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前言

例题与题组

一、数形结合画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。

【例题】、（07江苏6）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，则有（）。

A、B、C、D．

【解析】、当时，的图象关于直线对称，则图象如图所示。

这个图象是个示意图，事实上，就算画出的图象代替它也可以。由图知，符合要求的选项是B，【练习1】、若P（2，-1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）

A、B、C、D、（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）

【练习2】、（07辽宁）已知变量、满足约束条件，则的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A。）

【练习3】、曲线

与直线有两个公共点时，的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：事实上不难看出，曲线方程的图象为，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]

【练习4】、函数在区间

A上是增函数，则区间A是（）

A、B、C、D、（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

【练习5】、曲线与直线

有两个交点，则的取值范围是（）

A、或

B、C、或

D、（提示：作出曲线的图象如右，因为直线

与其有两个交点，则或，选A）

【练习6】、（06湖南理8）设函数，集合，若，则实数的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：数形结合，先画出的图象。当时，图象如左；当时图象如右。

由图象知，当时函数在上递增，同时的解集为的真子集，选C）

【练习7】、（06湖南理10）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为，由题意知，圆心到直线的距离应该满足，在已知圆中画一个半

径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。）

【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=|

b

|，则（）

A、|2b|

＞

|

a-2b

|

B、|2b|

＜

|

a-2b

|

C、|2a|

＞

|

2a-b

|

D、|2a|

＜

|

2a-b

|

（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此

先把条件进行等价转换。|a-b|=|

b

||a-b|2=

|

b

|2

a2+b2-2a·b=

b2

a·（a-2b）=0

a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，|

a-2b

|，|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，∴|2b|

＞

|

a-2b

|，选A。

另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB，再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）

【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，则一定有（）

A、B、C、D、（提示：若，则

成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则（）

A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数

B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数

C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数

D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数

（提示：数形结合法，是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）

【练习12】、（07山东文11改编）方程的解的取值区间是（）

A、（0，1）

B、（1，2）

C、（2，3）

D、（3，4）

（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数的图象，则立刻知选B，如上右图）

二、特值代验

包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。

【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列中，若，则（）

A、12

B、10

C、8

D、【解析】、思路一（小题大做）：由条件有从而，所以原式=，选B。

思路二（小题小做）：由知原式=，选B。

思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选B。

【练习1】、（07江西文8）若，则下列命题中正确的是（）

A、B、C、D、（提示：取验证即可，选B）

【练习2】、（06北京理7）设，则（）

A、B、C、D、（提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前项的和，所以，选D。这属于直接法。

思路2：令，则，对照选项，只有D成立。）

【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足|

bi|=2|

ai

|，且ai顺时针旋转以后与bi同向，其中i=1、2、3则（）

A、-b1+b2+b3=0

B、b1-b2+b3=0

C、b1+b2-b3=0

D、b1+b2+b3=0

（提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。）

【练习4】、若，则的图象是（）

A、B、C、D、（提示：抓住特殊点2，所以对数函数是减函数，图象往左移动一个单位得，必过原点，选A）

【练习5】、若函数是偶函数，则的对称轴是（）

A、B、C、D、（提示：因为若函数是偶函数，作一个特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C）

【练习6】、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，其前n和为Sn，那么

Cn1S1+

Cn2S2+…+

CnnSn=（）

A、2n-3n

B、3n

-2n

C、5n

-2n

D、3n

-4n

（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+

Cn2S2+…+

CnnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B）

【练习7】、（06辽宁理10）直线与曲线（）的公共点的个数是（）

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：取，原方程变为，这是两个椭圆，与直线有4个公共点，选D）

