第一篇：数学史感想

我学习数学史的感想

数学是从我出生开始就有了，而我对于数学的理解，也在渐渐的改变，从幼儿园的阿拉伯数字，到小学的小数，到初中的解析几何，再到高中的多元函数，以至于大学的常微分方程。随着不同的时期对数学有着不同深度和广度的理解。但是这些理解都仅仅是片面的。直到我学习了《数学的历史与文化》这门课之后，我才对数学这门学科有了一个比较系统的认识，认识到世界各国的数学发展的社会背景；认识到在过去的几十年中，人们从社会—文化的视角对数学进行的研究过程以及研究成果；认识到数学作为一个不仅特殊而且开放的文化系统，其背后所隐藏的文化背；更加认识到数学在人类的文化发展中所发挥的自己独特的作用。

数学史告诉我：数学是一门古老的学科，它是人类在社会实践和生产活动中发展起来的智力积累。人类从猿进化而来就已经用到了数学，如：计算日子的时候，在绳子上打个结就表示一天，先民由于从事农业生产的需要，从控制洪水和灌溉，测量土地的面积计算仓库的容积推算是和农业生产的历法以及相关财富的计算，都用到了数学，所以数学作为人类智慧的结晶，其历史源远流长。

数学史告诉我：数学史的发展也就是人类文明史的发展。纵观人类文明与数学史的发展，从5000年以前尼罗河中下游的古埃及、幼发拉底河与底格里斯河流域的古巴比伦、黄河流域的中国和恒河流域的印度，到两三年钱爱琴海孕育的希腊文明，我们都可以清晰的发现不论是那一的历史时期，数学发展最为迅速的地方一定是当时人类社会最文明的地域之一，这也从侧面反映了数学对推动整个社会的进步的积极作用。

数学史告诉我：数学与我们的生活是息息相关的。早在古代，希腊的毕达哥拉斯学派就把数看作万物之本源。享有“近代自然科学之父”尊称的伽利略认为，展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如不掌握数学的符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认不清。可见，我们的生活中充溢着数学的身影：买东西、重量长度、科学研究用数学，卫星的发射、银行用数学，甚至出门旅游、坐车也要用数学。数学“源于现实，寓于现实，并用与现实”,现实世界就是数学的丰富源泉，也是数学的应用归宿。

数学史告诉我：数学是打开科学大门的钥匙。一些划时代的科学理论成就的出项，无一不借助于数学的力量。物理学家伦琴因发现了X射线而成为1901年开始的诺贝尔物理奖的第一位获得者，当有人问这位卓越的实验物理学家，科学家需要什么养的修养时，他的回答是：第一是数学，第二是数学，第三是数学。对计算机的发展作出过重大贡献的冯·诺伊曼认为“数学处于人类智能的中心领域”。

数学的发展历史与其文化背景的发展，可谓是一门理性的艺术的发展，它一直是人类文明的主要文化力量，它极大的影响了社会的进步，它已作为信息时代科学文化发展的基础渗透到人类生活的诸多领域。在数学研究中，虽然有大量表面看来枯燥无味的推理和计算，然而在其中却蕴藏着内在的深邃的理性的美，而这种美，则是一种无与伦比的艺术之美。

第二篇：数学史

前言

一、数学史研究哪些内容？ P1 答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。

二、历史上关于数学概念的定义有哪些？ P5~8 答：

1、公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德将数学定义为“数学是量的科学”。2、16世纪英国哲学家培根(1561—1626)将数学分为“纯粹数学” 与“混合数学”。

3、在17世纪，笛卡儿(1596—1650)认为：“凡是以研究顺序(order)和度量(measure)为目的的科学都与数学有关”。4、19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”。根据恩格斯的论述，数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。” 5、19世纪晚期，集合论的创始人康托尔(1845—1918)曾经提出： “数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前已经建立和存在的概念相联系”。6、20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能的，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”。

7、从20世纪80年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试。主要是一批美国学者，将数学简单地定义为关于“模式” 的科学：“【数学】这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”。

三、数学史通常采用哪些线索进行分期？P9

答：一般可以按照如下线索：

（1）按时代顺序；(2)按数学对象、方法等本身的质变过程；(3)按数学发展的社会背景。

四、本书对数学史如何分期？P9

答：

1、数学的起源与早期发展(公元前6世纪前)

2、初等数学时期(公元前6世纪一16世纪)

(1)古代希腊数学(公元前6世纪－6世纪)

(2)中世纪东方数学(3世纪一15世纪)

(3)欧洲文艺复兴时期(15世纪一16世纪)

3、近代数学时期(变量数学，17世纪－18世纪)

4、现代数学时期(1820年一现在)(1)现代数学酝酿时期(1820„一1870)(2)现代数学形成时期(1870—1940’)

