第一篇：高中数学联赛几何定理

高中数学联赛几何定理

梅涅劳斯定理

BFAECD1。FAECBD

BFAECD1，逆定理：一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F若FAECBD一直线截△ABC的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F则

则D,E,F三点共线。

塞瓦定理

BDCEAF=1。在△ABC内任取一点O,直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则

托勒密定理

ABCD为任意一个圆内接四边形，则ABCDADBCACBD。

逆定理：若四边形ABCD满足ABCDADBCACBD，则A、B、C、D四点共圆

西姆松定理

过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

相关的结果有：

（1）称三角形的垂心为H。西姆松线和PH的交点为线段PH的中点，且这点在九点圆上。

（2）两点的西姆松线的交角等于该两点的圆周角。

(3）若两个三角形的外接圆相同，这外接圆上的一点P对应两者的西姆松线的交角，跟P的位置无关。

（4）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。斯特瓦尔特定理

设已知△ABC及其底边上B、C两点间的一点D，则有AB·DC+AC·BD-AD·BC＝BC·DC·BD。22

2三角形旁心

1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。

2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。

费马点

在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。

(1)若三角形ABC的3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好平分费马点所在的周角。所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。

(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。

判定（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则E为费马点。费马点的计算

（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

九点圆：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点（连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点）九点共圆。通常称这个圆为九点圆（nine-point circle），欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。

几何不等式

1托勒密不等式:任意凸四边形

ABCD四点共圆时取等号。ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，当且仅当

2埃尔多斯—莫德尔不等式:设P是ΔABC内任意一点，P到ΔABC三边BC,CA,AB的距离分别为PD=p,PE=q,PF=r，记PA=x,PB=y,PC=z。则 x+y+z≥2(p+q+r)3外森比克不等式:设△ABC的三边长为a、b、c,面积为S,则a2+b2+c2≥4S 4欧拉不等式:设△ABC外接圆与内切圆的半径分别为R、r，则R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时取等号。

圆幂

假设平面上有一点P，有一圆O，其半径为R，则OP^2-R^2即为P点到圆O的幂；可见圆外的点对圆的幂为正，圆内为负，圆上为0；

根轴

1在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。

2另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴。

相关定理

1，平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

2，若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

3，若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；

4，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者互相平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心；

第二篇：高中数学联赛中常见的几何定理

梅涅劳斯定理 ：

梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。他指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。证明：

过点A作AG‖BC交DF的延长线于G

AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG

三式相乘得：

AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=

1它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

塞瓦定理：

在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=

1证法简介

（Ⅰ）本题可利用梅涅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直线COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理证明三角形三条高线必交于一点:

设三边AB、BC、AC的垂足分别为D、E、F，根据塞瓦定理逆定理，因为(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）

/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三条高CD、AE、BF交于一点。

可用塞瓦定理证明的其他定理;

三角形三条中线交于一点（重心）:如图5 D , E分别为BC , AC 中点 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=

1且因为AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三条中线交于一点塞瓦定理推论（赵浩杰定理）：

设E是△ABD内任意一点，AE、BE、DE分别交对边于C、G、F，则(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）则(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K为未知参数）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K为未知参数）

由梅涅劳斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=

1所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1（塞瓦定理推论）

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。原文：圆内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

一、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。）

在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因为△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE〃AC=AB〃CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED〃AC=BC〃AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB〃CD+AD〃BC

又因为BE+ED≥BD

（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）所以命题得证

复数证明

用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、A

C、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到复数恒等式：(a − b)(c − d)+(a − d)(b − c)=(a − c)(b − d)，两边取模，运用三角不等式得。等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。四点不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、设ABCD是圆内接四边形。在弦BC上，圆周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一点K，使得∠ABK = ∠CBD； 因为∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK与△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK〃BD = AB〃CD，且CK〃BD = BC〃DA； 两式相加，得(AK+CK)〃BD = AB〃CD + BC〃DA； 但AK+CK = AC，因此AC〃BD = AB〃CD + BC〃DA。证毕。

三、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC〃BD＝AB〃CD＋AD〃BC．

证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC〃BP=AD〃BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC〃DP=AB〃CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB〃CD＋AD〃BC．即AC〃BD=AB〃CD＋AD〃BC．

推论

1.任意凸四边形ABCD，必有AC〃BD≤AB〃CD+AD〃BC，当且仅当ABCD四点共圆时取等号。

2.托勒密定理的逆定理同样成立：一个凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积，则这个凸四边形内接于一圆。

推广

托勒密不等式：四边形的任两组对边乘积不小于另外一组对边的乘积，取等号当且仅当共圆或共线。

简单的证明：复数恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，两边取模，得不等式AC〃BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB〃CD+BC〃AD

