第一篇：复数课件

复数

在人的一般印象中，对于数字的概念，一般都是-1-2 0.1.2.3，或者1.1，1.2 再深一点就是√2，√3.诚然，每一种新的数的范围的发现到被人为人接受，熟知，是要经过一段历程，在过去的历史中，它的发展曲折的。

面对复数，人们很难理解，心有不免有疑问，复数到底是什么，复数是怎样产生的?它是不是像有些书上所叙述的那样:在求一元二次方程的过程中，实数集不够用了需要进行扩张,扩张后的数集,使得一元二次方程

有解,从而引入复数

。这一过程表面上看似乎也符合人们的认识，也能为人们，特别是中学生所接受。可是在历史上复数却不是这样产生的,它不是产生干一元二次方程的求解过程.而是首先出现在求解一元三次方程的过程中。

16世纪意大利米兰医生卡当，从一位外号称为“塔尔里塔里”（意大利语为“口吃者”）那里得到一份关于一元三次方程求解方法的手稿，于1545年在他们“大法”一书中首先公布了一元三次方程的求解公式，他认为任何一个一元三次方程卡当在（1）式中，令

当就得到

或

时，就可以满足上述方程，这

都可以化为形如，使（1）式成为

（1）

因此便得到方程的解为

而对于一元三次方程

只要令，用同样的方法可得到

这就是解一元三次方程的卡当公式。

上述解一元三次方程的卡当公式，在数学逻辑推导上是正确无误的，但是这个方程显然有的根，以及另外两个实数根。这就产生了矛盾；在解一元三次方程时，要想得到大家承认的实数根，就必须经过负数开平方这样严峻而又不能邂逅的事实。这与在求解一元二次方程的情况完全不一样了，在一元二次方程的求解过程中，人们不承认负数开平方不会导致任何矛盾。因此虚数产生于求解一元三次方程的过程中也就不难理解了。

虽然卡当当时还不能通过自己的公式将这些实数根求出来，而把这类方程称为“不可约情形”

后来经过达朗贝尔，欧拉，高斯等数学家长期不懈的努力，深刻探讨并发展了复数理论，才使得在数学领域游荡了200年的幽灵——虚数揭去了神秘的面纱，显现出它的本来面目，原来虚数不“虚”。虚数成为了数系大家庭中一员，从而实数集才扩充到了复数集。

接下来正式介绍一下复数 Z=x+yi 其中x称为复数的实部，y为复数的虚部

i为虚数单位.假如两个复数要相等的话，就必须满足实部之间相等，虚部之间同样相等 此外，复数还存在一个共轭复数概念

所谓共轭复数，也是就是两个复数之间的虚部互为相反数，其他相同。如z = 1+i z =1-i 复数的四则运算

第二篇：英语名词复数变形规律课件

名词复数变形规律

1.绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。

读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。

例：friend→friends;cat→cats;style→styles;sport→sports;piece→pieces

2.凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。

读音变化：统一加读[iz]。

例：bus→buses;quiz→quizzes;fox→foxes;match→matches;flash→flashes

3.以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。

读音变化：加读[z]。

例：candy→candies;daisy→daisies;fairy→fairies;lady→ladies;story→stories

4.以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。

读音变化：加读[z]。

例：tomato→tomatoes;potato→potatoes;torpedo→torpedoes;bingo→bingoes 反例：silo→silos;piano→pianos（外来词）;photo→photos;macro→macros（缩写词）

5.以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。

读音变化：尾音[f]改读[vz]。

例：knife→knives;life→lives;leaf→leaves;staff→staves;scarf→scarves 反例：roof→roofs

6.以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。

读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。

例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti

籽伽 21:53:09 7.以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。

读音变化：尾音[is]改读[i:z]。

例：axis→axes;basis→bases;naris→nares;hypothesis→hypotheses;restis→restes

8.以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。

例：matrix→matrices;directrix→directrices;calix→calices;appendix→appendices 反例：affix→affixes

9.以-um结尾的名词，将-um改变为-a。

读音变化：去掉鼻尾音[m]。

例：forum→fora;stadium→stadia;aquarium→aquaria;datum→data;vacuum→vacua

10.以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。

读音变化：尾音[E]改读[i:]。

例：larva→larvae;formula→formulae;ala→alae;media→mediae;hydra→hydrae

11.部分单词的复数形式不变。

读音变化：保持原音。

例：fish→fish;sheep→sheep;cattle→cattle;deer→deer;salmon→salmon

籽伽 21:53:37 12.极少数单词，其复数形式没有任何规律。读音变化：没有规律。

例：man→men;woman→women;child→children;person→people;ox→oxen

名词复数形式的几种特例 :

