2021中考数学

二轮专题汇编：相似三角形及其应用

一、选择题

1.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与点B，C重合)，连接AM交DE于点N，则

()

A.=

B.=

C.=

D.=

2.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△A1B1C1相似的是

()

3.(2019•雅安)若，且，则的值是

A．4

B．2

C．20

D．14

4.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为

()

A.B.C.D.5.（2020·永州）如图，在中，四边形的面积为21，则的面积是（）

A.B.25

C.35

D.63

6.（2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）

A．15

B．20

C．25

D．30

7.（2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（）

A．1:2

B．1:3

C．1:4

D．1:5

8.(2019•贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，若，则线段的长为

A．

B．

C．

D．5

二、填空题

9.在某一时刻，测得一根高为1.8

m的竹竿的影长为3

m，同时同地测得一栋楼的影长为90

m，则这栋楼的高度为　　　　m.10.（2020·盐城）

如图，且，则的值为

．

11.(2019•郴州)若，则__________．

12.(2019•百色)如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，，则的面积为__________．

13.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题:“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”其意思为:“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步?”该问题的答案是　　　　步.14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为_________．

15.(2019•泸州)如图，在等腰中，，点在边上，点在边上，垂足为，则长为__________．

16.（2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.三、解答题

17.（2020·杭州）如图，在中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，．

（1）求证：．

（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．

18.(2019•广东)如图，在中，点是边上的一点．

(1)请用尺规作图法，在内，求作，使，交于；(不要求写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若，求的值．

19.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E，H分别在AB，AC上，已知BC=40

cm，AD=30

cm.(1)求证:△AEH∽△ABC;

(2)求这个正方形的边长与面积.20.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝36°，过点A作AD∥BC，与∠ABC的平分线交于点D，BD与AC交于点E，与⊙O交于点F.(1)求∠DAF的度数；

(2)求证：AE2＝EF·ED；

(3)求证：AD是⊙O的切线．

21.如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是直径，D是AC中点，直线OD与☉O相交于E，F两点，P是☉O外一点，且P在直线OD上，连接PA，PC，AF，满足∠PCA=∠ABC.(1)求证:PA是☉O的切线;

(2)证明:EF2=4OD·OP;

(3)若BC=8，tan∠AFP=，求DE的长.22.如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD∥AC，OD交⊙O于点E，且∠CBD＝∠COD.(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)若点E为线段OD的中点，求证：四边形OACE是菱形．

(3)如图②，作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G，求的值．

23.已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；

(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．

24.在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程x2－5x＋2＝0，操作步骤是：

第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点A(0，1)，B(5，2)；

第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B；

第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在x轴上点C处时，点C的横坐标m即为该方程的一个实数根(如图①)；

第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在x轴上另一点D处时，点D的横坐标n既为该方程的另一个实数根．

(1)在图②中，按照“第四步”的操作方法作出点D(请保留作出点D时直角三角板两条直角边的痕迹)；

(2)结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程x2－5x＋2＝0的一个实数根；

(3)上述操作的关键是确定两个固定点的位置．若要以此方法找到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；

(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当m1，n1，m2，n2与a，b，c之间满足怎样的关系时，点P(m1，n1)．Q(m2，n2)就是符合要求的一对固定点？

2021中考数学

二轮专题汇编：相似三角形及其应用-答案

一、选择题

1.【答案】C　[解析]根据DE∥BC，可得△ADN∽△ABM，△ANE∽△AMC，再应用相似三角形的性质可得结论.∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴=，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴=，∴=.故选C.2.【答案】B　[解析]根据勾股定理分别表示出已知三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两个三角形相似可得结果，△A1B1C1各边长分别为1，选项A中阴影三角形三边长分别为:，3，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项B中阴影三角形三边长分别为:，2，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似;选项C中阴影三角形三边长分别为:1，2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似;选项D中阴影三角形三边长分别为:2，三边不与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选B.3.【答案】A

【解析】由a∶b=3∶4知，所以．

所以由得到：，解得．所以．

所以．故选A．

4.【答案】A　[解析]如图所示.设DM=x，则CM=8-x，根据题意得:(8-x+8)×3×3=3×3×6，解得x=4，∴DM=4.∵∠D=90°.∴由勾股定理得:

