圆锥曲线与方程--椭圆

知识点

一．椭圆及其标准方程

1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P|

|PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|=2c}；

这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。

（时为线段，无轨迹）。

2．标准方程：

①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；

焦点F（±c，0）

②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；

焦点F（0,±c）

注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；

②两种标准方程可用一般形式表示：

或者

mx2+ny2=1

二．椭圆的简单几何性质：

1.范围

（1）椭圆（a＞b＞0）

横坐标-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b

（2）椭圆（a＞b＞0）

横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a

2.对称性

椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心

3.顶点

（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）

（2）线段A1A2，B1B2

分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

4．离心率

（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（），是圆；

e越接近于0

（e越小），椭圆就越接近于圆;

e越接近于1

（e越大），椭圆越扁；

注意：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。

小结一：基本元素

（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形

（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）

（3）基本线：对称轴（共两条线）

5．椭圆的的内外部

（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质

（1）点P在椭圆上，最大角

（2）最大距离，最小距离

7.直线与椭圆的位置关系

（1）

位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；

（2）

弦长公式：

（3）

中点弦问题：韦达定理法、点差法

例题讲解：

一.椭圆定义：

１．方程化简的结果是

2．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是

3.已知椭圆=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离为

二．利用标准方程确定参数

1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是

.（2）表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是

.（3）表示焦点在y型上的椭圆，则实数k的取值范围是

.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是

.2.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,3．椭圆的焦距为，则=。

4．椭圆的一个焦点是，那么。

三．待定系数法求椭圆标准方程

1．若椭圆经过点，则该椭圆的标准方程为。

2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为

3．焦点在轴上，椭圆的标准方程为

4.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。

四．焦点三角形

1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。

2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？

3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。

变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，求的面积．

五．离心率的有关问题

1.椭圆的离心率为，则

2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为

3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率

．

六、最值问题：

1、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值

最小值。

2.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，七、弦长、中点弦问题

1、已知椭圆及直线．

（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．

2已知椭圆，(1)求过点（1,0）且被椭圆截得的弦长为的弦所在直线的方程

（2）求过点且被平分的弦所在直线的方程；

同步测试

1已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为（）

A

圆

B

椭圆

C线段

D

直线

2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______

3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是（）

A

-1

B

k>0

C

k≥0

D

k>1或k<-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程

(1)长轴长为10，短轴长为6

(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)

(3)

经过点(5，1)，(3，2)

5.椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。

若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________

6已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积

7.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为

8.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是

9．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长

10、椭圆＋=1与椭圆＋=l(l>0)有

(A)相等的焦距

(B)相同的离心率

(C)相同的准线

(D)以上都不对

11、椭圆与（0

(A)相等的焦距

(B)相同的的焦点

(C)相同的准线

(D)有相等的长轴、短轴

12.点为椭圆上的动点,为椭圆的左、右焦点,则的最小值为__________,此时点的坐标为________________.感受高考

1．分别过椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点F1、F2作两条互相垂直的直线l1、l2，它们的交点在椭圆的内部，则椭圆的离心率的取值范围是()

A．(0,1)

B.C.D.2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积是()

A.B.C.D.3．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于()

4已知点F，A分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点、右顶点，B(0，b)满足·＝0，则椭圆的离心率等于()

A.B.C.D.5．已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F2且倾角为45°的直线l交椭圆于A、B两点，以下结论中：①△ABF1的周长为8；②原点到l的距离为1；③|AB|＝；正确结论的个数为()

A．3

B．2

C．1

D．0

6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．抛物线

7．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．

8若椭圆＋＝1(a>b>0)与曲线x2＋y2＝a2－b2无公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．

9．已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________.10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4.(1)若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y＝x＋2相切，求椭圆C的焦点坐标；

.11．椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e＝.(1)求椭圆E的方程；