第一篇：任意角教学设计

1.1.1 任意角教学设计

设计教师 营迎

教学目标

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；能建立适当的坐标系来论任意角，并能熟运用集合和数学符号表示终边相同的角。

2．培养学生的类比思维能力和形象思维能力。

3．通过任意角概念的学习，体验角的概念扩展的必要性，促进学生对数学知识形成过程的认识，用数学知识认识世界，从而培养学生善于思考，勤于动手的良好品质。教学重难点

重点：将0～360的角的概念推广到任意角。难点：角的概念的推广，终边相同角的表示。教学方法

本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的 教学过程

00一.创设情境（引入）：（互动）请两名同学起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作，在这个过程中他们各转体了多少度？(引导学生关注旋转的方向和旋转的量着两个要点)。我们会发现角已不仅仅局限于0～360之间，这正是我们这节课要研究的主要内容———任意角。

二．探究新知，建立概念(1)任意角概念的引入

问题1：过去我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？

师生活动：教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.问题2：你能举出不在0～360的角的实例，并加以说明吗

学生：举例，再说明所举例的角为什么不在0～360。教师：提供教材中的几个例子。(2)概念讲解

1.角的概念的推广：

(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。2.正角、负角、零角概念（类比正负数的规定）

按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射

00

0

四.练习

1．与-1778°的终边相同且绝对值最小的角是___________。2．A={小于90°的角}，B={第一象限的角}则A∩B等于（）A.{锐角} C.{第一象限的角} B.{小于90°的角} D.以上说法都不对 五.小结

1.任意角的概念 2.象限角 3.终边相同的角 4.象限角的判断

六．思考 终边在第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？

七.作业：红对勾训练1课时 八.板书设计：略 九.教学反思：

第二篇：《任意角》教学设计

《任意角》教学设计

教材分析：

本小节是人教版A版必修四第一章第一节的内容。角的概念的考查多结合三角函数的基础知识进行，对求角的集合的交、并等计算技能的考查，有一定综合性，涉及的知识点较多，不过多比较浅显。三角函数的意义与三角函数的符号一般在最基本的层面上用选择、填空题的形式考查。此节是三角函数的基础，在锐角三角函数的基础上，通过具体事例，再利用单位圆进一步研究任意角的三角函数，并用集合与对应的语言来刻画。这样，在研究三角函数之前，就有必要先将角的概念推广，从而建立角的集合与实数集之间的对应关系。信息技术的使用可动态表现角的终边旋转的过程，有利于学生观察到角的变化与终边位置的关系，进而更好地了解任意角和弧度的概念，体会角的“周而复始”的变化规律，为

研究三角函数的周期性奠定基础。

一、教学目标：

1、知识与技能

（1）推广角的概念、引入大于的概念；

（2）理解任意角并掌握正角、负角、零角的定义；

（3）理解象限角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义；(4)掌握所有与角终边相同的角（包括

角）的表示方法；

角和负角，要求学生掌握用“旋转”定义角（5）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣；

（7）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；

2、过程与方法

通过创设情境：“转体三周半，逆（顺）时针旋转”，角有大于

角、零角和旋转方向不同所形成的角等，说明角不够用了，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值

通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点

重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法；及象限角的含义.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具

之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、电子白板，粉笔，三角板

四、教学设计 【创设情境】

思考:

1、初中时我们是如何定义一个角的？角的范围是多少？

2、如果你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？

学生活动：

1、①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．范围（0°,360°）

2、[实际操作]看看我们教室的时钟，会发现，校正过程中分针需要顺时针方向或逆时针方向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说之前的之间的角已经不够用了，这就是我们这节课要研究的主要内容——任意角 设计意图：形象，具体的让学生感知角可以通过终边不停的旋转得到，以前的角度范围明显不满足现实要求，所以要进一步推广 【探究新知】

