2021中考九年级数学二轮复习专题训练：圆的有关计算

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计30分）

1.一个扇形的半径为6，圆心角为120∘，则该扇形的面积是（）

A.2π

B.4π

C.12π

D.24π

2.若一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240∘的扇形，则这个圆锥的底面半径长是（）

A.6cm

B.9cm

C.12cm

D.18cm

3.如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD=30∘，OA=2，则阴影部分的面积是（）

A.B.C.π

D.2π

4.已知圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36∘，则该圆锥的母线长为（）

A.100cm

B.10cm

C.10cm

D.1010cm

5.已知圆O的半径是3，A，B，C 三点在圆O上，∠ACB＝60∘，则弧AB的长是（）

A.2π

B.π

C.32π

D.12π

6.如图，在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为22时，则阴影部分的面积为（）

A.2π-4

B.4π-8

C.2π-8

D.4π-4

7.制作一个圆锥模型，已知这个模型的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为120∘的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底，则这块铁皮的半径为（）

cm．

A.32

B.1

C.2

D.3

8.如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在AB上的点D处，且BDl:ADl=1:3（BDl表示BD的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）

A.1:3

B.1:π

C.1:4

D.2:9

9.如图一个扇形纸片的圆心角为90∘，半径为4，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，则图中阴影部分的面积为（）

A.16π3-43

B.43-4π3

C.16π3-83

D.93-3π

10.如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的个数是（）

①AM平分∠CAB；

②AM2＝AC⋅AB；

③若AB＝4，∠APE＝30∘，则BM的长为π3；

④若AC＝3，BD＝1，则有CM=DM=3．

A.1

B.2

C.3

D.4

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计15分）

11.在一张边长为4cm的正方形纸上做扎针随机试验，纸上有一个半径为1cm的圆形阴影区域，则针头扎在阴影区域内的概率为________．

12.一个圆锥的侧面展开图半径为16cm，圆心角270∘的扇形，则这个圆锥的底面半径是________cm．

13.如图，在△ABC中，AB=CB=62cm，∠ABC=90∘，以AC的中点O为圆心，OB为半径作半圆．若∠MON=90∘，OM与ON分别交半圆于点E，F，则图中阴影部分的面积是________.14.如图，半径为2的⊙O与△AOB的边AB相切于点C，与OB相交于点D，且OD=BD，则图中阴影部分的面积为________．

15.如图，AC⊥BC,AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆心，BC为半径作AB，过点O作AC的平行线分别交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是________.三、解答题

（本题共计

小题，共计75分）

16.（9分）

如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，CA=CB=4，分别以A、B、C为圆心，以12AC为半径画弧，求三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积．

17.(9分)

如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE // AB，过点B作直线BE // AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45∘，⊙O的半径是4cm

（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．

18.(9分)

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30∘，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．

（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AB=43，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

19.(9分)

如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠E=40∘，∠F=50∘.(1)求∠A的度数；

(2)当⊙O的半径等于2时，请求出劣弧BD的长(结果保留π).20.(9分)

如图，AB是⊙O的直径，C，G是⊙O上两点，且AC = CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．

1求证：CD是⊙O的切线；

2若OFFD = 23，求证：AE=AO；

3连接AD，在2的条件下，若CD = 2，求AD的长．

21.(9分)

如图，AB是半圆的直径，O为半圆O的圆心，AC是弦，取BC的中点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是半圆O的切线；

(2)当AB=10,AC=53时，求BC的长；

(3)当AB=20时，直接写出△ABC面积最大时，点D到直径AB的距离.22.(10分)

如图，点O是线段AH上一点，AH=3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD．

(1)求证：AD是⊙O的切线；

(2)若OH=13AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；

(3)若NH=13AH，BN=54，连接MN，求OH和MN的长．

23.(11分)

如图，在△ABC中，AB=AC，AO⊥BC于点O，OE⊥AB于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)若点F是OA的中点，OE=3，求图中阴影部分的面积；

