科目：数学

期末复习大礼包

模块一：圆

一．垂径定理

1.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。

注意：①条件中的“弦”可以是直径；

②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧。

2.平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，且平分弦所对的弧．

垂径定理的实质可以理解为：

（1）直径；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦；

知二得三

（4）平分弦所对的劣弧；

（5）平分弦所对的优弧．

二．

圆周角定理

1.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角等于该弧所对的圆心角的一半

2.直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径；

三．圆的内接四边形及性质

1.在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形；

2.圆内接四边形的对角互补；

3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）

4.三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，直角三角形外接圆圆心在斜边的中点；

5.三角形的内切圆的圆心是三条角平分线的交点

四．与圆的位置关系

1.点与圆的位置关系

若的半径为，点到圆心的距离为，那么：

（1）点在圆内：

（2）点在圆上：

（3）点在圆外：

判断点与圆的位置关系通过点到圆心的距离与半径去进行比较

2.直线与圆的位置关系的判定

如果的半径为，圆心到直线的距离为，那么

直线与相交

直线与相切

直线与相离

判断直线与圆的位置关系通过圆心到直线的距离与半径去进行比较

3.切线的性质:

(1)

切线与圆有惟一的公共点；

(2)圆心到切线的距离等于半径；

(3)切线垂直于经过切点的半径.4.切线长定理

1.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.五．与圆相关的计算

1.弧长计算公式：

2．扇形面积计算公式：

3.圆锥与侧面展开扇形的关系：、扇形的半径是圆锥侧面的母线，弧长是圆锥底面圆的周长，圆锥体侧面积公式：．

实战演习：

1.如图，⊙沿凸多边形的外侧（圆与边相切）作无滑动的滚动．假设⊙的周长是凸多边形的周长的一半，那么当⊙回到出发点时，它自身滚动的圈数为（）

A．

B．

C．

D．

2.如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心、为半径的⊙上有一动点，连接，若点为的中点，连接，则的最小值为_________.3.如图，点在⊙上，半径于点，，则图中阴影部分的面积等于

．（结果保留）

4.如图，为半圆的直径，交圆于，为延长线上一动点，为中点，交半径于，连．下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）为定值．其中正确结论是

．

5.如图，为⊙的直径，点在⊙上，于，现将沿翻折得到，交⊙于点，连接交于点．

（1）求证：与⊙相切；

（2）若，连接，求长．

6.如图，正方形中，是边的中点，点是正方形内一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接．

（1）求证：；

（2）若三点共线，连接，求线段的长．

（3）求线段长的最小值．

模块二：相似

1.斜A型，斜X型

1）常见的斜型有如下三种情形，如下图，已知，则由公共角得，∽；

斜型

斜型

有公共边的斜型

斜型同一直线上的边满足公式：;（共直线的线段乘积相等）

有公共边的斜A型：△ACD∽△ABC，则；

结论：，即公共边的平方等于公共角邻边之积；

2）常见的斜型如下：已知，则由对顶角得，∽，．

2.射影定理：

在有公共边斜A型中，当CD⊥AB时：△ACD∽△ABC∽△CBD

则：；；．

口诀：

“柱子的平方等于影子的乘积”

3.一线三等角相似模型：

∽

∽

∽

（等角为锐角）

（等角为直角）

（等角为钝角）

一条直线上有3个相等的角，其中两个角有公共边且另一角的顶点落在公共边上．

实战演习：

1.如图，中，于，于，连接，若，则的长为（）

A．

B．

C．

D．

2.如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），与交于点，连接．下列五个结论：①；②；③；④；⑤若，则的最小值是，其中正确结论的个数是（）

A．

B．

C．

D．

3.如图，在中，正方形的四个顶点在三角形的边上，已知，则正方形的边长等于

．

4.如图，在矩形中，为边的中点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，点的对应点为，过点作交于点，连接交于点，现有下列结论：

