第一篇：Taylor公式的证明及应用

Taylor公式的证明及应用

数学与信息科学学院数学与应用数学专业

指导教师李文明

作者张彦莉

摘要:文章简要介绍了泰勒公式的证明方法及几个常见函数的展开式,针对泰

勒公式的应用讨论了九个问题,即应用泰勒公式求极限,证明不等式,判断级数的敛散性,证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值求行列式的值.关键词: 泰勒公式;极限;不等式;级数;根的唯一存在性;极值;展开式;近似计算;行

列式.一、

第二篇：公式及证明

初中数学几何定理

1。同角（或等角）的余角相等。2。对顶角相等。3。三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。4。在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

5。同位角相等，两直线平行。6。等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。7。直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

8。在角平分线上的点到这个角的两边距离相等。及其逆定理。

9。夹在两条平行线间的平行线段相等。夹在两条平行线间的垂线段相等。

10。一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

11。有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

12。菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

13。正方形的四个角都是直角，四条边相等。两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

14。在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。15。垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对弧。平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。16。直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。

18．圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。

19。切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

20。切线的性质定理①经过圆心垂直于切线的直线必经过切点。②圆的切线垂直于经过切点的半径。③经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

21。切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

22。弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

23。相交弦定理； 切割线定理； 割线定理；

初中数学几何一般证题途径：证明两线段相等

1.两全等三角形中对应边相等 2.同一三角形中等角对等边

3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边

4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等

5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等

6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等

7.角平分线上任一点到角的两边距离相等

8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等

9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等

10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等

11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等

12.两圆的内（外）公切线的长相等 13.等于同一线段的两条线段相等

证明两个角相等

1.两全等三角形的对应角相等 2.同一三角形中等边对等角

3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角

4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等

5.同角（或等角）的余角（或补角）相等 6.同圆（或等圆）中，等弦（或同弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

8.相似三角形的对应角相等 9.圆的内接四边形的外角等于内对角

10.等于同一角的两个角相等

证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行

3.平行四边形的对边平行 4.三角形的中位线平行于第三边

5.梯形的中位线平行于两底 6.平行于同一直线的两直线平行 7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平等行于第三边

证明两条直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角

4.邻补角的平分线互相垂直 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条

6.两条直线相交成直角则两直线垂直

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的对角线互相垂直

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦 11.利用半圆上的圆周角是直角

证明线段的和差倍分

1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等

2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段

3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等

4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段

5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）

证明角的和差倍分

1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分线的定义

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

证明线段不等

1.同一三角形中，大角对大边 2.垂线段最短

3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大

5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大于它的任何一部分

证明两角的不等

1.同一三角形中，大边对大角 2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角

3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大

4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大 5.全量大于它的任何一部分

证明比例式或等积式

1.利用相似三角形对应线段成比例 2.利用内外角平分线定理

3.平行线截线段成比例 4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理

5.与圆有关的比例定理：相交弦定理、切割线定理及其推论

6.利用比利式或等积式化得

证明四点共圆

1.对角互补的四边形的顶点共圆 2.外角等于内对角的四边形内接于圆

3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆（顶角在底边的同侧）

4.同斜边的直角三角形的顶点共圆 5.到顶点距离相等的各点共圆

二、空间与图形

A：图形的认识：

1：点，线，面

点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。

一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

3视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧，扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。

2：角

线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

3：相交线与平行线

角：①如果两个角的和是直角,那么称和两个角互为余角；如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。②同角或等角的余角/补角相等。③对顶角相等。④同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。②三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。③三角形三个内角的和等于180度。④三角形分锐角三角形/直角三角形/钝角三角形。⑤直角三角形的两个锐角互余。⑥三角形中一个内角的角平分线与他的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。⑦三角形中，连接一个顶点与他对边中点的线段叫做这个三角形的中线。⑧三角形的三条角平分线交于一点，三条中线交于一点。⑨从三角形的一个顶点向他的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。⑩三角形的三条高所在的直线交于一点。

图形的全等：全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：①全等三角形的对应边/角相等。②条件：SSS/AAS/ASA/SAS/HL。勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之亦然。

5：四边形

平行四边形的性质：①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。③平行四边形的对边/对角相等。④平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形的判定条件：两条对角线互相平分的四边形/一组对边平行且相等的四边形/两组对边分别相等的四边形/定义。

菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形。②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。

矩形与正方形：①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。②矩形的对角线相等，四个角都是直角。③对角线相等的平行四边形是矩形。④正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。⑤一组邻边相等的矩形是正方形。

梯形：①一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形。②两条腰相等的梯形叫等腰梯形。③一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线星等，反之亦然。

多边形：①N边形的内角和等于（N-2）180度。②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）

平面图形的密铺：三角形，四边形和正六边形可以密铺。

中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。

B：图形与变换：

1：图形的轴对称

轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

轴对称图形：①角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。③等腰三角形的“三线合一”。

轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段/对应角相等。

2:图形的平移和旋转

平移：①在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

旋转：①在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。②经过旋转，图形商店每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。3：图形的相似

比：①A/B=C/D，那么AD=BC，反之亦然。②A/B=C/D，那么A土B/B=C土D/D。③A/B=C/D=。。=M/N，那么A+C+。。+M/B+D+。。N=A/B。

黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC与BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比（根号5-1/2）。相似：①各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。②相似多边形对应

边的比叫做相似比。

相似三角形：①三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。②条件：AA/SSS/SAS。

相似多边形的性质：①相似三角形对应高，对应角平分线，对应中线的比都等于相似比。②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

图形的放大与缩小：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

D：证明

定义与命题：①对名称与术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义。②对事情进行判断的句子叫做命题（分真命题与假命题）。③每个命题是由条件和结论两部分组成。④要说明一个命题是假命题，通常举出一个离子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子叫做反例。

公理：①公认的真命题叫做公理。②其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，经过证明的真命题称为定理。③同位角相等，两直线平行，反之亦然；SAS/ASA/SSS，反之亦然；同旁内角互补，两直线；平行，反之亦然；内错角相等，两直线平行，反之亦然；三角形三个内角的和等于180度；三角形的一个外交等于和他不相邻的两个内角的和；三角心的一个外角大于任何一个和他不相邻的内角。④由一个公理或定理直接推出的定理，叫做这个公理或定理的推论。

第三篇：泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用

数学学院 数学与应用数学专业 2009级 杨立

指导教师 吴春

摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。

关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数

Abstract: Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems.This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem.Keywords: Taylor formula;approximate calculation;limit;higher derivative;partial derivative

引言

泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

第1页（共12页）

数来近似代替，而误差又能满足要求。这种化复杂为简单的功能，使其成为分析和研究数学其他问题的有力工具。也对函数性态的研究和函数值的近似计算带来了极大的方便。本文主要是通过给出实际例子体现其应用，并对这些方法做了归纳和总结。泰勒公式及其证明

1.1 带佩亚诺余项的泰勒公式

若f(x)在xx0点有直到n阶连续导数，那么就有：

f“(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2

2!'f(n)x0(xx0)nRn(x)(1.1)

n!n其中Rnxoxx0是余项，这就是fx在xx0点的带佩亚诺余项的泰勒公式[1]。说明：

①此公式对函数fx的展开要求较低，只要求其在xx0点处n阶可导即可，展开的形式也比较简单。

②这种泰勒公式的实质是局部增量公式的升华，即可以把此函数局部地用线性函数代替改为用多项式代替，当xx0时用多项式代替这个函数所产生的误差xx0n是一个无穷小量。

③它难以说明误差范围，因此不适合对余项作定量估算，只能是一个定性估目的。

④特别地当x00时，有：

f”(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xxxRn(x)(1.2)

2!n!'这种佩亚诺项的泰勒公式也被称为麦克劳林公式。

第2页（共12页）

1.2 带拉格朗日余项的泰勒公式

若函数fx在xa,b上有直到n阶连续导数，并且fn1x在区间a,b内存在，那么就有：

f"x02f(x)fx0fx0(xx0)xx0

2!'f(n)x0nxx0Rnx(1.3)

n!fn1其中Rnxxx0n1被称为余项，此时介于x与x0之间，这就是函数n1!fx在xx0点的带拉格朗日余项的泰勒公式。

[2]说明：

①它对函数fx的展开要求较高，因为它要求对任意的xa,b都要成立，其形式也相对复杂。

②这种泰勒公式的实质是对拉格朗日微分中值定理的升华，它是一个定量估计值。

③运用这种泰勒公式逼近fx时，可以确定其大致的误差范围，但其误差是由fx的n1阶导数决定的，若a越接近于b，即区间a,b越小，那么误差就会越小，这种泰勒公式适合处理fx在区间上的问题，特别是在不等式的证明中应用起来比较方便。1.3 简单的证明