(3)现代数学繁荣时期(当代数学时期,1950－现在)

第一章

一、世界上早期常见有几种古老文明记数系统，它们分别是什么数字，采用多少进制数系？ P13 答：1．古埃及的象形数字（公元前3400年

左右）：十进制数系

2．巴比伦楔形数字（公元前2400年左右）：六十进制数系 3．中国甲骨文数字（公元前1600年左右）：十进制数系 4．希腊阿提卡数字（公元前500年左右）：十进制数系 5．中国筹算数码数字（公元前500年左右）：十进制数系 6．印度婆罗门数字（公元前300年左右）：十进制数系

7．玛雅数字（？）：二十进制数系

二、“河谷文明”指的是什么？ P16 答：历史学家往往把兴起于埃及。美索不大米亚、中国和印度等地域的古代文明称为“河谷文明”。

三、关于古埃及数学的知识主要依据哪两部纸草书？P17 纸草书中问题绝大部分都是实用性质，但有个别例外，请举例。P23

答：古埃及数学的知识主要依据莱茵德纸草书和莫斯科纸草书两部纸草书。例如：莱茵德纸草书第79题：“7座房，49只猫，343只老鼠，2401棵麦穗，16807赫卡特。

四、美索不达米亚人的记数制远胜埃及象形数字之处主要表现在哪些方面？P23—2

5答：

1、六十进制为主德楔形文记数系统。

2、巧妙地将位值原理应用到整数以外的分数。

3、计算程序化。

4、数表计算。

第二章

一、希腊数学一般是指什么时期，活动于什么地方的数学家创造的数学？ P32 答：希腊数学一般指从公元前600年至公元600年间，活动于希腊半岛、爱琴海区域、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非州北部的数学家们创造的数学。

二、什么使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名？ P33 答：关于泰勒斯并没有确凿的传记资料留传下来。但是以下命题记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。泰勒斯曾证明了下列四条定理：

1、圆的直径将圆分为两个相等的部分；

2、等腰三角形两底角相等；

3、两相交直线形成的对顶角相等；

4、如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。

三、毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于什么发现而受到动摇？这个“第一次数学危机”是由于什么人提出的新比例理论而暂时消除，P38这个新比例理论当今的语言可怎么叙述？P48 答：毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于不可公度量的发现而受到动摇, 这个“第一次数学危机”是大约一个世纪以后，由于毕达哥拉撕学派成员阿契塔斯的学生欧多克斯提出的新比例理论而暂时消除。

这个新比例理论当今的语言可叙述为（P48）:设A,B,C,D是任意四个量，其中A和B同类，C和D同类，如果对于任意两个正整数m和n，关系mA()nB是否成立，相应地取决于关系mC()nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即四量成比例。

四、希腊数学学派主要有哪些学派? P39

答：希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：

1、伊利亚学派；

2、诡辩学派；

3、雅典学院(柏拉图学派)；

4、亚里士多德学派。

五、古希腊三大著名几何问题是什么？P40 答：（1）化圆为方，即作一个给定的圆面积相等的正方形。

（2）倍方立体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。（3）三等分角，即分任意角为三等分。

六、亚里士多德《物理学》中记载芝诺提出的四个著名的悖论是什么？P43 答：芝诺四个著名悖论：

1、两分法

2、阿基里斯

3、飞箭

4、运动场

七、希腊数学的“黄金时代”指的是什么时间?这时期希腊数学的中心从雅典移到何处，此处出现了哪三大数学家？ P45

答：从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。

这时期希腊数学的中心从雅典移到亚历山大城；此处出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，标志着古代希腊数学的颠峰。

八、几何《原本》共分多少卷，包括有多少条公理，多少条公设，多少个定义和多少条命题？ P46 答：几何《原本》共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119定义和465条命题。

九、阿基米德数学研究的最大功绩是什么？ P52~53 答：阿基米德数学研究的最大功绩是集中探讨与面积与体积计算相关的问题。主要著述：（1）《圆的度量》（2）《抛物线求积》（3）《论螺线》（4）《论球和圆柱》（5）《论劈锥曲面和旋转椭球》（6）《引理集》（7）《处

理力学问题的方法》（8）《论平面图形的平衡或其重心》（9）《论浮体》（10）《沙粒计数》（11）《牛群问题》。

十、阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是什么？P58 答：阿波罗尼奥斯最重要的数学成就是创立了相当完美的圆锥曲线理论。

第三章

一、中国数学史上何时何人何种方法最先完成勾股定理证明？P70

答：公元3世纪三国时期的赵爽在注《周髀算经》，作“勾股圆方图“，其中的”弦图“，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。

