第三章达标检测卷

一、选择题(每题3分，共30分)

1．下列函数中不属于二次函数的是()

A．y＝5x2

B．y＝(x＋1)2

C．y＝2(x＋2)2－2x2

D．y＝1－x2

2．一个正方形的边长为5

cm，若边长减少x

cm，则面积减少y

cm2．下列说法正确的是()

A．边长是自变量，面积减少量是因变量

B．边长是自变量，面积是因变量

C．y与x之间的函数关系式为y＝(5－x)2

D．y与x之间的函数关系式为y＝52－(5－x)2

3．抛物线y＝－2(x－2)2－5的顶点坐标是()

A．(－2，5)

B．(2，5)

C．(－2，－5)

D．(2，－5)

4．抛物线y＝x2－2是由抛物线y＝x2()

A．向下平移2个单位长度得到的B．向上平移2个单位长度得到的C．向左平移2个单位长度得到的D．向右平移2个单位长度得到的5．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是()

A．－1＜x＜3

B．x＜－1

C．x＞3

D．x＜－1或x＞3

6．点P1(－0．5，y1)，P2(2．5，y2)，P3(－5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()

A．y3＞y2＞y1

B．y3＞y1＝y2

C．y1＞y2＞y3

D．y1＝y2＞y3

7．已知某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝－6t2＋15t，则该汽车刹车后到停下来所用的时间约为()

A．1.25

s

B．2.25

s

C．0.25

s

D．0.75

s

8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，每顶头盔的售价为80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每顶头盔的售价每降低1元，每月可多售出20顶．已知每顶头盔的进价为50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为()

A．60元

B．65元

C．70元

D．75元

9．已知一次函数y＝x＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是()

10．如图，抛物线y＝－x2＋x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是()

A．(2，3)

B．

C．(1，3)

D．(3，2)

二、填空题(每题4分，共24分)

11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是______________．

12．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的图象的顶点坐标是________．

13．若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为________．

14．从地面竖直向上抛出一小球，小球距地面的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．当h＝30时，则t＝________．

15．如图，抛物线y＝－2x2＋2与x轴交于点A，B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，C2的顶点为F，连接EF，则图中阴影部分的面积为________．

16．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为(1，2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点(x1＜x2)，若x1＋x2＞2，则y1＜y2;

④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3．其中正确结论的序号有________．

三、解答题(17题8分，18，19题每题10分，20，21题每题12分，22题14分，共66分)

17．已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1，－4)，且经过点B(3，0)．

(1)求该二次函数的表达式；

(2)判断点C(2，－3)是否在该函数的图象上，并说明理由．

18．如图，抛物线y＝x2＋2与直线y＝－x＋4相交于B，C两点，抛物线、直线分别与y轴交于A，D两点．

(1)求点A，D的坐标；

(2)求△ABC的面积．

19．某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)的部分对应值如下表，已知产品的日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，设每日获得的利润为P元．

x/元

130

150

165

y/件

(1)求y与x之间的函数关系式．

(2)求P与x之间的函数关系式．

(3)当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？

20．已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．

(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；

(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝．

①求该抛物线的表达式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？

21．如图，有一条双向公路隧道，其截面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最高点距地面4.9

m，AB＝10

m，BC＝2.4

m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，若有一辆高为4

m、宽为2

m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁至少超过多少米，汽车才不会碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为石壁)

22．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x－6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点．点P是位于直线AB下方抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点P到AB的距离最大时，求出点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接BP，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，P，M，N为顶点，以BP为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

一、1．C　2．D　3．D　4．A　5．A　6．D

7．A　8．C　9．C

10．A　点拨：对于y＝－x2＋x＋2，令y＝0，则－x2＋x＋2＝0，解得x＝－1或x＝4，令x＝0，则y＝2，∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(4，0)，(0，2)，∴OB＝4．

如图，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设直线BC的表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得解得

∴直线BC的表达式为y＝－x＋2，由题意设点P的坐标为，则点H的坐标为，∴S△BCP＝S△PHB＋S△PHC＝OB·

PH＝×4×＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，易知0＜m＜4，∴当m＝2时，△BCP的面积取得最大值，此时－m2＋m＋2＝3，∴点P的坐标为(2，3)．

二、11．x≥－1且x≠2　12．(2，－1)