【练习8】、如图左，若D、E、F分别是

三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平

面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分的体积之比为（）

A、4：31

B、6：23

C、4：23

D、2：25

（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积

则，选C）

【练习9】、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则的取值是（）

A、-1

B、1

C、-2

D、2

（提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，选B。）

【练习10】、双曲线方程为，则的取值范围是（）

A、B、C、D、或

（提示：在选项中选一些特殊值例如代入验证即可，选D）

三、筛选判断

包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。

【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（）

A、2

B、3

C、4

D、5

【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，选C。

【练习1】、（06安徽理6）将函数的图象按向量a=平移以后的图象如图所示，则

平移以后的图象所对应的函数解析式是（）

A、B、C、D、（提示：若选A或B，则周期为，与图象所示周期不符；若选D，则与

“按向量a=平移”

不符，选C。此题属于容易题）

【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中的长度为，表示与弦AB所围成的弓形的面的2倍，则函数的图象是（）

A、B、C、D、（提示：解法1

设，则，则S弓形=S扇形-

S△AOB=，当时，则，其图象位于下方；当时，，其图象位于上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。

解法2

结合直觉法逐一验证。显然，面积不是弧长的一次函数，排除A；当从很小的值逐渐增大时，的增长不会太快，排除B；只要则必然有面积，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D）

【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是，则这个椭圆的方程是（）

A、B、C、D、（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，∴，选D）

【练习4】、不等式的解集是（）

A、B、C、D、（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，选A）

【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温

Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图，已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间

段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系

如下图，则正确的应该是（）

A、B、C、D、（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）

【练习6】、集合与集合之间的关系是（）

A、B、C、D、（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假；

表示全体奇数，也表示奇数，故且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。

当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当时，恒成立，则的一个可能的值是（）

A、5

B、C、D、（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D）

【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足，则的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——

设点Q的坐标为，由，得，整理得，∵，∴，即恒成立，而的最小值是2，∴，选B）

【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数的一个单调增区间是（）

A、B、C、D、（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由，显然直接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入会出现，所以最好只算A、C、现在就验算A，有，符合，选A）

四、等价转化

解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。

【例题】、（05辽宁12）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（）

A、B、C、D、【解析】问题等价于对函数图象上任一点都满足，只能选A。

【练习1】、设，且sin3+

cos3，则的取值范围是（）

A、[-，0）

B、[]

C、（-1，0）

]

D、（-，0）

（提示：因为sin3+

cos3=（sin+

cos）（sin2-

sincos+

cos2），而sin2-

sincos+

cos2＞0恒成立，故sin3+

cos3t＜0,选A。另解：由sin3+

cos3

知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时，所以排除B、C、D，选A）

【练习2】、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（）

A、4

B、5

C、1

D、2

（提示：设动点P的坐标是，由是椭圆的左、右焦点得，则，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——）

【练习3】、若，则（）。

A、B、C、D、（提示：利用换底公式等价转化。

∴，选B）

【练习4】、且，则（）

A、B、C、D、（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，如图，用线段代表立马知道选C。当然

这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”，分别用数字1，4，2，3代表容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“”收严一些变为“”。

【练习5】、已知若函数在上单调递增，则的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：

化简得，∵在上递增，∴，而在上单调递增，又∴选B）

【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（）

A、B、C、D、（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3

堆即可，有种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）

【练习7】、方程的正整数解的组数是（）

A、24

B、72

C、144

D、165

（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，答案为，选D）

【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（）

A、35

B、56

C、84

D、120

（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为，选B）

【练习9】、（理科）已知，则=

（）

A、4

B、-5

C、-4

D、5

（提示：逆向思维，分母（）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有，∴必然有，且，∴∴，选B）

【练习10】、异面直线所成的角为，过空间一点O的直线与所成的角等于，则这样的直线有（）条

A、1

B、2

C、3

D、4

（提示：把异面直线平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，则问题等价于过点O有多少条直线与所成的角等于，如图，恰有3条，选C）