二、《九章算术》中各章名称是什么?这些章节中谈论算术、代数、几何方面的内容为哪些章节？P71----78 答 ：《九章算术》采用问题集的形式，全书246个问题，分成九章，依次为：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股，其中所包含的数学成就是丰富和多方面的。

算术方面：方田、粟米、衰分、均输、盈不足；

代数方面：方程；

几何方面：方田、商功、勾股。

三、刘徽的数学成就中最突出是什么？ P78

答：刘徽的数学成就中最突出是 “割圆术”和“体积理论”

四、贾宪增乘开方法能否适用于开任意高次方? P93

答：贾宪增乘开方法，是一个非常有效的和高度机械化的算法，可适用于开任意高次方。

五、为什么说一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”？ P96 答：秦九韶（约公元1202――1261）的“大衍求一术”是完全正确且十分严密的，但本人没有给出证明，到18、19世纪，欧拉（1743）和高斯（1801）分别对一次同余组进行了详细研究，重新独立地获得与秦九韶“大衍求一术”相同的定理，并对模数两两互素的情形作出了严格证明。1876年德国人马蒂生首先指出秦九韶的算法与高斯算法是一致的，因此关于一次同余组求解的剩余定理常常被称为“中国剩余定理”。

第四章

一、印度数学的发展可划分为3个重要时期，这3个重要时期是指什么时期？

答;印度数学的发展可以划分为三个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗（pi）荼人时期（约公元前3000——前1400），史称河谷文化；随后是吠（fei）陀（tuo）（约公元前10世纪——前3世纪）；其次是悉檀（tan）多时期（5世纪——12世纪）。

二、用圆圈符号“O”表示零，可以说是印度数学的一大发明，印度人起初用什么表示零，直到最后发展为圈号。答：点号，直到最后发展为圈号。

1.“0”表示空位；

2.“0”表示“无”；

3.数域的一个基本元素，可以运算。

三、“巴克沙利手稿”中涉及到哪些的数学内容? P107 答：“巴克沙利手稿”中涉及到分数，平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程。特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号如：减号、零号“0”。

四、“阿拉伯数学“是否单指阿拉伯国家的数学？ P113 答：“阿拉伯数学“并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8――15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人、犹太人和基督徒等所写的阿拉伯文及波斯文等数学著作。

五、第一次给出一元二次方程的一般代数解法是来自何人著的著作?

P114

答：第一次给出一元二次方程的一般代数解法是来自中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家花拉子米（约783－850）的《代数学》。

第五章

一、卡尔丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是从何人那里传授来的？在《大法》中卡尔丹对三次方程又进一步作了哪些工作？P126

答：卡尔丹在1545年出版的著作《大法》中公布了形如x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程的解法是从塔塔利亚（1499――1557）那里传授来的。

在《大法》中卡尔丹给出了一般三次方程的解法，而且补充了几何证明；书中还把其学生费拉里（1522――1565）的一般四次方程的解法写进《大法》中。

二、学符号系统化首先应归功于哪位数学家，对这位数学使用的代数符号的改进工作是由何人完成的？ P129 答：数学符号系统化首先应归功于法国数学家韦达（1540――1603），对这位数学使用的代数符号的改进工作是由法国笛卡儿（1596――1650）完成的，他首先用拉丁字母（a,b,c,d,）表示已知量，后几个（x,y,z,w,）表示未知量等。

三、球面三角与平面三角何者先出现？P131

答：球面三角先于平面三角出现。

四、对数是何人首先发明？它的产生主要是由于什么的需要？P136 答 ：苏格兰贵族数学家纳皮尔正是在球面天文学的三角研究中首先发明对数方法的。对数的产生主要是由于天文和航海计算的强烈需要。

五、笛卡儿创立解析几何的灵感有几个传说，请试述其中的任意一个。P142 答：笛卡儿创立解析几何的灵感有两个传说。第一个传说“晨思”时，看见一只天花板的苍蝇，想确定其路线；另一个传说是1619年冬天的三个连惯的三个梦。

第六章

一、微积分与积分学的起源何者在先，何者在后？P145 答：积分学的起源在先，微积分的起源比积分学的起源要晚的多。

二、微积分酝酿阶段最有代表性的工作有哪几项？P146—154 答:

（一）开普勒与旋转体体积；

（二）卡瓦列里不可分量原理；

（三）笛卡尔“圆法”；

（四）费马求极大值与极小值的方法；

（五）巴罗“微分三角形”；

（六）沃利斯“无穷算术”。

三、牛顿走上创立微积分之路受哪两部著作的影响最深？P155 答：就数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的影响最深，正是这两部著作引导牛顿走上创立微积分之路。

四、牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是什么？P158为什么其中第三篇是牛顿最成熟的微积分著述？P160 答：牛顿1666年写了《流数简论》之后，始终不渝努力改进，完善自己的微积分学说，先后写成三篇微积分论文，这三篇论文的名称是：

