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九年级数学下册

第二十六章

反比例函数

综合训练

一、选择题

1.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是()

A.y＝3x

B.y＝

C.y＝－

D.y＝x2

2.设函数y＝(k≠0，x>0)的图象如图所示，若z＝，则z关于x的函数图象可能为()

3.（2019•广西）若点（1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=（k<0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是

A．y1＞y2＞y3

B．y3＞y2＞y1

C．y1＞y3＞y2

D．y2＞y3＞y1

4.（2020·内江）如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴，垂足为点C，D为AC的中点，若的面积为1，则k的值为（）

A.B.C.3

D.4

5.如图，一次函数y1＝ax＋b与反比例函数y2＝的图象如图所示，当y1＜y2时，则x的取值范围是()

A.x＜2

B.x＞5

C.2＜x＜5

D.0＜x＜2或x＞5

6.（2020·长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为106

m3土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度v（单位：m3/天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是

（）

A．

B．

C．

D．

7.(2019·江西)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2，4)，下列说法正确的是

A．反比例函数y2的解析式是y2=–

B．两个函数图象的另一交点坐标为(2，–4)

C．当x<–2或0

D．正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大

8.在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为()

二、填空题

9.已知反比例函数y＝的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，请写一个符合条件的反比例函数解析式____________．

10.已知函数y＝－，当自变量的取值为－1＜x＜0或x≥2，函数值y的取值____________．

11.已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1________y2(填“>”或“＝”或“<”)．

12.如图，直线y1＝kx(k≠0)与双曲线y2＝(x>0)交于点A(1，a)，则y1>y2的解集为________．

13.（2019•山西）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为（–4，0），点D的坐标为（–1，4），反比例函数y=（x＞0）的图象恰好经过点C，则k的值为__________．

14.(2019·贵州安顺)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1=(x>0)及y2=(x>0)的图象分别交于A、B两点，连接OA、OB，已知△OAB的面积为4，则k1﹣k2=__________．

15.如图，点A在函数y＝(x>0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为________．

16.如图，已知点A，C在反比例函数y＝的图象上，点B，D在反比例函数y＝的图象上，a>b>0，AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB＝，CD＝，AB与CD间的距离为6，则a－b的值是________．

三、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C的坐标为(1，)．

(1)求图象过点B的反比例函数的解析式；

(2)求图象过点A、B的一次函数的解析式；

(3)在第一象限内，当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时，请直接写出自变量x的取值范围．

18.某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y(微克/毫升)与服药时间x小时之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．

(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式；

(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时？

19.如图，直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝交于点A(1，m)．这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)直接写出当x>0时，不等式x＋b>的解集；

(3)若点P在x轴上，连接AP，且AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，求此时点P的坐标．

20.（2019•广东）如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．

（1）根据图象，直接写出满足k1x+b＞的x的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP=1：2，求点P的坐标．

21.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0

mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．

(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；

(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

22.(2019·甘肃庆阳)如图，已知反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1，3)，B(3，1)两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)已知点P(a，0)(a>0)，过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y=上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．

23.（2019•河南）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得xy=4，即y=；由周长为m，得2（x+y）=m，即y=–x+．满足要求的（x，y）应是两个函数图象在第__________象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数y=（x＞0）的图象如图所示，而函数y=–x+的图象可由直线y=–x平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线y=–x．

（3）平移直线y=–x，观察函数图象

①当直线平移到与函数y=（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，周长m的值为__________；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为__________．

24.(2019·浙江金华)如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y(k>0，x>0)的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD=2．

(1)点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；

(3)平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．

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第二十六章

反比例函数

综合训练-答案

一、选择题

1.【答案】B　【解析】图象经过一，三象限，则它可能是正比例函数或反比例函数；在每一个象限内，y随x的增大而减小，则它是反比例函数，并且反比例函数中的比例系数大于0，故本题选B.2.【答案】D　【解析】函数y＝(k≠0，x＞0)的图象在第一象限，则k＞0，x＞0.由已知得z＝＝

＝，所以z关于x的函数图象是一条射线，且在第一象限，故选D.3.【答案】C

【解析】∵k<0，∴在每个象限内，y随x值的增大而增大，∴当x=–1时，y1＞0，∵2<3，∴y2

4.【答案】

D

【解析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出，即可得出结论．

∵点A的坐标为（m，2n），∴，∵D为AC的中点，∴D（m，n），∵AC⊥轴，△ADO的面积为1，∴，∴，∴，因此本题选D．

5.【答案】D　【解析】根据图象得：当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜2或x＞5.6.【答案】A

