《应用概率统计》综合作业一

一、填空题（每小题2分，共20分）

1．已知随机事件A的概率，事件B的概率，条件概率，则事件的概率

0.7

．

2．设在三次独立试验中，随机事件A在每次试验中出现的概率为，则A至少出现一次的概率为

19/27

．

3．设随机事件A，B及其和事件的概率分别是0.4，0.3和0.6，则积事件的概率

0.3

．

4．一批产品共有10个正品和两个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为

1/5

．

5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有一件是不合格品，则另1件也是不合格品的概率为

0.2

．

6．设随机变量，且，则

0.2

．

7．设随机变量绝对值不大于1，且，则

7/16

．

8．设随机变量的密度函数为以表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则

9/64

．

9．设随机变量的概率分布为，，则随机变量的分布函数

f（x）=0.2

（x=1)

0.3

（x=2)

0.5（x=3)

0

(x不为1、2、3之中的任一个）

．

10．设随机变量的密度函数为，求随机变量的密度函数

3/π[1+(1−y)3].．

二、选择题（每小题2分，共20分）

1．同时抛掷3枚均匀对称的硬币，则恰有2枚正面向上的概率为（D）

（A）0.5

（B）0.25

（C）0.125

（D）0.375

2．某人独立地投入三次篮球，每次投中的概率为0.3，则其最可能失败（没投中）的次数为（A）

（A）2

（B）2或3

（C）3

（D）1

3．当随机事件A与B同时发生时，事件C必发生，则下列各式中正确的是（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

4．设，，则（B）

（A）事件A和B互不相容

（B）事件A和B互相对立

（C）事件A和B互不独立

（D）事件A和B相互独立

5．设A与B是两个随机事件，且，，则必有（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

6．设随机变量的密度函数为，且，为的分布函数，则对任意实数，有（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

7．设随机变量服从正态分布，则随着的增大，概率为（C）

（A）单调增大

（B）单调减少

（C）保持不变

（D）增减不定

8．设两个随机变量和分别服从正态分布和，记，则（A）

（A）对任意实数，都有

（B）对任意实数，都有

（C）只对的个别值，才有

（D）对任意实数，都有

9．设随机变量服从正态分布，则（B）

（A）

（B）

（C）

（D）

10．设随机变量的分布函数为则（C）

（A）

（B）

（C）

（D）

三、（10分）摆地摊的某赌主拿了8个白的、8个黑的围棋子放在一个签袋里，并规定凡愿摸彩者每人交一元钱作手续费，然后一次从口袋口摸出5个棋子，中彩情况如下：

摸棋子

5个白

4个白

3个白

其他

彩金

20元

2元

纪念品（价值5角）

同乐一次（无任何奖品）

试计算：

①获得20元彩金的概率；

②获得2元彩金的概率；

③获得纪念品的概率；

④按摸彩1000次统计，赌主可望净赚多少钱？

解：1.2.3.4.净赚大哟为1000-692=308元．

四、（10分）已知连续型随机变量的密度函数为试求：

（1）常数A；（2）（3）的分布函数。

解答：

(1)由于∫+∞−∞f(x)dx=1，即

∫0−∞kexdx+∫2014dx=k+12=1

∴k=12

(2)由于F(x)=P(X⩽x)=∫x−∞f(x)dx，因此

当x<0时,F(x)=∫x−∞12exdx=12ex；

当0⩽x<2时,F(x)=∫0−∞12exdx+∫x014dx=12+14x；

当2⩽x时,F(x)=∫0−∞12exdx+∫2014dx=1

∴F(x)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12ex12+14x1,x<0,0⩽x<2,x⩾2

(3)由于连续型随即变量在任意点处的概率都为0,因此P{X=1}=0

而P{1

解：

先取得一级品的概率为

5÷10=1/2

那么当取出一级品

再取得二级品的概率就为

3÷（10-1）=1/3

所以在取二级品之前取得一级品的概率为

1/2×1/3=1/6

六、（10分）某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。

（）

解答：

因为F(96)=∮[(96-72)/x]=1-0.023=0.9770=∮（2）

所以x=12

成绩在60至84分之间的概率:F(84)-F(60)=∮[(84-72)/12]-∮[(60-72)/12]=∮（1）-∮（-1）=2∮（1）-1=2×0.8413-1=0.6826

七、（10分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。

（1）先抽出的一份是女生表的概率；

（2）若后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。

解答：

设事件：Hi={抽到的报名表示i区考生的}(i=1,2,3)；

事件：Hj={第j次抽到的报名表是男生报名表}(j=1,2,3).事件：A={第一次抽到的报名表示女生的}

事件：B={第二次抽到的报名表示男生的}

显然有，抽到三个区的概率是相等的，即：

P(H1)=P(H2)=P(H3)=13

P(A|H1)=310；

P(A|H2)=715

P(A|H3)=525=15

(1)根据全概率公式有：

P(A)=P(A|H1)P(H1)+P(A|H2)P(H2)+P(A|H3)P(H3)=13×310+13×715+13×15=2990

(2)根据全概率公式，第二次抽到男生的概率为：

P(B)=p(B|H1)×P(H1)+p(B|H2)×P(H2)+p(B|H3)×P(H3)

显然：p(B|H1)=710；

p(B|H2)=815；

p(B|H3)=2025=45

故：

P(B)=p(B|H1)×P(H1)+p(B|H2)×P(H2)+p(B|H3)×P(H3)=710×13+815×13+45×13=6190

第一次抽到女生，第二次抽到男生的概率为：

P(AB)=P(AB|H1)×P(H1)+p(AB|H2)×P(H2)+p(AB|H3)×P(H3)

而

P(AB|H1)=310×79=730；

P(AB|H2)=715×814=415；

P(AB|H3)=525×2024=16

故：P(AB)=P(AB|H1)×P(H1)+p(AB|H2)×P(H2)+p(AB|H3)×P(H3)=730×13+415×13+16×13=29

根据条件概率公式有：

p(A|B)=P(AB)p(B)=29÷6190=2061

即：p=2061

故第一份抽到的是女生的概率为2990,在第二份抽到是男生的前提下,第一次抽到是女生的概率p为2061.八、（10分）假设一大型设备在任何长为的时间内发生故障的次数服从参数为的泊松分布，（1）求相继两次故障之间间隔时间的概率分布；

解答：

(1)由泊松过程的定义,时间间隔分布为参数是λ的指数分布.即

P(T0

(2)P(N(16)=0|N(8)=0)=P(N(16)=0)/P(N(8)=0)=exp(-16λ)/exp(-8λ)

=exp(-8λ)