1、《运用无穷多项方程的分析》，简称《分析学》（1669）

2、《流数法与无穷级数》，简称《流数法》(1671)

3、《曲线求积分》简称《求积术》（1691）

五、为什么说在微积分的创立上牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉？P174 答：牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，就微积分的创立而言，尽管在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但两者的功绩是相当的，他们都使微积分成为能普遍适用的算法，同时又都将面积、体积及相当的问题归结为反切线（微分）运算。应该说，微积分能成为独立的科学并给整个自然科学带来革命性的影响，主要是靠了牛顿与莱布尼兹的工作，在科学上，重大的真理往往在条件成熟的一定时期的探索者相互独立地发现，微积分地出来，情形也是如此。所以说在微积分的创立上牛顿需要与莱布尼茨分享荣誉。

第七章

一、18世纪微积分发展包括哪几个主要方面？P176—187 答:

（一）积分技术与椭圆积分，（二）微积分向多元函数的推广，（三）无穷级数理论，（四）函数概念的深化，（五）微积分严格化的尝试。

二、简述18世纪常微分方程的发展过程。P188 答：

1、常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的，从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程。

2、数学家们起初是采取特殊的技巧来对付特殊的方程，但逐渐开始寻找带普遍性的方法，如：莱布尼兹1691年分离变量法，1696年雅各布伯努利的“伯努利方程”；欧拉和克莱洛的“积分因子法”。

3、欧拉1743年关于n阶常系数线性齐次方程的完整解法。

4、18世纪常微分方程求解的最高成就是拉格朗日1774~1775年间用参数变易法解出了一般n阶变系数非齐次常微分方程。

三、简述18世纪微分几何的形成过程。P196 答：

1、1731年十八岁的法国青年数学家克莱洛发表《关于双重曲率曲线的研究》，开创了空间曲线理论，是建立微分几何的的重要一步；

2、欧拉是微分几何的重要奠基人。他早在1736年就引进了平面曲线的内在坐标概念； 3、18世纪微分几何的发展由于蒙日的工作而臻于高峰，1795年发表的《关于分析的几何应用的活页论文》是第一步系统的微分几何著述。

四、述哥德巴赫猜想与华林问题。P204 答：哥德巴赫猜想从：每个偶数是两个素数之和；每个奇数是三个素数之和。

kkk华林问题：任一自然数n可表示成至多r次幂之和，即nx1x2x3xrk，其中x1,x2,x3,,xr为自然数，r依赖于k。

第八章

一、数学家阿贝尔通过证明什么样的结论解决了五次和高于五次的一般方程的求解问题？P208 答：1824年，年仅22岁的挪威数学家阿贝尔（1802——1829）出版的《论代数方程，证明一般五次方程的不可解性》，在其中严格证明了：如果方程的次数n5，并且系数a1,a2,,an看成字母，那么任何一个由这些字母组成的根式都不可能是方程的根，这样，五次和高于五次的一般方程的求解问题就由阿贝尔解决了。

二、布尔的逻辑代数思想集中在他的哪两本书中。P219

答：布尔(英国数学家，1815－－1864)的逻辑代数思想集中在他的1847年发表的《逻辑的数学分支》和1854年出版的《思维规律研究》。

三、《算术研究》的作者是谁，发表的年份是何时？它的发表有何意义。P221

答:《算术研究》是德国数学家高斯在1801年发表的。在19世纪以前，数论只是一系列孤立的结果，《算术研究》发表后数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。《算术研究》中有三个主要思想：同余理论，复整数理论和型的理论。

第九章

一、非欧几何三位发明人（高斯、波约、罗巴切夫斯基）中哪位是最早、最系统地发表自己关于非欧几何的研究成果？P230

答：罗巴切夫斯基。

二、最先理解非欧几何全部意义的数学家是谁？在欧几里得空间中给出非欧几何的直观模型的数学家有哪几位？P235~236 答：最先理解非欧几何全部意义的数学家是黎曼

在欧几里得空间中给出非欧几何的直观模型的数学家有：意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因和法国数学家庞加莱。

三、在射影几何的发展过程中，庞斯列有哪些创举？P239~240 答：庞斯列（法国数学家，1788－1867）1822年出版的《论图形的射影性质》，带来了这门学科历史上的黄金时期。庞斯列有探讨一般问题：图形在射影和截影下保持不变的性质；选择并发展了对偶与调和点列理论；采用中心投影而不是平行投影及两个基本原理——连续性原理和对偶原理的创举。