①；

②；

③；

④点为的外心．

其中正确的有____________

5.如图，正方形的边长为，对角线相交于点，是的中点，连接，过点作于点，交于点，则的长为

．

6.如图，点是正方形内的一点，若（），那么的大小是____________

7.如图，在矩形中，动点满足，则点到两点距离之和的最小值为_____________

8.如图，中，是边上的点，在边上，交于，则___________.9.如图，在中，点分别在上，且．

（1）求证：∽；

（2）若，求的长．

10.【图形定义】

用一条直线去截一个多边形，如果截得的一个图形与原多边形相似，那么称这条直线是这个多边形的特征线．

【概念理解】

如图1，在中，过点作一条直线交于点，若直线是的特征线，求的度数；

【问题探究】

如图2，在矩形中，是对角线，作，垂足为，的延长线交于点，过点作直线，垂足为，则直线是矩形的特征线吗？请说明你的理由．

11.如图，中，为斜边上的高，为边上一点（不与重合），过点作交于，连接交于点．

（1）求证：∽；

（2）若，试用含的式子表示；

（3）在（2）的条件下，若为等腰三角形，请直接写出的长．

12.已知，如图，是⊙的直径，是弦，是弧的中点，连接并延长与的延长线相交于点，垂足为，交与点，垂足为，．

求（1）和的长；（2）的值．

13.如图，等腰内接于⊙，弦平分，交于点，过点作的平行线分别交于点．

（1）求证：；

（2）若，求的值．

14.如图，已知是⊙的直径，是⊙上一点，的平分线交⊙于点，交⊙的切线于点，过点作，交的延长线于点．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，求的值．

15.如图，是⊙的直径，平分，交⊙于点，过点的直线，垂足为，为半径上一点，点分别在矩形的边和上．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若，求的值．

16.如图，在中，以为直径的⊙交于点，是的中点，交于点．

（1）若，求弧的长；

（2）判断直线与⊙的位置关系，并说明理由；

（3）求证：．

17.如图1，以点为圆心，半径为的圆交轴于两点，交轴于两点，点为弧上的一动点，延长交轴于点；连接，交于点．

（1）若点为的中点，求的长；

（2）求的值；

（3）如图2，过点作交于点，当点在弧上运动时，试问的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．

18.如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，和相交于点，且．

（1）求证：；

（2）分别延长交于点，过点作交的延长线于点，若，求的长．

模块三：反比例函数

1．反比例函数定义：一般地，形如（k是常数，且）的函数，叫做反比例函数．

2．解析式：，变形：，；

3．图象：，图象在第一、第三象限；，图象在第二、第四象限；

4．增减性：，在每个象限内，y随x的增大而减小；，在每个象限内，y随x的增大而增大；

5．对称性：函数图象关于原点中心对称．

1.如图，点在双曲线上，点在双曲线上，且轴，在轴上，若四边形为平行四边形，则它的面积为（）

A．

B．

C．

D．

2.如图，已知点和点，点在反比例函数的图象上，作射线，再将射线绕点按逆时针方向旋转，交反比例函数图象于点，则点的坐标为

．

3.已知直线与轴、轴分别交于两点，与反比例函数（）的图象交于两点，若，则的值为（）

A．

B．

C．

D．

4.如图，等腰三角形的底边在轴正半轴上，点在第一象限，延长交轴负半轴于点，延长到点，使，双曲线（）的图象过点．若的面积为，则的值为_________

5.正方形的顶点在反比例函数的图象上，顶点分别在轴、轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比函数的图象上，顶点在轴的正半轴上，则点的坐标为_________.模块四：锐角三角函数

1．直角三角形中：

角的关系：两个锐角互余

边的关系：

角与边的关系：三角函数

2.三角函数的定义：

对边

邻边

正弦(对/斜)

余弦(邻/斜)

正切(对/邻)

