专题九

解析几何

第二十六讲

双曲线

2019年

1.(2019全国III文10）已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为

A．

B．

C．

D．

2.（2019江苏7）在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是

.3.（2019浙江2）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A．

B．1

C．

D．2

4.（2019全国1文10）双曲线C：的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为

A．2sin40°

B．2cos40°

C．

D．

5.（2019全国II文12）设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为

A．

B．

C．2

D．

6.（2019北京文5）已知双曲线（a>0）的离心率是，则a=

（A）

（B）4

（C）2

（D）

7.（2019天津文6）已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为

（A）

（B）

（C）2

（D）

2010-2018年

一、选择题

1．(2018浙江)双曲线的焦点坐标是

A．，B．，C．，D．，2．(2018全国卷Ⅱ)双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

3．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为

A．

B．

C．

D．

4．(2018天津)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

5．（2017新课标Ⅰ）已知是双曲线：的右焦点，是上一点，且与轴垂直，点的坐标是．则的面积为

A．

B．

C．

D．

6．（2017新课标Ⅱ）若，则双曲线的离心率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

7．（2017天津）已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

8．（2016天津）已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

9．（2015湖南）若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．

10．（2015四川）过双曲线的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于两点，则＝

A．

B．2

C．6

D．4

11．（2015重庆）设双曲线的右焦点是，左、右顶点分别是，过做的垂线与双曲线交于两点，若，则双曲线的渐近线的斜率为

A．

B．

C．

D．

12．（2014新课标1）已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为

A．

B．3

C．

D．

13．（2014广东）若实数k满足，则曲线与曲线的A．焦距相等

B．实半轴长相等

C．虚半轴长相等

D．离心率相等

14．（2014天津）已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

15．（2014重庆）设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为

A．

B．

C．

D．3

16．（2013新课标1）已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为

A．

B．

C．

D．

17．（2013湖北）已知，则双曲线

与的A．实轴长相等

B．虚轴长相等

C．焦距相等

D．

离心率相等

18．（2013重庆）设双曲线的中心为点，若有且只有一对相较于点、所成的角为的直线和，使，其中、和、分别是这对直线与双曲线的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是

A．

B．

C．

D．

19．（2012福建）已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于

A．

B．

C．

D．

20．（2012湖南）已知双曲线C

：=1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为

A．=1

B．=1

C．=1

D．=1

21．（2011安徽）双曲线的实轴长是

A．

B．

C．

D．

22．（2011山东）已知双曲线的两条渐近线均和圆：

相切，且双曲线的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为

A．

B．

C．

D．

23．（2011湖南）设双曲线的渐近线方程为，则的值为

A．4

B．3

C．2

D．1

24．（2011天津）已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(2,1)，则双曲线的焦距为

A．

B．

C．

D．

25．（2010新课标）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F的直线与相交于A，B两点，且AB的中点为,则的方程式为

A．

B．

C．

D．

26．（2010新课标）中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为

A．

B．

C．

D．

27．（2010福建）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为

A．2

B．3

C．6

D．8

二、填空题

28．(2018北京)若双曲线的离心率为，则=_________．

29．(2018江苏)在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是

．

30．（2017新课标Ⅲ）双曲线的一条渐近线方程为，则=

．

31．（2017山东）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于，两点，若，则该双曲线的渐近线方程为

．

32．（2017江苏）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，其焦点是，则四边形的面积是

．

33．（2016年北京）已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则=_______；=_____________．

34．（2016年山东）已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．

35．（2015新课标1）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为

．

36．（2015山东）过双曲线的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为

．

37．（2015新课标1）已知是双曲线：的右焦点，是左支上一点，当

周长最小时，该三角形的面积为

．

38．（2014山东）已知双曲线的焦距为，右顶点为A，抛物线的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为

．

39．（2014浙江）设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，若点满足，则该双曲线的离心率是____．

40．（2014北京）设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________．

41．（2014湖南）设F1，F2是双曲线C：的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为_________．

42．（2013辽宁）已知为双曲线的左焦点，为上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段，则的周长为

．

43．（2012辽宁）已知双曲线，点为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为

．

44．（2012天津）已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则

．

45．（2012江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为

．

46．（2011山东）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

．

47．(2011北京)已知双曲线的一条渐近线的方程为，则=

．

三、解答题

48．（2014江西）如图，已知双曲线：()的右焦点，点分别在的两条渐近线上，轴，∥(为坐标原点）．

（1）求双曲线的方程；

（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明：当点在上移动时，恒为定值，并求此定值．

49．（2011广东）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切．

（1）求C的圆心轨迹L的方程；

（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标．

专题九

解析几何

第二十六讲

双曲线

答案部分

2019年

1.解析

如图所示，不妨设为双曲线的右焦点，为第一象限点．

由双曲线方程可得，，则，则以为圆心，以3为半径的圆的方程为．

联立，解得．

则．故选B．

2.解析

因为双曲线经过点，所以，解得，即．

又，所以该双曲线的渐近线方程是．

3.解析：根据渐进线方程为的双曲线，可得，所以，则该双曲线的离心率为，故选C．

4.由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为，所以，.故选D．

5.解析：解析：解法一：由题意，把代入，得，再由，得，即，所以，解得.故选A．

解法二：如图所示，由可知为以为直径圆的另一条直径，所以，代入得，所以，解得.故选A．

解法三：由可知为以为直径圆的另一条直径，则，.故选A．

6.解析

由题意知，，解得.故选D.7.解析

因为抛物线的焦点为，准线为，所以，准线的方程为.因为与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率为．

