第一篇：初二数学讲义命题与证明

初二数学讲义（5）证明（3）

一、选择题（每题3分）

1.下列语句：①若直线a∥b，b∥c，则a∥c；②生活在水里的动物是鱼；③作两条相交直线；④AB＝3，CD＝3，问AB与CD相等吗？④连结A，B两点； ⑤内错角不相等，两直线不平行。是命题的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个 2.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（）

A.垂直B.两条直线C.同一条直线D.两条直线垂直于同一条直线

3.下列各组所述几何图形中，一定全等的是（）A.一个角是45°的两个等腰三角形

B.腰长相等的两个等腰直角三角形C.两个等边三角形D.各有一个角是40°，腰 长都为5㎝的两个等腰三角形

4.若三角形的三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数之比为„（）

A.4：3：2B.3：2：4C.5：3：1D.3：1：

55．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）

A.α+β+γ=360°B.α-β+γ=180°C.α+β+γ=180°D.α+β-γ=180°

6．已知，如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC上任意一点，连结AP，则AC2AP2（）A.CPBPB.CPBCC.BPBCD.以上都不对

二、填空题（每题3分）

7．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F,EP与EFD的平分线相交于点P，且EFD60，EPFP，则BEP

8．若一个三角形的外角平分线与三角形的一边平行，则这个三角形是三角形.9.用反证法证明“三角形三个内角中至少有两个锐角”时应首先假设.10.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝__________.11.把命题“在同一个三角形中，等角对等边”改写成“如

果„„那么„„”的形式：.12.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76°，则CBD度．

三、解答题：

13．如图，在RtABC中，∠

ACB＝90，AC=BC,D是斜边AB上的一点, AE⊥CD于E,BF⊥CD交

CD的延长线于F.求证：

ACE≌CBF.14．如图，点B在AC上，△ABE与△DBC是等

边三角形，M、N分别是AD、BC的中点，求证：△BMN是等边三角形．E

ABC

15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、P分别在边AC、AB上，且BD＝AD，PE⊥BD，PF⊥AD，垂足分别为点E、F．求证：PE＋PF＝BC．

A

EB

16.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线,∠BAC=58°.①求∠BHC.②求∠CAH

17．在△ABC中，AD平分∠BAC，DE＝DC，AC＝EF．求证：EF∥AB．A

F

CBED

18.如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：CE⊥BE．

19．已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，EP=3,求EF的值，20．操作：在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点.图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况.三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？请

选择图②、图③中的一个加以证明.A

DC

AP

P

EB C①②

21．用反证法证明：设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2-bc，y=b2-ca，z=c2-ab.求证：x，y，z中至少有一个大于零

E

B

D

第二篇：初二数学讲义证明

初二数学春季讲义（4）证明

一、识点归类 知识点四证明

1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。知识点五反证法

步骤：①假设原命题的结论不成立，得出“反面”②从“反面”出发，推出矛盾，因此否定“反面”③既然假设是错误的，所以原命题正确。举反例（用来证明假命题）

1．要想说明一个命题是假命题，只需举个反例。举反例的要求是：命题的条件，而命题的结论。举反例说明下列命题是假命题：

（1）对于不为零的实数c，关于x的方程

3．如图，AB // CD，MP // AB，MN平分AMD，A35，D40，求

4.点为O，E是AC•交BD于F，则OE=OF．（1）证明上述命题．

（2）对上述命题，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB交EB的延长线于点G，AG的延长线交DB的延长线于点F，其他条件不变，请画出图形，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请你证明，若不成立请说明理由．

x

c

c1的根是c。x

（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等。

证明题（直接证明）2.已知：如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，交AB于G，交CA延长线于E，∠1＝∠2．

求证：AD平分∠BAC.填写分析和证明中的空白． 分析：要证明AD平分∠BAC，只要证明__________＝____________，而已知∠1＝∠2，所以应联想这两个角分别和∠

1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出________∥_________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论． 证明：