1、初中时，角可以看成平面内一条射线绕着端点

从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1一条射线由原来的位置着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置线叫做角的始边，叫终边，射线的端点，就形成角 叫做叫，绕

.旋转开始时的射的顶点.记做：∠AOB或说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．

图1

2、再如在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）、自行车车轮、两个齿轮旋转的示意图等都是按照不同方向旋转时成不同的角,要准确地描述这些角，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须要知道旋转量，又要知道旋转方向。为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]看图读角，形象的感知任意角，理解其含义 这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle）。注意：（1）零角的终边与始边重合，如果是零角则 =0°；

o（2）角的概过推广后，括正角、负零角．

3、念经已包角和在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(quadrant angle).练习：①说出下列各角分别位于第几象限。175°，225°，-300°

②那 0°，90°，180°，270°呢？（电子白板演示）

注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为轴线角.4、探究与发现

①-60°，-420°，300°与-660°的终边有什么关系？ ② 如图，与 终边有什么特点，并说出角的终边落在射线OB上的角度是2多少？答案是否唯一，为什么？（演示动画）

分析：不难发现，-60°，-420°，300°与-660°的终边相同，且-420°=-60°+（-1）×360° 300°=-60°+×360°

-660°=-60°+×360° 一般地,我们有:所有与角终边相同的角的表示：

所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合终边相同的角,连同角

在内,可构成一个集合

S={ β | β = + k·360 °，k∈Z}，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和． 注意： ⑴

k∈Z ⑵ α是任一角；

⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

⑷ 角 + k·720 °与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角．

5、[展示投影]例题讲评

例

1、下列说法是否正确，为什么？请举例说明。（1）第二象限的角一定比第一象限的角大；（2）锐角是第一象限的角，第一象限的角是锐角 ；（3）小于90°的角是锐角；

（4）终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个。

分析：不要混淆“锐角”“ 第一象限的角”“小于90°的角“等概念；注意终边在第一象限和第二象限的角，均可正可负，所以不能直接比较大小。例

2、在0°～360°范围内，找出与－950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.分析：（1）用所给的角除以360，将余角作为β；（2）负角除以360，要保证余角为正角。

解：∵－950°12‘‘= 129048‘‘－3×360°

∴在0°~360°范围内, 与－950°12‘‘角终边相同的角是129°48‘‘, 它是第二象限角.练习①在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

⑴－120° ⑵ 640 °

例

3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示).解：在0°~360°范围内,在终边在y轴上的角有两个，90°，270° ∴与90°角终边相同的角构成的集合

S1={β|β=90°+k∙360°，kÎZ} ∴与270°角终边相同的角构成的集合

S2={β|β=270°+k∙360°，kÎZ}

={β|β=90°+180°+2k∙180°，kÎZ} 所以，终边落在y轴上的角的集合为

S=S1∪S2={β|β=90°+2k∙180°，kÎZ}∪{β| β=90°+(2k+1)180°kÎZ}

={β|β=90°+n∙180°，nÎZ} 例

4、写出终边在直线y = x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤ β <720°的元素写出来.分析：用终边相同的角表示集合S,然后求解不等式，取整数解。

6、[展示投影]练习

教材P5第1、2、3、4、5题.7、课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： 负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

8、经验交流

1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值.把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.2.终边相同的角有无数个，在0°～360°范围内与已知角β终边相同的角有且只有一个.用β除以360°，若所得的商为整数k，余数为α（α必须是正数），则α即为所找的角.五、作业：

教材P9习题1.1 A组 1、2、3 思考题：

（1）终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？

（2）终边落在坐标轴上的角的角的集合如何表示？（3）各象限角的范围如何表示？

第三篇：任意角教学设计

任意角教学设计

一．内容和内容解析

三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具。本节课是三角函数的第一节课，学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。本节课的教学重点是：理解正角、负角和零角和象限角的定义，掌握终边相同角、象限角的表示方法及判断。二．目标和目标解析

