第一篇：专题六不等式

专题六不等式

一．考试要求

1.掌握不等式的性质和证明；掌握证明不等式的几种常用方法；掌握均值不等式；并能用以

上性质、定理和方法解决一些问题。2.熟练掌握解不等式的方法。

3.会用绝对值不等式∣∣a∣－∣b∣∣≤∣a＋b∣≤∣a∣＋∣b∣，并理解它和向量的联系。

二．高考命题趋势及展望

近年来高考中有关不等式的试题一般是一道选择题或填空题和一道解答题。解答题一般是解不等式或证明不等式，不过单独考查不等式的习题较少，一般是和函数、数列、几何及实际应用相结合的综合型试题。

三．知识分析

1.知识网络

2.规律总结

本章的主要内容是不等式的性质和证明，以及不等式的解法。证明不等式的基本方法主要有比较法、分析法和综合法；和数列相关的不等式的证明往往要用数学归纳法，此外还有反证法、换元法、放缩法、判别式法和利用函数单调性证明等多种方法。解不等式就是利用不等式的性质，将复杂的不等式转化成为简单不等式的过程。

常见题型有①比较数或代数式的大小，常用比较法或函数单调性求解，在选择题中往往可以使用特殊值法解决，②用三种基本方法证明不等式，③解含字母的不等式，④关于几个不等式的解集的相互关系，⑤均值不等式的应用，⑥利用函数f（x）＝x＋

a

x的单调性解决最值问题是近年热点。

本章常用的数学思想有：①转化的思想，如解不等式，②分类讨论的思想，如含参数的不等式问题的解决，③数形结合的思想和函数与方程的观点，如将不等式两边构造为两个函数，分别做图像或利用函数的性质求解。

四．学法指导

1.重视数学思想方法的复习。

2.强化不等式的应用。

五．例题选讲

1.已知0＜x＜1，0＜a＜1，试比较∣log

a

(1x)∣和∣loga

(1x)∣大小

2.已知a、b、c∈

R

，求证：



22

abc

abc

3．若正数a、b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿。

4．设函数f（x）＝

x

1ax,(a﹥0）

①解不等式f（x）≤1

②求a的取值范围，使函数f（x）在[0，＋∞）上是单调的5．已知当x∈[0,1]时，不等式x

cosx(1x)(1x)2

sin＞0恒成立，求θ的取值

范围。

6．已知a＞0，函数f(x)＝1axx,x(0,)。

设0

1

ⅰ）0<

x1

≤a

ⅱ）若x11

1＜a，x1第二篇：常用不等式

均值不等式： 被称为均值不等式。·即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。

为调和平均数。

为几何平均数。

为算术平均数。

为平方平均数。

Cauchy不等式：

二阶(a+b)(c+d)≥(ac+bd)等号在且仅在ad－bc=0即ad=bc时成立。

高阶(a1+a2+„„an)(b1+b2+„„bn)≥(a1b1+a2b2+„„+anbn)三角不等式： |a|-|b| ≤|a±b|≤|a|+|b| 排序不等式： 设有两组数a1,a2,„„an,b1,b2,„„bn满足a1≤a2≤„„≤an,b1≤b2≤„„≤bn则有a1bn+a2bn-1+„„+anb1≤a1bt+a2bt+„„+anbt≤a1b1+a2b2+„„+anbn式中t1，t2，„„，tn是1，2，„„，n的任意一个排列，当且仅当a1=a2=„„=an或b1=b2=„„=bn时成立。一般为了便于记忆，常记为：反序和≤乱序和≤同序和.琴生不等式：

对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n)对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n)切比雪夫不等式(基本排序)：

a1bn+a2bn-1+„„+anb1≤(a1+a2+„„an)(b1+b2+„„bn)≤a1b1+a2b2+„„+anbn 22

22222

第三篇：常用不等式

大学中常用不等式,放缩技巧一：一些重要恒等式

ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6

ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2na=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n)(0

sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ=1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]

sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC

cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1

sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式e∏i=-1(i是虚数，∏是pai)

ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word编）

二重要不等式

1:绝对值不等式

︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式

（1+x1）（1+x2）…（1+xn）≥1+x1+x2+…+xn(xi符号相同且大于-1)

3：柯西不等式

(∑ ai bi)2≤∑ai2∑bi2

4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱

5;(a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)

(a+b)p≤ap+ bp(0

(a+b)p≥ap+ bp(p>1)

6:(1+x)n≥1+nx(x>-1)

7:切比雪夫不等式

若a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn

∑aibi≥(1/n)∑ai∑bi

若a1≤a2≤…≤an,b1≥b2≥…≥bn

∑aibi≤(1/n)∑ai∑bi

三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；

2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;