我们知道f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有：

x0limf(x0x)f(x0)f(x0)x，其中误差是在x0即xx0的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：

P(x)A0A1(xx0)A2(xx0)2An(xx0)n

第3页（共12页）

来近似地表示函数fx且要写出其误差fxPx的具体表达式。

设函数Px满足：

P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),P(x0)f(x0),,Pn(x0)fn(x0).于是可以依次求出A0,A1,A2,,An.显然，P(x0)A0，所以A0P(x0);

P(x0)A1,A1P(x0)

P(x0)2!A2,A2P(x0)2!

Pn(x0)P(x0)n!An,An.n!n至此，多项的各项系数都已求出，得：

f(x0)fn(x0)2P(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n.2!n!接下来就要求误差的具体表达式了。

设RnxfxPx，于是有：

Rn(x0)f(x0)P(x0)0.n所以可以得出：Rn(x0)Rn(x0)Rn(x0)0.根据柯西中值定理可得：

Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)（其中：(xx0)n10），n1nn1(xx0)(n1)(x)(xx)0010这里1在x和x0之间； 继续使用柯西中值定理得：

n1x10Rn1Rnx0n10Rn2nn12x0n1，第4页（共12页）

这里2在1与x0之间； 连续使用n1次后得出：

Rnxxx0这里在x0和x之间。

n1Rnn1，n1!但Rnn1xfn1xPn1x，由于Pn1x(n1)!An1，(n1)!An1是一个常数，故Pn1x0，于是得Rnn1xfn1x。

fn1()综上可得，余项Rnx。n1(n1)!(xx0)一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rnx写为Rn。泰勒公式的应用

2.1 利用泰勒公式进行近似计算和误差估计

根据泰勒展开式的余项可以把握函数用泰勒公式近似的程度，但需要估计误差的范围，关键就在于对fn1值的估计。

如果存在M0，有fn1M，xx0,x0，那么我们就可以估计Rn(x)Mn1xx0，xx0,x0，从而当我们期望近似值的误差不超(n1)!Mn1xx0中解出n是多少就可以知道运用泰勒公

(n1)!过时，只需在不等式式应计算多少项即可，由此我们就可以近似地计算出某些复杂数的具体值。

例1 求exdx的近似值，精确到105。

012解 由于该被积函数的原函数不是初等函数，所以无法用牛顿-莱布尼茨公式来计算，因此我们要用泰勒公式来计算它的近似值。

第5页（共12页）

因为ex22nx4nx1x(1) 2!n!2将两边逐项积分，有

e01x2dx=1dxxdx00112102n1xx4dxdx

02!n!11111 =1(1)n32!5n!2n11111111 =131042216***0011.3105 75600121111110.746836。所以exdx1***60又因为总结：通过以上我们可以知道：只要给出一个数，知道它的误差范围，我们就可以利用泰勒公式较为简单的求出它的近似值。

例2 计算e的值，当n9时，误差不超过多少？ 解 在ex的麦克劳林展开式中，令x1可得：

11ee11,（01）

2!n!(n1)!330.000001 10!3628800111也就是说e11+2.718281，2!3!9!当n9时，有：R9(1)其误差不超过106。

总结：利用泰勒公式我们可以轻易地判断出一个函数公式的误差范围。2.2 利用泰勒公式证明中值问题

如果要证明的结论是至少存在一点ca,b，使得关于然后验证辅助函数满足a,b,f(a),f(b),c,f(c),f(c),,f(n)(c)代数式的证明。罗尔定理条件，由定理的结论即得命题的证明。

