第一篇：国内数学建模竞赛试题解题方法总结

国内数学建模竞赛试题解题方法总结国内数学建模竞赛试题解题方法总结

93A 非线性交调的频率设计（拟合、规划）

93B 足球队排名次（矩阵论、图论、层次分、整数规划）

94A 逢山开路（图论、插值、动态规划）

94B 锁具装箱问题（图论、组合数学）

95A 飞行管理问题（非线性规划、线性规划）

95B 天车与冶炼炉的作业调度（非线性规划、动态规划、层次分析法、PETRI方法、图论方法、排队论方法）

96A 最优捕鱼策略（微分方程、优化）

96B 节水洗衣机（非线性规划）

97A 零件的参数设计（田口方法、非线性规划）

97B 截断切割的最优排列（动态规划、图论模型、随机模拟）

98A 一类投资组合问题（多目标优化、模糊线性规划、非线性规划）

98B 灾情巡视的最佳路线（图论、组合优化、线性规划）

99A 自动化车床管理（随机优化、计算机模拟）

99B 钻井布局（0-1规划、非线性规划、图论方法）

00A DNA序列分类（欧氏距离、马氏距离分类法、Fischer判别模型、神经网络方法）00B 钢管订购和运输（离散优化、运输问题）

01A 血管三维重建（曲面重建、曲线拟合）

01B 公交车调度问题（多目标规划）

02A 车灯线光源的优化（非线性规划）

02B 彩票问题（单目标决策、多目标决策）

第二篇：数学建模竞赛试题

A题：中国人口老龄化问题

目前，中国已进入人口老龄化社会，而且老龄化趋势越来越明显。众所周知，人口老龄化是个重大问题，它涉及到经济、政治、文化和社会的各个领域，关系到国计民生和国家的长治久安。为此，国内外许多人口专家都提出了一些应对人口老龄化的方法，如调整生育政策、延长退休年龄以及完善社会化养老体系等。（1）收集有关数据，给出我国人口老龄化现状的统计结果；

（2）试建立模型，预测在目前政策体系下，我国未来30年人口老龄化的变化趋势；

（3）结合我国实际，给出应对我国人口老龄化的具体方案，并预测该方案的效果。

B题：动态生产问题

某化肥厂生产一种复合肥料，根据销售部门的预测，下一市场的月需求量如下表（单位：千吨）:

月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 在生产过程中，由于停机后再启动的费用很高，故我们假定生产是连续的。生产出来的化肥除满足当月供货外，剩下的可以存储起来供以后用。现厂房有一个容量为5千吨的仓库可供使用。因为仓库是厂方的，可以不考虑存储费用。生产过程中可以每月或者若干月调整一次生产量以满足市场需求。由于生产工艺原因，如果从某月开始增加产量，每吨化肥要增加成本10元，如果减少产量，则每吨要增加成本5元。考虑到再下一的市场需求，要求年底有2千吨的库存。根据以上条件，编制一个下一的生产计划，要求因产量变化引起的成本增加总额最少，同时又保证有足够的库存来满足各月份的销售要求。又假如存储需要费用，每吨每月的存储费为6元，对上面的最优生产计划有影响吗？

第三篇：大学生数学建模竞赛试题A

202_桂电大学生数学建模竞赛试题

A题 计划生育新政对我国人口数量、结构

及其经济的影响研究

李克强总理代表国务院在202_年政府工作报告中指出：“坚持计划生育基本国策不动摇，落实一方是独生子女的夫妇可生育两个孩子政策。”

人口的数量和结构是影响经济社会发展的重要因素。从20世纪70年代后期以来，我国鼓励晚婚晚育，提倡一对夫妻生育一个孩子。该政策实施30多年来，有效地控制了我国人口的过快增长，对经济发展和人民生活的改善做出了积极的贡献。但另一方面，其负面影响也开始显现。如小学招生人数（1995年以来）、高校报名人数（202_年以来）逐年下降，劳动人口绝对数量开始步入下降通道，人口抚养比的“拐点”时刻即将到来。这些问题都会对我国的经济和社会健康、可持续发展等产生一系列影响。

为此，根据要求回答下列问题：

1.请你们就我国（或广西区）上世纪50年代至今人口和经济的变化做出简要分析。

2.建立关于生育率、死亡率和性别比等多个因素的人口数学模型，分析计划生育新政策（单独二孩政策）对我国（或广西区）未来人口数量，结构及经济的影响（注：可到网上收集一些相关的文献和数据，建立数学模型）；并对模型的结论发表自己的独立见解。

参考文献及数据来源：

1.202_年政府工作报告。

2.姜启源，谢金星.数学模型.北京：高等教育出版社.202_.162-166.3.第六次全国人口普查数据（202_年）4.国家数据

第四篇：全国大学生数学建模竞赛常用建模方法总结概要

邯郸学院本科毕业论文 题

目 学

生 指导教师年

级 专

业 二级学院（系、部）

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨柴云飞 闫 峰

教授 202_级本科 数学与应用数学 数学系

202_年6月

邯郸学院数学系

郑重声明

本人的毕业论文是在指导教师闫峰的指导下独立撰写完成的．如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督．特此郑重声明．