3：n！<【(n+1/2)】n

4：nn+1>(n+1)nn！≥2n-1

5：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n

6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x

8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4

第四篇：不等式

绝对值不等式知识点及典型练习题

1.解绝对值不等式的基本思想：解绝对值不等式的基本思想是去绝对值，常采用的方法是讨论符号和平方。

2.注意利用三角不等式证明含有绝对值的问题。

左边在例1 解不等式时取得等号，右边在 时取得等号。例2 解不等式||x+3|-|x-3||>3。

例3求使不等式|x-4|+|x-3|

第五篇：不等式证明经典

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2013年数学VIP讲义

【例1】 设a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b-1。

【例2】 已知0

【例3】 设A=a+d，B=b+c，a，b，c，d∈R+，ad=bc，a=max{a，b，c，d}，试比较A与B的大小。

因A、B的表达形式比较简单，故作差后如何对因式进行变形是本题难点之一。利用等式ad=bc，借助于消元思想，至少可以消去a，b，c，d中的一个字母。关键是消去哪个字母，因条件中已知a的不等关系：a>b，a>c，a>d，故保留a，消b，c，d中任一个均可。

由ad=bc得：dbca1abbccaabcabc≥1。

bcabcab(ab)(ac)a0bcacaA-B=a+d-(b+c)=a =ab c(ab)a

【例4】 a，b，c∈R，求证：a4+b4+c4≥(a+b+c)。

不等号两边均是和的形式，利用一次基本不等式显然不行。不等号右边为三项和，根据不等号方向，应自左向右运用基本不等式后再同向相加。因不等式左边只有三项，故把三项变化六项后再利用二元基本不等式，这就是“化奇为偶”的技巧。

左=12(2a42b2242c)22412[(a24b)(b22244c)(c2244a)]24

≥12(2ab2bc2ca)abbcca

2发现缩小后没有达到题目要求，此时应再利用不等式传递性继续缩小，处理的方法与刚才类似。

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ab1212

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22bc2222ca2222212(2ab22222bc22222ca)22

ca)(ca2[(abbc)(bc22ab)]22≥(2abc2abc22abc)ab(abc)1a

1c【例5】（1）a，b，c为正实数，求证：（2）a，b，c为正实数，求证：

a21bb2≥

c21ab1bc1ac；

bcacab≥

abc2。

（1）不等式的结构与例4完全相同，处理方法也完全一样。

（2）同学们可试一试，再用刚才的方法处理该题是行不通的。注意到从左向右，分式变成了整式，可考虑在左边每一个分式后配上该分式的分母，利用二元基本不等式后约去分母，再利用不等式可加性即可达到目的。试一试行吗？

a2bcb2(bc)≥2a2bcb2(bc)2a

acc2(ac)≥2ac(ac)2bab(ab)≥2c2ab(ab)2c

相加后发现不行，a，b，c的整式项全消去了。为了达到目的，应在系数上作调整。

a2bcbc4≥a，b2acac4≥b，c2abab4≥a 相向相加后即可。

【例6】 x，y为正实数，x+y=a，求证：x+y≥

2a22。

思路一；根据x+y和x2+y2的结构特点，联想到算术平均数与平方平均数之间的不等关系。∵ xy22≤2x2y22

2∴ xy≥(xy)2a22

思路二：因所求不等式右边为常数，故可从求函数最小值的角度去思考。思路一所用的是基本不等式法，这里采用消元思想转化为一元函数，再用单调性求解。换元有下列三种途径：

途径1：用均值换元法消元： 令 x2a2m，yaa22m

22则 xy(m)(m)2m222aa22≥

a22

途径2：代入消元法： y=a-x，0a2)2a22≥

a22

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途径3：三角换元法消元：

令 x=acos2θ，y=asin2θ，θ∈(0，]

22013年数学VIP讲义

则 x2+y2=a2(cos4θ+sin4θ)=a2[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]

=a[1-2(sin2θ)]=a(1-22122

12sin2θ)≥

a22

注：为了达到消元的目的，途径1和途径3引入了适当的参数，也就是找到一个中间变量表示x，y。这种引参的思想是高中数学常用的重要方法。【例7】 已知a>b>0，求证：(ab)8a2ab2ab(ab)8b2。

12所证不等式的形式较复杂（如从次数看，有二次，一次，次等），难以从某个角度着手。故考虑用分析法证明，即执果索因，寻找使不等式成立的必要条件。实际上就是对所证不等式进行适当的化简、变形，实际上这种变形在相当多的题目里都是充要的。

ab2abab2ab2b)(a(a(a2b)2

ab(ab)b)(a8a2所证不等式可化为∵ a>b>0 ∴ ab ∴ ab0

b)2(a2b)2(ab)(a8b2b)2

∴ 不等式可化为：(a4ab)21(a4bb)2

2(ab)4a即要证

24b(ab)ab2a只需证

2bab在a>b>0条件下，不等式组显然成立 ∴ 原不等式成立 【例8】 已知f(x)=24xx38，求证：对任意实数a，b，恒有f(a)

112.不等号两边字母不统一，采用常规方法难以着手。根据表达式的特点，借助于函数思想，可分别求f(a)及g(b)=b2-4b+f(a)112的最值，看能否通过最值之间的大小关系进行比较。

