下载文档第一篇：圆的简单证明和计算练习(无答案)
圆的简单证明和计算练习
AB=CD，求证：AD=BC2、CD是直径，弦CE
∥AB，求证：∠EOA=∠
DOA⌒⌒ 3O中，AB、CD是直径，AE∥CD，求证： BE=2ACE ⌒ ⌒，BF=DE⌒ ⌒，求证：
4、如图，已知AF=CF（1）ΔABF≌ΔCDE（2）∠B=∠D4、如图，已知，半径OC⊥AB于D，求证：AC=CB
C ⌒ ⌒，5、已知：OA、OB、OC是⊙O的半径，点M、N在OA、OB上，且AM=BN，AC=BC求证：∠OMC=∠ONC
⌒ ⌒，求证：PO平分∠BPD
7、已知：如图，∠EPF的两边交O于A、B和C、D，且AB=CD8、已知：如图，在⊙O中，弦AB=CD，延长后使DF=BE，求证：O在EF的垂直平分线
9、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB=90，∠B=35，以C为圆心，CA为半径的圆交AB的度数
求： ⌒BD
A10、如图，在⊙O中，CD=EF，求证：CA=FB
⌒ ⌒ 11、如图，在⊙O中，OE⊥AB，OF⊥CD，∠OEF=∠OFE，求证： AD=BC
C
12AC∥OD，求证：BD=DC
Bοο
第二篇：四边形证明及计算提高练习
特殊四边形证明及计算提高练习
平行四边形
1．（2012•威海）（1）如图①，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将▱ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I． 求证：EI=FG．
2．（2007•黑龙江）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB．
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．
3．（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？并说明理由．
4．如图，以△ABC三边为边在BC同侧作三个等边△ABD、△BCE、△ACF．请回答下列问题：
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形．
菱形
5．（2010•盘锦）如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点（如图①），求证：EF=CD；
（2）在（1）的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比；
（3）若点D是BC边上的任意一点（除B、C外如图②），那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
6．（2009•龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A⇒B⇒C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
7．（2001•河北）如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60度．点M从点A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向点D移动；设点M移动的时间为t秒（0≤t≤10）．
（1）点N为BC边上任意一点，在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分并说明理由；
（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大并求出面积的最大值；
矩形
8．（2002•无锡）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．
（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；
（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．
9．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F，以EC、CF为邻边作平行四边形ECFG．
（1）如图1，证明平行四边形ECFG为菱形；
（2）如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求∠BDM的度数；
（3）如图3，若∠ABC=120°，请直接写出∠BDG的度数．
10．如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6．△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、AC和BE相交于点O．
（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；
（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AE于点Q，QR⊥BD，垂足为点R．四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积．
11．（2005•淮安）已知：平行四边形ABCD的对角线交点为O，点E、F分别在边AB、CD上，分别沿DE、BF折叠四边形ABCD，A、C两点恰好都落在O点处，且四边形DEBF为菱形（如图）．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在四边形ABCD中，求的值．
12．如图，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点．
（1）求证：四边形PMEN是平行四边形；
（2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形；
（3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由．
13．如图：矩形ABCD中，AB=2，BC=5，E、P分别在AD、BC上，且DE=BP=1．
（1）判断△BEC的形状，并说明理由？
（2）判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；
（3）求四边形EFPH的面积．
正方形
14．（2012•黑龙江）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；
（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；
（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．
15．（2012•常德）已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）
（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；
（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．
16．（2011•阜新）如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PB=PE，连接PD，O为AC中点．
（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；
（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．
17．如图，四边形ABCD是正方形，点P是BC上任意一点，DE⊥AP于点E，BF⊥AP于点F，CH⊥DE于点H，BF的延长线交CH于点G．
（1）求证：AF﹣BF=EF；
（2）四边形EFGH是什么四边形？并证明；
（3）若AB=2，BP=1，求四边形EFGH的面积．
18．如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．
19．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
第三篇：圆练习
二、加强学生常规管理
加强日常管理，保证班级稳定。学生和班级的日常管理工作是基础，稳定是大事，九年级全体教师密切注意学生的思想动态，注重教学反馈，及时主动与班主任交流沟通。班主任是班级的核心，老师们能够更加科学地利用学校常规考核来规范行为习惯、促进良好的班风形成。任课教师更加积极参与班级管理，与班主任随时沟通，及时发现学生的问题苗头，把学生的思想工作做在平时、落在实处。
加强自主管理，发挥班级骨干的作用。班主任在日常管理中，充分发挥班干部的作用，利用学生管理学生，每位骨干职责分明、有事来管，处理效果良好，既锻炼了学生的能力，又减轻了教师的压力。
重视家庭教育，加强家校联系。班主任都意识到家庭教育的重要性，在第一时间内做好家校联系，利于了解学生在家状况及通报学生在校表现。
班主任与任课教师更加注重学科平衡，包括班级内各门学科的平衡和具体到每个学生的学科平衡，工作更加细致，具有针对性。
三、教学工作
