比较，渐近线。

三、函数的连续性

函数在一点的连续性、单侧连续性、间断点及其分类。在区间上连续的函数，连续函数的局部性质——有界性、保号性。连续函数的四则运算。复合函数的连续性。闭区间上连续函数的性质——有界性、取得最大值最小值性、介值性、一致连续性、反函数的连续性，初等函数连续性。

四、导数和微分

导数定义，单侧导数、导函数、导数的几何意义、费马(Fermat)定理。和、积、商的导数、反函数的导数、复合函数的导数、初等函数的导数、参变量函数的导数、高阶导数、微分概念、微分的几何意义、微分的运算法则。

五、微分中值定理

Roll、Lagrange、Cauchy中值定理，不定式极限，洛比达（L’Hospital）法则，泰勒（Taylor）定理。（泰勒公式及其皮亚诺余项、拉格朗日余项、积分型余项）。极值、最大值与最小值。曲线的凸凹性。拐点，函数图的讨论。

六、实数的完备性

区间套定理，数列的柯西（Cauchy）收敛准则，聚点原理，有界数列存在收敛子列，有限覆盖定理。

七、不定积分

原函数与不定积分，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，三角函数有理式的积分法，几种无理根式的积分。

八、定积分

牛顿——莱布尼茨公式，可积的必要条件，可积的充要条件，可积函数类。绝对可积性，积分中值定理，微积分学基本定理。换元积分法，分部积分法。

九、定积分的应用

简单平面图形面积。有平行截面面积求体积，曲线的弧长与微分。微元法、旋转体体积与侧面积，物理应用（引力、功等）。

十、反常积分

无穷限反常积分概念、柯西准则，绝对收敛、无穷限反常积分收敛性判别法：比较判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。无界函数反常积分概念，无界函数反常积分收敛性判别法。

十一、数项级数

级数收敛与和，柯西准则，收敛级数的基本性质，正项级数比较原则。比式判别法与根式判别法、积分判别法。一般项级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼茨判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法。绝对收敛级数的重排定理。

十二、函数列与函数项级数

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念，一致收敛的柯西准则。函数项级数的维尔斯特拉斯（Weierstrass）优级数判别法，狄利克雷（Dirichlet）判别法，阿贝尔（Abel）判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、逐项积分与逐项求导。

十三、幂级数

幂级数的收敛半径与收敛区间，一致收敛性、连续性、逐项积分与逐项求导，幂级数的四则运算。

泰勒级数、泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。

十四、傅里叶（Fourier）级数

三角级数、三角函数系的正交性、傅里叶（Fourier）级数，贝塞尔（Bessel）不等式，黎曼——勒贝格定理，按段光滑且以2π为周期的函数展开，傅里叶级数的收敛定理，以2π为周期的函数的傅里叶级数，奇函数与偶函数的傅里叶级数。

十五、多元函数的极限和连续

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域），平面点集的基本定理——区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理。二元函数概念。二重极限、累次极限，二元函数的连续性、复合函数的连续性定理、有界闭域上连续函数的性质。

十六、多元函数的微分学

偏导数及其几何意义，全微分概念，全微分的几何意义，全微分存在的充分条件，全微分在近似计算中的应用，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，混合偏导数与其顺序无关性，高阶导数，高阶微分，二元函数的泰勒定理，二元函数的极值。

十七、隐函数定理

隐函数概念、隐函数定理、隐函数求导。

隐函数组概念、隐函数组定理、隐函数组求导、反函数组与坐标变换，函数行列式。几何应用，条件极值与拉格朗日乘数法。

十八、含参量积分

含参量积分概念、连续性、可积性与可微性，积分顺序的交换。含参量反常积分的收敛与一致收敛，一致收敛的柯西准则。维尔斯特拉斯（Weierstrass）判别法。连续性、可积性与可微性，Gamma函数。

十九、曲线积分

第一型和第二型曲线积分概念与计算，两类曲线积分的联系。

二十、重积分

二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。格林（Green）公式，曲线积分与路径无关条件。二重积分的换元法（极坐标与一般变换）。三重积分定义与计算，三重积分的换元法（柱坐标、球坐标与一般变换）。重积分应用（体积，曲面面积，重心、转动惯量、引力等）。无界区域上的收敛性概念。无界函数反常二重积分。在一般条件下重积分变量变换公式。