1．结合实例体验角的概念推广的必要性；从运动的观点出发，进行角的概念推广，理解并掌握正角、负角、零角的定义；

2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，即掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；

3．能建立适当的坐标系来讨论任意角，理解象限角、坐标轴上的角的概念，并能用集合和数学符号表示；

4．在角的概念的推广的过程中，树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；

5．通过正角、负角、零角与正数、负数、零的类比，培养学生的类比思维能力； 6．通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法； 三．教学问题诊断分析

本节课的教学难点是：把终边相同的角、象限角用集合和数学符号语言正确地表示出来。1．学生在理解终边相同的角的表示方法上，会出现障碍，其原因是：刚刚将角的概念推广，还不是很适应终边相同的角的“周而复始”这个现象的本质；

2．学生在学习了教材例1后，做p6第4题，仍然感到困难，其原因是：当角为负角时，在00～3600范围内找出终边相同的角，不知怎样计算，教学时应给学生介绍计算方法； 3．学生在学习了象限角的概念后，怎样用集合和数学符号语言正确地表示象限角（如：第一象限角），会出现障碍，其原因是：对第一象限角是有无数个区间构成，它们的终边是“周而复始”的现象的刻画还不了解，教师要进一步的解释k·3600的运用特点。四．学习行为分析

1．初中学生已经接触到角的定义，角的范围仅限于00～3600。结合实际生活中的例子，由教材的“思考”问题出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。让学生在好奇心的推动下，充分的调动学生的自主探究的内在动力，利用类比和数形结合的思想，借助信息技术工具（如：几何画板），让学生在动态的过程中体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。学习本节角的概念的推广困难不大。

2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。这里可以借助信息技术工具（如：几何画板），建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相集合。

五．教学支持条件分析

借助信息技术工具（如：几何画板），制作课件。【可参考人民教育出版社配套《教师用书》后的光盘中数学4的资源】

1．角的推广在角的旋转量、旋转方向上给学生以动态的体会；

2．动态的表现角的终边旋转过程，有利于学生观察到角的变化与终边的位置关系，从特殊到一般，让学生发现并验证终边相同的角的表示方法。六．教学过程设计 1．教学程序与环节设计

创设情境

↓ 组织探究

↓ 例题分析

↓ 尝试练习

↓ ——

——

——

——

实际问题出发，激起学生的求知欲望。角的概念的推广，象限角的定义、终边相同的角的表示方法。

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

象限角的判断、终边相同的角的表示方法。让学生复习本节主要内容，完善学生的认知结构，体会数学思想方法。

作业与反馈，关注学生的能力差异。在实际生活中体验数学的应用价值。小结与反思 ——

↓ 评价设计

↓ 课外活动

——

——

2．教学过程与操作设计：

环节 创 教学内容设计

设计意图 提出问题，引发学生的认识冲突，说明角的概念扩展的必要性

师生双边互动

学生：针对上述问题，组织学生进行讨论。学生容易回答前面一个问题，但在回答后面一个问题是会发现问题，从而引起认知冲突。思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表 快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了设

多少度？

情

境

教师：[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要顺时针或逆时针旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于00～3600之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.1．任意角概念的引入