【练习11】、不等式的解集为，那么不等式的解集为（）

A、B、C、D、（提示：把不等式化为，其结构与原不等式相同，则只须令，得，选A）

五、巧用定义

定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。

【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过季度增长到原来的倍，则函数的图象大致是（）

A、B、C、D、【解析】、由题设知，∵，∴这是一个递增的指数函数，其中，所以选D。

【练习1】、已知对于任意，都有，且，则是（）

A、奇函数

B、偶函数

C、奇函数且偶函数

D、非奇且非偶函数

（提示：令，则由得；又令，代入条件式可得，因此是偶函数，选B）

【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（）

A、圆

B、椭圆

C、圆或线段

D、线段

（提示：设⊙P的半径为R，P、M为两定点，那

么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆

心Q的轨迹是椭圆，选B）

【练习3】、若椭圆内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|最小，则点M为（）

A、B、C、D、（提示：在椭圆中，则，设点M到右准线的距离为|MN|，则由椭圆的第二定义知，从而，这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M点，知易M，故选A）

【练习4】、设是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（）

A、[2，3]

B、（1，3]

C、D、（提示：，当且仅当，即，时取等于号，又，得，∴，选B）

【练习5】、已知P为抛物线上任一动点，记点P到轴的距离为，对于给定点A（4，5），|PA|+d的最小值是（）

A、4

B、C、D、（提示：比P到准线的距离（即|PF|）少

1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外，∴|PA|+d的最小值为|AF|-1=，选D）

【练习6】、函数的反函数，则的图象（）。

A、关于点(2,3)对称

B、关于点(-2,-3)对称

C、关于直线y=3对称

D、关于直线x

=

-2对称

（提示：注意到的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反函数的定义，知图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B）

【练习7】、已知函数是R上的增函数，那么是的（）条件。

A、充分不必要

B、必要不充分

C、充要

D、不充分不必要

（提示：由条件以及函数单调性的定义，有，而这个过程并不可逆，因此选A）

【练习8】、点P是以为焦点的椭圆上的一点，过焦点作的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（）

A、圆

B、椭圆

C、双曲线

D、抛物线

（提示：如图，易知，M是的中点，∴OM是的中位线，∴，由椭圆的定义知，=定值，∴定值（椭圆的长半轴长a），∴选A）

【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的是双曲线，则ｍ的取值范围是（）

A、（0，1）

B、（1，）

C、（0，5）

D、（5，）

（提示：方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可变形为，即得，∴，这表示双曲线上一点到定点（0，-1）与定直线的距离之比为常数，又由，得到，∴选C。若用特值代验，右边展开式含有项，你无法判断）

六、直觉判断

数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。

【例题】、已知，则的值为（）

A、B、或

C、D、【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及的范围，直接意识到，从而得到，选C。

【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为的正三角形中，问取什么值时，内接正三角形的面积最小（）

A、B、C、D、（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。）

【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：如果用作为该零件直径的近似值，当取什么值时，最小？（）

A、，因为第一次测量最可靠

B、，因为最后一次测量最可靠

C、，因为这两次测量最可靠

D、（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。）

【练习3】、若，则（）

A、-1

B、1

C、0

D、（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知，求，这与原问题完全等价，此时令得解。）

【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设，，那么数值最大的一个是（）

A、B、C、D、与a、b的值有关。

（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）

【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（）。

O

A

B

C

D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为则它们的大小关系正确的是（）

A、B、C、D、（提示：选A）

【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线上的圆的方程是（）

A、B、C、D、（提示：显然只有点（1，1）在直线上，选C）

【练习8】、（97全国理科）函数的最小正周期是（）

A、B、C、D、（提示：因为总有，所以函数的周期只与有关，这里，所以选B）

【练习9】、（97年高考）不等式组的解集是（）

A、B、C、D、（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程的根！，代入验证：2不是，3不是，2.5也不是，所以选C）