注：

①是的缩写，是的缩写，是的缩写；

②一个角的三角函数是一个比值，没有单位；

③三角函数值是一个角内在的属性，和角在什么地方无关；只是在直角三角形中，这个角的三角函数值得到外显；

④，都是一个完整的符号，单独的“”没有意义．其中前面的“”一般省略不写．

1.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆的高度，沿旗杆正前方米处的点出发，沿斜面坡度的斜坡前进米到达点，在点处安置测角仪，测得旗杆顶部的仰角为，量得仪器的高为米．已知在同一平面内，．求旗杆的高度．（参考数据：．计算结果保留根号）

2.台风是形成于热带海洋上的强大而深厚的热带气旋，主要发生在至月，我市也是遭受台风自然灾害较为频繁的地区．山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角，量得树干倾斜角，大树被折断部分和坡面所成的角，．

（1）求的度数；

（2）求这棵大树折点到坡面的距离．（结果精确到个位，参考数据：）

模块五：二次函数

1.对于抛物线，系数a、b、c的影响:

(1)对称轴：左同右异。a、b同号，对称轴在y轴左侧；a、b异号，对称轴在y轴右侧.(2)

抛物线与x轴交点个数：，图象与x轴有2个交点；，图象与x轴有1个交点；，图象与x轴没有交点.a、c异号，抛物线与x轴一定有两个交点,且分别在y轴的两侧。

2．平移规律：“上+下，左+右”．

3.二次函数图象的对称变换

二次函数图象对称一般有三种情况，可以用一般式或顶点式表达

1．关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

2．关于轴对称

关于轴对称后，得到的解析式是；

关于轴对称后，得到的解析式是；

3．关于原点对称

关于原点对称后，得到的解析式是；

关于原点对称后，得到的解析式是．

4.二次函数与方程不等式的关系

1．二次函数与轴交点的横坐标是一元二次方程的根．

①当时，图象与x轴交于两点，其中的,是一元二次方程的两根；

②当时，图象与轴只有一个交点；

③当时，图象与轴没有交点；

2．直线与抛物线交点的横坐标是方程的解；

①利用数形结合判断方程解的个数；

②利用联立方程求解交点坐标；

3．直线、抛物线的交点横坐标是方程的解．

5.二次函数与几何综合1．三角形面积：

；图中PE为铅垂高，OB为水平宽；

2．求面积相等或成倍分关系：

相等：做双轨平行线，注意共有两条平行线；

倍分关系：根据截距找对应的平行线和交点，一般为中点或三等分点；

实战演习：

1.已知抛物线具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点的距离与到轴的距离始终相等，如图，点的坐标为，是抛物线上一个动点，则周长的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

2.若抛物线与直线的两交点横坐标分别为，则代数式的值为

3.平面直角坐标系中，已知抛物线为常数．

（1）若抛物线经过点，求的值；

（2）若抛物线经过点和点，且，求的取值范围；

（3）若将抛物线向右平移个单位长度得到新抛物线，当时，新抛物线对应的函数有最小值，求的值．

4.已知，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，为抛物线的顶点，点在轴点的上方，且．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）求证：直线是外接圆的切线；

（3）在直线上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标；

（4）在坐标轴上找一点，使以点为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标．

5.如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，．点在函数图象上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．

（1）求的值；

（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；

（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），将该抛物线位于轴上方曲线记作，将该抛物线位于轴下方部分沿轴翻折，翻折后所得曲线记作，曲线交轴于点C，连接．

（1）求曲线所在抛物线相应的函数表达式；

（2）求外接圆的半径；

（3）点为曲线或曲线上的一动点，点为轴上的一个动点，若以点为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．

7.如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；

（3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系．

8.如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为，点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点出发，同时点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止．设运动时间为秒．

（1）当时，线段的中点坐标为；

（2）当与相似时，求的值；

（3）当时，抛物线经过两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示，问该抛物线上是否存在点，使？若存在，求出所有满足条件的的坐标；若不存在，说明理由．