例2

设fx在a,b上三次可导，试证明：ca,b，使得：

第6页（共12页）

1ab3

(2.1)f(b)f(a)f(ba)f(c)(ba)242证明 设k为使得下式成立的实数：

1abf(b)f(a)f(ba)k(ba)30

(2.2)242此时，问题可变为证明：ca,b，使得kfc。

设

1axg(x)f(x)f(a)f(xa)k(xa)30

(2.3)242则g(x)g(b)0。

根据罗尔定理，a,b，使得g()0。由(2.3)式，即：

aa(a)k2f()ff(a)0

(2.4)8222这是关于k的方程，注意f()到在点

a处的泰勒公式： 22aa(a)1af()fff(c)0,ca,b

(2.5)

22222由(2.4)(2.5)两式可得：

k1a12(a)2fcf()(a)8228则有：kf(c)，命题得证。

总结：解此类题最重要的就是辅助函数的确定，上面的例题使用的是原函数法，即通过恒等变形将结论化为以消除导数符号的形式或易积分的形式，用观察法或积分法求出原函数，为简便积分常数取作零，移项使等式一边为零，则另一边将结论中的c换成x即为所需的辅助函数。

例4设函数fx在闭区间1,1上具有三阶连续导数，且f(1)1，f(1)1，f(0)0，证明：在开区间1,1内至少存在一点，使得f()3

2第7页（共12页）

证明 由于函数f(x)在闭区间1,1上具有三阶连续导数，因此可以写出f(x)的二阶泰勒公式：

f(0)2f(x)x 2!3!f(0)2f(x)x(0 1)

f(0)2!3!f(x)f(0)f(0)x将x1,x1分别带入得：

f(1)f(0)f(0)f(1)f(0)f(2)，f(1)f(0) 2626其中01,21 两式相减可得：

f(1)f(1)f(1)f(2)

6由于fx在闭区间1,1上连续，由闭区间上连续函数的介值定理可知，在区间2,11,1内至少存在一点使得f(1)f(2)2f()，代入等式1f(1)f(2)f()1可得，即f()3。

63总结：例4用泰勒公式进行证明的优势是显而易见的，条件中函数为三阶可导的抽象函数，如果不用泰勒公式，条件和结论似乎风牛马不相及，证明难度可想而知。

2.3 泰勒公式在求函数极限中的应用

excosx2例５ 求lim的极限.x0x42分析：当x0时为求

型函数的极限，满足洛必达法则，若直接用洛必达法则求极限我们发现会有多次求导且计算过程也十分复杂，稍不注意就会出错。我们可以先用泰勒公式将分子展开，再求极限，这样就会简单许多。

解 在x00处，由佩亚诺余项的泰勒公式展开得：

x4e1xo(x4)

2!x22第8页（共12页）

x2x4cosx1o(x4)

2!4!因此 excosx2故 274xo(x4)12744xo(x)ecosx2lim lim1244x0x0xx7



12x21例6 求limxx2Inx

xx分析：当x时，此函数为型未定式。虽然可以通过变换把其化为

001型，再用洛必达法则，但计算量较大。所以我们先将Inx展开，再求其极

x限。

2121111解 因为ln1o

xxx2x1所以limxx2lnx

xx111212

limo

xxx2x1 2通过以上两个例子，我们不难发现，在求一些未定型的极限时，如果用洛必达法则求导次数较多或化简过程较复杂时，不妨利用泰勒公式来求。在使用泰勒公式求极限时并不需要把各函数展开到n阶，那么函数到底应该展开到几阶，就成为了求解极限的关键。回顾上面两个例子我们可以发现：

当极限为分式时，若分子或分母中只需要展开一个，那么只需要将其展到另一个的同阶无穷小的阶数；若分子和分母都需要展开，可分别展到其同阶无穷小的阶数，即合并后的首个非零项的幂次的次数。

第9页（共12页）

当极限不为分式时，展开的阶数应与函数最高次幂相同。2.4 泰勒公式在高阶导数方面的应用

例7 已知f(x)x3ln(1x)，求fn(0)(n4)。

解 ln(1x)的n3阶泰勒公式为：

n3x2n2xln(1x)x(1)o(xn2)

(2.6)2n3则

nx5n2xf(x)x(1)o(xn).(2.7)2n34由于fx的n阶泰勒公式为：

f(0)2f(0)nf(x)f(0)f(0)xxxo(xn)

(2.8)