【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（）

A、B、C、1

D、（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列

“标准”解法，特抄录如下供读者比较：

设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+

cos（A-B）]

cosC，∴cos2C-

cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2-

cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△=

cos2（A-B）-8y≥0，即8y≤cos2（A-B）≤1，∴，故应选B。

这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（）

A、0.216

B、0.36

C、0.432

D、0.648

（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。

现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）

【练习12】、，则（）

A、1

B、2

C、-1

D、-2

（提示：显然，选B）

七、趋势判断

趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。

【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？

A、8

cm2

B、6

cm2

C、3

cm2

D、20

cm2

【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为cm2，选B。）

【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角，且；当锥体且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，且选A）

【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记，则一定满足（）

A、B、C、D、（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对面，不妨设S=S1，则S2+S3+S4那么，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为，侧面与底面

所成角为，则的值是（）

A、1

B、C、0

D、-1

（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，那么，选D）

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么的值是（）

A、1

B、C、D、-1

(提示：进行极限分析，时，点，此时高，那么，所以，选A。）

【练习5】、若则（）

A、B、C、D、（提示：进行极限分析，当时，；当时，从而，选A）

【练习6】、双曲线的左焦点为F，点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直

线PF的斜率的变化范围是（）

A、B、C、D、（提示：进行极限分析，当P时，PF的斜率；当时，斜率不存在，即或；当P在无穷远处时，PF的斜率。选C。）

【练习7】、（06辽宁文11）与方程的曲线关于直线对称的曲线方程为（）

A、B、C、D、（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为，是个增函数。再令那么那么根据反函数的定义，在正确选项中当时应该有只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）

【练习8】、若，则对任意实数n，（）

A、1

B、区间（0，1）

C、D、不能确定

（提示：用估值法，由条件完全可以估计到中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知，且，则之间的大小关系是（）

A、B、C、D、与c的值有关

（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当时，；当时，可见函数递减，∴选B）

八、估值判断

有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。

【例题】、已知是方程的根，是方程的根，则（）

A、6

B、3

C、2

D、1

【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一

坐标系中作出四个函数，，的图象，设与的图象交于点A，其

横坐标为；与的图象交于点C，其横坐标

为；与的图象交于点B，其横坐标为。因为与为反函数，点A与点B关于直线对称，所以2×=3，选B。

此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为是方程的根，所以是方程的根，所以所以选B。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）

A、24个

B、30个

C、40个

D、60个

（提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有种方法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有种，由乘法原理，共有=24个，选B。用估计法：五个数字可以组成个三位数，其中偶数不到一半，选B。）

【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）元

A、（4200，4400）

B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）

（提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以的等比数列，所以2008年工资性收入为元；其它收入构成以1350为首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）

【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（）

A、B、C、D、（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为，则S球=，选D）

【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF与平面ABCD的距离为2，则

该多面体的体积为（）

A、B、5

C、6

D、（提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而=6，所以只能选D）

【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线上，若∠ACB

＞，则点C的纵坐标的取值范围是（）

A、B、C、D、（提示：如图，M、N在直线上，且∠AMB=∠ANB=，要使∠ACB

＞，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标是可以为负值的，选D）

【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（）

A、B、C、D、（提示：你可以先求出的面积为，再利用射影面积公式求出侧面面积为；你也可以先求出的面积为，之后求出P在底面的射影到个侧面的距离，都是三棱锥P-ABC的高的一半，再利用等体积法求得结果，但好象都不如用估值法：假设底面三角形三边长都是8，则面积为，这个面积当然比原来大了一点点，再利用射影面积公式求出侧面面积为，四个选项中只有与之最接近，选B）

【练习7】、（07海南、宁夏理11文12）甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中个射箭20次，三人测试成绩如下表

甲的成绩

环数

频数

乙的成绩

环数

频数

丙的成绩

环数

频数

分别表示三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（）

A、B、C、D、（提示：固然可以用直接法算出答案来，标准答案正是这样做的，但是显然时间会花得多。你可以用估计法：他们的期望值相同，离开期望值比较近的数据越多，则方差——等价于标准差会越小！所以选B。这当然也可以看作是直觉法）