BM===5.过点B作BH⊥水平桌面于H，∵∠HBA+∠ABM=∠ABM+∠DBM=90°，∴∠HBA=∠DBM，∵∠AHB=∠D=90°，∴△ABH∽△MBD，∴=，即=，解得BH=，即水面高度为.5.【答案】B

【详解】解：∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∵

∴

∴

故选：B．

6.【答案】

B

【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．

7.【答案】C

【解析】本题考查了相似三角形的性质，∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．

8.【答案】C

【解析】设，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，设，∴，∴，∴，∴，故选C．

二、填空题

9.【答案】54

10.【答案】2

【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8,x2＝2(舍去)，此本题答案为2

．

11.【答案】

【解析】∵，∴，故2y=x，则，故答案为：．

12.【答案】18

【解析】∵与是以坐标原点为位似中心的位似图形，若点，∴位似比为，∵，∴，∴的面积为：，故答案为：18．

13.【答案】　[解析]如图①，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED=CF.设ED=x，则CD=x，AD=12-x.∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴x=.如图②，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，∵S△ABC=AC·BC=AB·CP，则12×5=13CP，∴CP=.设ED=y，同理得:△CDG∽△CAB，∴=，∴=，y=<，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是步，故答案为:.14.【答案】

【解析】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质．已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理，得AB＝5．CD⊥AB，由三角形的面积，得CD＝＝．易得△ABC∽△ACD∽△CBD，由相似三角形对应边成比例，得AD＝＝，BD＝＝．过点E作EG∥AB交CD于点G，由平行线分线段成比例，得DG＝CD＝，EG＝，所以，即，所以DF＝，故答案为．

15.【答案】

【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，∵在等腰中，，∴，∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，∴，∴CH=AC–AH=15–DH，∵，∴，又∵∠ANH=∠DNF，∴，∴，∴，∵，CE+BE=BC=15，∴，∴，∴，∴，故答案为：．

16.【答案】或2.8

【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD,△DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD,∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.三、解答题

17.【答案】

解：

（1）∵DE∥AC，∴∠BED＝∠C．∵EF∥AB，∴∠B＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC．

（2）①∵EF∥AB，∴＝＝．∵BC＝12，∴＝，∴BE＝4．

②∵EF∥AB，∴△EFC△BAC，∴＝．∵＝，∴＝．又∵△EFC的面积是20，∴＝，∴S△ABC＝45，即△ABC的面积是45．

18.【答案】

(1)如图所示：

(2)∵，∴．

∴．

19.【答案】

[解析](1)根据EH∥BC即可证明.(2)设AD与EH交于点M，首先证明四边形EFDM是矩形，设正方形边长为x，利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题.解:(1)证明:∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC.(2)如图，设AD与EH交于点M.∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM.设正方形EFGH的边长为x

cm，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为

cm，面积为

cm2.20.【答案】

(1)解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°，∴∠AFB＝∠ACB＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝36°，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC＝36°，∴∠DAF＝∠AFB－∠D＝72°－36°＝36°；

(2)证明：∵∠EAF＝∠FBC＝∠D，∠AEF＝∠AED，∴△EAF∽△EDA，∴＝，∴AE2＝EF·ED；

(3)证明：如解图，过点A作BC的垂线，G为垂足，∵AB＝AC，∴AG垂直平分BC，∴AG过圆心O，∵AD∥BC，∴AD⊥AG，∴AD是⊙O的切线．

解图

21.【答案】

解:(1)因为点D是AC中点，所以OD⊥AC，所以PA=PC，所以∠PCA=∠PAC，因为AB是☉O的直径，所以∠ACB=90°，所以∠ABC+∠BAC=90°，因为∠PCA=∠ABC，所以∠PAC=∠ABC，所以∠PAC+∠BAC=90°，所以PA⊥AB，所以PA是☉O的切线.(2)因为∠PAO=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，所以△PAO∽△ADO，所以=，所以AO2=OD·OP，所以EF2=AB2=(2AO)2=4AO2=4OD·OP.(3)因为tan∠AFP=，所以设AD=2x，则FD=3x，连接AE，易证△ADE∽△FDA，所以==，所以ED=AD=x，所以EF=x，EO=x，DO=x，在△ABC中，DO为中位线，所以DO=BC=4，所以x=4，x=，所以ED=x=.22.【答案】

