第一篇：数学学案 编号39 1.1.1 正弦定理

山西大学附中高一年级(下)数学学案编号39

1.1.1正弦定理

一、学习目标：1.能理解会证明正弦定理.2.会用正弦定理解决两类解三角形问题.二、知识导学：自学教材P2---P3后完成：

1)首先来探讨直角三角形中，角与边的数量关系.如图，在RtABC中，设

BCa,ACb,ABc, 据锐角三角函数中正弦函

数的定义，有ab，，cc

abc所以c又sinc1,c

abc则.错误！未找到引用源。sinAsinBsinC

对于一般的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？可分为锐角三角形和钝角三角形

两种情况来探究：

2)如图，当ABC是锐角三角形时，设边AC上的高是BD，根据三角函数的定义，有BD==,则

a c 同理可得，,从而ac, sinAsinCabc.sinAsinBsinC

错误！未找到引用源。

3)当ABC是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗？若成立写出证明过程，否则说

明理由.综上1)2)3)可得对于任意三角形ABC都有.我们把这个定理叫.正弦定理的探究过程体现了由到的数学思想?

通过查找资料，你还学会了哪些证明正弦定理的方法？请写出一种来：

三、理解定理：

（1）适用范围：正弦定理适用于三角形。

（2）正弦定理说明：同一三角形中，各边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正b

数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC；k的几何意义是.（3）公式abc实际上表示了三个等式： sinAsinBsinC

ab，.sinAsinB

四、学以致用：一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作。

用正弦定理解三角形的方法体现了数学中的思想？

问题1： 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B.问题2 ：已知在ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C.归纳总结：根据正弦定理可以解哪两类解三角形问题？

①.②.五、探究与发现：

已知三角形两边及一边对角a,b,A,解三角形问题的探究：以下解三角形问题是否有解？若有解有几个解?

若A是钝角或直角，且ab或ab时.若A是钝角或直角,且ab时.若A是锐角，且ab或ab时.若A是锐角，且ab时解的情况确定吗？都有哪些类型？

六、提出问题：

（1）预习自学后你有什么疑惑？

（2）合作学习后解决了哪些问题？又产生了哪些新问题？

（3）通过正弦定理的学习你有哪些新的想法？猜想或质疑？。

七、达标检测：

1.根据下列条件确定ABC有两个解的是（）

A.a18,B30,A120B.a60,c48,C120

C.a3,b6,A30D.a14,b15,A45

2.在ABC中，b,B60,c1,求a和A，C.

第二篇：1.1.1正弦定理

北京师范大学株洲附属学校学案高一数学 必修5 课 题：

主备人： 1.1.1正弦定理高一数学组 复备人： 总课时：

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会学习目标： 运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

一、情景创设（2’）：

已知ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。

思考：

1、C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

2、能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、自学指导(15’)：

阅读教材P2~4，并回答：

1． 了解推导正弦定理的方法，并学会从特殊到一般的思维方式；

2． 正弦定理用文字、等式如何描述？

3． 用正弦定理可以解决怎样的三角问题？

三、学生讨论、更正、老师讲解

四、当堂训练：

A级：

1、正弦定理：在△ABC中，设角A、B、C所对的边分别为a、b、c，那么各边和所对的角的正弦的比值相等，即：等式成立.2、一般地，把三角形的和叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做.3、在△ABC中，a=7，c=5，则sinA ：sinC的值是.4、在△ABC中，已知a=8，B=60，C=75，则b=.5、在△ABC中，已知下列条件，解三角形： 00

(1)A45,C30,c10cm；（2）A60,B45,c20cm.6、在△ABC中，已知下列条件，解三角形：

(1)a20cm,b10cm,B30；（2）c4cm,b26cm,C45.7、在△ABC中，求证：

B级： abc2R（R为△ABC的外接圆的半径）.sinAsinBsinC

北京师范大学株洲附属学校学案高一数学 必修5

1.在△ABC中，已知a4,b3,sinB3，则A__________.4

2.在△ABC中，a(sinBsinC)b(sinCsinA)c(sinAsinB)的值为_______ C级：

1.根据下列条件判断三角形ABC的形状：

(1)若a2tanB=b2tanA；

(2)b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC；

2.在△ABC中，求证：

a2b2b2c2c2a2

+ +=0.cosAcosBcosBcosCcosCcosA

思考题：(98年高考题)已知△ABC中, a、b、c为角A、B、C的对边，且a + c=2b, A – C=60o, 求sinB的值.五、课堂小结：

六、作业布置:

P10习题 1.１ Ａ组１，２题

第三篇：1.1.1正弦定理

水寨中学高一数学自主探究学案

内容：正弦定理课时：1模块：必修5编号：1.1.1一、学习目标

1.会用向量法证明正弦定理；

2.理解正弦定理，并且会用正弦定理解斜三角形； 3.掌握与正弦定理有关的三角形的面积公式； 4.熟练运用正弦定理解三角形，解决实际问题。

二、自主学习

1.正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的比相等，即abc

． 

sinAsinBsinC 理解定理

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA，cksinC；

abcbcac

（2）等价于，． 

sinAsinBsinCsinCsinBsinAsinC（3）正弦定理的基本作用为：

bsinA

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如a；b

sinB

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，a

如sinAsinB；sinC．

b

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． 2.用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