二十一、曲面积分

曲面的侧。第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式。斯托克斯公式。场论初步（梯度场、散度场、旋度场）。

六、考试题型

计算题、证明题。

七、参考书目：本科通用教材

864高等代数考试大纲

一、考试目的

《高等代数》作为全日制硕士研究生入学考试的专业基础课考试，其目的是考察考生是否具备进行本学科各专业硕士研究生学习所要求的水平。

二、考试的性质与范围

本考试是一种测试应试者综合运用所学的高等代数的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。

三、考试基本要求

1.熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理； 2．综合运用所学的高等代数的知识的能力

四、考试形式 闭卷

五、考试内容（或知识点）1．多项式

数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式，多元多项式，对称多项式。

2、行列式

排列，n级行列式的定义，n级行列式的性质，n级行列式的展开，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，拉普拉斯（Laplace）定理，行列式的乘法规则。

3． 线性方程组

消元法，n维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

4． 矩阵

矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用。

5． 二次型

二次型的矩阵表示，标准型，唯一性，正定（半正定）二次型。

6． 线性空间

集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

7． 线性变换

线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当（Jordan）标准形介绍，最小多项式。

8． λ-矩阵

λ-矩阵的定义，λ-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形的理论推导，矩阵的有理标准形。

9． 欧几里得空间 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的距离与最小二乘法。

10． 双线性函数

线性函数，对偶空间，双线性函数，对称（反对称）双线性函数。

六、考试题型

计算题、证明题

七、参考书目：本科通用教

第三篇：中科院数学分析考研大纲范文

中科院研究生院硕士研究生入学考试

《数学分析》考试大纲

本《数学分析》考试大纲适用于中国科学院研究生院数学和系统科学等学科各专业硕士研究生入学考试。数学分析是一门具有公共性质的重要的数学基础课程，由分析基础、一元微分学和积分学、级数、多元微分学和积分学等部分组成。要求考生能准确理解基本概念，熟练掌握各种运算和基本的计算、论证技巧，具有综合运用所学知识分析和解决问题的能力。

一、考试基本要求

要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握数学分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试方法和考试时间

数学分析考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

三、考试内容和考试要求

（一）考试内容

1.分析基础

(1)实数概念、确界

(2)函数概念

(3)序列极限与函数极限

(4)无穷大与无穷小

(5)上极限与下极限

(6)连续概念及基本性质，一致连续性

（7）收敛原理

2.一元微分学

(1)导数概念及几何意义

(2)求导公式求导法则

(3)高阶导数

(4)微分

(5)微分中值定理

(6)L’Hospital法则

(7)Taylor公式

(8)应用导数研究函数

3.一元积分学

(1)不定积分法与可积函数类

(2)定积分的概念、性质与计算

(3)定积分的应用

(4)广义积分

4.级数

(1)数项级数的敛散判别与性质

(2)函数项级数与一致收敛性

(3)幂级数

(4)Fourier级数

5.多元微分学

(1)欧氏空间

(2)多元函数的极限

(3)多元连续函数

(4)偏导数与微分

(5)隐函数定理

(6)Taylor公式

(7)多元微分学的几何应用

(8)多元函数的极值

6.多元积分学

(1)重积分的概念与性质

（2）重积分的计算

（3）二重、三重广义积分

（4）含参变量的正常积分和广义积分

（5）曲线积分与Green公式

（6）曲面积分

（7）Gauss公式、Stokes公式及线积分与路径无关

（8）场论初步

（二）考试要求

1．分析基础

(1)了解实数公理，理解上确界和下确界的意义。掌握绝对值不等

式及平均值不等式。

(2)熟练掌握函数概念（如定义域、值域、反函数等）。

(3)掌握序列极限的意义、性质（特别，单调序列的极限存在性定

理）和运算法则，熟练掌握求序列极限的方法。(4)掌握函数极限的意义、性质和运算法则（自变量趋于有限数和趋于无限两种情形），熟练掌握求函数极限的 方法，了解广义极限和单侧极限的意义。