论文经“中国知网”论文检测系统检测，总相似比为5.80%．

毕业论文作者（签名）：

****年**月**日

全国大学生数学建模竞赛常用建模方法探讨

摘 要

全国大学生数学建模竞赛作为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，越来越受到人们的重视，所以建模竞赛的方法也就变得尤为重要．随着竞赛的不断发展，赛题的开放性逐步增大，一道赛题可用多种解法，各种求解的算法有时会相互融合，同时也在向大规模数据处理方向发展，这就对选手的能力提出了更高的要求．由于建模方法种类众多，无法一一介绍，所以本文主要介绍了四种比较常用的数学建模竞赛方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论方法，并结合历年赛题加以说明．

关键词：数学建模竞赛 统计学方法 数学规划 图论

I

Commonly Used Modeling Method of

China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling Chai yunfei

Directed by Professor Yan feng

ABSTRACT

more people as a basic subject of the largest national college competition.The method of modeling competition has become more and more important.Open questions gradually increased with the development of competition.Most of the games can be solved by lots of solutions.Sometimes these methods can be used together.And there is also a lot of data which puts forward higher requirement on the ability of players.The modeling methods is too numerous to mention, so this article mainly four kinds Commonly used modeling method are introduced that differential and difference equations modeling method, Mathematical programming modeling method, Statistics modeling method, graph theory and interprets with calendar year’s test questions.KEY WORDS：Mathematical contest in modeling Statistics method Mathematical programming Graph theory

II

目 录

摘 要..............................................................................................................................................I 英文摘要........................................................................................................................................II

前 言.............................................................................................................................................1 1 微分方程与差分方程建模.........................................................................................................2

1.1 微分方程建模..................................................................................................................2

1.1.1 微分方程建模的原理和方法...............................................................................2 1.1.2 微分方程建模应用实例.......................................................................................3 1.2 差分方程建模..................................................................................................................4

1.2.1 差分方程建模的原理和方法...............................................................................4 1.2.2 差分方程建模应用实例.......................................................................................5 数学规划建模.............................................................................................................................5

2.1 线性规划建模的一般理论..............................................................................................6 2.2 线性规划建模应用实例..................................................................................................7 3 统计学建模方法.........................................................................................................................8

3.1 聚类分析..........................................................................................................................8

3.1.1 聚类分析的原理和方法.......................................................................................8 3.1.2 聚类分析应用实例...............................................................................................9 3.2 回归分析..........................................................................................................................9

3.2.1 回归分析的原理与方法.......................................................................................9 3.2.2 回归分析应用实例.............................................................................................10 图论建模方法...........................................................................................................................10

4.1 两种常见图论方法介绍................................................................................................11

4.1.1 模拟退火法的基本原理.....................................................................................11 4.1.2 最短路问题.........................................................................................................11 4.2 图论建模应用实例........................................................................................................12 5 小结...........................................................................................................................................13 参考文献.......................................................................................................................................14 致 谢...........................................................................................................................................15

前 言

全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛．参赛者需要根据题目要求，在三天时间内完成一篇包括模型假设、模型建立和求解、计算方法的设计和实现、模型结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文．通过参加竞赛的训练和比赛，可以提高学生用数学方法解决实际问题的意识和能力，而且在培养团队精神和撰写科技论文等方面都会得到十分有益的锻炼．

竞赛题目的涉及面比较宽，有工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等．竞赛选手不一定预先掌握深入的专业知识，而只需要学过高等数学的相关课程即可，并且题目具有较大的灵活性，便于参赛者发挥其创造能力．近年来，竞赛题目包含的数据较多，手工计算一般不能实现，所以就对参赛者的计算机能力提出了更高的要求，如202_年B题，某些问题的解决需要使用计算机软件；202_年A题，问题的数据读取需要计算机技术，并且对于给出的图像，需要用图像处理的方法获得；再如202_年A题则需要利用数据库数据，数据库方法，统计软件包等等．

竞赛题目的总体特点可大致归纳如下：（1）实用性不断加强，问题和数据来自于实际，解决方法需要切合实际，模型和结果可以应用于实际；（2）综合性不断加强，解法多样，方法融合，学科交叉；（3）数据结构越来越复杂，包括数据的真实性，数据的海量性，数据的不完备性，数据的冗余性等；（4）开放性也越来越突出，题意的开放性，思路的开放性，方法多样，结果不唯一等．总体来说，赛题向大规模数据处理方向发展，求解算法和各类现代算法相互融合．

纵观历年的赛题，主要用到的建模方法有：初等数学模型、微分与差分方程建模、组合概率、数据处理、统计学建模、计算方法建模、数学规划、图论方法、层次分析、插值与拟合、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、计算机模拟法、灰色系统理论、时间序列等．

本文不一一列举竞赛题目中涉及的所有方法，只是重点讨论其中一些比较常用的方法，包括微分与差分方程建模方法、数学规划建模方法、统计学建模方法、图论建模方法，并结合案例说明建模方法的原理及应用． 微分方程与差分方程建模