82(2)a2a24aa3882a882a≤

282a82a8422

令 g(b)=b2-4b+11232 ≥32 g(b)=(b-2)2+

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∵ 3222013年数学VIP讲义

∴ g(b)>f(a)注：本题实际上利用了不等式的传递性，只不过中间量为常数而已，这种思路在两数大小比较时曾讲过。由此也说明，实数大小理论是不等式大小理论的基础。

【例9】 已知a，b，c∈R，f(x)=ax2+bx+c，当|x|≤1时，有|f(x)|≤1，求证：

（1）|c|≤1，|b|≤1；

（2）当|x|≤1时，|ax+b|≤2。

这是一个与绝对值有关的不等式证明题，除运用前面已介绍的不等式性质和基本不等式以外，还涉及到与绝对值有关的基本不等式，如|a|≥a，|a|≥-a，||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，|a1±a2±„±an|≤|a1|+|a2|+„+|an|。就本题来说，还有一个如何充分利用条件“当|x|≤1时，|f(x)|≤1”的解题意识。

从特殊化的思想出发得到： 令 x=0，|f(0)|≤1 即 |c|≤1 当x=1时，|f(1)|≤1；当x=-1时，|f(-1)|≤1 下面问题的解决试图利用这三个不等式，即把f(0)，f(1)，f(-1)化作已知量，去表示待求量。∵ f(1)=a+b+c，f(-1)=a-b+c ∴ b12[f(1)f(1)] 12|f(1)f(1)|≤12[|f(1)||f(1)|]≤

12(11)≤1 ∴ |b|（2）思路一：利用函数思想，借助于单调性求g(x)=ax+b的值域。

当a>0时，g(x)在[-1，1]上单调递增 ∴ g(-1)≤g(x)≤g(1)∵ g(1)=a+1=f(1)-f(0)≤|f(1)-f(0)|≤|f(1)|+|f(0)|≤2 g(-1)=-a+b=f(0)-f(-1)=-[f(-1)-f(0)]

≥-|f(-1)-f(0)|≥-[|f(-1)|+|f(0)|]≥-2 ∴-2≤g(x)≤2 即 |g(x)|≤2 当a<0时，同理可证。

思路二：直接利用绝对值不等式

为了能将|ax+b|中的绝对值符号分配到a，b，可考虑a，b的符号进行讨论。当a>0时

|ax+b|≤|ax|+|b|=|a||x|+|b|≤|a|+|b|≤a+|b| 下面对b讨论

① b≥0时，a+|b|=a+b=|a+b|=|f(1)-f(0)| ≤ |f(1)|+|f(0)|≤2； ② b<0时，a+|b|=a-b=|a-b|=|f(-1)-f(0)|≤|f(-1)|+f(0)|≤2。∴ |ax+b|≤2 当a<0时，同理可证。

评注：本题证明过程中，还应根据不等号的方向，合理选择不等式，例如：既有|a-b|≥|a|-|b|，又有|a-b|≥|b|-|a|，若不适当选择，则不能满足题目要求。

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1、设a，b为正数，且a+b≤4，则下列各式一定成立的是 A、C、1a121b1a≤141b B、≤1 D、141a≤

1a1b≤

≤

1b≥1

2、已知a，b，c均大于1，且logac·logbc=4，则下列各式中一定正确的是 A、ac≥b B、ab≥c C、bc≥a D、ab≤c

5、已知a，b，c>0，且a+b>c，设M=

a4abbcc4c，N=，则MN的大小关系是

A、M>N B、M=N C、M

6、已知函数f(x)=-x-x3，x1，x2，x3∈R，且x1+x2>0，x2+x3>0，x3+x1>0，则f(x1)+f(x2)+f(x3)的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、一定等于零 D、正负都有可能

7、若a>0，b>0，x111()2ab1ab1ab，y，z，则

A、x≥y>z B、x≥z>y C、y≥x>z D、y>z≥x

8、设a，b∈R，下面的不等式成立的是 A、a+3ab>b B、ab-a>b+ab C、（二）填空题

9、设a>0，b>0，a≠b，则aabb与abba的大小关系是__________。

10、若a，b，c是不全相等的正数，则(a+b)(b+c)(c+a)______8abc（用不等号填空）。

12、当00且t≠1时，logat与log21t1a2

2aba1b1 D、a+b≥2(a-b-1)

22的大小关系是__________。

n13、若a，b，c为Rt△ABC的三边，其中c为斜边，则an+bn与c（其中n∈N，n>2）的大小关系是________________。

（三）解答题

14、已知a>0，b>0，a≠b，求证：a

15、已知a，b，c是三角形三边的长，求 证：1

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abcbaccab2。

babba。金牌师资，笑傲高考

16、已知a≥0，b≥0，求证：

18、若a，b，c为正数，求证：

19、设a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a

20、已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a，b，c全为正数。

1a)(b1b)2541a1b1ca82013年数学VIP讲义

12(ab)214(ab)≥aaba。

≤

b383c38。

abc≥。

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