(5)熟练掌握求序列极限和函数极限的常用方法（如初等变形、变

量代换、两边夹法则等），掌握由递推公式给出的序列求极限的基本技巧，以及应用Stolz公式求序列极限的方法。

(6)理解无穷大量和无穷小量的意义，了解同阶和高（低）阶无穷

大（小）量的意义。

(7)了解上极限和下极限的意义和性质。

(8)熟练掌握函数在一点及在一个区间上连续的概念，理解函数两

类间断点的意义，掌握初等函数的连续性，理解区间套定理和介值定理。理解一致连续和不一致连续的概念。

(9)掌握序列收敛的充分必要条件及函数极限（当自变量趋于有限

数及趋于无穷两种情形）存在的充分必要条件。

2．一元微分学

(1)掌握导数的概念和几何意义，了解单侧导数的意义，解依据定

义求函数在给定点的导数。

(2)解应用求导公式和法则熟练计算函数导数（包括用参数式给出的函数的导数）、隐函数的导数以及函数的高阶导数。

(3)理解函数微分的概念和函数可微的充分必要条件，了解一阶微

分的不变性，能利用微分作近似计算。

(4)理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy

中值定理），并能应用它们解决函数零点存在性及不等式证明等问题。

(5)熟练掌握应用L’Hospital法则求函数极限的方法。

(6)理解Taylor公式（Lagrange余项和Peano余项）的意义，并熟

记五个基本公式（在x=0点的带有Peano余项的Taylor公式），能将给定函数在指定点展成Taylor级数，掌握应用Taylor公式解决不等式证明、求函数极限等问题的基本技巧。

(7)熟练掌握应用导数判断函数升降、凹凸性以及画出函数图像的方法，以及求一元函数极值和最值的方法。

3．一元积分学

(1)理解不定积分概念和基本性质，熟记基本积分表，理解并掌握

换元法和分部积分法的意义和方法，解应用他们熟练计算不复杂的不定积分。

(2)了解可积分函数类的意义及其积分法，熟练掌握有理函数、三

角函数有理式及简单的根式的有理式的积分方法。

(3)理解定积分的概念，掌握定积分的基本性质及函数在有限区间

上可积的充分必要条件，熟练掌握定积分的计算方法。了解变限定积分的性质，掌握积分中值定理。

(4)熟练应用定积分计算平面曲线弧长、平面图形面积、立体体积、旋转曲面表面积，并解应用于求均匀平面图形重心坐标等简单物理、力学问题。

(5)理解广义积分及其收敛、绝对收敛和发散的意义，掌握广义积

分收敛的判定法则。

4．级数

(1)掌握数项级数收敛、发散和绝对收敛的概念、级数收敛的充分

必要条件（Cauchy准则），收敛和绝对收敛级数的性质以及级数加法和乘法的运算法则。

(2)熟练掌握正项级数敛散判别法（比较判别法、D’Alembert判别

法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法），掌握一般项级数敛散判别方法。能计算一些特殊数项级数的和。

(3)理解函数项级数收敛的意义并能确定其收敛域。理解函数序列

一致收敛以及函数项级数一致收敛的意义，掌握函数项级数一致收敛的判别法则（Cauchy一致收敛准则，Weierstrass判别法，Abel判别法，Dirichlet判别法）及一致收敛级数的性质。