(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∴∠ABC＋∠BAC＝90°，∵OD∥AC，∴∠ACO＝∠COD.∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；

(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；

解图

(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴＝，即FC＝，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴＝，即FG＝，∴＝＝2，∴＝.23.【答案】

(1)证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠CAB＝60°，AB＝BC，在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)；

(2)解：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠CAB＝60°，AB＝BC，∴∠ABE＝∠BCD＝180°－60°＝120°.∴在△ABE和△BCD中，∴△ABE≌△BCD(ASA)，∴BE＝CD.∵DH⊥AB，∴∠DHA＝90°，∵∠CAB＝60°，∴∠ADH＝30°，∴AD＝2AH，∴AC＝AD－CD＝2AH－BE；

(3)解：如解图，作DS⊥BC延长线于点S，作HM∥AC交BC于点M，解图

∵AC＝6，BE＝2，∴由(2)得AH＝4，BH＝2,与(1)同理可得BE＝CD＝2，CE＝8，∵∠SCD＝∠ACB＝60°，∴∠CDS＝30°，∴CS＝1，SD＝，BS＝7，∵BD2＝BS2＋SD2＝72＋()2，∴BD＝2，∵EK∥BD，∴△CBD∽△CEK，∴＝＝，∴CK＝＝＝，EK＝＝＝.∵HM∥AC，∴∠HMB＝∠ACB＝60°，∴△HMB为等边三角形，BM＝BH＝HM＝2，CM＝CB－BM＝4，又∵HM∥AC，∴△HMG∽△KCG，∴＝，即＝，∴MG＝，BG＝，EG＝，∵EK∥BD，∴△GBP∽△GEK，∴＝，∴BP＝.24.【答案】

【思路分析】(1)因为点C是x轴上的一动点，且∠ACB＝90°保持不变，所以由圆周角的性质得，点C必在以AB为直径的圆上，所以以AB为直径画圆，与x轴相交于两点，除点C的另一点就是所求；(2)因为∠ACB＝90°，∠AOC＝90°，所以过点B作BE⊥x轴，垂足为E，则构造了一个“K”字型的基本图形，再由相似三角的性质得出比例式，化简后得m2－5m＋2＝0，问题得证；(3)由(2)中的证明过程可知，一个二次项系数为1的一元二次方程，一次项系数是点A的横坐标与点B的横坐标的和的相反数；常数项是点A的纵坐标与点B的纵坐标的积，先把方程ax2＋bx＋c＝0，化为

x2＋x＋＝0，再根据上述关系写出一对固定点的坐标；(4)由(2)的证明中知，本题的关键点在“K”字型的构造，所以本小题解题的关键是要抓住图②中的“K”字型，只要P、Q两点分别在AD、BD上，过P、Q分别作x轴垂线，垂足为M、N，这样就构造出满足条件的基本图形，再应用相似三角形的性质，可得相应的关系式．

图①

图②

(1)解：如解图①，先作出AB的中点O1，以O1为圆心，AB为半径画圆．

x轴上另外一个交点即为D点；(4分)

(2)证明：如解图①，过点B作x轴的垂线交x轴于点E，∵∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDE＝90°，∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠OAD＝∠BDE，∵∠AOD＝∠DEB＝90°，∴△AOD∽△DEB，(6分)

∴＝，即＝，∴m2－5m＋2＝0，∴m是x2－5x＋2＝0的一个实根；(8分)

(3)解：(0，1)，(，)或(0，)，(－，c)；(10分)

(4)解：在解图②中，P在AD上，Q在BD上，过P，Q分别作x轴的垂线交x轴于M，N.由(2)知△PMD∽△DNQ，∴＝，(12分)

∴x2－(m1＋m2)x＋m1m2＋n1n2＝0与ax2＋bx＋c＝0同解，∴－＝m1＋m2；＝m1m2＋n1n2.(14分)

【难点突破】本题是一道考查数形结合思想的题．本题解题的突破口要抓住∠ACB＝90°保持不变的特征，构造相似三角形中的基本图形，通过数形结合的方法，以相似三角形的比例式为桥梁，以此获得关于m的等量关系，从而使问题得以解决．