【练习8】、（07全国Ⅱ理

12）设F为抛物线的焦点，A、B、C为该抛物线上的三点，若，则等于（）

A、9

B、6

C、4

D、3

（提示：很明显（直觉）三点A、B、C在该抛物线上的图

形完全可能如右边所示（数形结合），可以估计（估值法）

到，稍大于（通径，长为4），∴，选B。

当然也可以用定义法：由可知，由抛物线定义有，所以=6）

【练习9】、（07福建理12）如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）

A、B、C、D、（提示：用估值法，至少有两个数位于同行或同列的反面是三个数既不同行也不同列，这种情况仅有6种，在总共种取法数中所占比例很小，∴选D）

【练习10】（07湖北理9）连续投掷两次骰子的点数为，记向量b=（m，n）

与向量a=（1，-1）的夹角为，则的概率是（）

A、B、C、D、（提示：用估值法，画个草图，立刻发现在范围内（含在OB上）的向量b的个数

超过一半些许，选C，完全没有必要计算）

【练习11】（05年四川）若，则（）

A、B、C、D、（提示：注意到，可知不能够用单调性法去判断。问题等价于的时候比较a、b、c的大小，∵lg2=0.3010，lg3=0.4771，lg5=0.6990，∴

a=0.1505，b=0.1590，c=0.1398，选B。

当然，直接用作差比较法也是可以的。）

九、直接解答

并不是所有的选择题都要用间接法求解，一般来讲，高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题，用直接法求解往往更容易；另外，有些选择题也许没有间接解答的方法，你别无选择；或者虽然存在间接解法，但你一下子找不到，那么就必须果断地用直接解答的方法，以免欲速不达。当然要记得一个原则，用直接法也要尽可能的优化你的思路，力争小题不大作。

【例题】、（07重庆文12）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）

A、B、C、D、【解析】、设长轴长为，则椭圆方程为，与直线方程联立消去得，由条件知，即，得（舍），（舍），∴，选C。

【练习1】、函数的部分图象如右，则=（）

A、0

B、C、2+

D、2-

（提示：直接法。由图知，A=2，，∴，由图象关于点（4，0）以及直线对称知：，由2009=251×8+1知，=0+=，选B）

【练习3】、正方体中，E为棱AB的中点，则二面角C-

-B的正切值为（）

A、B、C、D、2

（提示：用直接法。取的中点F，连接AF、CF、CE。过点B做A1E的延长线的垂线于M，连接CM，由CB面ABB1A1，得CMAE，所以就是二面角C-A1E-B的平面角，现在设CB=2，则，在Rt△CMB中，选B）

