21.4　第1课时　利用二次函数模型解决最值问题

一、选择题

1.某汽车出租公司一天的租车总收入y(元)与每辆出租车的日租金x(元)满足函数表达式y=-35(x-120)2+19440(0≤x≤200),则该公司一天的租车总收入最多为

()

A.120元

B.200元

C.1200元

D.19440元

2.某农场拟建两间矩形饲养室,一面靠现有墙(墙足够长),中间用一道墙隔开,并在如图1所示的三处各留1

m宽的门,已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27

m,则能建成的两间饲养室总面积最大为()

图1

A.75

m2

B.752

m2

C.48

m2

D.2252

m2

3.某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品,每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式为y=-4x+440,要想每月获得最大利润,该商品的销售单价应定为

()

A.60元/件

B.70元/件

C.80元/件

D.90元/件

4.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=-x2+10x,y2=2x.若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为

()

A.30万元

B.40万元

C.45万元

D.46万元

二、填空题

5.某商品的利润y(元)与单价x(元/件)之间的函数表达式为y=-5x2+10x,当0.5≤x≤2时,该商品的最大利润是.6.一件工艺品的进价为100元,若以标价135元出售,每天可售出100件.根据销售统计,一件工艺品每降价1元出售,则每天可多售出4件,要使每天获得的利润最大,每件需降价　　元.7.将一条长为20

cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形,则这两个正方形面积之和的最小值是　　　　cm2.8.某县在治理违建的过程中,某小区拆除了自建房,改建绿地.如图2,自建房占地是边长为20

m的正方形ABCD,改建的绿地是矩形AEFG,其中点E在AB上,点G在AD的延长线上,且DG=2BE.如果设BE的长为x(单位:m),绿地AEFG的面积为y(单位:m2),那么y与x之间满足的函数表达式为　　　　　,绿地AEFG的最大面积为　　　m2.图2

三、解答题

9.某校在基地参加社会实践活动中,带队老师给学生出了一道题:基地计划新建一个矩形的生物园地,一边靠旧墙(墙足够长),另外三边用总长为69米的不锈钢栅栏围成,与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口,如图3所示,如何设计才能使园地的面积最大?下面是两位学生争议的情境:

图3

请根据上面的信息,解决问题:

(1)设AB=x米(x>0),试用含x的代数式表示BC的长;

(2)请你判断谁的说法正确,并说明理由.10.某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果,若售价为50元/千克,则一个月可售出500千克;若售价在50元/千克的基础上每上涨1元/千克,则月销售量就减少10千克.(1)当售价为55元/千克时,每月销售水果多少千克?

(2)当月利润为8750元时,水果的售价为多少?

(3)当水果的售价为多少时,获得的月利润最大?

11.如图4,有长为24

m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10

m),围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃(由两个小矩形花圃组成).设花圃的一边AB为x

m,面积为S

m2.(1)求S与x之间的函数表达式.(2)如果要围成面积为45

m2的花圃,那么AB的长是多少米?

(3)能围成面积比45

m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.图4

12.如图5,二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0).(1)求a,b的值;

(2)C是该二次函数图象上A,B两点之间的一动点,横坐标为x(2

答案

1.D

2.[解析]

A　设垂直于现有墙的一边长为x

m,则平行于现有墙的一边长为27+3-3x=(30-3x)m,则饲养室的总面积S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75.由二次函数的性质可知当x=5时,S取最大值,为75,故能建成的两间饲养室的总面积最大为75

m2.3.C

4.[解析]

D　设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15-x)辆.根据题意,得总利润W=y1+y2=-x2+10x+2(15-x)=-x2+8x+30=-(x-4)2+46.由二次函数的性质,可知当x=4时,W取最大值,为46,故能获得的最大利润为46万元.5.[答案]

5元

[解析]

y=-5x2+10x=-5(x-1)2+5,所以当x=1时,函数有最大值5,且1在0.5≤x≤2的范围内,所以当0.5≤x≤2时,该商品的最大利润为5元.6.5

7.[答案]

12.5

[解析]

设这两个正方形的边长分别为x

cm和y

cm,它们的面积之和为S

cm2.根据题意,得4x+4y=20,S=x2+y2,所以y=5-x,S=x2+(5-x)2=2x2-10x+25=2(x2-5x)+25=2(x-52)2+252.所以当x=2.5时,这两个正方形的面积之和最小,最小值是12.5

cm2.8.y=-2x2+20x+400　450

9.解:(1)由AB=x米,可得BC=69+3-2x=(72-2x)米.(2)小英的说法正确.理由:设矩形生物园地的面积为S平方米,则S=x(72-2x)=-2(x-18)2+648.∵72-2x>0,∴x<36.∴0

m.(3)能围成面积比45

m2更大的花圃.∵S=-3x2+24x=-3(x-4)2+48,其函数图象开口向下,对称轴为直线x=4,∴当x>4时,y随x的增大而减小,∴在143≤x<8的范围内,当x=143时,S取得最大值,S最大值=1403,即最大面积为1403

m2,此时AB=143

m,BC=10

m.[素养提升]

[解析]

(1)把点A与点B的坐标代入二次函数表达式,即可求出a与b的值;

(2)过点A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F,分别表示出△OAD,△ACD以及△BCD的面积,它们之和即为S,得出S关于x的函数表达式,根据x的取值范围,利用二次函数的性质即可得出S的最大值,以及此时x的值.解:(1)将A(2,4)与B(6,0)代入y=ax2+bx,得4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3.(2)由(1)知二次函数的表达式为y=-12x2+3x.如图,过点A作x轴的垂线,垂足为D,则D(2,0),连接CD,过点C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F.∵S△OAD=12OD·AD=12×2×4=4,S△ACD=12AD·CE=12×4×(x-2)=2x-4,S△BCD=12BD·CF=12×4×-12x2+3x=-x2+6x,∴S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,∴S关于x的函数表达式为S=-x2+8x(2