一、以辅音字母加y结尾的名词，其复数形式应是先把y变为i，再加es。但下面两个专有名词恰恰是例外： 它们的复数形式是直接加-s。例如：Mary-Marys:

I Know two Marys,one is called Mary Smith ,the other is called MaryWhite Germany-Germanys:

The two Germanys,that is to say ,East Germany and West Germany aregoing to merge.二、以-f或-fe结尾的名词，其复数形式应是把-f，或-fe变为-ves。

如： wife-wives,life-lives thief-thieves,leaf-leaves half-halves,etc.有些则是直接加-S。例如：

grief-griefs,proof-proofs chief-chiefs,belief-beliefs,etc.而象 handkerchief 那样，既可变为：handkerchiefs，也可变为handkerchieves，这应当看作是一种例 外。

籽伽 21:53:58 如： German-Germans,human-humans,etc.四，以-ch 结尾的名词，当-ch发 [t∫]音的时候，其复数形式则加-es。

如： match-matches watch-watches,etc.但是，当-ch 发［k］音的时候，则只需直接加-s。

如： stomach-stomachs,epoch-epochs,etc.五、以-o结尾的名词，其复数形式应是加上-es。如：tomato-tomatoes,hero-heroes但有几种情况是例外。例如：

（１）以双元音结尾的： radio-radios,zoo-zoos,etc.（２）某些外来词： photo-photos piano-pianos,kilo-kilos,etc.六，以-is 结尾的外来词，其复数形式一般是变-is 为-es。

例如： oasis-oases,analysis-analyses,etc.七、另外，还有一些特殊的变化方式。

例如： mouse-mice,abacus-abaci(或abacuses)cow-cattle,tooth-teeth etc.但是有些单数与复数的形式是一样的。

例如： sheep,Chinese,deer,Japanese,etc.籽伽 21:54:20

八、表示“某国人”的名词复数形式有如下三种情形：

（１）单、复数词形相同。

a Chinese-two Chinese,a Japanese-two Japanese（２）名词后面直接加-s。

an American-two Americans,an Austrian-two Austrians an Australian-two Australians,a Russian-two Russians a German-two Germans,a Swede-two Swedes（３）以-man结尾的，则变为-men。

an Englishman-two Englishmen a Frenchman-two Frenchmen,etc.九、缩写词的复数形式其构成方法有三种：

（１）一般是直接加-s。

例如： Dr.(Doctor)→Drs.hr(hour)→hrs.yr.(year)→yrs.No.(Number)→Nos.Mt.(Mount)→Mts.etc.（２）有时用重复字母来表达。缩写时则将最后那个辅音字母重复一次。

例如：

P.(Page)→pp.（第５页至第７页pp5-7）

l.(line)→ll.c.(copy)→cc.f.(and following page)→ff.ex.(example)→exx.籽伽 21:54:54 ３）度量衡的缩写词，其复数形式往往不变。

例如：ft.(foot)→ft.km.(kilometre)→km.kg.(kilogramme)→kg.m.(metre)→m.［说明部分］ 一、一般而言，英语中表示度、量、衡及物价等的单位名词为可数名词，有单数与复数的词形变化。如：

one penny→six pennies one dollar→two dollars

Thirty pounds?That’s too expensive Some weigh as much as fifteen tons each There’s danger about thirty metres ahead.但是其谓语动词仍旧用单数形式。例如：

Where is that five pounds? Twenty miles is a long way to walk.值得注意的是音译的汉语量词，一般不用复数形式。例如：里（li），斤（jin），亩（mu），元（yuan），角（jiao），分(fen)etc.It is about 5li from here.The book cost me two yuan and five jiao.The pig weighs over one hundred jin.二、某些名词的复数形式，有时具有特别的意思。例如：papers（文件，证件）goods（货物），clothes（衣服），arms（武器）minutes（记录），times（时代），greens（青菜）looks（外貌），manners（礼貌）peoples（民族，种族），words（言语），grounds（场地，庭园），works（工厂、工事、著作）etc.三、有些名词经常带着-s词尾的。例如：

news,politics,physics，the United States,the United Nations,ect.但通常把它们当作单数看待，只有在个别的句子里才作复数处理。例如：