13．0或2或－2　14．1.5或4.5　15．4

16．①④　点拨：①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－＞0，∴a，b异号，即ab＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；

②易知△ABC的面积＝AB·yC，假设△ABC的面积为2，∵C(1，2)，∴AB×2＝2，解得AB＝2，设A(xA，0)，B(xB，0)，则AB＝xB－xA＝2．①

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴xA＋xB＝2．②

由①②得，xA＝0，xB＝2，∴A(0，0)，此时c＝0，与图象不符，故②错误；

③令x2＞x1＞1，此时x1＋x2＞2，由图象知当x＞1时，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故③错误；

④抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移1个单位长度可得抛物线

y＝ax2＋bx＋c＋1．

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(3，－1)，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c＋1经过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c＋1也经过点(－1，0)，∴方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3，故④正确．故答案为①④．

三、17．解：(1)设的表达式为y＝a(x－h)2＋k，∵图象的顶点坐标为A(1，－4)，∴y＝a(x－1)2－4．

∵图象经过点B(3，0)，∴0＝a(3－1)2－4，解得a＝1，∴该的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．

(2)点C(2，－3)在该函数的图象上．

理由：当x＝2时，y＝22－2×2－3＝－3，∴点C在该函数的图象上．

18．解：(1)将x＝0代入y＝x2＋2，得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．

将x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，∴点D的坐标为(0，4)．

(2)解

得或

∴点B的坐标为(1，3)，点C的坐标为(－2，6)，由A(0，2)，D(0，4)，得AD＝2，∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×2×1＋×2×2＝3．

19．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b．

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50分别代入，得

解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋200．

(2)由题意知P＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24

000(120≤x≤200)．

(3)∵P＝－x2＋320x－24

000＝－(x－160)2＋1

600，120≤x≤200，∴当x＝160时，P取最大值，为1

600．

∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1

600元．

20．(1)证明：∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．

(2)解：①由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝－＝，∴m＝2，∴该抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6．

②设把该抛物线沿y轴向上平移k个单位长度，则平移后抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6＋k，∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，∴k＝，∴把该抛物线沿y轴向上平移个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．

21．解：由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2．5)，且过点C(10，0)，易求出抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x．如图，用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝m，DG交x轴于M，延长DG交抛物线于H，则AD＝(10－m)m，∴HM＝m．

∴HD＝m．

由题意得－(10－m)2＋12.4－m＞4，化简得(m－2)(m－8)＜0，∴2＜m＜8．

易知m≤3，∴2＜m≤3．

答：汽车的右侧离隧道右壁至少超过2

m，汽车才不会碰到隧道顶部．

22．解：(1)对于y＝－2x－6，令x＝0，得y＝－6，令y＝0，得x＝－3，∴A(－3，0)，B(0，－6)，把A(－3，0)，B(0，－6)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得

∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－6．

(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，PD⊥x轴于点D，交AB于点Q，则∠ADQ＝∠PHQ＝90°．

∴∠PQH＝∠AQD＝90°－∠DAQ，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO＝90°－∠DAQ，∴∠PQH＝∠ABO．

又∵∠PHQ＝∠AOB＝90°，∴△PHQ∽△AOB，∴＝，∵A(－3，0)，B(0，－6)，∴OA＝3，OB＝6，∴AB＝＝3

．

∴＝，∴PH＝PQ，∴当PQ最大时，PH最大．

设P(t，t2＋t－6)，则Q(t，－2t－6)，∴PQ＝(－2t－6)－(t2＋t－6)＝－t2－3t＝－＋，易知－3＜t＜0，∴当t＝－时，PQ取得最大值，此时PH最大．

当t＝－时，t2＋t－6＝－，∴点P的坐标为．

(3)存在，由题意知点M的纵坐标为0．设N(n，n2＋n－6)，由(1)(2)知B(0，－6)，P．

①若平行四边形的对角线为MB，NP，则MB的中点也是NP的中点，∴0－6＝n2＋n－6－，解得n＝或n＝，∴点N的坐标为

或

．

②若平行四边形的对角线为MP，NB，则MP的中点也是NB的中点，∴0－＝n2＋n－6－6，解得n＝或n＝，∴点N的坐标为

或．

综上所述，点N的坐标为或

或

或

．