第十章

一、柯西在分析基础工作方面做了哪些工作？P247

答：柯西（法国数学家，1789——1851）在分析基础工作方面，他写出了一系列著作，其中最有代表性的是《分析教程》（1821）和《无穷小计算教程概论》（1823），它们以严格化为目标，对微积分的基本概念，如变量、函数、极限、连续性、导数、微分、收敛等等给出了明确的定义，并在此基础上重建和拓展了微积分的重要事实与定理。

二、魏尔斯特拉斯在1861年举出一个什么例子来说明存在处处连续但却处处不可微的函数？P250 答：魏尔斯特拉斯在1861年举出一个例子

f(x)bncos(anx),其中a是奇数，n0b(0,1)为常数，使得ab13.2

三、魏尔斯特拉斯关于分析严格化的突出表现是创造了一套什么语言？P253 答：魏尔斯特拉斯关于分析严格化的突出表现是创造了一套ε-δ语言。

四、集合论的建立是由哪些问题研究而导致的？P255 答：在分析的严格化过程中，一些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到由无穷多个元素组成的集合，特别是在对那些不连续函数进行分析时，需要对使函数不连续或使收敛问题变得很困难的点集进行研究，这样就导致了集合论的建立。

五、19世纪分析的扩展表现在哪些方面？P258~263 答：

1、复分析的建立；

2、解析数论的形成；

3、数学物理方程与微分方程。

第十一章

一、与19世纪相比，20世纪纯粹数学的发展表现出哪些主要的特征与趋势？P271 答：

1、更高的抽象性

2、更强的统一性

3、更深入的基础探讨

二、1900年德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作演说中提出23个数学问题，至今这23个问题解决状况如何？P272~274 答：（略，详见教材P272~274。）

三、集合论观点的渗透和公理化方法的运用导致20世纪上半叶哪四大数学抽象分支的崛兴？P276 答：集合论观点的渗透和公理化方法的运用导致20世纪上半叶实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数四大数学抽象分支的崛兴

四、简述实变函数论的建立。P276——278 答：

1、法国数学家勒贝格1902年发表的《积分，长度与面积》中利用以集合论为基础的“测度”概念而建立勒所谓“勒贝格积分”。

2、在勒贝格积分的基础上进一步推广导数等其他微积分基本概念，并重建微积分基本定理（微分运算与积分运算的互逆性）等微积分的基本事实，从而形成了一门新的数学分支——实变函数论。

五、“泛函”这个名称是由谁最先采用的？(P279)为什么说泛函分析的建立体现了20世纪在集合论影响下空间和函数这两个基本概念的进一步变革？P279-280

答：“泛函”这个名称是由法国数学家阿达马最先采用的.因为“空间”现在被理解为某类元素的集合，这些元素按习惯被称作“点”，它们之间受到某种关系的约束，这些关系被称之为空间的结构，简言之，“空间”仅仅是具有某种结构的集合，而“函数”的概念则推广为两空间之间的元素（映射）关系。所以说泛函分析的建立体现了20世纪在集合论影响下空间和函数这两个基本概念的进一步变革。

六、《环中的理想论》的作者是谁?P282 答：《环中的理想论》的作者是诺特（1882－1935）。

七、拓扑学研究什么内容?“拓扑学”这一术语是由何人首先引用的? P285 答：拓扑学研究几何图形的连续性质，即在连续变形下保持不变的性质（允许拉伸、扭曲，但不能割断和粘合）。“拓扑学”这一术语是由高斯的学生李斯廷1847年首先引用的。

八、简述概率论起源以及公理化后概率论取得哪些突破？P287、P291 答：概率论起源于博弈问题。P287 公理化后概率论取得如下突破：P291

1、使随机过程的研究获得了新的起点，2、随机过程是“鞅”，鞅论使随机过程的研究进一步抽象化，1942年开始，日本数学家伊藤清引进随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为一门意义深远的数学新分支——随机分析的创立与发展奠定了基础。

九、举例说明20世纪下半叶不同分支领域的数学思想与数学方法互相融合导致重大发现的事实。P292-297 答：1.微分拓扑与代数拓扑2．整体微分几何3．代数几何 4．多复变函数论 5．动力系统6．偏微分方程与泛函分析7．随机分析

十、试述罗素关于集合的悖论。P298 答：以M表示是其自身成员的集合的几何，N表示不是其自身成员的集合的集合。然后问：集合N是否为它自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不属于N，也就是说N不是它自身的成员；另一方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员。无论出现哪一种情况，都将导出矛盾的结论。