Politics is an important thing.（政治是一件重要的事情）

What are your politics?（你的政见如何？）

四、某些表示由两个部分构成的物体的名词。trousers,glasses,shoes,chopsticks,etc.还

包

括

goods,ar ms,clothes,minutes,contents,wages,ect.都可作复数。例如：

Joe’s new trousers are black.His clothes are quite old.High wages make Jim very happy.五、一般地说物质名词和抽象名词是不可数名词，因此没有复数形式。例如：

information,knowledge,advice,milk,water,ice,bread,etc.但是某些名词以复数形式出现时，其含义或 可表示若干种类（ａ），或可表示数量之多（ｂ）。例如： a.There are many fishes in the river.（河里有许多种鱼。）

This animal can eat one sheep and some other foods a day（这种动物一天能吃掉一只羊及其他的食物。）

b.She told him of all her hopes and fears.（她把她所有的希望及担忧之事告诉了他。）

This brought to mind her sufferings in those days.（这使她回想起在那些日子中所受的苦）

六、有些集体名词，通常用作复数。例如：Police,people,youth ,cattle,etc.其单数形式分别为：a po liceman,a person,a young person,a cow ,etc.七、有些

集

体

名

词，例

如

：family,class,team,school,party,government,public,union,company,etc.既 可作单数，也可作复数。作单数时，把集体名词看作一个整体，作复数时，指该集体中的每个人。例如：The football team is being organized.（足球队正在组建立中。）The football team are having a rest.（足 球队们员

籽伽 21:56:17 收到了吧？

狂风/db暴雨 21:56:53 好的籽伽 21:56:53 [自动回复]您好，我现在有事不在，一会再和您联系。狂风/db暴雨 21:57:17 我好好看看吧

籽伽 21:57:17 [自动回复]您好，我现在有事不在，一会再和您联系。

第三篇：大学复变函数课件-复数与复变函数

第一章

复数与复变函数

第一节

复数

1．复数域

每个复数具有的形状，其中和，是虚数单位；和分别称为的实部和虚部，分别记作。

复数和相等是指它们的实部与虚部分别相等。

如果，则可以看成一个实数；如果，那么称为一个虚数；如果，而，则称为一个纯虚数。

复数的四则运算定义为：

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。

2．复平面

C也可以看成平面，我们称为复平面。

作映射：，则在复数集与平面之建立了一个1-1对应。

横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为-平面，w-平面等。

3．复数的模与辐角

复数可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定义为：；

向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为：

（）。

复数的共轭定义为：；

复数的三角表示定义为：；

复数加法的几何表示：

设、是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：

关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：

（1）、；（2）、；

（3）、；（4）、；

（5）、；（6）、；

例1．1试用复数表示圆的方程：

（）

其中a,b,c,d是实常数。

解：方程为，其中。

例1.2、设、是两个复数，证明

利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设、是两个非零复数，则有,则有

即，其中后一个式子应理解为集合相等。

同理，对除法，有

即，其后一个式子也应理解为集合相等。

例1.3、设、是两个复数，求证：

例1.4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点

a,b,c的圆的表示式。

解：直线：；

圆：

4．复数的乘幂与方根

利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：

令，则

进一步，有

共有-个值。

例1.5、求的所有值。

解：由于，所以有

其中。

第二节

复平面上的点集

1．初步概念：

设，的-邻域定义为

称集合为以为中心，为半径的闭圆盘，记为。

设，若中有无穷个点，则称为的极限点；

若，使得，则称为的内点；

若中既有属于的点，由有不属于的点，则称为的边界点；

集的全部边界点所组成的集合称为的边界，记为；

称为的闭包，记为；

若，使得，则称为的孤立点（是边界点但不是聚点）；

开集：所有点为内点的集合；

闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于；则任何集合的闭包一定是闭集；

如果，使得，则称是有界集，否则称是无界集；

复平面上的有界闭集称为紧集。

例1.6、圆盘是有界开集；闭圆盘是有界闭集；

例1.7、集合是以为心，半径为的圆周，它是圆盘

和闭圆盘的边界。

例1.8、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。

例1.9、集合是去掉圆心的圆盘。圆心，它是的孤立点，是集合的聚点。

无穷远点的邻域：，集合称为无穷远点的一个邻域。类似地有，聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。

我们也称为的一点紧化。

2．区域、曲线

复平面C上的集合，如果满足：

（1）、是开集；

（2）、中任意两点可以用有限条相衔接的线段所构成的折线连起来，而使这条折线上的点完全属于。

则称是一个区域。

结合前面的定义，有有界区域、无界区域。

性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的开集。

区域内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。

扩充复平面上不含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。

设已给

如果和都在闭区间上连续，则称集合为一条连续曲线。

如果对上任意不同两点及，但不同时是的端点，我们有，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有，则称为一条简单连续闭曲线，或若尔当闭曲线。

