2021年高中数学人教A版（新教材）选择性必修第二册4.2.2　第1课时　等差数列前n项和公式的推导及简单应用

一、选择题

1．已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()

A．138

B．135

C．95

D．23

2．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a12＝a7＋6，则S11＝()

A．99

B．33

C．198

D．66

3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为()

A．765

B．665

C．763

D．663

4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()

A．9

B．10

C．19

D．29

5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布．现在一月(按30天计算)共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14＋a15＋a16＋a17的值为()

A．55

B．52

C．39

D．26

6．(多选题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题中正确的是()

A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项

B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0

C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0

D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列

7．(多选题)设等差数列{an}的前n项和为Sn且满足S2

019＞0，S2

020＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则下列判断正确的是()

A．a1

010＞0

B．a1

011＞0

C．|a1

010|＞|a1

011|

D．k的值为1

010

二、填空题

8．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．

9．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝________.10．已知等差数列{an}满足a1＝32，a2＋a3＝40，则{|an|}前12项之和为________．

11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则d＝________，a5＝________.12．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．

三、解答题

13．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列的通项公式；

(2)若Sn＝242，求n.14．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时求n的值．

15．已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.(1)求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；

(2)分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；

(3){Sn}有多少项大于零？

参考答案

一、选择题

1．答案：C

解析：∵∴∴

∴S10＝10a1＋×d＝－40＋135＝95.2．

答案：D

解析：因为a1＋a12＝a7＋6，所以a6＝6，则

S11＝＝11a6＝11×6＝66，故选D.3．

答案：B

解析：由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n－1)×7<100，∴n<15，∴n＝14，S14＝14×2＋×14×13×7＝665.4．

答案：B

解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．]

5．答案：B

解析：由题意可得{an}为等差数列，a1＝5，∴S30＝30×5＋d＝390，解得d＝，∴a14＋a15＋a16＋a17＝a1＋13d＋a1＋14d＋a1＋15d＋a1＋16d

＝4a1＋58d＝4×5＋58×＝52.6．

答案：ABD

解析：显然Sn对应的二次函数有最大值时d＜0，且若d＜0，则Sn有最大值，故A，B正确．又若对任意n∈N*，Sn＞0，则a1＞0，d＞0，{Sn}必为递增数列，故D正确．

而对于C项，令Sn＝n2－2n，则数列{Sn}递增，但S1＝－1＜0，故C不正确．

7．答案：AD

解析：由等差数列{an}，可得S2

019＝＞0，S2

020＝＜0，即：a1＋a2

019＞0，a1＋a2

020＜0，可得：2a1

010＞0，a1

010＋a1

011＜0，∴a1

010＞0，a1

011＜0，∴A正确B错误．又等差数列{an}为递减数列，且a1

010＋a1

011＜0，∴|a1

010|＜|a1

011|，∴C错误．

而对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为1

010.故D正确．故选AD.二、填空题

8．答案：27

解析：由a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为1，公差为的等差数列，故S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.9.答案：－10

解析：设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3＝2×2＋d＋4×2＋·d，整理解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10.10.答案：304

解析：因为a2＋a3＝2a1＋3d＝64＋3d＝40⇒d＝－8，所以an＝40－8n.所以|an|＝|40－8n|＝

所以前12项之和为＋＝80＋224＝304.11.答案：－2　－1

解析：由题意知

解得

所以a5＝a4＋d＝1＋(－2)＝－1.12.答案：2

000

解析：假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为

S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2

000(米)．

三、解答题

13．解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.则解得

∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)由Sn＝na1＋d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋×2，即n2＋11n－242＝0，解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.14．解：法一：由解得

则Sn＝－n2＋16n＝－(n－8)2＋64，则当n＝8时，Sn取得最大值．

法二：因为{an}是等差数列，所以S16＝8(a1＋a16)＝8(a8＋a9)＝0，则a9＝－a8＝－1，即数列{an}的前8项是正数，从第9项开始是负数，所以当n＝8时，Sn取得最大值．

15．解：(1)Sn＝na1＋d＝12n＋×(－2)＝－n2＋13n.图象如图．

(2)Sn＝－n2＋13n＝－＋，n∈N*，∴当n＝6或7时，Sn最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；

当n≥7时，{Sn}单调递减．

{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42.(3)由图象得{Sn}中有12项大于零．