回顾已有知识 教师：提出问题

学生：回答问题

教师：[展示课件]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位

置旋转到另一个位置所成的图⑴.问题：过去我们是如何定义一 个角的？角的范围是什么？

组 ⑵.举出不在织

探

究

⑷.给出任意角的定义 例，并加以说明。

⑶.你认为刻画这些角的关键是什么？

让学生认识到的角的实

举例，再说明所举例的结合具体的实形.学生：

00角为什么不在0～360。例，感受角的概念推广的必要性

教师：提供教材中的几个例子。

学生：组织讨论

刻画这些角不教师：引导学生从旋转量、旋转仅要用旋转量，还要用旋转方向。

教师：引导学生通过类比正数、负数和零，定义角的正角、负角

利用新概念重和零角的概念。

新认识问题。

学生：观察图1.1－3，进一步认

方向这两个方面进行思考。

2．象限角

通过尝试探

识正角、负角。

教师：让学生利用任意角的定义，究，由学生感回答本节开始的“思考”中的表受没有统一标的校正问题。

学生：画图探究，讨论、交流，不难给出合理的放法。

（先让学生以同一条射线为始边作出下列角：210?/span>，－150?/span>，－660?/span>）

⑵.给出象限角的概念

3．终边相同的角

探究：将角按照上述的方法放在直

探究终边相同的角之间的关

⑴.问题：如果把角放在直角坐标准时，角的表系中，那么怎样放比较方便、合示不方便。理？

系，理解并掌教师：在总结分析合理放法的基握改关系。础上，给出象限角的概念，并说

从具体问题入手，了解终边相同的角的关系。

然后通过具体例子使学生直接感受象限角的概念。

学生：思考每组角的数量关系。教师：引导学生用含有其中一个明在同一坐标系下讨论角的好处。

角坐标系中后，给定一个角，就有 唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线从具体到一ob（如图1.1—5），以它为终边的般，认识终边角的关系式表示另外的角。角是否唯一？如果不唯一，那么终相同的角的关边相同的角有什么关系？ ⑴.在直角坐标系内标出

系及其表示。由几何位置“终边相同”210?/span>，－150?/span>角的终探讨其代数特

教师：[展示课件]让学生利用计算机在旋转终边的过程中发现

“终边相同”的角的关系，并利边，你有什么发现？它们有怎样的征的“统一”。数量关系？328?/span>、－32?/span>、－392?/span>角的终边呢？

⑵.直角坐标系内，角α对应了唯一一条射线（终边），那么是否存在与角α终边相同的角？如果存在，如何表示？ 4．练习

教科书p6练习第1～2题 例1.在00～3600范围内，找出与例-950012′角终边相同的角，并判定 题

分 它是第几象限角.例2.写出终边在y轴上的角的集合.例3.写出终边直线在y=x上的角

通过例题，进一步理解任意角、象限角和终边相同的角。

用集合表示出来。

学生：口答

教师：通过提问的形式向学生传递答案。

教师：分析、板书例1。

学生：自学例2。

教师：指出这两个集合求并集的关键是把2700改写成900+1800，然后重新组合。

师生：共同完成例3，注意k的正确取值是关键。析 的集合s,并把s中适合不等式-3600≤α≤7200的元素β写出来.1．教科书p6练习第3～5题 尝 2．补充：

学生：尝试独立完成练习

通过练习，掌试 ①时针经过3小时20分，则时针握象限角的判教师：巡视，个别辅导

断、终边相同转过的角度为，分针转过的练 的角的表示方学生：回答结果

角度为。

法。

习教师：给出评价

②若角α是第二象限角，则180啊?i>α是第 象限角。问题：1.你知道角是如何推广的小 吗？象限角是如何定义的呢？

让学生复习本学生：回答，讨论交流，补充

结 2.你掌握了与角α终边相同的角节主要内容，的集合的表示方法吗？

完善学生的认与

知结构，体会3.本节课你体会到哪些数学思想教师：归纳总结，突出重点知识；

数学思想方反 方法？

解决学生的疑惑点。法。

思 4．在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方？ 评 作业与反馈：

教科书p10习题1.1a组第1～3 1．题 价

2．选做题：

①.写出终边在坐标轴上的角的集设

②写出终边在y= 合。

3．【发展要求】

上的角的集能用集合和数

2．判断角是第几象限角；

1．终边相同角的表示； 关注学生的能力差异。

计 合s,并把s中适合不等式-3600≤学语言表示终α<7200的元素β写出来.边满足一定条

件的角；

③若α、β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是 ；若α与β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是 ；若α、β的终边关于原点对称，则α与β的关系是。