5.在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ⑴求证：PE=PF。

⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面积。

6．如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的垂线EF，垂足为F。

（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长。

7．如图，ΔABC中，∠A=60°，BE、CD分别平分

∠ABC和∠ACB，交点为P。请证明：BC=BE+CD。

A

E

B

D

C

8．如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿线段AB运动，点Q沿边BC的延长线运动(当点P运动到点B时两点即停止运动)，PQ与直线AC相交于点D．

(1)设AP的长为x，△PCQ的面积为S．求出S关于x的函数关系式；

(2)问是否存在x的值,使S△PCQ=S△ABC?若存在,请求出x的值;若不存在,说明理由.(3)作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变?证明你的结论．

2用反证法证明专题 14．求证：若n为自然数，则nn2不能被1

59．用反证法证明：“三角形中必有一个角不大于

整除 60°”，第一步先假设

10．已知：如右图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且l1∥

l2，13与11相交于点P.求证：13与l2相交．

证明：假设，即∥，又∵∥（已知），∴过直线12外一点有两条直线11,13与直线12平行，这与“”

15.证明：2不是有理数

相矛盾，∴假设不成立，即求证的命题成立，∴13与12相交．

11．已知:a,b是实数,且满足ab=0, 求证:a、b中至少有一个为0

12．求证:一个三角形中，至少有一个内角不小于

16.已知实数ｐ满足不等式（2x1)(x2)0,用反证法证明：关于x的方程x22x5p20无实根.17.求证：当x+bx+c=0有两个不相等的非零实数根时，必有bc≠0．

13．求证：两条相交直线只有一个交点.

第三篇：初二数学讲义统计与证明（模版）

1、频数和频率：频数分布表的绘制步骤

（1）求出最大值和最小值的差（极差的概念。）

（2）确定组距、组数。x =94.5，下面是50名学生数学成绩的频数分布表．

极差25，为了使数据组距0.4不落在各组的边界上，我们把数据分成6组，且边界

值比实际数据多取一位小数。（特别指出：数据个数在100以内时，通常按数据的多少分成5—12组。）

2、介绍频数和频数分布表。

频数：我们称数据分组后落在各小组内的数据个

数为频数；（结合表中数据）根据题中给出的条件回答下列问题：

频数分布表：反映数据分布的统计表叫做频数分（1）在这次抽样分析的过程中，样本是___________ 布表，也称频数表。（2）频数分布表中的数据a= ____，b= __________．

频数（3）估计该校初三年级这次升学考试的数学平均成绩

3、频率的概念：频率＝数据总数约为 ___________分．

4、频率分布直方图和折线图：（4）在这次升学考试中，该校初三年级数学成绩在画频数分布直方图的一般步骤： 90.5~100.5范围内的人数约为 __________人．（1）画频数分布表（2）写标题

8、某中学进行了一次演讲比赛，分段统计参赛同学的（3）画坐标：横坐标是什么？纵坐标是什么？ 成绩，结果如下（分数为整数，满分为100分）

（4）画小长方形：长是什么？ 宽是什么 请根据表中提供的信息，解答【练习】 下列问题：

1、一组数据的最大值为100，最小值为45，若选取组（1）参加这次演讲比赛的同距为10，则这组数据可分成（•）学有；

A．5组B．6组C．8组D．4组（2）已知成绩在91~100分的2、将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第一同学为优秀者，那么优胜率

组的频数为6，•第二组与第五组的频数和为20，那么为；

命题与证明综合提高

一、识点归类

注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语

言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。

例1 在下列横线上，填写适当的概念：（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的；（2）能够完全重合的两个图形叫做_____； 例2 叙述概念的定义

（1）数轴；（2）等腰三角形 知识点命题

知识点一命题的概念 注意：（1）命题必须是一个完整的句子。

（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。

例 下列句子中不是命题的是()

A 明天可能下雨B 台湾是中国不可分割的部分 C 直角都相等D 中国是202_年奥运会的举办国知识点二真命题与假命题

注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。例 下列命题中的真命题是（）

A 锐角大于它的余角B 锐角大于它的补角 C 钝角大于它的补角D 锐角与钝角等于平角 知识点三命题的结构

每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果------，那么-------”的形式，并指出条件与结论。