十一、数学基础的三大学派是什么?P300 答：

1、以罗素为代表的逻辑主义

2、以布劳威尔为代表的直觉主义

3、以希尔伯特为代表的形式主义

十二、现代数理逻辑的四大分支是什么？P303 答：1。公理化集合论 2．证明论 3．模型论4．递归论

第十二章

一、应用数学新时代具有哪几个方面特点？P307——309 答：

1、数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；

2、纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透；

3、现代数学对生产技术的应用变得越来越直接；

4、现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科如：数理统计、运筹学、控制论等等。

二、数学向其他科学渗透表现在哪些方面？P309 答：

1、数学物理

2、生物数学

3、数理经济学

三、简述数理统计、运筹学、控制论发展过程。P317-324 答：略

四、简述电子计算机的诞生。P325答：略

五、计算机对数学的影响表现在哪些方面？P330 答：

1、计算数学的兴旺

2、纯粹数学研究与计算机

3、计算机科学中的数学

第十三章

一 简述20世纪十例现代数学成果的内容。

答：1．哥德尔不完全性定理。P339 2．高斯－博内公式的推广。P341 3．米尔诺怪球。P343 4．阿蒂亚－辛格指标定理。P344 5．孤立子与非线性偏微分方程。P345 6.四色问题。P347 7．分形与混沌。P349 8．有限单群分类。P353 9．费马大定理的证明。P355 10．若干著名未决猜想的进展。359

二、庞加莱猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想的内容是什么?P359 答：庞加莱猜想是拓扑学中一个著名的和基本的问题，即任意一个三维的单连通闭流形必与三维球面同胚。

哥德巴赫猜想：偶数都是两个奇素数之和，奇数都是三个奇素数之和。

黎曼猜想：在带状区域01中，黎曼(s)11的零点都位于直线上。s2nn1

第十四章

一、为什么说数学的发展与社会的进化之间联系是双向的？P363 答：一方面，数学的发展依赖于社会环境，受着社会经济、政治和文化等诸多因素的影响； 另一方面，数学的发展又反过来对人类社会的进步起推动作用，包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响。

二、数学如何促进社会进步？P363—364 答：数学的发展对人类社会的进步起推动作用，包括对人类物质文明和精神文明两大方面的影响。数学对人类物质文明的影响，最突出的是反映在与能从根本上改变人类物质生活方式的产业革命的关系上。人类历史上先后共有三次重大的产业革命，其主体技术都与数学的新理论、新方法的应用有直接或间接的关联；数学对于人类精神文明的影响同样也很深刻，数学本就是一种精神，一种探索精神，这种精神的两个要素，即对理性（真理）与完美的追求，千百年来对人们的思维方式、教育方式以及世界观、艺术观等的影响是不容否认的，数学往往成为解放思想的决定性武器。

三、1850——1899年间创办，至今仍在发行的主要数学期刊有哪些？P372 答：《纯粹与应用数学年报》（1850，意大利），《数学汇刊》（1865，俄国），《数学年刊》（1868，德国），《美国数学杂志》（1878，美国），《数学年报》（1882，瑞典），《数学年刊》（1884，美国），《美国数学月刊》（1894，美国）。

四、中国数学会是建立何年建立的？P376 答：1935年中国数学会建立的。

五、试述各届国际数学家大会召开年份与地点。P375 答：略

六、两项影响最大的国际数学奖励是什么奖？何年、在何领域取得其中的哪个奖？P376，P378——379 答：两项影响最大的国际数学奖励是菲尔兹奖和沃尔夫奖。

中国数学家丘成桐，1983年，微分几何，偏微分方程，相对论，菲尔兹奖。中国数学家陈省身，1984年，整体微分几何，沃尔夫奖。

第十五章

一、试述17世纪初至19世纪末在中国出现两次西方数学传播的高潮的时间与内容。P381 答：第一次是从17世纪初到18世纪初，标志性的事件是欧几里得《原本》的首次翻译，17世纪中页以后，文艺复兴时代以来发展起来的西方初等数学知识如三角学、透视学、代数学等也部分传入中国；第二次高潮是从19世纪中叶开始，除了初等数学，这一时期传入的数学知识还包括了解析几何、微积分、无穷级数论、概率论等近代数学。

二、中国第一个大学数学系是在哪所大学设立？P383答：1912，中国第一个大学数学系是在北京大学数学系成立。

三、1912年至1930年中国有哪些大学创办了数学系？P384 答：北京大学、清华大学、南开大学、浙江大学、南京大学、北京师范大学、武汉大学、厦门大学、四川大学、中山大学、东北大学、交通大学、安徽大学、山东大学、河南大学

第十六章

一、简述华罗庚生平P387答：略

二、写一篇学习数学史教程的心得体会。答：略

填空题

1、历史学家往往把兴起于、、、和 等地域的古代文明称为“河谷文明”。

埃及、美索不达亚、中国、印度

2．欧几里得是希腊论证几何学的集大成者，他的著作中，最重要的莫过于。《原本》 3．在现存的中国古代数学著作中，是最早的一部。《周髀算经》 4．《九章算术》“ ”、“ ”、“ ”诸章集中讨论比例问题。