【解析】本题考查了对实际问题的解析能力，根据题意找到函数中的数量关系，运送速度＝运送总量÷时间，因此本题选A．

7.【答案】C

【解析】∵正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2，4)，∴正比例函数y1=2x，反比例函数y2=，∴两个函数图象的另一个交点为(–2，–4)，∴A，B选项错误；

∵正比例函数y1=2x中，y随x的增大而增大，反比例函数y2=中，在每个象限内y随x的增大而减小，∴D选项错误，∵当x<–2或0

8.【答案】D　【解析】∵DH垂直平分AC，AC＝4，∴AH＝CH＝AC＝×4＝2，CD＝AD＝y.在Rt△ADH中，DH＝＝，在Rt△ABC中，BC＝＝，∵S四边形ABCD＝S△ACD＋S△ABC，∴(y＋x)·＝×4×＋x·，即y·＝4×，两边平方得y2(42－x2)＝16(y2－22)，16y2－x2y2＝16y2－64，∴(xy)2＝64，∵x＞0，y＞0，∴xy＝8，∴y与x的函数关系式为：y＝(0＜x＜4)，故选D.二、填空题

9.【答案】y＝－(答案不唯一)

【解析】∵反比例函数的图象在每一个象限内y随x的增大而增大，∴k＜0，∴k可取－2(答案不唯一)．

10.【答案】y＞1或－≤y＜0

【解析】∵函数y＝－，∴该反比例函数图象在二、四象限，且在二、四象限都随x的增大而增大，画出草图如解图，当－1＜x＜0时，y＞1；当x≥2时，－≤y＜0，∴函数值y的取值为y＞1或－≤y＜0.11.【答案】＞

【解析】∵m＜0，∴反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，又∵m－1＞m－3，∴y1＞y2.12.【答案】x＞1

【解析】当x＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集为x＞1.13.【答案】16

【解析】过点C、D作CE⊥x轴，DF⊥x轴，垂足为E、F，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，易证△ADF≌△BCE，∵点A（–4，0），D（–1，4），∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3，在Rt△ADF中，AD=＝5，∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，故答案为：16．

14.【答案】8

【解析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为k1，△BOP的面积为k2，∴△AOB的面积为k1﹣k2，∴k1﹣k2=4，∴k1﹣k2=8，故答案为8．

15.【答案】2＋4　【解析】设点A的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，∴△ABC的周长＝2＋4.16.【答案】3　【解析】设点A的纵坐标为y1，点C的纵坐标为y2，∵AB∥CD∥x轴，∴点B的纵坐标为y1，点D的纵坐标为y2，∵点A在函数y＝的图象上，点B在函数y＝的图象上，且AB＝，∴－＝，∴y1＝，同理y2＝，又∵AB与CD间的距离为6，∴y1－

y2＝－＝6，解得a－b＝3.三、解答题

17.【答案】

(1)如解图，过点C作CD⊥OA于点D，则OD＝1，CD＝，在Rt△OCD中，由勾股定理得OC＝＝2，∵四边形OABC为菱形，∴BC＝AB＝OA＝OC＝2，则点B的坐标为(3，)，设反比例函数的解析式为y＝(k≠0)，∵其图象经过点B，∴将B(3，)代入，得＝，解得k＝3，∴该反比例函数的解析式为y＝；

(2)∵OA＝2，∴点A的坐标为(2，0)，由(1)得B(3，)，设图象经过点A、B的一次函数的解析式为y＝k′x＋b(k′≠0)，将A(2，0)，B(3，)分别代入，得，解得，∴该一次函数的解析式为y＝x－2；

(3)由图象可得，满足条件的自变量x的取值范围是2＜x＜3.18.【答案】

解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为y＝kx，将(4，8)代入得8＝4k，解得k＝2，∴直线解析式为y＝2x，(2分)

当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为y＝，将(4，8)代入得8＝，解得a＝32，∴反比例函数解析式为y＝，(4分)

∴血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x(0≤x≤4)，下降阶段的函数关系式为y＝(4≤x≤10)．(5分)

(2)当y＝4，则4＝2x，解得x＝2，当y＝4，则4＝，解得x＝8，∵8－2＝6(小时)，(7分)

