专题19

最值问题

阅读与思考

在实际生活与生产中，人们总想节省时间或费用，而取得最好的效果或最高效益，反映在数学问题上，就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值，这类问题被称之为最值问题，在现阶段，解这类问题的相关知识与基本方法有：

1、通过枚举选取.2、利用完全平方式性质.3、运用不等式（组）逼近求解.4、借用几何中的不等量性质、定理等.解答这类问题应当包括两个方面，一方面要说明不可能比某个值更大（或更小），另一方面要举例说明可以达到这个值，前者需要详细说明，后者需要构造一个合适的例子.例题与求解

【例1】

若c为正整数，且，，则（）（）（）（）的最小值是

.（北京市竞赛试题）

解题思路：条件中关于C的信息量最多，应突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代数式表示.【例2】

已知实数a，b满足，则的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全国初中数学竞赛试题)

解题思路：对进行变形，利用完全平方公式的性质进行解题.【例3】

如果正整数满足=，求的最大值.解题思路：不妨设，由题中条件可知=1.结合题意进行分析.【例4】

已知都为非负数，满足，记，求的最大值与最小值.（四川省竞赛试题）

解题思路：解题的关键是用含一个字母的代数式表示.【例5】

某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立，要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根，已知工程车每次之多只能运送电线杆4根，要求完成运送18根的任务，并返回仓库，若工程车每行驶1千米耗油m升（在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关，其他因素不计）.每升汽油n元，求完成此项任务最低的耗油费用.（湖北省竞赛试题）

解题思路：要使耗油费用最低，应当使运送次数尽可能少，最少需运送5次，而5次又有不同运送方法，求出每种运送方法的行驶路程，比较得出最低的耗油费用.【例6】

直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，P到三边的距离分别为，，求++的最大值和最小值，并求当++取最大值和最小值时，P点的位置.（“创新杯”邀请赛试题）

解题思路：连接P点与三角形各顶点，利用三角形的面积公式来解.能力训练

A

级

1.社a，b，c满足，那么代数式的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

2.在满足的条件下，能达到的最大值是

.（“希望杯”邀请赛试题）

3.已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，则的最大值是

.（全国初中数学联赛试题）

4.已知有理数a，b，c满足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范围是

.（数学夏令营竞赛试题）

5.在式子中，代入不同的x值，得到对应的值，在这些对应的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整数，b是正整数，且满足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全国初中数学联赛试题)

7.已知则代数式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江苏省竞赛试题)

8.已知，均为非负数，且满足=30，又设，则M的最小值与最大值分别为（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非负实数，满足，记.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀请赛试题）

10.某童装厂现有甲种布料38米，乙钟布料26米，现计划用这两种布料生产L，M两种型号的童装共50套，已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米，乙种布料1米，可获利45元；做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米，乙种布料0.2米，可获利30元，试问该厂生产的这批童装，当L型号的童装为多少套是，能使该厂获得利润最大？最大利润为多少？

（江西省无锡市中考试题）