第一篇：【压轴题 精讲特训】挑战202_数学中考压轴题：几何证明及通过几何计算进行说理(含202_试题,含详解)

几何证明及通过几何计算进行说理问题

例12013年上海市黄浦区中考模拟第24题

已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, －3)．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．

①求正方形的ABCD的面积； ②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．

动感体验 请打开几何画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

请打开超级画板文件名“13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，∠PAE与∠PDA总保持相等，△PAD与△PEA保持相似．

思路点拨

1．数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD＝AB．

2．通过计算∠PAE与∠DPO的正切值，得到∠PAE＝∠DPO＝∠PDA，从而证明△PAD∽△PEA．

满分解答

（1）将点P(0, 1)、Q(2, －3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得

c1,b0,解得 c1.42b13.

所以该二次函数的解析式为y＝－x2＋1．

（2）①如图1，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，当四边形ABCD恰为正方形时，AD＝AB．

此时yA＝2xA． 解方程－x2＋1＝2x，得x1所以点A

1．因此正方形ABCD的面积等于1)]212

②设OP与AB交于点F，那么PFOPOF11)31)2．

PF所以tanPAE1．

AF又因为tanPDAtanDPO

OD

1，OP

所以∠PAE＝∠PDA．

又因为∠P公用，所以△PAD∽△PEA．

图1图

2考点伸展

事实上，对于矩形ABCD，总有结论△PAD∽△PEA．证明如下：

如图2，设点A的坐标为(x, －x2＋1)，那么PF＝OP－OF＝1－(－x2＋1)＝x2．

PFx2

所以tanPAEx．

AFx

又因为tanPDAtanDPO

OD

x，OP

所以∠PAE＝∠PDA．因此△PAD∽△PEA．

例22013年江西省中考第24题

某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：（1）操作发现：

在等腰△ABC中，AB＝AC，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中DF⊥AB于点F，EG⊥AC于点G，M是BC的中点，连结MD和ME，则下列结论正确的是__________（填序号即可）．

①AF＝AG＝

AB；②MD＝ME；③整个图形是轴对称图形；④MD⊥ME．

2（2）数学思考：

在任意△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，M是BC的中点，连结MD和ME，则MD与ME有怎样的数量关系？请给出证明过程；

（3）类比探究：

在任意△ABC中，仍分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，M是BC的中点，连结MD和ME，试判断△MDE的形状．答：_________．

图

1动感体验

请打开几何画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

请打开超级画板文件名“13江西24”，拖动点A可以改变△ABC的形状，可以体验到，△DFM≌△MGE保持不变，∠DME＝∠DFA＝∠EGA保持不变．

思路点拨

1．本题图形中的线条错综复杂，怎样寻找数量关系和位置关系？最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍．

2．三个中点M、F、G的作用重大，既能产生中位线，又是直角三角形斜边上的中线． 3．两组中位线构成了平行四边形，由此相等的角都标注出来，还能组合出那些相等的角？

满分解答

（1）填写序号①②③④．

（2）如图4，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．

因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高，所以F、G分别是AB、AC的中点．

又已知M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．

所以MF

1AC，MGAB，MF//AC，MG//AB． 2

2所以∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．

所以∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．

因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，所以EG

AC，DFAB． 22

所以MF＝EG，DF＝NG．

所以△DFM≌△MGE．所以DM＝ME．

（3）△MDE是等腰直角三角形．

图4图5

考点伸展

第（2）题和第（3）题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的，不同的是证明∠DFM＝∠MGE的过程有一些不同．

如图4，如图5，∠BFM＝∠BAC＝∠MGC．

如图4，∠DFM＝90°＋∠BFM，∠MGE＝90°＋∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE． 如图5，∠DFM＝90°－∠BFM，∠MGE＝90°－∠MGC，所以∠DFM＝∠MGE．

第二篇：中考数学几何证明压轴题

AB1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求证：DC=BC;

(2)E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证

明你的结论；

(3)在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°时，求sin∠BFE的值.2、已知：如图，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD

是什么特殊四边形？并证明你的结论．

F3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测

量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长

线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜

想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

A(B(E)图13－1 图13－

2图13－

31.[解析]（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM

(2)等腰三角形.证明：因为DEDF,EDCFBC,DCBC.所以，△DEC≌△BFC 21.即DC=BC.2

所以，CECF,ECDBCF.所以，ECFBCFBCEECDBCEBCD90 即△ECF是等腰直角三角形.（3）设BEk,则CECF

2k，所以EF.因为BEC135，又CEF45，所以BEF90.所以BF3k 所以sinBFEk1.3k3

2.[解析]（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形 AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四边形 AGBD 是平行四边形．

∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．

第三篇：中考数学复习几何证明压轴题

中考数学专题

几何证明压轴题

1、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)

求证：DC=BC;

(2)

E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

(3)

在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值.[解析]

（1）过A作DC的垂线AM交DC于M,则AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以.即DC=BC.(2)等腰三角形.证明：因为.所以，△DEC≌△BFC

所以，.所以，即△ECF是等腰直角三角形.（3）设,则，所以.因为，又，所以.所以

所以.2、已知：如图，在□ABCD

中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若四边形

BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．

[解析]

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD

．

∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝AB，CF＝CD

．

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF

．

（2）当四边形BEDF是菱形时，四边形

AGBD是矩形．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC

．

∵AG∥BD，∴四边形

AGBD

是平行四边形．

∵四边形

BEDF

是菱形，∴DE＝BE

．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE

．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四边形AGBD是矩形

3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．

（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

图13－2

E

A

B

D

G

F

O

M

N

C

图13－3

A

B

D

G

E

F

O

M

N

C

图13－1

A（G)

B（E)

C

O

D（F)

[解析]（1）BM=FN．

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴

∠ABD

=∠F

=45°，OB

=

OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

（2）

BM=FN仍然成立．

（3）

证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴

△OBM≌△OFN

．

∴

BM=FN．

4、如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD＝5。

（1）若，求CD的长；

（2）若

∠ADO：∠EDO＝4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留）。

[解析]

（1）因为AB是⊙O的直径，OD＝5

所以∠ADB＝90°，AB＝10

在Rt△ABD中，又，所以，所以

因为∠ADB＝90°，AB⊥CD

所以

所以

所以

所以

（2）因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD

所以

所以∠BAD＝∠CDB，∠AOC＝∠AOD

因为AO＝DO，所以∠BAD＝∠ADO

所以∠CDB＝∠ADO

设∠ADO＝4x，则∠CDB＝4x

由∠ADO：∠EDO＝4：1，则∠EDO＝x

因为∠ADO＋∠EDO＋∠EDB＝90°

所以

所以x＝10°

所以∠AOD＝180°－（∠OAD＋∠ADO）＝100°

所以∠AOC＝∠AOD＝100°

5、如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

[解析]

(1)证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF

∴，∵HE＝EC，∴BF＝FD

(2)方法一：连接CB、OC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线---------6′

方法二：可证明△OCF≌△OBF(参照方法一标准得分)

(3)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝

∴⊙O半径为26、如图，已知O为原点，点A的坐标为（4，3），⊙A的半径为2．过A作直线平行于轴，点P在直线上运动．

（１）当点P在⊙O上时，请你直接写出它的坐标；

（２）设点P的横坐标为12，试判断直线OP与⊙A的位置关系，并说明理由.[解析]

解:

1点P的坐标是（2,3）或（6,3）

2作AC⊥OP,C为垂足.∵∠ACP=∠OBP=,∠1=∠1

∴△ACP∽△OBP

∴

在中，又AP=12-4=8,∴

∴AC=≈1.94

∵1.94<2

∴OP与⊙A相交.7、如图，延长⊙O的半径OA到B，使OA=AB，C

A

B

D

O

E

DE是圆的一条切线，E是切点，过点B作DE的垂线，垂足为点C.求证：∠ACB=∠OAC.[解析]

证明：连结OE、AE，并过点A作AF⊥DE于点F，（3分）

∵DE是圆的一条切线，E是切点，∴OE⊥DC，又∵BC⊥DE,∴OE∥AF∥BC.∴∠1=∠ACB，∠2=∠3.∵OA=OE，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A是OB的中点，∴点F是EC的中点.∴AE=AC.∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB=∠OAC.8、如图１，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为．

1求AO与BO的长；

2若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；

②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．

[解析]

1中,∠O=,∠α=

∴,∠OAB=，又ＡＢ＝4米，∴米.米.--------------

(3分)

2设在中,根据勾股定理:

∴

-------------

(5分)

∴

∵　　∴

∴

-------------

(7分)