(4)理解幂级数的概念并能确定其收敛半径。掌握幂级数的基本性

质和运算法则，熟记五个基本幂级数展开式

（）。能求出给定函数在指定点的幂级数展开式及应用幂级数运算求一些级数的和。

(5)理解函数Fourier展开式的意义，掌握求Fourier展开式的基本

方法。了解Fourier级数的收敛性定理、逐项积分和逐项求导定理以及Parseval等式，并能应用Fourier级数求某些级数的和（例如

5．多元微分学

(1)理解欧氏空间的概念及欧氏空间中向量的内积与模、开集与闭

集、开区域与闭区域的意义，了解完备性定理及紧性定理。

(2)理解多元函数的概念。掌握多元函数的全面极限、累次极限和特

殊路径极限的意义，并能根据定义计算多元函数极限，或证明二元极限不存在，能计算多元函数的全面极限和累次极限。

(3)理解多元连续函数的概念，掌握其性质，并能判断多元函数的连

续性。了解多元函数的一致连续性。

(4)理解偏导数的概念，掌握其计算法则，能熟练计算函数的偏导数

和复合函数的导函数，能计算函数在给定方向上的导函数。

(5)理解多元函数的微分的概念，并能判断函数的可微性。

(6)理解隐函数存在定理和反函数存在定理，熟练掌握隐函数的微分

法。

(7)理解Taylor公式的意义，并能求出二元函数的具有指定阶数的Taylor公式。

(8)能应用偏导数求空间曲线的切线、法平面及空间曲面的法线和切

平面的方程。

(9)理解多元函数的极限和最值的意义、极值的必要条件和充分条

件，掌握求多元函数极值、条件极值及在闭区域上的最值的方法，并用于解决实际问题。

6．多元积分学

(1)理解重积分的概念、可积的充分必要条件及重积分的性质。

(2)掌握二重积分和三重积分化累次积分的方法以及二重、三重积

分的变量代换方法（特别，平面极坐标变换，空间柱坐标和球坐标变换），能熟练计算二重和三重积分，并用于计算平面图形面）。

积、柱体体积、曲面面积及曲面所围的立体体积。了解n重（n>3）积分的计算方法（化为累次积分及变量代换）。

(3)了解二重、三重广义积分的意义（无界域情形和不连续函数情

形），掌握它们的基本判敛法和基本计算方法。

(4)了解含参变量的正常积分的基本性质（连续性，积分号下取极

限、求导和求积分），了解含参变量的广义积分一致收敛性的意义及其基本性质（连续性，积分号下取极限、求导及求积分），掌握其一致收敛判别法，了解 和 函数。

(5)理解第一型和第二型曲线积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲线积分。

(6)理解并掌握Green公式的意义，并能应用它计算曲线积分。

(7)理解第一型和第二型曲面积分的意义、性质、实际背景及二者的联系，能熟练计算曲面积分。

(8)理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意义，并能用于曲面积

分或曲线积分的计算。了解空间曲线积分与路径无关的充分必要条件及其对曲线积分计算的应用。

(9)了解场的概念和保守场的意义，能计算场的梯度、散度和旋度。

四、参考书目

现行（公开发行）综合性大学（师范大学）数学系用数学分析教程。

编制单位：中国科学院研究生院数学科学学院

中国科学院数学与系统科学研究院

编制日期：202_年7月6日

第四篇：01数学分析考试大纲

01 《数学分析》考试大纲

一、总要求

考生应按本大纲的要求，了解或理解数学分析中的函数、极限和连续、实数的基本理论、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运用分为“会”、“掌握”、和“熟练掌握”三个层次。

二、教材 《数学分析》（上、下），华东师范大学数学系编（第三版），高等教育出版社

三、内容

一、函数、极限和连续（1）函数 1．知识范围（1）函数的概念

函数的定义

函数的表示法

分段函数（2）函数的简单性质

单调性` 奇偶性 有界性

周期性（3）反函数

反函数的定义 反函数的图像（4）函数的四则运算与复合运算（5）基本初等函数

幂函数

指数函数 对数函数

三角函数

反三角函数（6）初等函数 2．要求

（1）理解函数的概念。学会函数的定义域、表达式及函数值。会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数的图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性、周期性，会判断函数的类型。（3）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。（4）掌握基本初等函数的简单性质及图像。（5）掌握初等函数的概念。

（6）会建立简单实际问题的函数关系式。

（二）极限 1．知识范围

（1）数列极限的概念

数列、数列极限的ε-N定义（2）数列极限的性质

唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界定理（3）函数极限的概念

函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷时函数的极 限，函数的几何意义

（4）函数极限的定理

唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理（5）无穷小量和无穷大量

无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量的阶的比较

（6）两个重要的极限 2．要求

（1）理解极限的概念，能根据极限的概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左、右极限，理解函数在一点处极限存在的充分必要条件

（2）理解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量的阶的比较。会运用等价无穷小量代换求极限。

（4）熟练掌握用两个重要的极限求极限的方法

（三）连续 1．知识范围

（1）函数连续的概念

函数在一点处连续的定义，左连续与右连续，函数在一点处连续的充分必要条件，函数的间断点及其分类

（2）函数在一点处连续的性质

连续函数的四则运算，复合函数连续性，反函数的连续性（3）闭区间上连续函数的性质

有界性定理，最大值与最小值定理，介值性定理（4）初等函数的连续性 2．要求

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断函数在一点的连续性，理解函数在一点连续与极限存在的关系

（2）会求函数的间断点及确定其类型

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题（4）理解初等函数在其定义区间上的连续性，并会利用连续性求极限 二、一元函数微分学