在很多竞赛题目中，常常会涉及很多变量之间的关系，找出它们之间的函数关系式具有重要意义．可在许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函数关系，但可以得到含有所求函数的导数（或微分）或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程或差分方程.建立微分方程或差分方程的数学模型是一种重要的建模方法.如1996年A题“最优捕鱼策略”，1997年A题“零件参数设计”，202_年A题“SARS的传播”，202_年A题“中国人口增长预测”，202_年A题“最优捕鱼策略”等赛题中，都用到了这种方法．

1.1 微分方程建模

1.1.1 微分方程建模的原理和方法

一般来说，任何时变问题中随时间变化而发生变化的量与其它一些量之间的关系经常以微分方程的形式来表现．

例1.1 有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入该容器浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅拌均匀，并以v2的流量流出混合后的溶液，试建立反映容器内浓度变化的数学模型．

解

注意到溶液浓度=变化而发生变化．

不妨设t时刻容器中溶质质量为st，初始值为s0,t时刻容器中溶液体积为vt，初始值为v0，则这段时间t,tt内有

溶液质量，因此，容器中溶液浓度会随溶质质量和溶液体积

溶液体积sc1v1tc2v2t，（1）Vv1tv2t其中c1表示单位时间内注入溶液的浓度，c2表示单位时间内流出溶液的浓度，当t很小时，在t,tt内有

c2s(t)s(t).（2）V(t)V0(v1v2)t对式（1）两端同除以t，令t0，则有

dsdtc1v1c2v2dV.（3）v1v2dts(0)s0,V(0)V0即所求问题的微分方程模型．虽然它是针对液体溶液变化建立的，但对气体和固体浓度变化同样适用．

实际应用中，许多时变问题都可取微小的时间段t去考察某些量之间的变化规律，从而建立问题的数学模型，这是数学建模中微分方程建模常用手段之一．

常用微分方程建模的方法主要有：

（1）按实验定律或规律建立微分方程模型．

此种建模方法充分依赖于各个学科领域中有关实验定律或规律以及某些重要的已知定理，这种方法要求建模者有宽广的知识视野,这样才能对具体问题采用某些熟知的实验定律．

（2）分析微元变化规律建立微分方程模型．

求解某些实际问题时，寻求一些微元之间的关系可以建立问题的数学模型．如例1.1中考察时间微元t，从而建立起反应溶液浓度随时间变化的模型．此建模方法的出发点是考察某一变量的微小变化，即微元分析，找出其他一些变量与该微元间的关系式，从微分定义出发建立问题的数学模型．

（3）近似模拟法．

在许多实际问题中，有些现象的规律性并非一目了然，或有所了解亦是复杂的，这类问题常用近似模拟方法来建立问题的数学模型．一般通过一定的模型假设近似模拟实际现象，将问题做某些规范化处理后建立微分方程模型，然后分析、求解，并与实际问题作比较，观察模型能否近似刻画实际现象．近似模拟法的建模思路就是建立能够近似刻画或反映实际现象的数学模型，因此在建模过程中经常做一些较合理的模型假设使问题简化，然后通过简化建立近似反映实际问题的数学模型．

1.1.2 微分方程建模应用实例

例1.2（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）SARS传播的预测． 202_年爆发的“SARS”疾病得到了许多重要的经验和教训，使人们认识到研究传染

病的传播规律的重要性．题目给出了感病情况的三个附件，要求对SARS的传播建立数学模型：（1）对SARS的传播建立一个自己的模型，并说明模型的优缺点；（2）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[1]中的求解思路分析.传染病的传播模式可近似分为自由传播阶段和控后阶段，然后将人群分为易感者S，感病者I，移出者R三类．由三者之间的关系可得到下列微分方程：

dSdtkISdIkIShI，dtdRhIdtSIRN利用附件中给出的数据，可以将上述方程变形为

dIkNIhII，dt其中kNh，其解为

I(t)I0et.其中I0为初始值．

但此模型只适用于病例数与总人口数具有可比性的情况，当病例数远小于总人口数时，感病人数将随时间以指数增长.这是按实验定律或规律建立的微分方程模型.为进一步改进模型，用计算机跟踪病毒的个体传播情况，又建立计算机模拟模型．然后用计算机模拟北京5月10日之前SARS的传播情况，并对5月10日以后的传播情况进行预测．但是得到的有效接触率与实际统计数据有所偏差，所以统计数据，为参数的确定寻求医学上的支持，并以随机模拟取代完全确定性的模拟，对原模型进行改进，建立随机模拟模型．通过计算机编程，产生正态分布的随机数，并对传染情况进行500次模拟，即可进行预测，并可得出对SARS疫情控制提出的相应建议．

1.2 差分方程建模

1.2.1 差分方程建模的原理和方法

差分方程在数学建模竞赛中应用的频率极高，所以要对这种方法引起足够的重视．它针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量．具体方法是：根据实际的规律性质、平衡关系等，建立离散变量所满足的关系式，从而建立差分方程模型．

差分方程可以分为不同的类型，如一阶和高阶差分方程，常系数和变系数差分方程，线性和非线性差分方程等等．

建立差分方程模型一般要注意以下问题：

（1）注意题中的离散变化量，对过程进行分析，尤其要注意形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量；