AC=2x=

即梯子顶端A沿NO下滑了米.----

(8分)

3∵点P和点分别是的斜边AB与的斜边的中点

∴，-------------

(9分)

∴-------

(10分)

∴

∴

∵

∴

-----------------------

(11分)

∴-----

(12分)

∴米.--------

(13分)

9.（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A（0，6）、点B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

(1)

求直线AB的解析式；(2)

当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

(3)

当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b

由题意，得

解得

所以，直线AB的解析式为y＝－x＋6．

（2）由AO＝6，BO＝8

得AB＝10

所以AP＝t，AQ＝10－2t

1°

当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

2°

当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以　＝

解得　t＝(秒)

（3）过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8

－t所以，S△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)

＝－＋4t＝

解得t＝2（秒）或t＝3（秒）．

（注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分）

点拨：此题的关键是随着动点P的运动，△APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ＝∠AOB＝90○②∠APQ＝∠ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P作

PE⊥AB．

10．（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，对角线AC上有一个动点P（不包括点A和点C）．设AP＝x，四边形PBCD的面积为y．

（1）写出y与x的函数关系，并确定自变量x的范围．

（2）有人提出一个判断：“关于动点P，⊿PBC面积与⊿PAD面积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．

解：（1）过动点P作PE⊥BC于点E．

在Rt⊿ABC中，AC＝10，PC＝AC－AP＝10－x．

∵　PE⊥BC，AB⊥BC，∴⊿PEC∽⊿ABC．

故，即

∴⊿PBC面积＝

又⊿PCD面积＝⊿PBC面积＝

即　y，x的取值范围是0＜x＜10．

（2）这个判断是正确的．

理由：

由（1）可得，⊿PAD面积＝

⊿PBC面积与⊿PAD面积之和＝24．

点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC＝10－x，而面积y是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC、△PCD．这样问题就非常容易解决了.

第四篇：七年级数学压轴题(动点,几何)

1． 已知数轴上A、B两点对应数分别为—2，4，P为数轴上一动点，对应数为x。

⑴ P为线段AB的三等分点，求P点对应的数。

⑵ ⑵数轴上是否存在P点，使P点到A、B距离和为10？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由。

⑶⑶若点A、点B和P点（P点在原点）同时向左运动。它们的速度分别

为1、2、1个单位长度/分钟，则第几分钟时P为AB的中点？（参考答

案：⑴0或2；⑵—4或6；⑶2）

第五篇：中考数学压轴题整理

【运用相似三角形特性解题，注意分清不同情况下的函数会发生变法，要懂得分情况讨论问题】

【分情况讨论，抓住特殊图形的面积，多运用勾股定理求高，构造梯形求解】

【出现边与边的比，构造相似求解】

【当图形比较复杂的时候，要学会提炼出基础图形进行分析，如此题中可将两个三角形构成的平行四边形提取出来分析，出现两个顶点，结合平行四边形性质和函数图像性质，找出不变的量，如此题中N点的纵坐标不变，为-3，为突破口从而求解】

已知△ABC是等边三角形．

（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．

①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；

【旋转，平移，轴对称的题目，要将动态转化为静态求解，运用全等和相似的方法】

【通过旋转把条件进行转移，利用与第一题相同的方法做辅助线，采用构造直角三角形的方法求解】

如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．

（1）表中第8行的最后一个数是_________，它是自然数_______的平方，第8行共有________个数；

（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是_______，最后一个数是_________，第n行共有个数__________；

（3）求第n行各数之和．

【利用三角函数求解】

如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t=_____________．

【提取基础图形，此题将三角形提取出来，构造直角三角形，利用30°所对的边是斜边的一半，设未知数求解】

【要求是否能构造成直角三角形，构造包含欲求三角形的三边的另外三个直角三角形，利用勾股定理求出三条边，再运用勾股定理，分三种情况求解】

如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是___________．

当遇到求是否构成等腰三角形，等边三角形，等腰直角三角形，直角三角形时，在坐标轴中，设未知数求解；如设点A为（x,y）或设点A为（0，m），多寻找可用相似表示的边，运用相似的面积比，周长比，高之比，边之比求解

求坐标轴上有多少个图形能够构成面积为多少，周长为多少的三角形四边形等时，注意坐标点可能在正半轴或负半轴，注意加绝对值符号，计算多边形面积可采用割补法