（一）导数与微分 1．知识范围（1）导数的概念

导数的定义，左导数，右导数，导数的几何意义与物理意义，可导与连续的关系（2）求导法则与导数的基本公式

导数的四则运算，反函数的导数，导数的基本公式（3）求导方法

复合函数的求导法，隐函数的求导法，对数求导法，由参数方程确定的函数的求导法，求分段函数的导数

（4）高阶导数的概念 高阶导数的定义及计算（5）微分

微分的定义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变性

2．要求

（1）理解导数的概念及其几何意义，可导性与连续性的关系，会运用定义求函数在一点处的导数

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则及复合函数和反函数求导方法

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数

（6）理解函数和微分概念，掌握微分法则，掌握微分与可导的关系，会求一阶微分

（二）中值定理及导数的应用 1．知识范围（1）中值定理

罗尔中值定理

拉格朗日中值定理 柯西中值定理（2）洛必达法则

（3）函数增减性的判定法

（4）函数的极值与极值点

最大值与最小值（5）曲线的凹凸性、拐点（6）曲线的渐近线（7）泰勒公式 2．要求

（1）理解罗尔中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它们的几何意义，会用它们证明根的存在性和简单的不等式，（2）熟练掌握用洛必达法则求“”“0”“”“1”“00”“”型未定式的极限的方法

（3）熟练掌握利用导数判定函数单调性及求函数单调增、减区间的方法，会用函数的单调性证明简单不等式

（4）理解函数极值的概念。掌握求函数的极值和最值的方法，并会解简单的应用问题

（5）会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点（6）会作简单函数的图形

（7）理解函数的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余项，掌握几个基本初等函数的泰勒公式 三、一元函数积分学

（一）不定积分 1．知识范围

（1）不定积分的概念

原函数与不定积分的定义

原函数存在定理

不定积分的性质（2）基本积分公式（3）换元积分法

第一换元法，第二换元法（4）分部积分法

（5）一些简单的有理函数和可化为有理函数的积分 2．要求

000（1）理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在性定理

（2）熟练掌握不定积分的基本公式

（3）熟练掌握不定积分的第一换元法，掌握第二换元法（4）熟练掌握不定积分的分部积分法（5）会求简单有理函数的不定积分

（二）定积分 1．知识范围

（1）定积分的概念

定积分的定义及几何意义，可积的必要条件和充分条件 可积函数类（2）定积分的性质（3）微积分学基本定理

（4）换元积分法与分部积分法（5）泰勒公式的积分型余项

（6）广义积分的概念

广义积分的收敛性判别法（7）定积分的应用 2．要求

（1）理解定积分的概念及其几何意义，掌握定积分的积分和、上和、下和的概念，定积分可积的充分条件、必要条件和充要条件

（2）掌握定积分的基本性质

（3）掌握变上限定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分的求导方法（4）掌握牛顿---莱布尼茨公式

（5）掌握定积分的换元积分法和分部积分法

（6）理解无穷限广义积分和无界函数广义积分的概念及几何意义

（7）掌握非负函数广义积分收敛性的比较判别法，了解阿贝尔和狄里克莱判别法（8）掌握定积分在几何计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长、旋转曲面的面积、和物理上计算压力、功、重心等简单应用

四、实数完备性理论的知识 1．知识范围

（1）实数完备性的基本定理

（2）闭区间上连续函数性质的证明 2．要求

（1）了解实数系的构造理论（2）理解实数完备性定理的各个定理：区间套定理 柯西收敛准则，有限覆盖定理，聚点定理，确界原理，单调有界性定理和这些定理的等价性

（3）理解闭区间上连续函数性质的证明

（4）了解实数完备性定理在证明数学命题中的应用

五、多元函数微分学

（一）多元函数微分学 1．知识范围（1）多元函数

平面点集，R上的完备性定理，多元函数的定义，二元函数的定义域，二元函数的几何意义，二元函数极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质 2 4（2）可微性，偏导数与全微分，偏导数，全微分的概念，可微性的几何意义与应用

（3）复合函数的求导法则 复合函数的全微分（4）方向导数与梯度

（5）高阶偏导数，中值定理和泰勒公式，极值问题

（6）隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数定理 隐函数的求导，隐函数组概念 隐函数组定理，反函数组与坐标变换

（7）平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线（8）条件极值 2．要求

（1）了解平面点集，R上的完备性定理，多元函数的定义，二元函数的定义域，二元函数的几何意义，二元函数极限，累次极限，二元函数的连续性概念，有界闭区域上连续函数的性质