故选D．

2010-2018年

1．B【解析】由题可知双曲线的焦点在轴上，因为，所以，故焦点坐标为，．故选B．

2．A【解析】解法一

由题意知，所以，所以，所以，所以该双曲线的渐近线方程为，故选A

．

解法二

由，得，所以该双曲线的渐近线方程为．故选A．

3．D【解析】解法一

由离心率，得，又，得，所以双曲线的渐近线方程为，由点到直线的距离公式，得点到的渐近线的距离为．故选D．

解法二

离心率的双曲线是等轴双曲线，其渐近线的方程是，由点到直线的距离公式，得点到的渐近线的距离为．故选D．

4．A【解析】通解

因为直线经过双曲线的右焦点，所以不妨取，取双曲线的一条渐近线为直线，由点到直线的距离公式可得，因为，所以，所以，得．

因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选A．

优解

由，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以．

因为双曲线的离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选A．

5．D【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又的坐标是，所以点到的距离为1，故的面积为，选D．

6．C【解析】由题意，∵，∴，选C．

7．D【解析】由题意，解得，选D．

8．A【解析】由题意得，由，解得，所以双曲线的方程为，选A．

9．D【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为，点在渐近线上，∴，又，∴，∴．

10．D【解析】双曲线的右焦点为，渐近线方程为，将代入得，所以．

11．C【解析】由题意，得，将代入双曲线方程，解得

．不妨设，则，根据题意，有，整理得，所以双曲线的渐近线的斜率为．

12．A【解析】双曲线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，选A．

13．A【解析】∵，∴，本题两条曲线都是双曲线，又，∴两双曲线的焦距相等，选A．

14．A【解析】

依题意得，所以，双曲线的方程为．

15．B【解析】由双曲线的定义得，又，所以，即，因此，即，则（）（）=0，解得

舍去），则双曲线的离心率．

16．C【解析】由题知，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为，故选C．

17．D【解析】双曲线的离心率是，双曲线的离心率是，故选D．

18．A【解析】设双曲线的焦点在轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率必须满足，所以，既有，又双曲线的离心率为，所以．

19．C【解析】∵双曲线的右焦点为（3，0），∴+5=9，∴=4，∴=2

∵=3，∴，故选C．

20．A【解析】设双曲线C

：-=1的半焦距为，则．

又C的渐近线为，点P(2,1)在C的渐近线上，即．

又，C的方程为-=1．

21．C【解析】可变形为，则，.故选C．

22．A【解析】圆，而，则，应选A．

23．C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知．

24．B【解析】双曲线的渐近线为，由双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得，即，又∵，∴，将（－2，－1）代入得，∴，即．

25．B【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为，设，即

则，则，故的方程式为.应选B．

26．D【解析】设双曲线的方程为，其渐近线为，∵点在渐近线上，所以，由．

27．C【解析】由题意，F（－1，0），设点P，则有,解得，因为，所以==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C．

28．4【解析】由题意得，得，又，所以，故答案为4．

29．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，所以，所以，得，所以双曲线的离心率．

30．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：，结合题意可得：．

31．【解析】设，由抛物线的定义有，而，所以，即，由得，所以，所以，即，所以渐近性方程为．

32．【解析】由题意，右准线的方程为，渐近线的方程为，设，则，，所以四边形的面积为．

33．【解析】依题意有，因为，解得．

34．【解析】依题意，不妨设作出图像如下图所示

则故离心率

35．【解析】因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为，又双曲线过点，所以，所以，故双曲线的方程为．

36．【解析】设直线方程为，由，得，由，解得（舍去）．

37．【解析】由题意，双曲线：的右焦点为，实半轴长，左焦点为，因为在的左支上，所以的周长

=，当且仅当三点共线且在中间时取等号，此时直线的方程为，与双曲线的方程联立得的坐标为，此时，的面积为．

38．【解析】抛物线的准线，与双曲线的方程联立得，根据已知得

①，由得

②，由①②得，即，所以所求双曲线的渐近线方程为．

39．【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程可解得交点为，而，由，可得的中点与点连线的斜率为3，可得，所以．

40．【解析】设与具有相同渐近线的双曲线C的方程为，将点代入C的方程中，得．∴双曲线的方程为，渐近线方程为．

41．【解析】由已知可得，，由双曲线的定义，可得，则．

42．44【解析】由题意得，，两式相加，利用双曲线的定义得，所以的周长为．

43．【解析】由双曲线的方程可知

44．1，2【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以．

45．2【解析】由题意得＞0,∴=,=

由=得，解得=2．

46．【解析】由题意可知双曲线的焦点，即，又因双曲线的离心率为，所以，故，所以双曲线的方程为．

47．2【解析】由得渐近线的方程为，即，由一条渐近线的方程为得．

48．【解析】（1）设，因为，所以

直线OB方程为，直线BF的方程为，解得

又直线OA的方程为，则

又因为ABOB，所以，解得，故双曲线C的方程为

（2）由（1）知，则直线的方程为，即

因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点

直线与直线的交点为

则

因为是C上一点，则，代入上式得，所求定值为

49．【解析】（1）设C的圆心的坐标为，由题设条件知

化简得L的方程为

（2）过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得

解得

因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故，若P不在直线MF上，在中有

故只在T1点取得最大值2．