粟米、衰分、均输 5．刘徽数学成就中最突出的是“ ”和。割圆术、体积理论

6． 的推导和 的计算是祖冲之本人引以为荣的两大数学成就。球体积 圆周率

7．宋元数学发展中一个最深刻的动向是代数符号化的尝试，这就是“ 天元术 ”和“ 四圆术 ”。8．数学符号系统化首先归功于法国数学家。韦达

9．解析几何的真正发明归功于法国另外两位数学家 和。

笛卡儿 费马 10．牛顿的《 》标志着微积分的诞生。流数简论 11．18世纪微积分最重大的进步是由 作出的。欧拉 12．“巴黎三L”指、、。拉普拉斯 拉格朗日 勒让德 13.___________是历史上并不多见的以“神童”著称的一位数学家。高斯 14.___________可以说是最先理解非欧几何全部意义的数学家。黎曼

15．19世纪偏微分方程发展的序幕，是由法国数学家 拉开的。傅立叶 16．现代数理统计学作为一门独立学科的奠基人是英国数学家。费希尔 17．影响最大的国际数学奖励： 和。菲尔兹奖 沃尔夫奖 18.________年，中国第一个大学数学系—北京大学数学系成立（当时叫“数学门”，后改为“数学系”）。1912

第三篇：数学史

1学习数学史有何意义？研究数学史主要有那些形式?

与其他知识部门相比，数学是门历史性或者说累积性很强的科学。重大的数学理论总是在继承和发展原有理论的基础上建立起来的，它们不仅不会推翻原有的理论，而且总是包容原先的理论。人们也常常把现代数学比喻成一株茂密的大树，它包含着并且正在继续生长出越来越多的分支。

数学史不仅是单纯的数学成就的编年记录。数学的发展决不是一帆风顺的，在更多的情况下是充满忧郁、徘徊，要经历艰难曲折，甚至会面临危机。数学史也是数学家们克服困难和战胜危机的斗争记录。对这种记录的了解可使我们从前人的探索与奋斗中汲取教益，获得鼓舞和增强信心。因此，可以说不了解数学史就不可能全面了解数学科学。

大类分为内史和外史。具体有编年史（随时间前后）、国别史（按不同国家区域）、学科史（按数学分科）、断代史（截开一个历史横断面，研究同一个时期内各个国家各个区域的数学情况）

2作为世界四大文明古国之一，中国在先秦时期有哪些主要的数学成就？

商高定理：又叫“勾股定理”。在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理。勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。

《墨经》：诸子百家中阐述自然科学理论与学说最丰富的著作，包括光学、力学、逻辑学及几何学等各方面的知识，还包含了无限分割的思想。

《周髀算经》：《周髀（bì）算经》乃是算经的十书之一。原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用以及怎样引用到天文计算。

3刘徽是中国历史上。最重要的数学家之一，他的«九章算术注»对于中国传统数学体系的形成具有特别重要的意义。试阐述他的主要数学成就。

刘徽的数学成就大致为两方面：

一是清理中国古代数学体系并奠定了它的理论基础。这方面集中体现在《九章算术注》中。它实已形成为一个比较完整的理论体系：二是在继承的基础上提出了自己的创见。

用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算，以及繁分数化简等的运算法则；他从开方不论述了无理方根的存在。他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”，即现代数学中线性方程组的增广矩阵。逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理，建立了相似勾股形理论，发展了勾股测量术；用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原 1

理，并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题。他在《九章算术•圆田术》注中，用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法。

4宋元时期我国最杰出的数学家有哪些？试阐述他们的代表作和主要数学成就。

宋元时期数学，可以说是以算筹为主要工具的中国古代数学的极盛时期，出现了沈括、秦九韶、李治、杨辉、朱世杰等著名的数学家和他们编写的数学著作。如沈括的《梦溪笔谈》，秦九韶的《数学九章》等。这一时期数学家取得了很多具有世界意义的成就，特别是高次方程数值解法、天元术和四元术、大衍求一术、垛积术和招差术等。北宋沈括《梦溪笔谈》中曾经研究二阶级数求和问题，首创“隙积术”。南宋杨辉丰富和发展了隙积术的成果，提出

S=12+22+32+…+n2=1/6n(n+1)(2n+1)

S=1+3+6+10+…+n(n+1)/2=1/6n(n+1)(n+2)

之类的垛积公式。

5中国传统数学是世界数学发展长河的一支不容忽视的源头, 她有哪些重要特点？

一是追求实用，如《周髀算经》是我国最古老的天文学著作；二是注重算法，“问—答—术”的解题程序，“术”就是解答该类问题的程序化算法；三是寓理于算，如中国传统几何理论基础“出入相补”等原理。20世纪数学的发展有哪些显著的特点？

