专题13

反比例函数中的直角三角形问题

1、如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连结BC．若△ABC的面积为2．

（1）求k的值；

（2）x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（-2，0），且tan∠ACO=2．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求点B的坐标；

（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）

【答案】（1）y=，y=2x+4；（2）B（-3，-2）；（3）E1（1，0），E2（13，0）

3、如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．

解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝3×2＝6，∴反比例函数的表达式为y＝，∵点A的纵坐标为6，∵点A在反比例函数y＝图象上，∴A（1，6），∴，∴，∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；

（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，设BC与AO交于E，则E（，3），∴AE＝OE＝D1E＝，∵E（，3），∴D1的坐标为（，3）；

②当∠OAD2＝90°时，可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，当y＝3时，x＝19，∴D2的坐标为（19，3），综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）

4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点．

（1）求∠OCD的度数；

（2）如图2，连接OQ、OP，当∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC时，求此时m的值；

（3）如图3，点A，点B分别在x轴和y轴正半轴上的动点．再以OA、OB为邻边作矩形OAMB．若点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BAPQ为平行四边形，求此时OA、OB的长度．

解：（1）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴y＝﹣x+m+1，令x＝0，得到y＝m+1，∴D（0，m+1），令y＝0，得到x＝m+1，∴C（m+1，0），∴OC＝OD，∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝45°．

（2）如图2，过Q作QM⊥y轴于M，过P作PN⊥OC于N，过O作OH⊥CD于H，∵P（m，1）和Q（1，m），∴MQ＝PN＝1，OM＝ON＝m，∵∠OMQ＝∠ONP＝90°，∴△OMQ≌△ONP（SAS），∴OQ＝OP，∠DOQ＝∠POC，∵∠DOQ＝∠OCD﹣∠POC，∠OCD＝45°，∴∠DOQ＝∠POC＝∠QOH＝∠POH＝22.5°，∴MQ＝QH＝PH＝PN＝1，∵∠OCD＝∠ODC＝45°，∴△DMQ和△CNP都是等腰直角三角形，∴DQ＝PC＝，∵OC＝OD＝m+1，∴CD＝OC＝，∵CD＝DQ+PQ+PC，∴＝2+2，∴m＝+1；

（3）如图3，∵四边形BAPQ为平行四边形，∴AB∥PQ，AB＝PQ，∴∠OAB＝45°，∵∠AOB＝90°，∴OA＝OB，∴矩形OAMB是正方形，∵点M恰好在函数y＝（m为常数，m＞1，x＞0）的图象上，∴M（，），即OA＝OB＝，∵AB＝PQ，∴，解得：m＝或（舍），∴OA＝OB＝＝＝＝．

5、如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求DC的长；

（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．

解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，∴k＝﹣2，∴反比例函数的解析式为：；

（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，∴B（﹣1，2），∴AM＝BM＝2﹣1，∴∠BAM＝45°，∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；

（3）存在，如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，∴OE＝OC＝，①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：OP1＝AD＝2，∴P1（﹣2，0），②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴

则，综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．

6、如图①，直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（2，6），B（a，3）两点，BC∥x轴（点C在点B的右侧），且BC＝m，连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，交反比例函数图象于点E．

（1）求b的值和反比例函数的解析式；

（2）填空：不等式﹣x+b＞的解为；

（3）当OC平分∠BOD时，求的值；

（4）如图②，取BC中点F，连接DF，AF，BD，当四边形ABDF为平行四边形时，求点F的坐标．

（1）将A（2，6）代入y＝﹣x+b得，﹣3+b＝6，解得：b＝9，将A（2，6）代入y＝得，k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；

（2）当y＝3时，3＝，解得：x＝4，∴B（4，3），由图象可知不等式﹣x+b＞的解为：2＜x＜4，故答案为：2＜x＜4；

（3）将B（a，3）代入y＝得，＝3，解得：a＝4，∵OC平分∠BOD，∴∠BOC＝∠COD，∵BC∥x轴，∴∠BCO＝∠COD，∴∠BOC＝∠BCO，∴OB＝BC，∵B（4，3），∴OB＝BC＝5，∴C（9，3），∴E（9，），D（9，0），∴DE＝，CE＝3﹣＝，∴＝＝；