本学期班主任工作防微杜渐，精细化管理，任课教师也加强了班级管理的力度，课堂纪律良好，课堂效率明显提高，总体班风学风呈现良性循环。
年级内教师教学常规工作更加精细，讨论交流更有深度宽度，作业批改、反馈及时，积极主动利用自习时间下班辅导，临界生辅导成为一道亮丽的风景线。同时充分发挥备课组力量，集体备课，组内教师利用一切机会交流教学方法，讨论教学得失，商议变化策略。本学期先后组织了三次大型测试，在全体九年级教师的支持配合和努力下，都取得了较大成功。教师工作热情高、工作气氛好，依靠备课组的力量，积极讨论，积极主动下班辅导，重视每次考试后的质量分析，真诚务实，及时总结，整体提高。
四、团体合作意识浓厚，教学成绩稳定提高
班主任早来晚回，经常找学生谈心，了解学生的思想动态和学习困难，抓学科平衡，做任课教师和学生的协调员。同学科教师经常讨论教法学法、考试得失，研究考试导向；同班级教师经常讨论每位学生的思想状态与行为习惯以及学科优势与劣势。
所有教师目标明确、工作细致，能够拧成一股绳，劲往一处使，充分发扬团队精神，协调好个人与集体的关系，主动积极的干好工作，但离学校的期望还有一定距离，学生还要走一段艰辛的路，我们老师深知肩上责任重大，意义深远。我们会永往直前、脚踏实地，尽我们所能，为明年6月做出最大努力！
第四篇：圆的基本性质证明与计算
圆的基本性质证明与计算
命题点1 垂径定理
例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）
A．AE>BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
命题点2 圆周角定理
例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
重难点1 垂径定理及其应用
例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1
图2
图3
图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）
A．4
B．2
C.D．2
【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2 圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1
图2
图3
【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）
A．58°
B．60°
C．64°
D．68°
【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．
3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．
注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点3 圆内接四边形
例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．
【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________
1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ
能力提升
1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB＜2AC
D．AB＞2AC
2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）
A．2
B．2
C．4
D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）
A．7
B．6
C．5
D．4
4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）
A．15°
B．35°
C．25°
D．45°
6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）
A．30°
B．43°
C．47°
D．53°
7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2
cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．
10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．
11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60
cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30
cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．
参考答案
命题点1 垂径定理
例1、如图，CD是⊙O的直径，AB是弦(不是直径)，AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（）
A．AE>BE
B.＝
C．∠D＝∠AEC
D．△ADE∽△CBE
【答案】：D
命题点2 圆周角定理
例2、如图，点O为优弧所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点D在AB的延长线上，BD＝BC，则∠D______．
【答案】：27°
重难点1 垂径定理及其应用
例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径，E是AB上一点，且BE＝2.(1)如图1，过点E作直线CD⊥AB，交⊙O于C，D两点，则CD＝_______；
图1
图2
图3
图4
探究：如图2，连接AD，过点O作OF⊥AD于点F，则OF＝_____；
(2)过点E作直线CD交⊙O于C，D两点．
①若∠AED＝30°，如图3，则CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如图4，则CD＝___________．
【答案】：（1）8,（2）
【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【变式训练1】如图，点A，B，C，D都在半径为2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）
A．4
B．2
C.D．2
【答案】：D
【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10
cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16
cm，CD＝12
cm，则弦AB和CD之间的距离是__________________
【答案】：2cm或14cm
1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧．
2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解．
3．事实上，过点E任作一条弦，只要确定弦与AB的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长．
重难点2 圆周角定理及其推论
例3、已知⊙O是△ABC的外接圆，且半径为4.(1)如图1，若∠A＝30°，求BC的长；
(2)如图2，若∠A＝45°：
①求BC的长；
②若点C是的中点，求AB的长；
(3)如图3，若∠A＝135°，求BC的长．
图1
图2
图3
【答案】（1）4（2）4.,8（3）4.【点拨】 连接OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，构建可解的等腰三角形求解．
【解析】 解：(1)连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．
∴BC＝OB＝4.(2)①连接OB，OC.∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.②∵点C是的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直径．∴AB＝8.(3)在优弧上任取一点D，连接BD，CD，连接BO，CO.∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.∵OB＝OC＝4，∴BC＝4.【变式训练3】 如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（）
A．58°
B．60°
C．64°
D．68°
【答案】：A
【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为88°，30°，则∠ACB的大小为（）
A．15°
B．28°
C．29°
D．34°
【答案】C
1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条弧．
2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决．