注意：

1.等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。

2.四点不限于同一平面。

平面几何里的欧拉定理：

定理内容

设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr．

证明：

O、I分别为⊿ABC的外心与内心．

连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点．连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径．

由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA〃ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明）

但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得），故只需证2Rr=IA〃DB，即2R∶DB=IA∶r 即可．

而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．

第三篇：高中数学联赛平面几何定理

①鸡爪定理：设△ABC的内心为I，∠A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC。

由内心和旁心的定义可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四点共圆，且IJ为圆的直径 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圆周角所对的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四点共圆 且 KB=KI=KC ∴点K是四边形IBJC的外接圆的圆心（只有圆心满足与圆周上超过三个以上的点的距离相等）∴KB=KI=KJ=KC 鸡爪定理逆定理：设△ABC中∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于K。在AK及延长线上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的内部，J在△ABC的外部。则I是△ABC的内心，J是△ABC的旁心。证明：利用同一法可轻松证明该定理的逆定理。

取△ABC的内心I'和旁心J’，根据定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分别是内心和旁心。

②蝴蝶定理：设S为圆内弦AB的中点，过S作弦EF和CD。设CF和DE各相交AB于点M和N，则S是MN的中点。

过O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足为L、T，连接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 证法1:霍纳证法

∴ES/CS=ED/FC 根据垂径定理得：LD=ED/2，FT=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中点所以OS⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四点共圆，（一中同长）同理，O，T，M，S四点共圆

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。

证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆）

在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共线。反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆。④九点圆：三角形三边的中点，三高的垂足和三个欧拉点(连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点)九点共圆。作图如下:△ABC的BC边垂足为D，BC边中点为L，AC边垂足为E，AC边中点为M,AB边垂足为F，AB边中点为N, 垂心为H，AH,BH,CH中点分别为P,Q,R(思路：以PL为直径，其它任意某点，去证P某L为90°)证明:(由中位线)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圆。

(由中位线)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五点共圆。PE为Rt△AHE斜边中线 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六点共圆，PL为直径，同理PFNQL五点共圆,PL为直径 ∴PEMRDLQNF九点共圆，PL为直径，PL中点(设为V)就是圆心 下证 九点圆的圆心在垂心与外心连线的中点

O为外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以OL平行等于PH OLPH为平行四边形，V是PL中点，就是OH中点。

⑤托勒密定理：圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。

在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD(仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圆上一点A,引出三条弦AB(左)、AC(右)、及中间弦AD,BC与AD交于P，则： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

证明如下;连BD、CD, 由圆的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,两式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。证毕。

第四篇：高中数学联赛

高中数学联赛

全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部202_年《全日制普通高级中学数学教学大纲》。

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

1．平面几何

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；三角形旁心、费马点、欧拉线；

几何不等式；

几何极值问题；

几何中的变换：对称、平移、旋转；

圆的幂和根轴：

面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

2．代数

周期函数，带绝对值的函数；

三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；第二数学归纳法；

均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

3．初等数论

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

4．组合问题

圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

组合计数，组合几何；

抽屉原理；

容斥原理；

极端原理；

图论问题；

集合的划分；

覆盖；

平面凸集、凸包及应用*。

有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。

注：上述大纲在202_年第十四次普及工作会上讨论通过

第五篇：高中数学相关定理

202_年普通高等学校招生统一考试数学（文）复习资料202_.5.26

高中数学相关定理、公式及结论证明

（一）三角函数部分。

一、两角和（差）的余弦公式证明。

内容：cos()coscossinsin,cos()coscossinsin

证明：

①如图（1），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,-sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（1）

②如图（2），在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）

则：OPOQ)cos()OPOQcoscossinsin

cos()coscossinsin图（2）

二、两角和（差）的正弦公式证明。

内容：sin()sincoscossin,sin()sincoscossin

证明：

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

sin()cos[

2()]cos[(

2)]cos(

2)cossin(

2)sin

sincoscossin

三、两角和（差）的正切公式证明。内容：tan()

证明： tantan1tantan，tan()tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

sincos

tan()

sin()cos()



sincoscossincoscossinsin



coscoscoscoscoscos



cossincoscossinsincoscos



tantan1tantan

四、半角公式证明。内容：sin

2

1cos,cos



2

1cos,tan

2



1cos1cos



2sin1cos



1cos2sin

cos212sin

证明：由二倍角公式 2

cos22cos

12cos12sin2

用代替2，得，得sin2

cos2cos212

sincos

cos,cos

2



cos

2

tan

2

sincos

2

2cos2cos

2

2

2

2



2sin1cos，tan

2

sincos

2

sincos

2

2sin2sin

2

2

2

2



1cos2sin

五、正弦定理证明。

内容：在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则证明：①如图（3），在RtABC中，sinA



asinAbc,

bsinB



csinC

.ac,sinB

asinA



bsinB

c，C90,sinC1.