（2）通过对具体变化过程的分析，列出满足题意的差分方程，其中入手点是找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程．

1.2.2 差分方程建模应用实例

例1.3（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）中国人口增长预测.题目要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考附录中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，特别要指出模型中的优点与不足之处.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[2]中的求解思路分析.通过分析题中相关的数据，考虑到我国近年来人口发展的总趋势，因为涉及到人口的增长和变换，所以可以先用微分方程来建立模型，并对我国人口增长的中短期和长期趋势做出预测．

首先，根据灰色系统理论，使用灰色关联分析模型法对人口系统结构进行关联分析，找出影响人口增长的主要因素；其次使用年龄推算法进行短期预测.在建立和求解长期预测模型时，根据人口阻滞增长模型（Logistic模型），可以考虑对中国人口老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素建立新的人口增长的差分方程模型.但是它仅给出了人口总数的变化规律，反映不出各类人口的详细信息，所以我们需要建立离散化的模型，并进一步可以得到全面系统地反应一个时期内人口数量状况的差分方程，可以用微分和差分方程理论来表现和模拟人口数量的变化规律．从而对人口分布的状况、变化趋势、总体特征等有更加详细和科学的了解．

在模型的求解过程中，用到了MATLAB软件，并做参数估计，利用所得结果和题目给出的近五年来的人口数据，对我国人口发展趋势进行了预测，得到了在老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及乡村人口城镇化等因素影响下，未来我国人口发展预测情况.数学规划建模

数学规划是指在一系列条件限制下，寻求最优方案，使得目标达到最优的数学模型，它是运筹学的一个重要分支．数学规划的内容十分丰富，包括许多研究分支，如：线性规划、非线性规划、整数规划、二次规划、0-1规划、多目标规划、动态规划、参数规划、组合优化、随机规划、模糊规划、多层规划问题等．

在1993年A题“非线性交调的频率设计”，1993年B题“足球队排名”，1995年A题“飞行管理问题”，1996年B题“节水洗衣机”，1997年A题“零件的参数设计”，1998年A题“一类投资组合问题”，1999年B题“钻井布局”，202_年B题“公交车调度问题”，202_年A题“车灯线光源的优化”，202_年A题“出版社书号问题”，202_年B题“城市公交线路选择问题”等赛题中，都用到了规划的方法．在此以线性规划为例，对规划的方法进行探讨．

2.1 线性规划建模的一般理论

线性规划建模方法主要用于解决生产实际中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的数学理论和方法．

一般的优化问题是指用“最好”的方式，使用或分配有限的资源即劳动力、原材料、机器、资金等，使得费用最小或利润最大．

优化模型的一般形式为:

min或max zfx(4)s.t.gx0.i1,2,,m(5)

xx1,x2,，xn.T由（4）、（5）组成的模型属于约束优化．若只有（4）式就是无约束优化．fx称为目标函数，gx0称为约束条件．

在优化模型中，如果目标函数fx和约束条件中的gx都是线性函数，则该模型称为线性规划．

建立实际问题线性规划模型的步骤如下：

（1）设置要求解的决策变量．决策变量选取得当，不仅能顺利地建立模型而且能方便地求解，否则很可能事倍功半．

（2）找出所有的限制，即约束条件，并用决策变量的线性方程或线性不等式来表示．当限制条件多，背景比较复杂时，可以采用图示或表格形式列出所有的已知数据和

信息，从而避免“遗漏”或“重复”所造成的错误．

（3）明确目标要求，并用决策变量的线性函数来表示，标出对函数是取极大还是取极小的要求．

需要特别说明的是，要使用线性规划方法来处理一个实际问题，必须具备下面的条件：

（1）优化条件：问题的目标有极大化或极小化的要求,而且能用决策变量的线性函数来表示．

（2）选择条件：有多种可供选择的可行方案，以便从中选取最优方案．

（3）限制条件：达到目标的条件是有一定限制的（比如，资源的供应量有限度等），而且这些限制可以用决策变量的线性等式或线性不等式表示出来．

此外，描述问题的决策变量相互之间应有一定的联系，才有可能建立数学关系，这一点自然是不言而喻的．

线性规划模型的求解可用图解法或单纯形法．随着计算机的普及和大量数学软件的出现，可以利用现成的软件MATLAB或LINGO等求解，在此不再叙述．

2.2 线性规划建模应用实例

例2.1（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目给出了美国某艾滋病医疗试验机构公布的两组数据，数据涉及到了病人CD4和HIV的浓度含量的测试结果.根据所给的资料需要参赛者完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间；（3）如果病人需要考虑4种疗法的费用，对评价和预测有什么影响.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.首先对题目所给数据进行分析,考虑到治疗的效果与患者的年龄有关，将患者按年龄分组，如14~25岁,25~35岁,35~45岁及45岁以上4组．每组中按照4种疗法和4个治疗阶段（如0~10周，10~20周，20~30周，30~40周），构造16个决策单元．取4种药品量为输入，治疗各个阶段末患者的CD4值与开始治疗时CD4值的比值为输出.然后建立相应的数学模型,利用相对有效性评价方法，建立分式规划模型并经过变换，转化为线性规划模型求解，对各年龄组患者在各阶段的治疗效率进行评价．计算结果：对第1年龄组疗法2和4在整个治疗中效率较高，在第4阶段仍然有效；对第2年龄组疗法1在第1，2阶段有效；对第3年龄组疗法1，2，3在第1阶段有效；对第4年龄组疗法1，2在第1，2阶段有效．表明只有14~25岁的年4种轻患者，才能在治疗的最