在实际生活中1．你能举出一些日常生活中的“大于3600的角和负角”的例子吗？与课

同桌交流，并熟练掌握它们的表

体验数学的应用价值

外 示，进一步理解具有相同终边的角的特点． 活

2．【探究学习】如果角α是第二动

象限角，那么 在哪里？

探究学习，激

等角的终边落发学习兴趣。

第四篇：高任意角教学设计

任意角教学设计 一．学习目标

1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握正角，负角以，零角以及终边相同角的概念

2.掌握终边相同角的表示方法。

3.理解推广过后的角的概念 二．教学重点，难点

重点：理解并掌握正角负角零角的概念和终边相同角的表示方法。

难点：终边相同角的表示 三．教学方法

讲授法，讨论法，课件演示法 四．教学过程

教师问：1.初中我们所学的角是怎么定义的？角的范围为多少？

2.在实际生活中是否所有的角的范围都在我们所定义的范围内？

学生答：1.从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形,范围00,3600

教师引入：现实中其它角

1.体操上有直体后空翻转体720度的高难度动作,直体前空翻转体360o接直体前空翻转体540度,俄式挺身转体1080度,“程菲跳”。

2.教室里的钟表分针，时针转过的角度。

总结：上面的实例中，已经形成了更大范围内的角，这些角显然超过了我们的认识范围，那

么我们应该怎样重新定义角，并研究这些角的分类？这将是我们这节课所要学习的。角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.如课件上所示。

角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角.零角：射线没有任何旋转形成的角.负角：按顺时针方向旋转形成的角

注意：⑴在不引起混淆的情况下，“角a ”或“∠a ”可以简写成“a ”；

⑵零角的终边与始边重合，如果a角是零角，则a= 0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． 练习：课件所示填一填 第二个内容： 象限角的概念：

定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．(注：若角的终边落于坐标轴上，则此角不属于任何一个象限称为轴线角）例1．图⑴中的角分别表示多少度，并属于第几象限角？

练习1．在同一直角坐标系中，画出图形并指出它们是第几象限的角 终边相同的角：观察上面练习的角390°，-330°和30°的角有什么关系？ 两个角和30°的角的终边相同

思考：终边相同的角有什么特点？（都相差整数个周角）

终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与k个周角的和 390°=30°+360°

-330°=30°-360°

30°=30°-0*360°

1470°=30°+4*360°

终边相同的角的表示：所有与角a终边相同的角，连同在内，可构成一个集合S＝{b| b=a+k·360 °, k∈Z }，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和

注意：⑴

k∈Z，⑵ a是任意角⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差360°的整数倍；

例2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角．

练习2：1.在0°到360°的范围内，找出与下列各角终边相同的角.（1）-1050 °；

（2）395°；

2.在-720°到720°的范围内，找出与45°终边相同的角 五．课堂小结

1.角的定义2.角的分类：正角、零角、负角3.象限角4.终边相同的角的表示法．

第五篇：任意角的三角函数教学设计

任意角的三角函数（1）

一、教学内容分析：

高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）第12页1.2.1任意角的三角函数第一课时。

本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。

在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。

二、学生学习情况分析

我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？

《普通高中数学课程标准(实验)解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：

第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。

第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题，这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。

根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：

其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；

其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。

三、设计理念：

本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想”，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。

四、教学目标：

1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义；

2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号； 3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。

五、教学重点和难点：

1.教学重点：任意角三角函数的定义. 2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.具体设计如下：

OPA

六、教学过程

第一部分——情景引入

问题1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为ho，它的直径为2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置OA出发（如图1所示），过了30秒后，你离地面的高度h为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？

图1 【设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。

第二部分——复习回顾锐角三角函数

让学生自主思考如何解决问题：“过了30秒后，你离地面的高度为多少？”