（4）作AH⊥BC于H，则H（2，3），∴AH＝3，BH＝2，∵四边形ABDF为平行四边形，∴AB∥DF，AB＝DF，∴∠CFD＝∠CBQ，∵∠AHB＝∠DCF＝90°，∠ABH＝∠CBQ，∴∠CFD＝∠ABH，∴△ABH≌△DFC（AAS），∴CF＝BH＝2，∵F是BC中点，∴BF＝CF＝BC＝2，∵B（4，3），∴F（6，3）．

7、定义：在平面直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向上平移2个单位的平移称为一次斜平移．已知点A（1，0），点A经过n次斜平移得到点B，点M是线段AB的中点．

（1）当n＝3时，点B的坐标是，点M的坐标是；

（2）如图1，当点M落在y＝的图象上，求n的值；

（3）如图2，当点M落在直线l上，点C是点B关于直线l的对称点，BC与直线l相交于点N．

①求证：△ABC是直角三角形；

②当点C的坐标为（5，3）时，求MN的长．

解：（1）根据平移的性质，点A（1，0）经过n次斜平移得到点B的坐标为（1+n，2n），∴当n＝3时，点B的坐标是（4，6），∵点M是线段AB中点，∴点M的坐标是（2.5，3），故答案为：（4，6），（2.5，3）

（2）由题意，A（1，0），B（1+n，2n），∴线段AB中点M（，n），∵点M落在y＝的图象上，∴×n＝4，解得n＝2或n＝﹣4（舍去），∴n＝2；

（3）①连接CM，如图1，∵M是AB的中点，∴AM＝BM，由轴对称可知：BM＝CM，∴AM＝CM＝BM，∴∠MAC＝∠ACM，∠MBC＝∠MCB，∵∠MAC+∠ACM+∠MBC+∠MCB＝180°，∴∠ACM+∠MCB＝90°，即∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形；

②∵点C的坐标为（5，3），点A（1，0），∴AC＝＝5，∵点C是点B关于直线l的对称点，∴BN＝CN，∵点M是线段AB的中点．

∴AM＝BM，∴MN＝AC＝．

8、如图（1），正方形ABCD顶点A、B在函数y＝（k＞0）的图象上，点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上，当k的值改变时，正方形ABCD的大小也随之改变．

（1）若点A的横坐标为5，求点D的纵坐标；

（2）如图（2），当k＝8时，分别求出正方形A′B′C′D′的顶点A′、B′两点的坐标；

（3）当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，求k的取值范围．

解：（1）如图，过点A作AE⊥y轴于点E，则∠AED＝90°．

∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，∴∠ODC+∠EDA＝90°．

∵∠ODC+∠OCD＝90°，∴∠EDA＝∠OCD，在△AED和△DOC中，∴△AED≌△DOC（AAS），∴OD＝EA＝5，∴点D的纵坐标为5；

（2）作A′M⊥y轴于M，B′N⊥x轴于点N，设OD′＝a，OC′＝b，同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E，∴C′N＝OD′＝A′M＝a，B′N＝C′O＝D′M＝b，∴A′（a，a+b），B′（a+b，b），∵点A′、B′在反比例函数y＝的图象上，∴a（a+b）＝8，b（a+b）＝8，∴解得a＝b＝2或a＝b＝﹣2（舍去），∴A′、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）；

（3）设直线A′B′的解析式为y＝mx+n，把A′（2，4），B′（4，2）代入得，解得，∴直线A′B′解析式为y＝﹣x+6，同样可求得直线C′D′解析式为y＝﹣x+2，由（2）可知△OCD是等腰直角三角形，设点A的坐标为（m，2m），点D坐标为（0，m），当A点在直线C′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝，此时点A的坐标为（，），∴k＝×＝；

当点D在直线A′B′上时，有m＝6，此时点A的坐标为（6，12），∴k＝6×12＝72；

综上可知：当变化的正方形ABCD与（2）中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时，k的取值范围为≤x≤72．