后阶段仍然有有效的疗法．

随后，由线性规划模型的对偶形式建立预测模型，对各年龄组各种疗法下一阶段的疗效进行预测．若由某决策单元得到的实际输出大于预测输出，则该决策单元相对有效；反之，说明该种疗法对该组患者在治疗的未来阶段不再有效，应该转换疗法． 统计学建模方法

在数学建模竞赛中，常常会涉及到大量的数据，因此，我们就需要用统计学建模方法对这些数据进行处理．此类方法主要包括统计分析、计算机模拟、回归分析、聚类分析、数据分类、判别分析、主成分分析、因子分析、残差分析、典型相关分析、时间序列等．

如202_年A题“奥运会临时超市网点设计问题”，202_年B题“电力市场的输电阻塞管理问题”，202_年A题“人口增长预测问题”，202_年B题“大学学费问题”，202_年A题“葡萄酒的评价”等都用到了这种建模方法．在此选取其中两类方法进行阐述．

3.1 聚类分析

3.1.1 聚类分析的原理和方法

该方法说的通俗一点就是，将n个样本，通过适当的方法选取m聚类中心，通过研究各样本和各个聚类中心的距离，选择适当的聚类标准，通常利用最小距离法来聚类，从而可以得到聚类．结果利用sas 软件或者spss 软件来做聚类分析，就可以得到相应的动态聚类图．这种模型的的特点是直观，容易理解．

聚类分析的类型可分为：Q型聚类（即对样本聚类）和R型聚类（即对变量聚类）． 通常聚类中有相似系数法和距离法两种衡量标准.聚类方法种类多样，有可变类平均法、中间距离法、最长距离法、利差平均和法等.在应用时要注意,在样本量比较大时，要得到聚类结果就显得不是很容易,这时需要根据背景知识和相关的其他方法辅助处理．主要的方法步骤大致如下：

（1）首先把每个样本自成一类；

（2）选取适当的衡量标准，得到衡量矩阵；（3）重新计算类间距离，得到衡量矩阵；（4）重复第2步，直到只剩下一个类.3.1.2聚类分析应用实例

例3.1（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题）葡萄酒的评价.题目的附件中给出了某一年份一些葡萄酒的评价结果，和该年份这些葡萄酒的和酿酒葡萄的成分数据.要求参赛者建立数学模型解决以下问题：（1）分析附件1中两组评酒员的评价结果有无显著性差异，哪一组结果更可信；（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级；（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系；（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量.问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[4]中的求解思路分析.由于给定了酿酒葡萄的理化指标，首先可将附录2和附录3中的一些数据进行处理.并可以据此对各种酿酒葡萄进行聚类分析，但是，由于题目中所给的数据庞大，所以可通过主成分分析法，简化并提取大部分有效信息，再用聚类分析对酿酒葡萄进行分级．最后根据酿酒葡萄对应葡萄酒质量的平均值大小进行比较，排序分级．接下来针对问题中分析酿酒葡萄与葡萄酒理化指标之间的联系，及上面整理好的数据，采用回归分析原理，在SPSS中得到酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系．再通过相关分析，得出相应的相关系数，从而得到相应的判断结论．在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系时，还用到了多元线性回归分析．

该模型用于生活实践中，也可以解决很多实际问题．

3.2 回归分析

回归分析是利用数据统计原理，对大量数据进行数学处理，并确定因变量与某些自变量的相关关系，建立一个相关性较好的回归方程，并加以外推，用于预测今后的因变量的变化的分析方法．

3.2.1回归分析的原理与方法

回归分析是在一组数据的基础上研究这样几个问题：建立因变量与自变量之间的回归模型；对回归模型的可信度进行检验；判断每个自变量对因变量的影响是否显著；判断回归模型是否适合这组数据；利用回归模型对进行预报或控制．回归分析主要包括一元线性回归、多元线性回归、非线性回归．

回归分析的主要步骤为：

（1）根据自变量和因变量的关系，建立回归方程．

（2）解出回归系数．

（3）对其进行相关性检验，确定相关系数．

（4）当符合相关性要求后，便可与具体条件结合，确定预测值的置信区间.需要注意的是，要尽可能定性判断自变量的可能种类和个数，并定性判断回归方程的可能类型．另外，最好应用高质量的统计数据，再运用数学工具和相关软件定量定性判断．

3.2.2 回归分析应用实例

例3.2（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）艾滋病疗法的评价及疗效的预测.题目同例2.1．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[3]中的求解思路进行分析.问题2的解决就用到回归模型.首先分析数据知，应建立时间的一次与二次函数模型，并经过统计分析比较，确定哪种较好．所以可建立一个统一的回归模型，也可对每种疗法分别建立一个模型．