【分析】：作图如图2很容易知道：从起始位置OA运

BNOMPA图2 H动30秒后到达P点位置，由题意知AOP300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本问题转变成求PH再次转变为求PM。

要求PM就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题2：锐角的正弦函数如何定义？ 【学生自主探究】：学生很容易得到

sin|MP||MP||MP|Rsin|PH|h0Rsin |OP|Rhh0Rsin

所以学生很自然得到“过了30秒后，过了45秒,你离地面的高度h为多少？”

Ph1h0Rsin300 h2h0Rsin450

【教师总结】：t0在锐角的范围中，OaYMPOMAXhh0Rsint0

第三部分——引入新课

问题3：请问t的范围呢？随着时间的推移，你离地面的高度h为多少？能不能猜想

Bhh0Rsint0？

【分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。

问题4：如图建立直角坐标系，设点P(xP,yP)，能你用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？

【学生自主探究】：sin|MP|yP R|OP|cos|MP|yP|OM|xP，tan |OP|R|OM|xP问题5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？ 【分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。

【设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。

通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。

问题6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？

【学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到sin|MP|yP R|OP|PxyO学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第150秒时，离地面的高度h？

通过摩天轮知道：

图3hh0Rsin1500h1h0Rsin300

由此得到：sin15001 2【设计意图】：通过这个，让学生检验sin正确？

问题7：sin|MP|yP在第二象限角是否R|OP||MP|在第三象限角或第四象限能成立吗？ |OP|【设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。

（可以让学生取t210，从而hh0Rsin2100,得到sin2100＝这与sin|MP||MP|不相符，实际上是sin）|OP||OP|1，发现2【教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如何计算自已此时离地面的高度，用数学模型hh0Rsint0来表示，当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点P的横坐标来代替|MP|或|MP|，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。

第三部分——给出任意角三角函数的定义

如图3,已知点P(x,y)为角终边上的点，点P到顶点O的距离为R，则

ysin（R）

Rxcos（R）

Rytan（k）

x2【分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。

问题8：当摩天轮的半径R＝1时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究】：siny，cosx，tany。x教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化。

教师进一步给出单位圆的定义 给出下列表格，让学生自己补充完整。三角函数

sin 定义一：|OP|1

y

定义二：|OP|R

y Rx Ry x定义域

R R cos

tan

x

y x2k

及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分——例题讲解

例1.（课本P14例2）已知角终边经过点P0(3,4)，求角的正弦、余弦和正切值。

【分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。

5例2.（课本P14例1）求的正弦、余弦和正

3切值。

【学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难

OMxyP图4点。

【教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离），因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点P，如图4可以知道POM很容易得到本题答案。

不妨让学生取R|OP|4，能否也得到点P的坐标，得到的三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。

第四部分——巩固练习练习1.例2变式求

7的正弦、余弦和正切值。613，又点P在第四象限，得到P(,)，这样就可以322练习2.问题9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内的三角函数值的符号?独立完成课本P15的“探究”。

【设计意图】：练习

1、练习2的设计与例

2、例3衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。

第五部分——小结与作业 学生自我总结

作业：P23习题1.2A组 1,2,3

七、教学反思

上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：

1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律——具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。

2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。

3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。

4.《标准》把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。

点评

本节课以新颖背景“摩天轮”引课，从直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐次深入引出任意角的三角函数的定义，以问题形式巩固深化任意角三角函数值的计算，结合平位图直观作用，使学生经历了由浅入深，由易到难，清楚展现了任意角三角函数的生成过程，加深了对任意角三角函数的认识。

新课程教材强调了学生的探究能力的培养，但不意味着每个知识点都需要人为创设情景加以探究，现实的教学由于受教学时数限制，总是希望课堂教学效率高些，任意角的三角函数的定义是否一定要创设情景让学生探究？只要让学生理解有必要引入任意角三角函数概念，然后直接下定义，从课堂教学效率而言，可能会更好些。