∴血液中药物浓液不低于4微克/毫升的持续时间为6小时．(8分)

19.【答案】

(1)∵直线y1＝－x＋4，y2＝x＋b都与双曲线y＝交于点A(1，m)，∴将A(1，m)分别代入三个解析式，得，解得，∴y2＝x＋，y＝；

(2)当x>0时，不等式x＋b>的解集为x>1；

(3)将y＝0代入y1＝－x＋4，得x＝4，∴点B的坐标为(4，0)，将y＝0代入y2＝x＋，得x＝－3，∴点C的坐标为(－3，0)，∴BC＝7，又∵点P在x轴上，AP把△ABC的面积分成1∶3两部分，且△ACP和△ABP等高，∴当PC＝BC时，＝，此时点P的坐标为(－3＋，0)，即P(－，0)；

当BP＝BC时，＝，此时点P的坐标为(4－，0)，即P(，0)，综上所述，满足条件的点P的坐标为(－，0)或(，0)．

20.【答案】

（1）由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x<–1或0

（2）直线解析式y=–x+3，反比例函数的解析式为y=–；

（3）P（，）．

【解析】（1）∵点A的坐标为（–1，4），点B的坐标为（4，n）．

由图象可得：k1x+b＞的x的取值范围是x<–1或0

（2）∵反比例函数y=的图象过点A（–1，4），B（4，n），∴k2=–1×4=–4，k2=4n，∴n=–1，∴B（4，–1），∵一次函数y=k1x+b的图象过点A，点B，∴，解得k=–1，b=3，∴直线解析式y=–x+3，反比例函数的解析式为y=–；

（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC=×3×1=，∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=，∵S△AOP：S△BOP=1：2，∴S△AOP=×=，∴S△COP=–=1，∴×3xP=1，∴xP=，∵点P在线段AB上，∴y=–+3=，∴P（，）．

21.【答案】

解：(1)当0≤x≤3时，设线段AB的解析式为y＝kx＋b，代入点A(0，10)，B(3，4)，得：，解得，(3分)

∴线段AB的解析式为y＝－2x＋10.(5分)

当x>3时，设反比例函数的解析式为y＝，代入点B(3，4)，得m＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，∴y与x之间的函数关系式为y＝.(8分)

(2)能．理由如下：

当x＝15时，代入y＝，得y＝0.8<1.0，(9分)

所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0

mg/L.(10分)

【一题多解】可令y＝＝1，则x＝12＜15.(9分)

所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0

mg/L.(10分)

22.【答案】

(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1，3)，B(3，1)两点，∴3=，3=﹣1+b，∴k=3，b=4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=，y=﹣x+4；

(2)由图象可得：当1PN．

23.【答案】

（1）一；（2）见解析；（3）m≥8．

【解析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，故点（x，y）在第一象限，答案为：一；

（2）图象如下所示：

（3）①把点（2，2）代入y=–x+得：

2=–2+，解得：m=8；

②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立y=和y=–x+并整理得：x2–mx+4=0，△=m2–4×4≥0时，两个函数有交点，解得m≥8，即：0个交点时，m<8；1个交点时，m=8；2个交点时，m＞8．

（4）由（3）得：m≥8．

24.【答案】

(1)点A在该反比例函数的图象上，理由见解析；(2)Q点横坐标为；

【解析】(1)点A在该反比例函数的图象上，理由如下：

如图，过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD=2，∴BP=2，G是CD的中点，∴PG，∴P(2，)，∵P在反比例函数y上，∴k=2，∴y，由正六边形的性质，A(1，2)，∴点A在反比例函数图象上；

(2)由题易得点D的坐标为(3，0)，点E的坐标为(4，)，设直线DE的解析式为y=ax+b，∴，∴，∴yx﹣3，联立方程，解得x(负值已舍)，∴Q点横坐标为；

(3)A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为

∴A(1﹣m，2n)，B(﹣m，n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，n)，F(3﹣m，2n)，①将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)；

则点E与F都在反比例函数图象上；

②将正六边形向左平移–1个单位，再向上平移个单位后，C(2，)，B(1，2)，则点B与C都在反比例函数图象上；

③将正六边形向左平移2个单位，再向上平移–2个单位后，B(﹣2，)，C(﹣1，﹣2)；

则点B与C都在反比例函数图象上．