以总体回归模型为例，分别用一次与二次时间函数模型进行比较，可知疗法1~3用一次模型较优，且一次项系数为负，即CD4在减少，从数值看疗法3优于疗法2和1；疗法4用二次模型较优，即CD4先增后减，在t20左右达到最大．可以通过4条回归曲线进行比较，显示疗法4在30周之前明显优于其它．最后再用检验法作比较，结果是疗法1与2无显著性差异，而疗法1与3，2与3，3与4均有显著性差异． 图论建模方法

图论建模方法在建模竞赛中也经常涉及，应用十分广泛，并且解法巧妙，方法灵活多变．如1990年B题“扫雪问题”，1991年B题“寻找最优Steiner树”，1992年B题“紧急修复系统的研制”，1993年B题“足球队排名”，1994年A题“逢山开路问题”，1994年B题“锁具装箱问题”，1995年B题“天车与冶炼炉的作业调度”，1997年B题“截断切割的最优排列”，1998年B题“灾情巡视最佳路线”，1999年B题“钻井布局”，202_年B题“城市公交线路选择问题”等都应用到了图论的方法．

图论近几年来发展十分迅速，在物理、化学、生物学、地理学、计算机科学、信息论、控制论、社会科学、军事科学以及计算机管理等方面都有着广泛的应用．因此图论越来越受到了全世界数学界和工程技术界乃至经营决策管理者的重视．同时也成为了数学建模中一种十分重要的方法．图论问题算法很多，包括最短路、最大流、最小生成树、二分匹配、floyd、frim等．

4.1 两种常见图论方法介绍

图论中的图是由平面上的一些点及这些点之间的连线（称为边）构成的．图中的点表示要研究的离散对象，边表示对象之间的关系．用这些点和边建立的离散对象来建立模型，通过这种办法许多难题都可以被巧妙地解决．所以图论方法成为研究离散问题的一种重要手段．由于图论方法所包含的概念和定义较多，无法全部列举．在这里只就其中的两种方法作介绍．

4.1.1模拟退火法的基本原理

模拟退火法是模拟热力学中系统的降温过程，当孤立粒子系统的温度以足够慢的速度下降时，系统近似处于热力学平衡状态，最后系统将达到本身的最低能量状态，即基态，这相当于能量函数的全局极小点．其步骤如下(也称为Metropolis过程)：

（1）给定初始温度T0，及初始点，计算该点的函数值fx；

（2）随机产生扰动x，得到新点xxx计算新点函数值fx,及函数值差

ffxfx；

（3）若f0，则接受新点，作为下一次模拟的初始点；（4）若f0，则计算新点接受概率：

fpfexp，KT产生0,1区间上均匀分布的伪随机数r,r0,1，如果pfr，则接受新点作为下一次模拟的初始点；否则放弃新点，仍取原来的点作为下一次模拟的初始点．

4.1.2最短路问题

最短路问题是一个有着广泛应用价值的问题，例如各种管道的铺设，线路的安排，输送网络费用等问题，都可以用到最短路求法．

在解决实际问题时，我们问题中的“边权”可以有着各种不同的解释．例如在运输网络中，从v运送一批货物到u，若“边权”视为通常意义下的路程，则最短路问题就是

使运输总路程最短的路线，若“边权”表示运输时间，则最短路就是运输总时间最短的路线，“边权”也可以代表费用，这时相应的就是总费用最省的的路线．

4.2 图论建模应用实例

例4.2（202_年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题）城市公交线路选择问题.在202_年B题中，涉及到了北京公交车的换乘问题，为了使乘客利益最大化，需要设计一个“公交线路选择自主查询系统”，其核心是线路选择的模型，该模型必须考虑实际情况，满足查询者的各种不同需求．要求解决如下问题：(1)仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法．(2)同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题．(3)假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型．

问题求解过程分析 由于题目具有开放性，故选择文献[5]中的求解思路进行分析.由于在现实情况下，乘客一般不能乘坐一辆公交车就到达终点，可能会换乘，但要是频繁倒车，会给乘客造成不便，也会增加车费．所以可针对城市公交线路选择问题建立模型．为了使问题简单化，我们分别以乘车时间、乘车费用以及换乘次数为目标函数，得到各自的较优线路，再通过对比，有效地处理这些线路，最终得出查询系统给出的结果．

首先固定换乘次数n，通过集合论的相关知识把确定换乘点的具体位置, 转化成确定一些集合间的交集，从而建立集合寻线算法，再根据集合相关公式，得到所有可行线路；进一步考虑时间和费用等因素，对可行线路进行处理比较，得出最佳线路．

图论模型中，通过图论的知识将整个北京市交通线路构建出一个有向图，每个站点与有向图的顶点一一对应，同一线路上的相邻站点对应为有向边，通过不同目标（时间、费用）给有向图进行不同的赋权，分别将不同目标转化为赋权有向图寻找最短有向路，根据最短路径算法，得到最佳线路．最后综合评价了两个模型的优缺点．