asinA



bsinB



csinC

.图（3）

②如图（4），在锐角ABC中，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为BC

CbsinC



2B)csinB,bsinB



csinC,同理

asinA



bsinB



asinA



bsinB



csinC

.图（4）

③如图（5），在钝角ABC中，以C为原点，BC所在直线为x轴，建立直角坐标系，作ACy轴于点C，易知BA和CA在轴上的射影均为CC

BcsinBC



2)bsinC,bsinBasinA



csinCbsinB,同理

c

asinA



bsinB



sinC

.图（5）

六、余弦定理证明。

a2b2c22bccosA



2ABC内容：在中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则ba2c22accosB

222

cab2abcosC

证明：如图（6），在ABC中，aaBC

(ACAB)(ACAB)

2ACAB

2

2ACABcosA2

bc2bccosA图（6）

222

abc2bccosA

同理可证：2 22

cab2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

内容：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对 实数1,2，使得a1e12e2.证明：如图（7），过平面内一点O，作OAe1,OBe2,OCa，过点C分别作直 线OA和直线OB的平行线，交OA于点M，交OB于点N，有且只有一组实数，使

得OM1OA,ON2OB图（7）

OCOMONOC1OA2OB

即a1e12e2.二、共线向量定理。

内容：如图（8），A,B,C为平面内的三点，且A,B不重合，点P为平面内任一点，若C在直线AB上，则有

PCPA(1)PB

证明：由题意，BC与BA共线，BCBA

BCPCPB,BAPAPBPCPB(PAPB)

图（8）

化简为：PCPA(1)PB

三、平行向量定理。

内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。

证明：设a,b是非零向量，且a(x1,y1),b(x2,y2)若a//b，则存在实数使ab，且由平面向量基本定理可知

x1iy1j(x2iy2j)x2iy2j.x1x2①，y1y2②

①y2②x2得：x1y2x2y10

若y10,y20（即向量a,b不与坐标轴平行）则

x1y

1x2y

2（三）立体几何部分。

一、三垂线定理及其逆定理。

内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

证明：已知：如图（9），直线l与平面相交与点A，l在上的射影OA垂直于a,a

求证：l⊥a

证明：过P作PO垂直于

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l图（9）

（四）解析几何部分。

一、点到直线距离公式证明。

内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).则其到直线l的距离为d

Ax

ByA

C。

B

证明：如图（10），设直线l:AxByC0,直线外一点M(x0,y0).直线上一点P(x,y).可得直线的 一个方向向量为v(B,A),设其法向量为n(s,t)则vnBsAt0，可得直线一法向量为n(A,B),n的单位向量为n0

（AA

B,A

B

B)图（10）

由题意，点M到直线的距离为PM在n0上的射影，所以，d

A(x0x)B(y0y)

A

B



Ax

By

0

2(AxBy)B

②

A

因为点P(x,y)在直线上，所以C(AxBy)①

Ax

ByA

所以，把①代入②中，得d

00

C

B

（五）数列部分

一、等差数列前n项和公式证明。

内容：an是等差数列，公差为d，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sna1n证明：由题意，Sna1(a1d)(a12d).......(a1(n1)d)① 反过来可写为：Snan(and)(an2d).......(an(n1)d)②

①+②得：2Sna1na1n.......a1n



n个

n(n1)

d

n(a1an)

所以，Sn

n(a1an)

③，把ana1(n1)d代入③中，得Sna1n

二、等比数列前n项和公式证明。

n(n1)

d

n(a1an)

na1,(q1)

n

内容：an是等比数列，公比为q，首项为a1，Sn为其n前项和，则Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

证明：Sna1a1qa1q.......a1qqS

n

2n

1①

n

a1qa1q

a1q

.......a1q②

n

①—②得：(1q)Sna1a1q，当q1时，Sn

a1a1q1q

n



a1(1q)1q

n

③

把ana1q

n1

代入③中，得Sn

a1anq1q

当q1时。很明显Snna1

na1,(q1)

n

所以，Sn=a1anq a1(1q)

,(q1)

1q1q

（六）函数和导数部分

一、换底公式证明。内容：log

N

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b0;a,b1)

证明：设log

a

NX,log

a

bY，则ba,Na

YX

log

b

Nlog

a

Y

a

X



XY

log

a

a

XY



loglog

aa

Nb