若尔当定理:

任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。

光滑曲线：

如果和都在闭区间上连续，且有连续的导函数，在上，则称集合为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。

设是一个区域，在复平面C上，如果内任何简单闭曲线的内区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

中区域的连通性：如果内任何简单闭曲线的内区域或外区域中每一点都属于，则称是单连通区域，否则称是多连通区域。

例1.10集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线

即。

例1.11集合为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为直线及。

例1.12集合为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线

及。

例1.13集合为一个圆环，它是一个多连通有界区域，其边界为圆及。

例1.14在上，集合与分别为单连通及多连通的无界区域，其边界分别为及。

第三节

复变函数

1．复变函数的概念

设在复平面C上以给点集。如果有一个法则，使得，同它对应，则称为在上定义了一个复变数函数，简称为复变函数，记为。

注解1、同样可以定义函数的定义域与值域；

注解2、此定义与传统的定义不同，没有明确指出是否只有一个和对应；

注解3、复变函数等价于两个实变量的实值函数：若，则等价于两个二元实变函数和。

函数也称为从到C上的一个映射或映照。把集合表示在一个复平面上，称为-平面；把相应的函数值表示在另一个复平面上，称为-平面。

从集合论的观点，令，记作，我们称映射把任意的映射成为，把集映射成集。

称及分别为和的象，而称和分别为及的原象。

若把中不同的点映射成中不同的点，则称它是一个从到的双射。

例1.15考虑映射。

解：设，，则有，这是一个平面到平面的双射，我们称为一个平移。

例1.16考虑映射，其中。

解：令，则它可以分解为以下两个映射的复合：，第一个映射是一个旋转（旋转角为），第二个映射是一个以原点为中心的相似映射。

例1.17考虑映射。

解：它可以分解为以下两个映射的复合：，映射是一个关于实数轴的对称映射；

映射把映射成，其辐角与相同：

而模，满足。我们称为关于单位圆的对称映射，与称为关于单位圆的互相对称点。

若规定把映射成，则它是一个扩充平面到扩充平面的一个双射。

例1.18、考虑映射。

解：等价于。

2．复变函数的极限

设函数在集合上确定，是的一个聚点，是一个复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称为函数当趋于时的极限，记作：

注解：1、复变函数的极限等价于两个实变二元函数的重极限。

2、关于极限的和、差、积、商等性质可以不加改变的推广到复变函数。

3．复变函数连续性的定义

设函数在集合上确定，是的一个聚点，如果

成立，则称在处连续；如果在中每一点连续，则称在上连续。

注解1

如果，则在处连续的充要条件为：

即一个复变函数的连续性等价于两个实变二元函数的连续性；

注解2

连续函数的四则运算结论成立：两个复变函数连续的加、减、乘、除（分母不等于零）是复变函数连续；

注解3

如果函数在集上连续，并且函数值属于集，而在集上，函数连续，那么复合函数在上连续。

4．一致连续性

设函数在集合上确定，如果任给，可以找到一个仅与有关的正数，使得当，并且时，则称函数在上一致连续。

定理1.1、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上一致连续。

定理1.2、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么它在上有界，即在集上有界。

定理1.3、设函数在简单曲线或有界闭区域上连续，那么在上达到它的最大模和最小模。

5．无穷大极限

设函数在复平面上的区域或闭区域上确定，是的一个聚点，不属于。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于无穷大，记作：

设函数在复平面上的无界区域或闭区域上确定。是一个有限复常数。如果任给，可以找到一个与有关的正数，使得当，并且时，则称当趋于时，函数趋于极限，记作：

第四节

复球面与无穷远点

在点坐标是的三维空间中，把

xOy面看作就是面。考虑球面：

取定球面上一点称为球极。

我们可以建立一个复平面C到之间的一个1-1对应：。

我们称上面的映射为球极射影。

对应于球极射影为，我们引入一个新的非正常复数无穷远点，称为扩充复平面，记为。

关于，其实部、虚部、辐角无意义，模等于；基本运算为（为有限复数）：；

。

第四篇：复数

1)单数名词加2)以s、x、sh、ch结尾的名词加3)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i加