1、同角的余角相等

2、两点确定一条直线

知识点四证明

1、从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得

出它的结论成立，这个过程叫作证明。

注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。

证明题 1.已知：（如图）MN//PQ，AC⊥PQ，BD、AC相交于点E，且DE＝2AB． 求证：∠DBC＝

∠ABC．

3MDAN

2.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD＝AC，求证：∠B＝2∠C．

BDC

3.如图，△ABC中，AD平分∠

BAC，BE＝CE，过点E作GH⊥AD，交AC、以及AD、AB的延长线于H、F、G．求证：AC＝2BG+AB

A

DH

F

C

4求证：

5.DC（2）

6．如图，已知AB // CD，B100，EF平分BEC，EGEF，求BEG和DEG的度数。

9.求证：形如4n+3的整数P（n为整数）不能化为两个整数的平方和．

第四篇：初二数学教案：命题与证明

初二数学教案：命题与证明

第二十四章 证明与命题(一)复习

一、教学目标：

1、了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论。

2、会在简单情况下判断一个命题的真假。理解反例的作用，知道利用反例可证明一个命题是错误的。、了解证明的 含义，理解证明的必要性，体会证明的过程要步步有据。

4、会根据一些基本事实证明简单命题。

5、通过实例，体会反证法的含义。了解反证法的基本步骤。

6、初步会综合运用命题、证明以及相关知识解决简单的实际问题。

二、本章知识结构框架图：

三、教 学过程：

(一)知识回顾

1、一 般地，对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

命题分为真命题与假命题。

2、说明一个命题是假命题,通常只用找出一个反例,但要说明一个命题是真命题,就必须用推理的方法,而不能光凭一个例子。

(二)说一说

1.指出下列句子，哪些是命题，哪些不是命题?

(1)有两个角和夹边对应相等的三角形是全等的三角形;

(2)有两条边对应相等的两个三角形全等;

(3)作A的平分线;

(4)若a=b 则 a2= b2

(5)同位角相等 吗?

2.说出一个已学过 定理:

说出一个已学过公理:

3、下列把命题改写成如果，那么的形式。并判断下列命题的真假.(1)不相等的角不可能是对顶角.(2)垂直于同一条直线的两直线平行;

(3)两个无理数的乘积一定是无理数.(三)练一练 1.用反例证明下列命题是假命题：

(1)若x(5-x)=0，则x=0;

(2)等腰三角形一边上的中线就是这条边上的高;

(3)相等的角是内错角;

(4)若x2,则分式 有意义.(四)例题分析

例1求证:全等三角形对应角的平分线相等.证明命题的一般步骤:

(1)根据题意,画出图形;

(2)用符号语言写出已 知和求证

(3)分析证明思路;(4)写出证明过程;

例2已知：如图，△ABC中,C=2B，BAD=DAC.求 证：AB=AC+CD

还有其他方法吗? A A E

B D C B D C

(第三题)(第二题)

例3已知 ：如图D,E分别是BC,AB上的一点,BC、BD的长度之比为3:1, △ECD的面积是△ABC的面积的一半.求证： BE=3AE[来源:学|科|网]

例

4、已知：如图，直线AB，CD，EF在同一平面内，且AB ∥ EF，CD ∥ EF，[来源:学科网]

求证：AB ∥ CD。

证明：假设AB∥CD,那么AB与CD一定相交于一点P

∵AB ∥ EF，CD ∥ EF(已知)

过点P有两条直线AB，CD都与直线EF平行。

这与经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行矛盾。[来源:学科网]

AB ∥ CD不能成立。

AB ∥ CD

反证法的一般步骤：[来源:学科网]

1.反设(否定结论);

2.归谬(利用已知条件和反设，进行推理，得出与已学过的公理、定理、定义或与已知条件矛盾);