以每个站点为顶点，若站点A到站点B有公交线路并且A与B为相邻站点，则连一条A到B有向边，根据所给的站点与线路我们建立一个得到一个有重边的有向图DV,E一条公交线路就是DV,E的一条有向路．则任意两公汽站点之间线路最少时间选择问题就转化为求DV,E,W的对应两顶点的最短有向路问题．

由图论模型所得的查询系统，是以图论知识中的最短路有向图为基础，对不同线路经过同一站点时，假设多个假想点，并将各不同站点之间所需时间作为权，对各线路站点赋权，分别确定以时间、费用、换乘为目标转化为寻找有向的完全图，并根据实际情况，建立出动态赋权有向图，得出最佳线路.小结

建模竞赛的方法种类众多，本文主要对其中四中常用的方法进行了阐述、总结和探讨．在每一章的开头，都列出了近几年来应用到此方法的赛题．在四种方法中，微分与差分方程是比较基础的一种方法，在解决变量问题时经常会用到．第二种规划方法则是一种应用广泛的方法，很多赛题都会涉及到．第三种是统计学方法，从近些年的赛题变化趋势来看，赛题题目中所给的数据越来越多，越来越复杂化，这就需要用统计学方法对这些数据进行分类处理，并最终得到相关结论．最后一种是图论方法，这种方法灵活多变，应用巧妙，可以使很多复杂问题简单化．当然还有很多常用方法，本文不再一一列举，希望本文能够对读者有所帮助．

参考文献

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致 谢

四年的大学生活转眼就要说再见了，当大学的最后一项任务即将完成的时候，终于长长地吁出一口气时，这时也突然意识到，原来四年马上就要过去了，到了该告别的时候了．仔细想想，竟有些恍惚，四年的时光就这样过去了，猛然有了那么多的不舍．

可是终归真的要毕业了．大学四年，读的是一所普普通通的二流大学，而且处在一个大学生泛滥的时代，面对着父母的期待，有时候真的会很茫然，甚至不知所措．但是我依然踏踏实实的过完了这四年．从开始的新奇，到后来的迷茫，再到后来的坚定和努力．我无愧于这四年的大学生活，在即将给它画上句号的时候，我还是会带着微笑去回忆，这四年我成长了许多，从那么的稚嫩、懵懂变得成熟稳重．我会始终带着感恩去铭记这里，去铭记我的恩师们，你们辛苦了．

特别感谢闫峰老师，在她细心的指导下，我才得以完成这篇论文，从开题、资料查找、修改到最后定稿，承载了她太多的心血，她的涓涓教诲，我会永远铭记心田．我很自豪有这样一位老师，她值得我感激和尊敬．

同时还要感谢数学系的全体授课老师，以及实习学校的许爱英老师，侯东校老师，你们使我终身受益．感谢所有关心、鼓励、支持我的家人、亲戚和朋友．

第五篇：202_全美数学建模竞赛总结

美赛于今天上午9点结束了，晚上突然间没啥事了，不如好好总结一下。

运气非常好的买到了2.17 正月初四回学校的火车票，不过一晚上的硬座真是不好受。

2.18早上从火车站出来直接乘公交回学校了，交通非常畅通，半个小时就到了，平时都要将近一个小时的。

到了寝室，补个觉，晚上小组3人开会讨论比赛4天的安排，事实上比赛时基本上也就是按着这个思路走。

2.19 上午9点，比赛正式开始。我们从官网下载到比赛题目。

首要的问题是读题、找相关资料、然后确定题目。

下午吃饭的时候还没有确定题目，回教室的路上是时候做出选择了，当时另外两个队友倾向于做C题，而我个人觉的A题比较适合，但是考虑到个人要服从团队，少数服从多数，于是我也决定做ICM的C题。最有意思的是，就在去年暑假全国赛的时候也是遇到这样的情况，当时我好像也是说的同样的话来确定选题。现在觉得当初做了一个正确的选择，这是一个利用数学建模解决跨学科问题的题目，主要研究海洋垃圾对海洋生态系统的影响，开发性比较大，可以天马行空、肆无忌惮的发挥想象力去写，而且只要求提供一份10页的英文报告，这对于英语不是很好的我们来说确实减轻了很多翻译的工作，要是选择A、B题，去写一篇20多页的英语论文那不知道会有多累。

2.20 比赛第2天，主要看郑和建立模型了。他这次显得老到多了，迅速建立了两个模型，从两个侧面对问题进行分析，并对题目提出的问题给出了一个solution。这为我们赢得很多时间，使得整个比赛没有那么紧张，不像去年全国赛，最后一天晚上还在弄模型，搞得非常被动，导致最后一晚上疯狂的和时间赛跑赶论文。

2.21 比赛第3天，我用MATLAB求解模型，并画出各种图形，然后编了一个MATLAB小程序产生一个颜色渐变的图像。接着，使用Word2007生成目录，设置页眉页码，生成论文的模板，最后的论文只需往里面添加内容就可以了。中间用到了样式，分节，域等等，看来暑假在家学习MATLAB和Word排版是非常明智的。就在我把模板搞定的时候有个其他队的女生找到我问了好多关于Word排版的问题，我直接把模板给了她，并告诉她怎么用，这应该减轻了她们不少工作吧。然后，我和郑和分工写两个模型的中文描述，我分到了模型一，它描述了海洋生态系统的4个物种的随时间变化的数量关系，其中糅合了捕食者-食饵模型和竞争模型，巨烦，写的我好痛苦啊。搞定之后发现没啥事了，看郑和玩各种网页小游戏，几个不可能得0分的游戏我竟然都不可思议的得了0分，笑的不行，虽然比赛很累，但是和队友在一起挺开心。这3天我们每天早上8：30起床，晚上1，2点回寝室，不怕教学楼关门，因为从一层的窗户可以爬出去的，哈哈。

