第三讲

积分学

一、不定积分

1）原函数与不定积分的概念

2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）

例1：计算。

解：原式

注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。

例2：证明：若，则

其中为待定系数，是方程不相等的实根。

证明：因为

设

（1）

则有，当取

时，（1）式恒成立，因此有

二、定积分

1）定积分的概念和性质

2）微积分基本公式：，其中

3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、3、如果关于直线对称，则有

4、如果关于点对称，则有5、6、7、例3：计算阿桑积分，其中。

解：因为，所以是连续函数，即

一定存在。

（1）当时，（2）当时。

注：这里利用了复数开方公式得：

4）反常积分（广义积分）

反常函数审敛法：（1）设在区间上连续，且，如果函数是在区间上的有界函数，则收敛；

（2）设在区间上连续，且，则有，收敛可得收敛；发散可得发散。

（3）设在区间上连续，则有

如果，则有和同敛散；

如果，则有收敛可得收敛；

如果，则有发散可得发散。

（4）如果收敛，则收敛（绝对收敛）。

例4：判别下列反常积分敛散性

（1）

（2）

解：（1）

因为收敛，所以。

（2）因为，发散，所以发散。

5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式。

三、重积分（二重积分、三重积分）

1）重积分的概念和性质

2）重积分的计算方法：

二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法

注意对称性的运用；

三重积分：投影法、切片法、球面坐标计算法、柱面坐标计算法、换元法

注意对称性的运用。

3）重积分的应用

曲面的面积为、物体质心、转动惯量、引力。

四、两类曲线积分

1）曲线积分的概念和性质

2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。

3）格林公式：设在上有连续偏导数，则有

4）第二型曲线积分与路径无关

五、两类曲面积分

1）两类曲面积分的概念和性质

2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。

3）高斯公式和斯托克斯公式

例5：证明：若在区间上有连续二阶导数，则

证明：因为在区间上连续，由最大值最小值定理，存在是在区间上的最大值。利用泰勒公式有

其中在之间，因此我们有

又因为

所以有

由于

因此我们有

例6：证明：若函数在区间上单调，且存在，则有

证明：无妨设单调递增，取则有

因为存在，所以。

当时有

当时有

由夹逼准则可得。

例7：已知空间中的点，线段绕轴旋转为，求与平面所围成立体的体积。

解：线段的方程为，曲面的方程为。

例8：设函数在区域内有二阶连续偏导数，且，证明：

证明：利用极坐标可得

改变积分次序后可得

设是圆并取正方向，是围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方法和格林公式可得

所以我们有

例9：计算，其中是上半球面与柱面的交线，的方向从轴正方向向负方向看是逆时针方向。

解：设上半球面在圆柱面内的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得

因为对应的单位法向量为，所以。

例10：计算，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数。

解：

取为圆盘的下侧，则有

六、练习题

1）计算

2）设是上的连续函数，证明：

3）设连续，且，其中为，求。

4）设函数具有二阶连续的导数，且，试确定函数，使，其中是任意一条不与相交的简单正向闭曲线。

5）计算，其中为曲面的外侧。

七、