2!n!nf(0)(1)n2比较(2.7)(2.8)两式可知，n!n3n所以

fnn!(1)n2(n4)0n3例8 设函数f(x)在上,有三阶导数，并且f(x)和f(x)在,上有界，证明：f(x)和f(x)在,上也有界。

证明 设M0,M3R,f(x)M0，f(x)M3，则由泰勒公式可得：

f(x)f(1),1x,x1 26f(x)f(2)f(x1)f(x)f(x),1x,x1

26f(x1)f(x)f(x)两式相加得：

f(x1)f(x1)2f(x)f(x)f(1)f(2)

6第10页（共12页）

故有f(x)4M0两式相减得： M3,x, 3f(1)f(2)

6f(x1)f(x1)2f(x)故有f(x)M0M3,x,。6综上可知，f(x)和f(x)在,上也有界。总结

对于泰勒公式，我们已经非常熟悉，它的应用在当今数学研究发展的过程中起到了重要的作用。通过以上几个方面的研究，让我们知道泰勒公式是函数展开的一种形式，使我们对泰勒公式及其应用有了一个总体上得认识，也使我们在特定的题设条件下形成特定的解题思路，使解题达到事半功倍的效果，只有了解了这些知识，并在此基础上不断加强训练，不断行进总结，才能使我们牢固掌握泰勒公式，进而才能善于熟练运用。可以说这样的学习能使我们养成良好的数学思维习惯，灵活的从不同角度寻找解题途径，进而形成独特的解题技巧。在数学研究中，泰勒公式几乎是开辟计算捷径道路的基础，同时，也为今后进行泰勒公式的深入研究打下基础。泰勒公式在数学中的应用多种多样，恰当的运用泰勒公式能给我们解题带来很大的方便，想要掌握好泰勒公式的应用，需要综合各方面的知识，从题设和结论出发，找出能应用泰勒公式的条件，这样才能好的运用泰勒公式解决数学和生活中的问题，发挥它的优越性。

通过几个月的努力，我的论文基本完成了。在此，特别向吴老师表示崇高的敬意和衷心的感谢，是您不厌其烦的帮助我纠正和改进论文，才使我的论文得以完成，吴老师您严谨细致和一丝不苟的作风是我以后学习工作的榜样，您无私的教导给予了我无尽的启迪，您的鼓励和宽容让我拥有了面对挫折的信心，为我以后的学习工作埋下了一笔巨大的财富。感谢我的同学借电脑给我使用，还帮我找了不少素材。也感谢帮我修改英文翻译的同学。最后，在此感谢给我帮助和鼓励

第11页（共12页）的老师﹑朋友﹑同学，正是有了你们的帮助和鼓励，才使得我的大学生活画上了一个圆满的句号，才有了如今我的成就。

参考文献：

[1] 裘姚泰,王承国,章仰文.数学分析学习指导[M].北京:科学出版社,2004.[2] 赵焕光,林长胜.数学分析(上册)[M].四川大学出版社,2006.[3] 胡国专.泰勒公式在微分学中的应用[J].赤峰学院学报.2012.8，28(8):12-13.[4] 牛旭.泰勒公式在求函数极限中的应用[J].大众科技.2011，146(10):69-70.[5] 杜道渊.泰勒公式在高等数学中的若干应用.北京电力高等专科学校学报[J].2012.11，383.[6] 赵中，张秀全.泰勒公式在高阶导数和高阶偏导数方面的应用[J].天中学刊.2011.4，26(2):81-82.[7] 张智云.浅析泰勒公式的应用[J].课例研究.2011,10(5):79-80.[8] 杨镛.泰勒公式的应用[J].学科研究.2012.8.18:143.第12页（共12页）