2.22 比赛第4天，主要是王涛将我们的两个模型还有郑和写的一些中文提纲翻译成英文的论文，他是大功臣啊。后来发现进度有点慢，于是我和郑和两个英语菜鸟也加入到了翻译之中，灵格斯都快用暴了，翻译及其痛苦，简直就是在磨练人的品质。用郑和的话说，比赛就像是一个鞭子，当你觉得痛苦的要放弃的时候，它给你一鞭子，然后你又老老实实的做下去。现在都有点佩服自己了，竟然能写出这么多英文。

当英语论文的初稿出来的时候发现竟然有14页，怎样才能缩成10页，这是一个比较严峻的问题。我们通过设置页眉的小技巧去掉目录一页；用Word2007插入的公式替换MathType的公式，因为后者导致行间距不一致；然后删除论文中的废话，可是怎么都还多2页，后来发现问题出在模型1，王涛按照我的中文描述翻译的英文有4页。我知道这是我的问题，我必须为此负责。当时我为了描述清楚模型，使用了中国人的思维方式，逻辑性比较强，这种描述方式占用篇幅较多，于是我主动请缨，实现用两页英文描述清楚模型1。为了完成这个目标，我连续花了几个小时工作在电脑前面，我采用了美国人直线式的思维，顺利完成目标，将论文压缩成了10页，长舒了一口气。

最后一个晚上，我们例外，通宵修改论文和最最重要的摘要。王涛自始至终都在认真修改，第一遍通读全文，修改语法错误；第二遍，从思想上修改描述方式。他真是非常认真，非常有耐心，尤其是摘要，改了一遍又一遍。我只是静下心认认真真、字斟句酌的修改了一遍摘要，就丧失了继续修改的耐心，在教室睡了两觉，冷醒了之后玩了一个打坦克的游戏，很遗憾还没有通关，看来我这游戏天赋真的有问题，所以我在大学里面都不怎么玩游戏，也只有在这种极端情况下释放一下压力。而郑和更是很早就缴械了，说难得能通宵玩个游戏，很多翻译和修改工作都推掉了，估计他也是累坏了，可能觉得以自己的英语水平对论文的提高没有什么帮助。论文最后由王涛敲定，在我的电脑上，更改系统时间为美国东部时间，将.docx文件转成pdf文件，用郑和的live邮箱发送邮件，待收到回复，就收拾东西回宿舍了。

时间到了2.23早上7点。我拿论文去打印。一路骑车找打印店，又冷又饿，结果总算在人大附中旁边的找到了，打印了3份，每份12页普通A4纸和两张彩打的A4纸，结果花了66元，原来打印普通A4纸1元1张，彩打的A4纸5元1张，当时只顾快点打印竟然忘了问价钱。这估计是我打印最奢侈的一次吧，我在想这个到时能不能找学院报销啊。然后和队友将两份论文交给指导老师，我自己留一份（和全国赛一样，当时也多打了一份自己收藏，郑和这次好像依旧带走了写满公式的草稿纸），签上大名之后由老师统一寄到美国去。期间看到有的队彩打的论文，问他们哪打的，他们说学校超市那边的打印店开门，我当时就崩溃了，唉，我真是头脑发热啊，不过看在66比较幸运的份上算了，况且我们的彩打的效果比他们好多了，毕竟人家店里的激光打印机7万多买的。

2.23 上午9点 比赛结束。

回宿舍洗了一个彻底的冷水澡，大概有半个多小时，那叫一个爽啊！回到温暖的被窝，一倒下就睡到了下午5：30，醒来时如获新生，所有的疲惫消失殆尽。醒来不到一分钟，就接到郑和的电话，真是太巧了，然后我跑去敲王涛宿舍的门，他竟然也是刚刚醒，大家的默契竟然就在不知不觉间培养起来了！3个一天没吃饭的人跑到学校外面的饭馆里面饱餐了一顿，惬意啊！

虽然之前大家对美赛没有特别的准备，甚至连一次模拟论文都没写过（想当初全国赛前写了两次模拟论文），但是这次大家配合的很不错。非常和谐的一个团队。大家不仅把自己的分工完成的很好，而且当任何一个遇到了问题时，大家一起帮忙解决。在这样的团队里，很开心。

美赛和全国赛真是不一样：美赛开放性大，注重英文写作能力和创新；而全国赛有一个标准在那限制你，要想获奖必须和标准对上。

能够同时经历这样两个重量级的比赛，真是不枉大学这两年了。不论结果如何，都是对人生的积累，况且，我还收获了一份最珍贵的友谊。

202_年2月24日2:15:40