在ABC中，已知a,b,A，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解； ②当A为锐角时，如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若absinA，则有两解；（2）若absinA，则只有一解；（3）若absinA，则无解．

三、合作探究

（1）在ABC中，一定成立的等式是（）． A．asinAbsinBB.acosAbcosB C.asinBbsinAD.acosBbcosA

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于．

四、交流展示

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

例2.在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

例3.在ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况．

1变式：在ABC中，若a1，c，C40，则符合题意的b的值有_____个．

2例4.在ABC中，axcm，b2cm，B45，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．

五、达标检测

cosAb1.在ABC中，若，则ABC是（）.cosBa

A．等腰三角形B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形D．等边三角形

2.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶

23.在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是()

A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解

C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解

5.已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，则a:b:c

abc6.已知ABC中，A60，a． sinAsinBsinC

第四篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教学设计

龙游县横山中学 黄建金

 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章开篇内容,在已有知识的基础上，进一步对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中更准确的边角关系。通过给出的实际问题，并指出解决问题的关键在于研究三角形中的边、角关系，从而引导学生产生探索愿望，激发学生学习的兴趣。在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明,并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：

（1）知两角一边，解三角形；

（2）知两边和一边对角，解三角形。

 学情分析

学生在学习了基本初等函数和三角恒等变换的基础上，探究三角形边角的量化关系，得出正弦定理。学生对现实问题比较感兴趣，用现实问题出发激起学生的学习兴趣，驱使学生探索研究新知识的欲望。

 教学目标

1.知识与技能：

(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；

(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题

2.过程与方法：

（1）通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；

（2）通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法.3.情感、态度与价值观：

(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；

(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养. 教学重点、难点

 教学重点：正弦定理的推证与运用。

 教学难点：正弦定理的推证；解决问题时可能有两解的情形。

教学过程

一、结合实例，导入新课

出示灵山江的图片。

问：如何能够实现不上塔顶而知塔高，不过河而知河宽？

二、观察特例，提出猜想[讨论]

（1）认识三角形中的6个元素，并复习“大角对大边，小角对小边”知识。

问1 ：构成一个三角形最基本的要素有哪些？（同时在黑板上画出三个不同类型的三角形）问2：在三角形中，角与对边之间有怎样的数量关系？（大边对大角，小边对小角）

（2）观察直角三角形，提出猜想

问：能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中的角与边的等式关系。如图，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有a

sinA，bsinB，又sinC1c,则ac

sinAb

sinBsinCc

从而在直角三角形ABC中，a

sinAb

sinBc

sinC问：这种关系在锐角三角形中能否成立？

三、证明猜想，得出定理[探究] C（１）化归思想，把锐角三角形转化为直角三角形证明。

首先，证明当ABC是锐角三角形时的情况。证法如下：

设边AB上的高是CD（目的是把斜三角形转化为直角三角形），根据任意角三角函数的定义，有CD=asinBbsinA,则a

sinAb

sinB，同理可得cbsinCsinB，从而abcsinAsinBsinC

其次，提问当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立？（由学生课后自己推导）最后提问：还有其它证明方法吗？（向量方法）

（２）向量思想，把代数问题转化为向量问题证明。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这问题。

证明：过点A作单位向量jACCB，由向量的加法可得 ABAC

jABj(ACCB·

则)

jABjACjCB

∴jAB

cos900A0jCBcos

900C

a∴csinAasinC，即c Abc同理，过点C作jBC，可得

ab

从而sinAsinBc

sinC

（3）得出定理，细说定理

从上面的研探过程，和证明可得以下定理：

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即ab

sinAsinBc

sinC

四、定理运用，解决实例

例1．在 △ABC 中,已知 A30,B45，a2 cm，求C、b及c

解：根据三角形内角和定理，C1800(AB)180(3045)105

a2sinBsin4522（cm）； sinAsin30

a2sinCsin10562（cm）csinAsin30根据正弦定理，b

说明：

1、学生讲出解题思路，老师板书以示解题规范。

2、已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫作解三角形。

3、解题时利用定理的变形aksinA，bksinB，cksinC更易解决问题。

例2．在 △ABC中，已知 a6cm，b6cm，A30，解三角形。

解：根据正弦定理，sinAsin303sinB（？Ｂ角一定是锐角吗？还有可能是什么角？如何判定？）b63a6

2因为00＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 当B=60时，C180(AB)180(3060)90，o