3.写出结论(肯定原命题成立)。

练习：

如图,已知:AB=AE，BC=DE，AFCD于F.求证:CF=DF.(五)小结：

(六)作业布置：练习一份

B= E,

第五篇：初二数学期末复习——命题与证明

初二数学期末复习——命题与证明

初二（）班姓名责任人：张志堂

一、知识回顾：

1．对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。

下列语句中，属于命题的是（）．

（A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的中点C画AB的垂线

（C）同旁内角不互补，两直线不平行（D）连结A，B两点

2．命题由题设和结论两不分组成。

指出下列命题的条件和结论：

（1）三条边对应相等的两个三角形全等；

题设：

结论：

（2）对顶角相等；

题设：

结论：

（3）角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

题设：

结论：

3．命题分为真命题（正确的命题）和假命题（不正确的命题）。

（1）下列命题中，属于假命题的是（）

（A）若a⊥c，b⊥c，则a⊥b（B）若a∥b，b∥c，则a∥c

（C）若a⊥c，b⊥c，则a∥b（D）若a⊥c，b∥a，则b⊥c

（2）下列四个命题中，属于真命题的是（）．

（A）互补的两角必有一条公共边（B）同旁内角互补

（C）同位角不相等，两直线不平行（D）一个角的补角大于这个角

4．要判定一个命题是真命题，需要证明。

证明的三个步骤：（1）；（2）；（3）。

5．要想说明一个命题是假命题，只需举一个反例。举反例的要求是：命题的条件，而命题的结论。

举反例说明下列命题是假命题：

（1）对于不为零的实数c，关于x的方程xcc1的根是c。x

（2）有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等。

6．反证法的步骤：假设命题结论

。用反证法证明：在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°。已知:∠A，∠B，∠C是△ABC的内角

求证:∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°.证明:假设，即∠A___60°，∠B___60°，∠C__60° 则这与________________________________相矛盾.所以______不成立，所求证的结论成立.7．例1：如图，ΔABC中，∠A=60，BE、CD分别平分∠ABC和∠ACB，交点为P。请证明：BC=BE+CD。

例2（1）一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形。

A

E

B

D

C

（2）直接运用这个结论解答题目：一个三角形一边长为2，这边上的中线长1，另两边之和为

二、回家作业

1.下列语句不是命题的是（）

A、两点之间线段最短B、不平行的两条直线有一个交点C、x与y的和等于0吗？D、对顶角不相等。

2.命题：①对顶角相等；②垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角

是对顶角；④同位角相等。其中假命题有（）

A、1个B、2个C、3个D、4个 3.如图，△ABC中，ACB90,BE平分∠ABC，DEAB，垂足

为D，如果AB=5cm,BC=3cm，那么AEDE的值为（）A、2㎝B、3㎝C、4㎝D、5㎝

4.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，第3题图

EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）

EA、∠ACD=∠BB、CH=CE=EFC、AC=AFD、CH=HDH

5.已知下列命题：①锐角大于它的余角；②锐角与钝角之和等于平角；

ADB

③互补的两个角一定是一个锐角，另一个为钝角；④平行于同一条直线的两直线平行.其中，正确命题的个数为（）A、0B、1个C、2个D、3个

6.在下列命题：①钝角的补角是锐角；②两个无理数的商仍为无理数；③相等的角是对顶角；

④若x是实数，则x2 + 1＞0；⑤一个锐角与一个钝角的和等于一个平角.是真命题的有。（用序号表示）

7.把命题：三角形的内角和等于180° 改写如果，那

么。8.如图，△ABC为直角三角形，BC为斜边，将△ABP绕点A

逆时针旋转后，能与ABP重合，如果AP=3，那么PP的长等于。

9.命题“直角都相等”的题设是________，结论

是____________．

10.用反证法证明命题“三角形中最多有一个是直角”时，应假设________________11.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行。已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1＋∠2180°。求证：l1与l2。证明：假设则∠1＋∠2180°

这与矛盾，故不成立，所以。

/

/

12.已知如图，在△ABC中，CH是外角∠ACD的角平分线，BH是∠ABC的平分线, ∠A=58°.求∠H的度数.13.如图在ΔABC中AB=AC,∠BAC=90,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F ⑴求证：PE=PF。

⑵已知AF=12,CF=5.求ΔPEF的面积。

14.如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以对角线BD为边作正三角形BDE，过E

作DA的延长线的垂线EF，垂足为F。

（1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论；（2）求AF的长。

C