(3)在(2)的条件下，点P是BC边上的动点，当PE+PF取最小值时，直接写出BP的长_________．

参考答案

一、选择题

1.【答案】

C

【解答】

解：S=120×π×62360=12π.故选C.2.【答案】

C

【解答】

圆锥的弧长为：240π×18180=24π，∴

圆锥的底面半径为24π÷2π＝12，3.【答案】

B

【解答】

∵∠BCD=30∘

ABO=60∘

AB是OO的直径，CD是弦，OA=2

…阴影部分的面积是：60×π×22360=2π3

故选B．

4.【答案】

C

【解答】

设母线长为R，圆锥的侧面积=36πR2360=10π，∴

R＝10cm

5.【答案】

A

【解答】

如图，∵

∠ACB＝60∘，∴

∠AOB＝2∠ACB＝120∘，∴

l=nπr180=120×π×3180=2π．

6.【答案】

A

【解答】

解：连接OC

∵

在扇形AOB中∠AOB=90∘，正方形CDEF的顶点C是AB的中点，∴

∠COD=45∘，∴

OC=(22)2+(22)2=4，∴

阴影部分的面积=扇形BOC的面积-三角形ODC的面积

=45360×π×42-12×(22)2

=2π-4．

故选A.7.【答案】

D

【解答】

解：圆锥的底面周长为：120×π×9180=6π,设圆形铁皮的半径为r，则2πr=6π，解得：r=3cm．

这块圆形铁皮的半径为3cm.故选D.8.【答案】

D

【解答】

解：连接OD交OC于M.由折叠的知识可得：OM=12OD=12OA，∠OMA=90∘，∴

∠OAM=30∘，∴

∠AOM=60∘.∵

BDl:ADl=1:3，∴

∠AOB=80∘.设圆锥的底面半径为r，母线长为l，80πl180=2πr，∴

r:l=2:9.故选D.9.【答案】

B

【解答】

解：由折叠可知，S弓形AD=S弓形OD，DA=DO.∵

OA=OD，∴

AD=OD=OA，∴

△AOD为等边三角形，∴

∠AOD=60∘，∠DOB=30∘.∵

AD=OD=OA=4，∴

CD=23，∴

S弓形AD=S扇形ADO-S△ADO

=60π⋅42360-12×4×23

=83π-43，∴

S弓形OD=83π-43，∴

阴影部分的面积=S扇形BDO-S弓形OD

=30π⋅42360-(83π-43)