9、如图，如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数的图象交于点A（m，1）和B

（1，﹣3）．

（1）填空：一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；

（2）点P是x轴正半轴上一点，连接AP，BP．当△ABP是直角三角形时，求出点P的坐标．

解：（1）∵点A（m，1）和B

（1，﹣3）在反比例函数的图象上，∴k＝1×（﹣3）＝﹣3，k＝m×1，∴m＝﹣3，∴点A（﹣3，1），∴反比例函数解析式为：y＝；

∵一次函数y＝﹣x+b过点B（1，﹣3），∴﹣3＝﹣1+b，∴b＝﹣2，∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣2；

故答案为：y＝﹣x﹣2，；

（2）如图1，当∠ABP＝90°时，过点P作CD⊥x轴，过点A作AC⊥DC于C，过点B作BD⊥CD于D，设点P的坐标为（x，0），∴AC＝x+3，CP＝1，PD＝3，BD＝x﹣1，∵∠APB＝90°，∴∠APC+∠BPD＝90°，又∵∠APC+∠CAP＝90°，∴∠CAP＝∠BPD，又∵∠C＝∠BDP＝90°，∴△ACP∽△PBD，∴，∴，∴x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴点P（﹣1+，0）；

当∠ABP＝90°时，∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，∴点C（﹣2，0），点D（0，﹣2），∴OC＝2，OD＝2，CD＝2，BC＝3，∵tan∠OCD＝，∴，∴CP＝6，∵点C（﹣2，0），∴点P（4，0），综上所述：点P的坐标为（，0）或（4，0）．

10、如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；

（3）若点P在y轴上，是否存在点P，使△ABP是以AB为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，∴A（1，2），把A（1，2）代入反比例函数，∴k＝1×2＝2；

∴反比例函数的表达式为；

（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，∴C（3，0），设P（x，0），∴PC＝|3﹣x|，∴S△APC＝|3﹣x|×2＝5，∴x＝﹣2或x＝8，∴P的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；

（3）存在，理由如下：联立，解得：或，∴B点坐标为（2，1），∵点P在y轴上，∴设P（0，m），∴AB＝＝，AP＝，PB＝，若BP为斜边，∴BP2＝AB2+AP2，即

＝2+，解得：m＝1，∴P（0，1）；

若AP为斜边，∴AP2＝PB2+AB2，即

＝+2，解得：m＝﹣1，∴P（0，﹣1）；

综上所述：P（0，1）或

P（0，﹣1）．

11、如图，直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝（x＞0）分别交于点D、A（AB＜AC），经探索研究发现：结论AB＝CD始终成立．另一直线y＝mx（m＞0）交线段BC于点E，交反比例函数y＝（x＞0））图象于点F．

（1）当BC＝5时：

①求反比例函数的解析式．

②若BE＝3CE，求点F的坐标．

（2）当BE：CD＝1：2时，请直接写出k与m的数量关系．

解：（1）①针对于直线y＝﹣x+6，令x＝0，则y＝6，∴A（0，6），∴OA＝6，令y＝0，则0＝﹣x+6，∴x＝8，∴D（8，0），∴OD＝8，∴AD＝10，∵BC＝5，∴AB+CD＝AD﹣BC＝5，∵AB＝CD，∴AB＝，过点B作BG⊥y轴于G，∴∠AGB＝90°＝∠AOB，∵∠BAG＝∠DAO，∴△ABG∽ADO，∴，∴，∴AG＝，BG＝2，∴OG＝OA﹣AG＝，∴B（2，），∵点B在反比例函数y＝（x＞0））图象上，∴k＝2×＝9，∴反比例函数的解析式为y＝；

②∵BC＝5，∴BE+CE＝5，∵BE＝3CE，∴BE＝，∴AE＝AB+BE＝，过点E作EH⊥y轴于H，∴∠AHE＝90°＝∠AOB，∵∠HAE＝∠OAD，∴△HAE∽△OAD，∴，∴，∴AH＝，BG＝5，∴OH＝OA﹣AH＝，∴E（5，），∴直线OE的解析式为y＝x，联立，解得，（舍）或，∴F（2，）；

（2）∵BE：CD＝1：2，∴BE＝a，则CD＝2a，∴AB＝CD＝2a，∴AE＝AB+BE＝3a，过点E作EH⊥y轴于H，同（1）的方法得，△HAE∽△OAD，∴，∴，∴AH＝a，EH＝a，∴OH＝OA﹣AH＝6﹣a，∴E（a，6﹣a），将点E坐标代入直线y＝mx（m＞0）中，解得am＝6﹣a，∴a＝，将点E的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，解得，k＝a（6﹣a）＝a（10﹣3a）＝×（10﹣）＝．