【练习4】、设是椭圆的两个焦点，以为圆心，且过椭圆中心的圆与

椭圆的一个交点为M，若直线与圆相切，则该椭圆的离心率是（）

A、B、C、D、（提示：用直接法。由已知可得，又，∴，又直线与圆相切，∴，∴，即，解得，∵，∴，选B）

【练习5】、函数的图象关于原点成中心对称，则在[-4，4]上的单调性是（）

A、增函数

B、在[-4，0]上是增函数，[0，4]上是减函数

C、减函数

D、在[-4，0]上是减函数，[0，4]上是增函数

（提示：的图象关于原点成中心对称，为奇函数，∴，∴，易知上，∴递减，选B）

【练习6】、，则=（）

A、-3

B、3

C、2

D、-2

（提示：令得，令可得，选A）

【练习7】、（06重庆文10）若，，则（）

A、B、C、D、（提示：∵，∴，∴；同理，∴（舍）或，所以选B）

【练习8】、（06全国Ⅰ理8）抛物线上的点到直线的距离的最小值是（）

A、B、C、D、3

（提示：设直线与相切，则联立方程知，令，有，∴两平行线之间的距离，选A）

【练习9】、（06山东理8）设则p是q的（）

A、充分不必要条件

B、必要不充分条件

C、充要条件

D、既不充分也不必要条件

（提示：分别解出p：或；q：或或，则显然p是q的充分不必要条件，选A。另外，建议解出p以后不要再解q，以p中的特殊值代入即可作出判断）

【练习10】、（广东05理10）已知数列满足，，若，则=（）

A、B、3

C、4

D、5

（提示：由条件有，∴，累加得，代入得，两边同取极限得，即，选B）

十、现场操作

又叫做原始操作法，有别于直接法，一

是指通过现场可以利用的实物如三角板、铅笔、纸张、手指等进行操作或者利用纸上模型进行演算演绎得到答案的方法；二是指根据题目提供的规则演算最初的几个步骤，从而发现规律，归纳出答案的方法。

【例题】、（据93年全国高考题改编）如图ABCD

是正方形，E是AB的中点，将△DAE和△CBE分别

沿虚线DE和CE折起，使AE和BE重合于P，则面

PCD和面ECD所成的二面角为（）度。

A、15

B、30

C、45

D、60

【解析】、你当然可以用三垂线定理来解，但不如现场操作更快：用正方形纸片折叠出三棱锥E-PCD，不难看出PE⊥面PCD，设二面角大小为，则由射影面积公式有，选B。

【练习1】已知，则的值（）

A、必为奇数

B、必为偶数

C、与的奇偶性相反

D、与的奇偶性相同

（提示：原始操作：令n=1、2，再结合逻辑排除法，知选A；也可以展开看）

【练习2】如果的定义域为R，且，则=（）

A、1

B、-1

C、D、-lg3-lg5

（提示：2008是个很大的数，所以立即意识到这应该是一个周期函数的问题！关键是求出周期值。现在进行现场操作：f（1）=lg3-lg2，f（2）=lg3+lg5，f（3）=f（2）-f（1）=…=1，f（4）=

f（3）-f（2）=…lg2-lg3，f（5）=

f（4）-

f（3）=…-lg5-lg3，f（6）=f（5）-

f（4）=…-1，f（7）=f（6）-

f（5）=…lg3-lg2=

f（1），所以周期是6。=f（334×6+4）=

f（4）=

lg2-lg3，选C。当然你如果演算能力好，可以这样做：

==，所以周期是6。其实凡属于抽象函数、抽象数列、抽象不等式问题，解题诀窍都不过是不断利用题目所给的规则而已）

【练习3】、如图所示是某城市的网格状道路，中

间是公园，公园四周有路，园内无公路。某人驾车从

城市的西南角的A处要到达东北角的A处，最短的路径有多少条？（据加拿大数学竞赛题改编）

A、210

B、110

C、24

D、206

（提示：原始操作：先假设已经到达了与B共线的各交叉点，标注上此时的走法数（都是1）；再退回至离B最近的对角顶点处，标注上此时的走法数是2；……，这样步步回退，直到A处，就知道答案了！这有点类似于杨晖三角的规律。当然也可以用公式法：先求出没有公园时的走法数，再求出经过公园中心的走法数，所以答案是-=110，选B）

【练习4】、如上图所示是一个长方体

骨架，一只蚂蚁在点M处得到信息：N处

有糖！为了尽快沿着骨架爬行到N处，该

蚂蚁可走的最短路径有（）

A、10

条

B、20

C、30

D、40

（提示：原始操作：假设从点N处逆着

往点M方向退回来，则在所经过的交点处的走法数都容易写出，如图。所以从点M处出

发时一共有4+4+12=20种走法。选B）

【练习5】、有编号为1、2、3、4的四个小球放入有同样编号的四个盒子中，每盒一球，则任意一球的编号与盒的编号不同的放法种数共有（）

A、9

B、16

C、25

D、36

（提示：这道高考题是典型错位排列问题，思维清晰的时候，你可能这样考虑：完成这件事情即每个盒子都按要求放入小球，应该用乘法原理，1号盒可以选2、3、4号球，有3种选择；2号盒可以选1、3、4号球，也有3种选择；此时3、4号盒都只有唯一选择，3×3×1×1=9，因此答案是9。也可用现场操作之法破解，如图，每一列对应一种放法，一共有9种，选A）