=43-4π3.故选B.10.【答案】

C

【解答】

连接OM，∵

PE为⊙O的切线，∴

OM⊥PC，∵

AC⊥PC，∴

OM // AC，∴

∠CAM＝∠AMO，∵

OA＝OM，∠OAM＝∠AMO，∴

∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正确；

∵

AB为⊙O的直径，∴

∠AMB＝90∘，∵

∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴

△ACM∽△AMB，∴

ACAM=AMAB，∴

AM2＝AC⋅AB，故②正确；

∵

∠APE＝30∘，∴

∠MOP＝∠OMP-∠APE＝90∘-30∘＝60∘，∵

AB＝4，∴

OB＝2，∴

BM的长为60⋅π×2180=2π3，故③错误；

∵

BD⊥PC，AC⊥PC，∴

BD // AC，∴

PBPA=BDAC=13，∴

PB=13PA，∴

PB=12AB，BD=12OM，∴

PB＝OB＝OA，∴

在Rt△OMP中，OM＝2BD＝2，∴

OP＝4，∴

∠OPM＝30∘，∴

PM＝23，∴

CM＝DM＝DP=3，故④正确．

二、填空题

11.【答案】

π16

【解答】

根据题意，针头扎在阴影区域内的概率就是圆与正方形的面积的比值；

由题意可得：正方形纸边长为4cm，其面积为16cm2，圆的半径为1cm，其面积为πcm2，故其概率为π16．

12.【答案】

【解答】

解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=270π×16180，则r=12cm．

故答案为：12.13.【答案】

(9π-18)cm2

【解答】

解：∵

AC是半圆O的直径，∴

∠ABC=90∘=∠MON，又∵

AB=CB，点O是AC的中点，∴

∠BOC=90∘，∴

∠BOE=∠COF，∴

S扇形BOE=S扇形COF，将扇形BOE以点O为旋转中心，逆时针旋转90∘，∵

AB=CB=62,由勾股定理，得AC=AB2+BC2=622+622=12 ,∴

OB=OA=OC=6,S阴影=S扇形BOC-S△BOC

=90π×62360-12×6×6=(9π-18)cm2.故答案为：(9π-18)cm2.14.【答案】

23-2π3

【解答】

解：∵

⊙O与AB相切于点C，∴

OC⊥AB.∵

OD=DB，OD=OC=r=2，∴

OB=OD+DB=2OC=2r=4，∴

∠OBC=30∘，∴

∠BOC=60∘，∴

BC=OB2-OC2=42-22=23，∴

S阴影=S△OCB-S扇形DOC，=12×BC×OC-60×π×r2360，=12×23×2-60π×4360

=23-2π3.故答案为：=23-2π3.15.【答案】

5π3-23

【解答】

解：连接CE．

∵

AC⊥BC，AC=BC=4，以BC为直径作半圆，圆心为点O；

以点C为圆心，BC为半径作弧AB，∴

∠ACB=90∘，OB=OC=OD=2，BC=CE=4．

又∵

OE // AC，∴

∠ACB=∠COE=90∘，∴

在直角△OEC中，OC=2，CE=4，∴

∠CEO=30∘，∠ECB=60∘，∴

OE=23，∴

S阴影＝S扇形BCE-S扇形BOD-S△OCE

=60π×42360-14π×22-12×2×23

=5π3-23.故答案为：5π3-23.三、解答题

16.【答案】

解：∵

∠C=90∘，CA=CB=4，∴

12AC=2，S△ABC=12×4×4=8，∵

三条弧所对的圆心角的和为180∘，三个扇形的面积和=180π×22360=2π，∴

三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和=8-2π．

17.【答案】

解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：

连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45∘，∵

AB是直径，∴

∠ADB=90∘，∴

△ADB为等腰直角三角形，∵

点O为AB的中点，∴

OD⊥AB，∵

DE // AB，∴

OD⊥DE，∵

OD是半径，∴

DE为⊙O的切线；

（2）∵

BE // AD，DE // AB，∴

四边形ABED为平行四边形，∴

DE=AB=8cm，∴

S阴影部分=S梯形BODE-S扇形OBD

=12(4+8)×4-90⋅π⋅42360

=(24-4π)cm2．

18.【答案】

解：（1）连接OA，∵

AB=AC，∴

∠C=∠B，∵

∠B=30∘，∴

∠C=30∘，∴

∠AOC=60∘，∴

∠OAC=90∘，∴

直线CA与⊙O相切；

（2）连接AD，过点D作DE⊥AC，过点O作OF⊥AB，∵

AB=43，∴

AD=OA=OB=OD=4，∵

∠DAE=30∘，∴

DE=2，∴

△ABC面积123，扇形AOD面积83π，△ABO面积43，∴

阴影面积83-83π．

19.【答案】

解：(1)∵

四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴

∠DCE=∠A，∵

∠EDF=∠A+∠F=∠A+50∘，而∠EDF+∠DCE+∠E=180∘，∴

∠A+50∘+∠A+40∘=180∘，∴

∠A=45∘.(2)连接OB，OD，∵