第四篇：taylor swift

I Knew You Were Trouble-Taylor Swift

once upon a time A few mistakes ago i was in your sights you got me alone you found me you found me, you found me i guess you didn’t care, and i guess i liked that and when i fell hard you took a step back without me without me, without me and he’s long gone when he’s next to me and i realize the blame is on me cuz i knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been till you put me down oh i knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been now i’m lying on the cold hard ground oh oh trouble trouble trouble oh oh trouble trouble trouble no apologies, he’ll never see you cry pretend he doesn’t know, that he’s the reason why

you’re drowning, you’re drowning, you’re drowning heard you moved on, from whispers on the street a new notch in your belt is all i’ll ever be and now i see,now i see,now i see and he’s long gone when he’s next to me and i realize the joke is on me I knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been till you put me down oh i knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been now i’m lying on the cold hard ground oh oh trouble trouble trouble oh oh trouble trouble trouble and the saddest fear comes creeping in that you never loved me, or her, or anyone or anything, yeah I knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been till you put me down oh i knew you were trouble when you walked in so shame on me now I flew me to places i’ve never been now i’m lying on the cold hard ground oh oh trouble trouble trouble oh oh trouble trouble trouble i knew you were trouble when you walked in trouble trouble trouble i knew you were trouble when you walked in trouble trouble trouble Red taylor swift

Loving him is like driving a new Maserati down a dead end street Faster than the wind Passionate as sin, ended so suddenly Loving him is like trying to change your mind Once you’re already flying through the free fall Like the colors in autumn So bright just before they lose it all Losing him was blue like I’d never known Missing him was dark grey all alone Forgetting him was like trying to know somebody you've never met But loving him was red Loving him was red Touching him is like realizing all you ever wanted was right there in front of you Memorizing him was as easy as knowing all the words to your old favorite song Fighting with him was like trying to solve a crossword and realizing there’s no right answer

Regretting him was like wishing you never found out love could be that strong Losing him was blue like I’d never known Missing him was dark grey all alone Forgetting him was like trying to know somebody you've never met But loving him was red Oh red burning red Remembering him comes in flashbacks and echoes Tell myself it’s time now, gotta let go But moving on from him is impossible When I still see it all in my head Burning red!Darling it was red!Oh, losing him was blue like I’d never known Missing him was dark grey all alone Forgetting him was like trying to know somebody you've never met Cause loving him was red yeah yeah red We're burning red And that's why he's spinning round in my head Comes back to me burning red Yeah yeah Cause love was like driving a new Maserati down a dead end street

State of grace taylor swift

I'm walking fast through the traffic lights Busy streets and busy lives And all we know is touch and go We alone with our changing minds We fall in love till it hurts or bleeds ,or fades in time And I never saw you coming And I'll never be the same

You come around and the armor falls Pierce the room like a cannon ball Now all we know, is don't let go We are alone just you and me Up in your room and our slates are clean Just twin fire signs, four blue eyes So you were never a saint And I love the Sade’s are wrong We learn to live with the pain Mostly of broken hearts But this love is raging and wild And I never saw you coming And I'll never be the same again This is a state of grace This is a worth while fight Love is a ruthless game Unless you play it good and right These are the hands of fate You're my Achilles heel This is the golden age of something good And right and real And I never saw you coming And I'll never be the same And I never saw you coming And I'll never be the same This is a state of grace This is a worth while fight Love is a ruthless game Unless you play it good and right 22 It feels like a perfect night, to dress up like hipsters, and make fun of our exes, uh uh, uh uh.It feels like the perfect night, for breakfast at midnight, to fall in love with strangers, uh uh, uh uh.yeaaaah~ We are happy, free, confused and lonely at the same time.It's miserable and magical.Oh yeah~ Tonight's the night when we forget about the deadlines.It's time.Oh, oh.I don't know about you, but I'm feeling twenty-two.Everything will be alright if, you keep me next to you.You don't know about me, but I bet you want it too.Everything will be alright if, we just keep dancing like we are, twenty-two.twenty-two~ It seems like one of those nights, This place's too crowded, too many cool kids,(Who's Taylor Swift anyway)uh uh, uh uh.It seems like one of those nights, we ditch the whole scene, and end up dreaming, instead of sleeping.yeaaah~ We are happy, free, confused and lonely in the best way.It's miserable and magical.Oh yeah~ Tonight's the night when we forget about the heartbreaks.It's time.Oh oh~ I don't know about you, but I'm feeling twenty-two.Everything will be alright if, you keep me next to you.You don't know about me, but I bet you want it too.Everything will be alright if, we just keep dancing like we are, twenty-two~ I don't know about you.twenty-two.twenty-two~ It feels like one of those nights.We ditch the whole scene.It feels like one of those nights.We won't be sleeping.It feels like one of those nights.You look like bad news.I gotta have you.I gotta have you.I don't know about you, but I'm feeling twenty-two.Everything will be alright if, you keep me next to you.You don't know about me, but I bet you want it too.Everything will be alright if, we just keep dancing like we are, twenty-two.twenty-two~ twenty-two.twenty-two~ It feels like one of those nights.We ditch the whole scene.It feels like one of those nights.We won't be sleeping.It feels like one of those nights.You look like bad news.I gotta have you.I gotta have you.taylor swift《you belong with me》