3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补．
在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边．
注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，避免把数量关系弄颠倒．
重难点3 圆内接四边形
例4、如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC＝50°，则∠DBC的度数为（）
A．50°
B．60°
C．80°
D．90°
【答案】C
【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M，由垂径定理可得＝2，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE与∠EAD互余，由此得解．
【变式训练5】如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）
A．80°
B．120°
C．100°
D．90°
【答案】B
【变式训练6】 如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________
【答案】n°
1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质．
2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ
能力提升
1．如图，在⊙O中，如果＝2，那么（）
A．AB＝AC
B．AB＝2AC
C．AB＜2AC
D．AB＞2AC
【答案】C
2．如图，在半径为4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，则AB的长为（）
A．2
B．2
C．4
D．4
【答案】D
3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于点B，C，分别作O′E
⊥OC于点E，O′D⊥OB于点D.若OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为（）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】C
4．如图，在⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是（）
A．25°
B．27.5°
C．30°
D．35°
【答案】D
5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（）
A．15°
B．35°
C．25°
D．45°
【答案】A
6．如图，分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边，延长线相交于点F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C的度数为（）
A．30°
B．43°
C．47°
D．53°
【答案】C
8．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为2
cm的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm
8．如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圆的半径．
【答案】：(1)证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.∴＝.∴∠DBC＝∠BAE.∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,∴∠DBE＝∠DEB.∴DE＝DB.(2)连接CD.∵＝，∴CD＝BD＝4.∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．
∴∠BDC＝90°.∴BC＝＝4.∴△ABC外接圆的半径为2.9．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为（）
A．5
B．4
C．3
D．2
提示：过点D作DF⊥AC于点F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．
【答案】D
10．如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是的中点，DE⊥AB于点E，且DE交AC于点F，DB交AC于点G.若＝，则＝_____________．
【答案】
11．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60
cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30
cm，∠B1D1C1＝120°.(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm；
(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为(10－10)cm.【答案】,12．如图所示，AB为⊙O的直径，CD为弦，且CD⊥AB，垂足为H.(1)如果⊙O的半径为4，CD＝4，求∠BAC的度数；
(2)若点E为的中点，连接OE，CE.求证：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的条件下，圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个？并说明理由．
【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB，∴CH＝CD＝2.在Rt△COH中，sin∠COH＝＝，∴∠COH＝60°.∴∠BAC＝∠COH＝30°.(2)证明：∵点E是的中点，∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个．
因为上的点到直线AC的最大距离为2，上的点到直线AC的最大距离为6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性，到直线AC的距离为3的点有2个．
第五篇：圆的证明与计算(弧中点)
《弧中点的运用》教学案
张店中学
桂应祥 教学目标：
1、知道过弧中点作圆的切线得到的基本图形以及相关基本结论；
2、会利用该基本图形中的结论（性质）进行计算；
3、通过变式寻求基本图形的性质，从而探求一般解法，培养学生分析问题、解决问题的能力；
4、在变式过程中养成探究的习惯，增强学习数学的信心 教学重点：利用基本图形、基本结论进行计算 教学难点：结合基本图形归纳基本方法 教学过程：
一、探究性质
活动1(1)如图1，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，D为弧BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC的延长线于点E.① DE与AE有何位置关系？证明你的结论.② 连接BC，DE与BC有何关系？证明你的结论.③ 求证：2AE=AC+AB.④ 连接AD、BD，求证；AD2=AEAB.(2)如图2，设切线DE交AB的延长线于F，连接BD并延长交AE的延长线于M，连OD.① AB与AM有何数量关系？为什么？DM与DB呢？CE与ME呢？ ② 由OD∥AE，可得△ODF～△AEF吗？ ③ △MDC与△MAB相似吗？为什么？
【设计思路】涉及弧的中点一般有三种用法：一是等弧对等弦；二是构造弧所对的圆周角的平分线；三是由垂径定理构造矩形。
二、寻求解法 活动2
在图1中，（1）已知DE=3，CE=1，求AB 的长.分析：连 OD交BC于G，则四边形 DECG为矩形，在Rt△OBG中由勾股定理可求出⊙O的半径.(2)已知：AD=310,BC=6,求S△ABD.分析：DE1BC3，可求AE=9,再由△ADE～△ABD,求得AB=10,所以BD=10, 2得到S△ABD=15.归纳：
1、在图中选择适当的直角三角形运用勾股定理是解决圆中计算的常用方法；
2、相似三角形的证明与运用解决圆中计算问题的又一常用方法。
活动3 在图2中，（1）已知AE=9,EF=12, 求 BC的长.分析：先求AF=15,由△ODF～△AEF,得出
ODAE3，设OD=3x,DF=4x,则OF=5x,于是DFEF415275x153xx,所以BC9..再由2AEACAB,得AC84(2)设AD交BC于N，已知AB=15,DF=10, 求 CN的长.25,则AF20.由△ODF～△AEF，求EF=16,得出DE=6.2CNANAB9CN.由BC∥EF,得DEADAF2 分析：先求OF归纳：
1、在Rt△ODF中运用勾股定理；
2、发现并充分利用△ODF～△AEF；
3、利用BC∥EF, 得到比例式.三、拓展训练
1、在图1中，已知⊙O的半径为5，AD=310，求CE的长.2、在图2中，已知DF=5，DE=3，求S△DEM.3、在图2中，已知sinF3,CE1.求⊙O的半径以及EF的长.4