13、如图，已知直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，矩形ACBE的顶点B在第一象限的反比例函数y＝图象上，过点B作BF⊥OC，垂足为F，设OF＝t．

（1）求∠ACO的正切值；

（2）求点B的坐标（用含t的式子表示）；

（3）已知直线y＝2x+2与反比例函数y＝图象都经过第一象限的点D，联结DE，如果DE⊥x轴，求m的值．

解：（1）∵直线y＝2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴点A（﹣1，0），点C（0，2）

∴OA＝1，OC＝2，∴tan∠ACO＝＝；

（2）∵四边形ACBE是矩形，∴∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCF＝90°，且∠BCF+∠CBF＝90°，∴∠ACO＝∠CBF，∵OF＝t，∴CF＝2﹣t，∵tan∠CBF＝tan∠ACO＝，∴BF＝4﹣2t，∴点B（4﹣2t，t）；

（3）如图，连接DE，交x轴于H点，∵DE⊥x轴，∴∠AHE＝90°，∴∠HAE+∠AEH＝90°，且∠CAO+∠HAE＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∠ACO+∠BCF＝90°，∴∠AEH＝∠BCF，且∠CFB＝∠AHE，AE＝BC，∴△BCF≌△AEH（AAS）

∴AH＝BF＝4﹣2t，CF＝HE，∵点A（﹣1，0），∴点H（3﹣2t，0），∴当x＝3﹣2t时，y＝2（3﹣2t）+2＝8﹣4t，∴点D坐标为（3﹣2t，8﹣4t），∵点D，点B都在反比例函数y＝上，∴（3﹣2t）（8﹣4t）＝t（4﹣2t）

∴t1＝2（不合题意舍去），t2＝；

∴点B（，）

∴m＝×＝．

14、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，点A在第二象限，且点A的横坐标为﹣1，点D在x轴负半轴上，连接AD交反比例函数图象于另一点E，AC为∠BAD的平分线，过点B作AC的垂线，垂足为C，连接CE，若AD＝2DE，△AEC的面积为．

（1）根据图象回答：当x取何值时，y1＜y2；

（2）求△AOD的面积；

（3）若点P的坐标为（m，k），在y轴的轴上是否存在一点M，使得△OMP是直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝（k＜0）的图象交于A、B两点，且点A的横坐标为﹣1，∴点A，点B关于原点对称，∴点B的横坐标为1，∴当x取﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2；

（2）连接OC，OE，由图象知，点A，点B关于原点对称，∴OA＝OB，∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴OC＝AB＝AO，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC为∠BAD的平分线，∴∠OAC＝∠DAC，∴∠OCA＝∠DAC，∴AD∥OC，∴S△AEO＝S△ACE＝，∵AD＝2DE，∴AE＝DE，∴S△AOD＝2S△AOE＝3；

（3）作EF⊥x轴于F，作AH⊥x轴于H，则EF∥AH，∵AD＝2DE，∴DE＝EA，∵EF∥AH，∴＝＝1，∴DF＝FH，∴EF是△DHA的中位线，∴EF＝AH，∵S△OEF＝S△OAH＝﹣，∴OF•EF＝OH•HA，∴OH＝OF，∴OH＝HF，∴DF＝FH＝HO＝DO，∴S△OAH＝S△ADO＝3＝1，∴﹣＝1，∴k＝﹣2，∴y＝﹣，∵点A在y＝﹣的图象上，∴把x＝﹣1代入得，y＝2，∴A（﹣1，2），∵点A在直线y＝mx上，∴m＝﹣2，∴P（﹣2，﹣2），在y轴上找到一点M，使得△OMP是直角三角形，当∠OMP＝90°时，PM⊥y轴，则OM＝2，∴点M的坐标为（0．﹣2）；

当∠OPM＝90°时，过P作PG⊥y轴于G，则△OPM是等腰直角三角形，∴OM＝2PG＝4，∴点M的坐标为（0．﹣4）；

综上所述，点M的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．