ca6sinCsin9012(cm)sinAsin30

⑵ 当B=120时，C180(AB)180(30120)30，o

ca6sinCsin306(cm)sinAsin30

说明：

1.让学生讲解题思路，其他同学补充说明，目的是要求学生注意分类讨论思想（可能有两解）。

2.求角时，为了使用方便正弦定理还可以写成sinAsinBsinCabc

3.用正弦定理的解题使用的题型：边角成对已知（1第一类：已知任意两角及其一边；

第二类：已知任意两边与其中一边的对角。对+1个），五、活学活用，当堂训练

练习1在ABC中，已知下列条件，解三角形。

（说明：可以让学生上黑板扮演或通过实物投影解题的规范和对错。）

（1）A45，C30，c10cm，（2）a20，b11，B30

练习2：[合作与探究]：某人站在灵山江岸边樟树B处，发现对岸发电厂A处有一棵大树，如何求出A、B两点间的距离？（如图）

六、回顾课堂，尝试小结

①本节课学习了一个什么定理？

②该定理使用时至少需要几个条件？

七、学有所成，课外续学

１、课本第10页习题1.1A组1、2题

２.思考题：在ABC中，a

sinA

bsinBcsinCk(k>o)，这个k与ABC的外接圆半径R有什么关系？

3八、板书设计

第五篇：必修五1.1.1正弦定理导学案及课时作业

第一章 解三角形

§1．1．1 正弦定理

【情景激趣】

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要建多长的索道？

【目标明晰】

1.知识与技能

通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题.2.过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作.3.情感态度与价值观

培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.二、教学重点、难点

1.重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用.2.难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.学习过程

（一）自主探究

RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,，有abcsinA，sinB，又sinC1则ccc

以上关系式是否仍然成立？可分为c那么对于任意的三角形，sinAsinBsinC

锐角三角形和钝角三角形两种情况： abc

1.叙述正弦定理的内容：

2.正弦定理的变形

①边化角：a=，b=，c=；

②角化边：sin，sin，sinC；

3.正弦定理的推论： a:b:c

从而知正弦定理的基本作用为：

①

②

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作_______

【交流释疑】

（二）合作探讨

类型一已知两角及一边解三角形

例1.在ABC中，已知A45，B60，a42cm，解三角形．

变式：在ABC中，已知B45，C60，a12cm，解三角形．

规律总结：

类型二已知两边及一边的对角解三角形

例2.在ABC中，cA45,a2,求b和B,C．

变式

：在ABC中，bB60,c1,求a和A,C．

规律总结：

类型三判断三角形的形状

例3在ABC中，已知a2tanBb2tanA，试判断三角形的形状。

变式：已知在ABC中，bsinBcsinC，且sin2Asin2Bsin2C，试判断三角形的形状。

规律总结：

类型四 三角形面积公式

1absinC，并运用此结论解决下面问题：

2（1）在ABC中，已知a2，b3，C150，求SABC；仿照正弦定理的证法一，证明SABC

（2）在ABC中，已知c10，A45，C30，求b和SABC；



规律总结：

【反思回忆】

● 目标回忆

● 构建体系

● 总结规律

● 完善存疑

【课时练习】完成课时作业

（一）课时作业

（一）第一章解三角形

§1.1.1正弦定理

1.正弦定理适用的范围是（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．任意三角形

2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c

等于 bB120，则a（）

B．2C

D

A

3.在△ABC中，若A2B，则a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4.已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c等于（）.A．1∶1∶4B．1∶1∶2C．1∶

1D．2∶2在△ABC中，若sinAsinB，则A与B的大小关系为（）.A.ABB.ABC.A≥BD.A、B的大小关系不能确定

6．在△ABC中，C105，B45，c5，则b的值为（）

A5(31)B5(31)C10D5(6

7．在△ABC中，已知a3，b4，sinB

A002)2，则sinA=（）3311BCD 1 46

2

8.在△ABC中，已知B30，b，c150，那么这个三角形是（）

Ａ．等边三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．等腰三角形 Ｄ．等腰三角形或直角三角形

9.根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（）

A、a8,b16,A30，有两解 B、b18,c20,B60，有一解

C、a5,b2,A90，无解

10.ABC中，C=2B，则 D、a30,b25,A150，有一解 sni3B等于（）sniB

baacA、B、C、D、abca

311.三角形两边之差为2，夹角的余弦值为。该三角形的面积为14，则这两边分别为（）

5A、3和5B、4和6C、5和7D、6和8

a4,b42，12.在ABC中，A=60°，则角B等于（）

A、45°或135° B、135°C、45°D、以上答案都不对

13.在ABC中，已知(bc):(ca):(ab)4:5:6，则sinA:sinB:sinC等于

14.在ABC中，a3,b1,B30，则三角形的面积等于。

15.在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状为16.在ABC中，已知bc8，B30，C45，则bc．

17.在ABC中，如果A30，B120，b12，那么aABC的面积是．

18在ABC中，bc

30，SABC，则A19.在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，已知，b=2，△ABC的面积S=3，求角C

20.．在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A,B为锐角，sinA

=,sinB

=（1）求A+B的值：

（2）若

a-b=

-1，求a,b,c得值