（2）掌握偏导数、全微分的概念，可微性的几何意义与应用

（3）熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算，掌握复合函数偏导数和全微分的计算（4）掌握方向导数，梯度的计算，了解隐函数定理，掌握隐函数及隐函数组的的微分的计算

（5）掌握平面曲线的切线与法线 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线的方程的计算

（6）了解二元函数泰勒公式，熟练掌握二元函数的无条件极值的计算，掌握条件极值的拉格朗日乘数法

六、多元函数积分学 1．知识范围

（1）二重积分的概念，二重积分的可积条件，一般区域上的二重积分，二重积分的计算，二重积分的换元法，含参量积分的导数

（2）三重积分的概念，化三重积分为累次积分，三重积分的换元法（3）重积分的应用，曲面的面积，重积分在物理学上的应用

（4）第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念，第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算

（5）第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念，第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

（6）格林公式，曲线积分与路径的无关性（7）高斯公式，斯托克斯公式 2．要求

（1）了解二重积分的概念、二重积分的可积条件、一般区域上的二重积分，熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，掌握二重积分的换元法、含参量积分的导数

（2）了解三重积分的概念，掌握直角坐标下化三重积分为累次积分

（3）了解第一型曲线积分和第一型曲面积分的概念，掌握第一型曲线积分和第一型曲面积分的计算，了解第二型曲线积分和第二型曲面积分的概念，掌握第二型曲线积分和第二型曲面积分的计算

（4）了解格林公式，曲线积分与路径的无关性（5）了解高斯公式，知道斯托克斯公式

七、无穷级数

（一）数项级数 5 1．知识范围

（1）数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本知识，级数收敛的必要条件

（2）正项级数敛散性判别法，比较判别法，比值判别法

（3）任意项级数，交错级数，绝对收敛，条件收敛，莱布尼兹判别法

2．要求

（1）了解数项级数的概念，级数的收敛与发散，级数的基本知识，级数收敛的必要条件

（2）熟练掌握正项级数敛散性的比较判别法和比值判别法（3）了解任意项级数、交错级数、绝对收敛、条件收敛的概念（4）掌握交错级数收敛的莱布尼兹判别法.（三）幂级数 1．知识范围

（1）幂级数收敛区间（2）幂级数的性质（3）幂级数的运算

（4）泰勒级数与初等函数的幂级数展开式 2．要求

（1）了解幂级数、幂级数的收敛半径、收敛区间的概念

（2）了解幂级数在收敛区间内的性质（和、差、逐项求导、逐项积分）（3）掌握幂级数的收敛半径、收敛区间的的求法

（4）会运用基本初等函数的麦克劳林公式将一些简单的初等函数展开为幂级数

第五篇：《数学分析》考试大纲

《数学分析》考试大纲

课程编号：04006 适应专业：数学与应用数学专业（师范、信息技术教育方向本科）

一、课程性质与目的要求

数学分析是数学与应用数学专业的一门重要基础理论课。其目的是为学生提供函数、极限、微积分等连续量方面的必不可少的数学理论基础知识。通过本课程的的学习，使学生具有一定的逻辑推理能力和计算能力，为后继课程的学习和以后的工作打下较好的基础。