∠BOD=2∠A=90∘，∴

BD的长=90∘×π×2180∘=π．

20.【答案】

1证明：连接OC，∵

OC=OB，AC = CG，∴

∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠CBD，∴

∠CBD=∠OCB，∴

OC // BD，∴

∠ECO=∠EDB，∵

CD⊥BG于点D，∴

∠EDB=90∘，∴

∠ECO=90∘，∵

OC是⊙O的半径，∴

CD是⊙O的切线．

2证明：∵

OC // BD，∴

∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，∴

△OCF∼△DBF，∴

OFDF = OCDB，∵

OFFD = 23，∴

OCDB = 23，∵

OC // BD，∴

△EOC∼△EBD，∴

OCBD = EOEB，∴

EOEB = 23，设OE=2a，则EB=3a，∴

OB=OA=a，∴

EA=a，∴

AE=AO．

3解：∵

OC=OA=a，EO=2a，∴

OC = 12EO，又∵

∠OCE=90∘，∴

∠E=30∘，∵

∠BDE=90∘，BC平分∠EBD，∴

∠EBD=60∘，∠OBC=∠DBC=30∘，∵

CD = 2，∴

BC=22，BD = 6，∵

OCBD = 23，∴

OC = 263，作DM⊥AB于点M，∴

∠DMB=90∘，∵

BD = 6，∠DBM=60∘，∴

BM = 62，DM = 322，∵

OC = 263，∴

AB = 463，∴

AM=AB-BM = 463-62 = 566，∵

∠DMA=90∘，DM = 322，∴

AD = AM2 + DM2 =(566)2 +(322)2 = 783．

21.【答案】

(1)证明：连接OD.∵

D是弧BC的中点，∴

BD=DC，∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠1=∠3, ∴∠2=∠3，∴OD//AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.(2)解：连接BC，OC，则∠ACB是直角.当AB=10,AC=53时，则cos∠BAC=ACAB=32，∴∠BAC=30∘,∠BOC=60∘，∴

BC=60π⋅5180=5π3.(3)解：连接OD，BC，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，作DH⊥AB于点H,由(1)可知OD⊥DE.∴∠FOD=∠ODE=∠DEA=90∘，∴

四边形ODEF为矩形，∴OF=ED.当∠BAC=45∘时，△ABC为等腰直角三角形，此时，△ABC面积最大，∴AC=cos45∘⋅AB=22×20=102，∴OF=12BC=12AC=52.又∵

∠BAD=∠DAE，∴

DH=DE，即点D到直径AB的距离为52.22.【答案】

(1)证明：∵

四边形ABCD是平行四边形，∴

AD // BC.∵

∠AHC=90∘，∴

∠HAD=90∘，即OA⊥AD.又OA为半径，∴

AD是⊙O的切线.(2)解：连接OC.∵

OH=12OA，AH=3，∴

OH=1，OA=2.在Rt△OHC中，∠OHC=90∘，OH=12OC，∴

∠OCH=30∘，∴

∠AOC=∠OHC+∠OCH=120∘，∴

S扇形OAC=120×π×22360=4π3.∵

CH=22-12=3，∴

S△OHC=12×1×3=32，∴

四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积=S扇形OAC+S△OHC=4π3+32.(3)解：设OA=r，则OH=3-r.连接ON.在Rt△OHN中，OH2+HN2=ON2，∴

(3-r)2+12=r2，∴

r=53，则OH=43；

在Rt△ABH中，AH=3，BH=54+1=94，则AB=154.在Rt△ACH中，AH=3，CH=NH=1，得AC=10.在△BMN和△BCA中，∠B=∠B，∠BMN=180∘-∠AMN=∠BCA，∴

△BMN∼△BCA，∴

MNCA=BNBA，即MN10=54154=13，∴

MN=103.23.【答案】

(1)证明：过点O作OM⊥AC于点M．

∵AB=AC，AO⊥BC，∴

AO平分∠BAC.∵OE⊥AB，OM⊥AC，∴OM=OE，∴

AC是⊙O的切线．

解：(2)∵OM=OF=OE=3，且点F是OA的中点，∴AO=2OF=6，在Rt△AEO中，AE=AO2-OE2=33，∴S△AEO=12AE⋅OE=932，∵

∠OEA=90∘，AO=6，AE=33，OE=3，∴∠EOF=60∘，∴S扇形OEF=9π×60∘360∘=3π2，∴S阴影=S△AEO-S扇形OEF=932-3π2．

(3)如图，作点F关于直线BC的对称点F＇，连接EF＇，交BC于点P，则此时PE+PF取最小值，为EF＇的长，∵

PF=PF＇，∴

PE+PF=PE+PF＇=EF＇，此时EP+FP最小，∵

OF＇=OF=OE，∴

∠F＇=∠OEF＇，而∠AOE=∠F＇+∠OEF＇=60∘，∴

∠F＇=30∘，∴

∠F＇=∠EAF＇，∴

EF＇=EA=33，即PE+PF最小值为33.在Rt△OPF＇  中，OP=33OF＇=3，在Rt△ABO  中，OB=33OA=33×6=23，∴

BP=23-3=3，即当PE+PF取最小值时，BP的长为3.故答案为：3.