you're on the phone with your girlfriend ,she's upset.she's going off about something that you said 'cuz she doesn't, get your humor like i do...i'm in the room it's a typical tuesday night i'm listening to the kind of music she doesn't like and she'll never know your story like i do...but she wears short skirts i wear t-shirts she's cheer captain and i'm on the bleachers dreaming about the day when you wake up and find what you're looking for has been here the whole time if you could see that i'm the one who understands you been here all along so why can't you see, you belong with me you belong with me walking in the streets with you and your worn-out jeans i can't help thinking this is how it ought to be laughing on a park bench, thinking to myself hey isn't this easy and you've got a smile that could light up this whole town i haven't seen it in a while since she brought you down you say you're fine i know you better then that hey whatcha doing with a girl like that she wears high heels i wear sneakers shes cheer captain and i'm on the bleachers dreaming about the day when you wake up and find that what you're looking for has been here the whole time if you could see that i'm the one who understands you been here all along so why can't you see you belong with me standing by and waiting at your back door all this time how could you not know baby....you belong with me you belong with me oh i remember you drivin' to my house in the middle of the night i'm the one who makes you laugh when you know you're about to cry and i know your favorite songs and you tell me about your dreams think i know where you belong think i know it's with me...can't you see that i'm the one who understands you been here all along so why can't you see you belong with me standing by and waiting at your back door all this time how could you not know baby you belong with me you belong with me you belong with me have you ever thought just maybe you belong with me you belong with me...Sparks fly The way you move is like a full on rainstorm and I'm a house of cards You're the kinda reckless that should send me run But I kinda know that I wont get far And you stood there in front of me just Close enough to touch Close enough to hope you couldn't see What I was thinking of Drop everything now Meet me in the pouring rain Kiss me on the sidewalk Take away the pain cause I see, sparks fly whenever you smile Get me with those green eyes, baby As the lights go down Something that'll haunt me when you're not around cause I see, sparks fly whenever you smile music~ My mind forgets to remind me You're a bad idea You touch me once and it's Really something you find I'm even better Than you imagined I would be I'm on my guard for the rest of the world But with you I know it's no good And I could wait patiently but I really wish you would Drop everything now Meet me in the pouring rain Kiss me on the sidewalk Take away the pain cause I see, sparks fly whenever you smile Get me with those green eyes, baby As the lights go down give me something that'll haunt me when you are not around cause I see, sparks fly whenever you smile music~ I run my fingers through your hair And watch the lights go out Just keep on keepin your eyes on me It's just wrong enough to make it feel right Lead me up the staircase Won't you whisper soft and slow I'm captivated by you baby like a fireworks show Drop everything now Meet me in the pouring rain Kiss me on the sidewalk Take away the pain cause I see, sparks fly whenever you smile Get me with those green eyes, baby As the lights go down Something that'll haunt me when you're not around cause I see, sparks fly whenever you smile sparks fly oh baby smile and the sparks fly

第五篇：三角公式证明

公式表达式

乘法与因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b

|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|

一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a

根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理

判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根

b2-4ac>0 注：方程有一个实根

b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根

三角函数公式

两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径

余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

正切定理:

[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标

圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0

抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h

正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'

圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2

圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l

弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r

锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h

斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

-----------------------三角函数积化和差 和差化积公式

记不住就自己推，用两角和差的正余弦：

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2

相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2

sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA

sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:

相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2

相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2

这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了

不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下

正加正 正在前

正减正 余在前

余加余 都是余

余减余 没有余还负

正余正加 余正正减

余余余加 正正余减还负

.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)

(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC

(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1

(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC

(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1

......已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ

解:sinα=m sin(α+2β)

sin(a+β-β)=msin(a+β+β)

sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβsin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)

tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