二、学习用书

1、《数学分析》（上、下册），华东师范大学数学系编，高等教育出版社。

2、《数学分析》（上、下册），刘玉琏等编，高等教育出版社。

3、《数学分析简明教程》（上、下册），邓东皋、尹小玲编著，高等教育出版社。

4、《微积分学教程》，菲赫金哥尔茨著，人民教育出版社。

5、《数学分析习题集》，吉米多维奇著。

三、课程内容与考核要求

第一章 函数

1、考核知识点：函数、函数的四大特性、复合函数与反函数。

2、考核要求：

（1）掌握求函数定义域及函数值域的方法。

（2）了解函数的有界性、单调性、奇偶性及周期性。

（3）给出简单函数会求复合函数或给出复合函数会分解为简单函数。（4）了解反函数存在的条件，并会求函数的反函数。

第二章 极限

1、考核知识点：数列极限；收敛数列的性质；数列收敛的判别法；函数极限；函数极限的性质；两个重要极限；无穷小与无穷大。

2、考核要求：

（1）掌握数列极限的N定义，并能用这个定义来证明数列敛散性。（2）了解收敛数列的性质，掌握数列收敛判别法。

（3）掌握函数极限概念，包括单侧极限，了解函数极限的性质，函数极限与单侧极限的关系，函数极限存在的条件。（4）掌握两个重要极限，并能灵活使用。

（5）了解无穷小量与无穷大量的概念，并能进行无穷小量阶的比较。

第三章 连续函数

1、考核知识点：函数在一点的连续性性；函数在区间的连续性；函数的间断点。

2、考核要求：

（1）掌握函数在一点连续和在区间连续的概念。

（2）了解连续函数的局部性质，掌握反函数、复合函数及初等函数的连续性。（3）了解函数的间断点，能够求函数间断点并加以分类。

（4）掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性、介值性）。

《数学分析》考试大纲第1页

共4页

第四章 实数的连续性

1、考核知识点：实数连续性定理；一致连续性。

2、考核要求：

（1）了解实数连续性定理（闭区间套定理、确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则）的条件与结论，以及有关概念。（2）掌握上确界、下确界的概念，并能求集合的上、下确界。（3）掌握一致连续性的定义，并会证明函数的一致连续性。

第五章 导数与微分

1、考核知识点：导数的定义；求导公式与求导法则；隐函数的求导；参数方程给出的函数的求导；函数的微分；微分与导数的关系；高阶导数与高阶微分；微分在近似计算中的应用。

2、考核要求：

（1）掌握导数与微分的概念，求导公式与求导法则，特别是复合函数的求导法则，及微分的运算法则。

（2）掌握导数的几何意义，会求曲线的切线方程与法线方程。（3）掌握隐函数与参数方程的求导法则，对数求导法。

（4）掌握高阶导数与高阶微分的概念，会求函数的高阶导数，特别是会使用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数。（5）了解微分在近似计算中的应用。

第六章 微分学基本定理及其应用

1、考核知识点：罗尔中值定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理；洛必达法则；泰勒公式；导数地研究函数上的应用。

2、考核要求：

（1）掌握罗尔中值定理、拉格朗日中值定理的条件与结论，并能用微分中值定理解决相应的问题。

（2）了解柯西中值定理及泰勒公式。

（3）握洛必达法则，熟练使用洛必达法则求函数未定式的极限。（4）掌握常用的几个初等函数的泰勒展开式。

（5）用导数来判断函数的单调性，以及函数极值的求法，包括函数的最大值与最小值。

（6）掌握函数凹凸性判定及函数拐点的求法。（7）会求曲线的渐近线，了解函数的作图。

第七章 不定积分

1、考核知识点：原函数与不定积分的概念；分部积分法与换元积分法；有理函数的不定积分；简单无理函数与三角函数的不定积分。

2、考核要求：

（1）掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分与导数（微分）的关系。（2）掌握基本积分表、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法。（3）掌握有理函数与可化为有理函数的积分。

（4）掌握某些简单无理函数及三角函数有理式的积分。

第八章 定积分

1、考核知识点：定积分的概念；可积条件；定积分的性质；微积分学基本定理；定积分的计算；定积分的应用。

2、考核要求：

（1）掌握定积分的概念，掌握小和与大和的概念及它们的性质。

《数学分析》考试大纲第2页

共4页（2）掌握可积的必要条件与可积函数类。（3）掌握可积的充分必要条件（可积准则）。（4）掌握定积分的性质及积分上限函数的性质，掌握定积分的基本公式即牛顿—莱布尼兹公式。

（5）掌握定积分的换元法与分部积分法。

（6）掌握微元法，会用定积分计算平面图形的面积、平面曲线的弧长，应用截面面积求立体体积、旋转体的侧面积、定积分在物理上的某些应用。（7）了解定积分的近似计算。

第九章 级数

1、考核知识点：数项级数；数项级数的敛散性及收敛级数的性质；正项级数；一般项级数；函数级数及其一致收敛性；函数列的一致收敛性；和函数的分析性质；幂级数的收敛半径与收敛区间；幂级数和函数的分析性质；泰勒级数；初等函数的幂级数展开式；傅立叶级数。