一是更高的抽象性，包括集合论观点（数学的研究对象是抽象集合）和公理化方法（数学的研究对象）；二是更强的统一性，体现在几何与分析的统一、几何与代数的统一、几何分析和代数的统一；三是更深刻的基础性，体现在集合论悖论、三大学派（逻辑主义、直觉主义、形式主义）、数理逻辑体系；四是更广泛的应用性。20世纪应用数学的发展有哪些特点？

向人类几乎所有的知识领域渗透，纯粹数学几乎对所有的分支都获得应用；现代数学对生产技术的应用变得越来越直接，向外渗透产生了一些相对独立的学科，如数理统计、运筹学、控制论和信息论等。现代计算机的出现，对数学科学的发展有何影响？对您影响最大的现代数学的学科有哪些？为什么？对您影响最大的数学家有哪些人?为什么?

第四篇：数学史

数学史读后感

寒假读了数学史，有很多感触。原来最简单的数字在诞生之前，也经历了那么多曲折，现在看起来很自然的数字0、无理数、负数等，在当时看来是那么奇怪。历史上经历了蛮长的过程才被接受，他们是许多学者前仆后继、辛勤耕耘的结果。

数学史上的三次危机，正是由于数学家们不怕困难，坚持真理，数学才得以继续发展。正如数学的发展过程一样，数学的学习过程也会遇到各种困难和挫折，但是我们要向祖冲之，陈景润、欧拉他们那样，孜孜不倦的学习，以顽强拼搏的精神和勇气，经过思考和探索获得只是。同时，我们也要学习数学家们敢于质疑和创新精神，善于思考。创新是发展的灵魂。在以后的学习中，不因困难而放弃，刻苦钻研。我的数学不太好，但是我不会放弃。虽然不会成为数学家，但是我一定会把数学学好，多写、多练。祖冲之的故事给了我很多感悟。

祖冲之（公元429——500年）是我国南北朝时代一位成绩卓著的科学家。他不仅在天文、数学等方面有过闻名世界的贡献，而且在机械制造等方面也有许多发明创造。他的发明为促进社会生产的发展，建立了不可磨灭 的功绩，受到了中国人民和世界人民的尊敬。刘徽发明了用分割的方法，求得圆周率的近似值3.14。他说用无限分割方法可以求得更加精确的数值，但是后来是由祖冲之求得了更加精确的数值。他的毅力和坚持是多么让人敬佩啊。相比之下，我们的那点困难又算的了什么呢。我们现在有如此优越的条件，更应该努力学习，不能因为一点小小的挫折，就倒下了，要坚持。要明确自己的目标，人正是因为有了清晰的目标和坚定的信仰，有了脚踏实地的行动，才能成功。以后要积极思考，发现问题，学习数学家创新的精神，如果没有欧几里得第五公设的怀疑就不会有非欧几何的产生，如果没有创新的勇气哪儿会有康托尔集合论的创立。

数学的发展只一个漫长而又曲折的过程，我们学习的只是很少的一部分，没有理由不好好学。这个过程正如人生一样，布满荆棘，但不能阻挡我们的前进。

第五篇：数学史教案

第一讲：20世纪数学概观 I

1、国际数学家大会

1893年芝加哥“世界哥伦布博览会”。1897年苏黎世第一届国际数学家大会。1900年巴黎第二届ICM，希尔伯特（德，1862－1943年）作了“数学问题”的演讲。202_年“国际数学年”。

1924年多伦多第七届ICM，大会主席菲尔兹（加，1863－1932年）。菲尔兹奖：数学界的“诺贝尔奖”，1936年开始颁奖。

1983年，丘成桐（中－美，1949－）获奖；202_年，陶哲轩（澳，1975－）获奖。

2、纯粹数学的发展

20世纪数学的特点：结构数学与统一的数学。阿蒂亚（英，1929－）指出：20世纪前半叶“专门化的时代”，20世纪后半叶“统一的时代”。

阿蒂亚简介。2.1 实变函数论

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。

1898年波雷尔（法，1871－1956年）的测度论，1902年勒贝格（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》，形成实变函数论，分析的“分水岭”。

2.2 泛函分析

创始时期（19世纪80年代至20世纪20年代）：1906年弗雷歇（法，1878－1973年）的博士论文《关于泛函演算若干问题》，1922年列维（法，1886－1971年）出版《泛函分析》。

发展时期（20世纪20至40年代）：1932年巴拿赫（波，1892－1945年）出版《线性算子论》。1940年盖尔范德（苏，1913－）的巴拿赫代数理论。

成熟时期（20世纪40年代起）：施瓦兹（法，1915－202_年）的广义函数理论或分布论，格罗登迪克（法，1928－）的核空间理论。

巴拿赫简介。