球的编号

1号盒

2号盒

3号盒

4号盒

【练习6】、如图A、B、C是固定在桌面上的三根立柱，其中A柱上有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大，现将三个圆片移动到B柱上，要求每次只移动一片（叫移动一次），被移动的圆片只能放入A、B、C三个柱子之一，且大圆片不能叠在小圆片的上面，那么完成这件事情至少要移动的次数是（）

A、3

B、5

C、7

D、9

（提示：现场操作，选C）

【练习7】、如左图，正方体容器中，棱长为1，E，F分别是所在棱的中点，G是面的中心，在E、F、G三处各开有一小孔，则最大盛水量是（）

A、B、C、D、（提示：你可以看着图现场想象一下，怎样才能使盛水量最大呢？你首先难免考虑由E、F、G确定一个水平面，如中图，经计算发现盛水量是，此时DD/着地；难道不考虑只有点D着地的情形吗？…使水平面如右图那样呢？计算得盛水量是，原来点F并不在水平面内！选D）

【练习8】、一个正四棱锥的底面边长与侧棱长都是a，现用一张正方形的包装纸将其完成包住（不能裁剪但可以折叠），那么包装纸的边长最小应该是（）

P1

P4

P3

P2

A、B、C、D、（提示：现场用纸做一个正四棱锥，先如图放样，其实不待你做成就知

道思路了——这已经相当于把正四

棱锥展开了，那么包装纸的边长就是正方形的边长，选B）

【练习9】、一直线与直二面角的两个面所成的角分别是和，则的范围是（）

A、B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，学生要学会联合采用多种方法协同作战，以期收到最大实效。下面以一首小诗总结全文——

人生选择，选择人生，用兵之道，奇正相生，数学解题，其理相同。迂回曲径，直捣黄龙，审时度势，天佑功成。

B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，B、C、D、（提示：你可以拿一本书竖立在桌面上，拿一支笔代表直线去比划，会发现当中有一个角等于的时候，另一个角等于0，可以取到；当直线与二面角的棱重合时，可以取到0，所以选C）

【练习10】、（05全国）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有（）个。

A、3

B、4

C、6

D、7

（提示：先画一个三棱锥，然后想象用一个平面以各种方式置于四个顶点之间，发现四个顶点有被平面分成2+2或者1+3两类情形，分别有3，4种可能，如图。选D）

【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

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以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

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以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，【练习11】、（高考模拟）若一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1＜a2且a3

＜a2，则称这样的三位数为凸数（如343、275、120等），那么所有凸数个数为（）

A.240

B.204

C.729

D.920

（提示：进行原始操作以发现规律：第二位数字不可能为1，若为2，则左边有1，右边有0、1可选，此时有1×2个凸数；若为3，则左边有1、2，右边有0、1、2可选，此时有2×3个凸数；若为4，则左边有1、2、3，右边有0、1、2、3可选，此时有3×4个凸数；……若为9，则……此时有8×9个凸数，所以一共有1×2+2×3+3×4+……+8×9=240个凸数，选A）

结

语

以上就10类方法对如何快速正确解答选择题给予了简要论述，凡所选用之115道例题和习题，基本上是近年高考真题或者高考模拟题中灵活性相对较大者，意在解放思想，开阔视野，提高能力，服务读者。需要说明的是，以上各种方法其实有时是互相交织难以难以截然分开的，因此分类方面也只能是相对合理，不能穷究。事实上，在分别熟悉以上方法以后，分别熟悉以上方法以后，