2、考核要求：

（1）掌握级数的概念、级数的收敛性及其性质。

（2）掌握正项级数收敛性的判别法、交错级数收敛的判别法、一般项级数收敛性判别法。

（3）了解绝对收敛级数的性质。

（4）掌握函数级数的收敛域，一致收敛的概念，包括函数列的一致收敛性的概念。（5）掌握函数级数及函数列一致收敛性的判别法。掌握和函数的分析性质。

（6）掌握幂级数的收敛半径和收敛区间，掌握幂级数和函数的分析性质，并能求幂级数的和函数。

（7）了解泰勒级数，掌握一些基本初等函数的幂级数展开式。（8）了解幂级数的应用。

（9）了解三角级数、三角函数系的正交性。

（10）掌握以2（或以2l）为周期的函数的傅立叶级数。

（11）掌握奇函数与偶函数的傅立叶级数。

第十章 多元函数微分学

1、考核知识点：平面点集；坐标平面的连续性；多元函数的概念；二元函数的极限与连续性；偏导数；全微分；可微的几何意义；复合函数微分法；方向导数；高阶偏导数；二元函数的泰勒公式；二元函数的极值。

2、考核要求：

（1）了解平面点集、坐标平面的连续性（闭矩形套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西收敛准则、致密性定理）；多元函数的概念。

（2）掌握二元函数的极限（二重极限）与二次极限，二元函数的连续性。

（3）掌握在有界闭区域上连续的二元函数的性质（有界性、最值性、介值性）（4）掌握多元函数的偏导数与全微分，并能熟练求函数偏导数与全微分。（5）掌握复合函数的偏导数与全微分。

（6）掌握可微的几何意义，会求曲面在某点的切平面与法线方程。（7）会求方向导数和高阶偏导数。（8）了解二元函数泰勒公式。

（9）掌握求二元函数极值的方法。

第十一章 隐函数

1、考核知识点： 隐函数；隐函数组；函数行列式；条件极值；隐函数存在定理在几何方面上的应用。

《数学分析》考试大纲第3页

共4页

2、考核要求：

（1）了解隐函数的概念及隐函数存在定理的条件与结论，了解隐函数组的概念及隐函数组存在定理。

（2）掌握求隐函数或隐函数组的偏导数（或导数）的方法。（3）了解函数行列式概念及其性质。

（4）掌握函数的条件极值与拉格朗日乘数法。

（5）会求空间曲线的切线与法平面方程，以及曲面的切平面与法线方程。

第十二章 广义积分与含参变量的积分

1、考核知识点：无穷积分；瑕积分；含参变量的有限积分；含参变量的无穷积分；函数与B函数。

2、考核要求：

（1）掌握无穷积分及瑕积分的收敛与发散的概念，无穷积分及瑕积分的性质。（2）了解无穷积分与级数的关系，无穷积分与瑕积分的关系。（3）掌握无穷积分及瑕积分敛散性的判别法。（4）掌握含参变量有限积分在闭区间的分析性质。（5）掌握含参变量无穷积分的一致收敛及其判别法。（6）掌握含参变量无穷积分的分析性质。

（7）了解函数与B函数的定义及其性质、它们之间的关系。

第十三章 重积分

1、考核知识点：二重积分的概念；二重积分的性质；二重积分的计算；三重积分的概念；三重积分的计算。

2、考核要求：

（1）掌握二重积分的定义、二重积分存在条件、二重积分的性质。

（2）掌握二重积分的计算，化二重积分为累次积分，二重积分的换元法。（3）掌握三重积分的定义。

（4）掌握三重积分的计算，化三重积分为累次积分。

第十四章 曲线积分与曲面积分

1、考核知识点：第一型曲线积分；第二型曲线积分；格林公式；曲线积分与路线无关的条件；第一型曲面积分；第二型曲面积分；奥高公式；斯托克斯公式。

2、考核要求：

（1）了解第一型曲线积分与第二型曲线积分的概念。（2）了解第一型曲面积分与第二型曲面积分的概念。（3）掌握第一型曲线积分与第二型曲线积分的计算。（4）掌握两类曲线积分的关系。

（5）掌握格林公式，会用格林公式求闭曲线的积分。（6）掌握曲线积分与路径的无关的条件。

（7）掌握第一型曲面积分与第二型曲面积分的计算。（8）掌握用奥高公式计算闭曲面上的积分。

（9）了解曲线积分与曲面积分的关系，会使用斯托克斯公式。

注：

1、本考试大纲是按刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》的顺序编写的。

2、本考试大纲主要针对数学与应用数学师范本科专业来编写，对于数学与应用数学专业信息技术教育方向可作适当调整。

《数学分析》考试大纲第4页

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