4)以f或fe结尾的名词，多数变f为v加es: wives, knives.但有些词只加s: roofs, proof s, 5)以o结尾的名词，有些加es: Negroes, heroes, tomatoes, potatoes.其它加s: radio s, zoos，6)不规则名词：foot→feet, goose→geese, tooth→teeth, child→children, man→me n, woman→women, sheep→sheep, deer→deer, mouse→mice.7)某些外来词变复数：datum→data, medium→media, bacterium→bacteria, curriculum→curricula, criterion→criteria, phenomenon→phenomena.8)复合名词变复数：以不可数名词结尾的复合名词无复数形式，如：以man或woman为前缀的复合名词变复数，前后两个名词都变复数，如：manservant→menservants, 其它复合名词变复数：

9)复合形容词做定语时，其中的名词保持单数：book

名词复数：）~~

英语中名词可分为可数名词和不可数名词。可数名词在应用时有单数和复数形式。表示一个用单数，表示两个或两个以上用复数。复数名词的构成分为规则变化和不规则变化。

1.规则变化：

1)一般在名词词尾加s，① map—maps地图，bird—birds鸟，orange—oranges 桔子，bike—bikes自行车；

2)以s, x, ch, sh结尾的名词加es，① box—boxes盒子，class—classes班级，watch—watches手表，dish-dishes盘，碟子，餐具；

3)以O结尾的名词后面加s或es

① photo—photos相片 radio—radios收音机 zoo—zoos动物园

tomato—tomatoes西红柿 potato—potatoes土豆

4)以辅音字母加y结尾的名词，变y为i+es ① baby—babies婴儿 family—families家庭；

以元音字母加y结尾的名词直接加s ① boy—boys男孩 toy—toys 玩具；

5)以fe或f结尾的名词，把fe或f变为ves ① knife—knives小刀

wife—wives妻子

leaf—leaves树叶。，二：名词复数的不规则变化

1）child---children foot---feet tooth---teeth mouse---mice man---men woman---women

注意：与 man 和 woman构成的合成词，其复数形式也是-men 和-women。

如： an Englishman，two Englishmen.但German不是合成词，故复数形式为Germans；Bowman是姓，其复数是the Bowmans。

2）单复同形 如：

deer，sheep，fish，Chinese，Japanese li，jin，yuan，two li，three mu，four jin

但除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。如: a dollar, two dollars;a meter, two meters 3）集体名词，以单数形式出现，但实为复数。

如： people police cattle 等本身就是复数，不能说 a people，a police，a cattle，但可以说

a person，a policeman，a head of cattle,the English，the British，the French，the Chinese，the Japanese，the Swiss 等名词，表示国民总称时，作复数用。

如： The Chinese are industries and brave.中国人民是勤劳勇敢的。

4）以s结尾，仍为单数的名词，如：

a.maths，politics，physics等学科名词，为不可数名词，是单数。

b.news 是不可数名词。

c.the United States，the United Nations 应视为单数。

The United Nations was organized in 1945.联合国是1945年组建起来的。

d.以复数形式出现的书名，剧名，报纸，杂志名，也可视为单数。

“The Arabian Nights” is a very interesting story-book.<<一千零一夜>>是一本非常有趣的故事书。

5)表示由两部分构成的东西，如：glasses(眼镜)trousers, clothes

若表达具体数目，要借助数量词 pair(对，双);suit(套);a pair of glasses;two pairs of trousers

6）另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，如：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

一、绝大多数的可数名词的复数形式，是在该词末尾加上后辍-s。

读音变化：结尾是清辅音读[s]，结尾是浊辅音或元音读[z]。例：friend→friends;cat→cats;style→styles;sport→sports;piece→pieces

二、凡是以s、z、x、ch、sh结尾的词，在该词末尾加上后辍-es构成复数。读音变化：统一加读[iz]。例：bus→buses;quiz→quizzes;fox→foxes;match→matches;flash→flashes

三、以辅音字母+y结尾的名词，将y改变为i，再加-es。读音变化：加读[z]。例：candy→candies;daisy→daisies;fairy→fairies;lady→ladies;story→stories

四、以-o结尾的名词，如果不是外来词或缩写，就加-es，否则加-s构成复数。读音变化：加读[z]。例：tomato→tomatoes;potato→potatoes;torpedo→torpedoes;bingo→bingoes 反例：silo→silos;piano→pianos（外来词）;photo→photos;macro→macros（缩写词）

五、以-f或-fe结尾的名词，多为将-f或-fe改变为-ves，但有例外。读音变化：尾音[f]改读[vz]。例：knife→knives;life→lives;leaf→leaves;staff→staves;scarf→scarves 反例：roof→roofs

六、以-us结尾的名词（多为外来词），通常将-us改变为-i构成复数。读音变化：尾音[Es]改读[ai]，其中[kEs]要改读为[sai]，[gEs]要改读为[dVai]。例：fungus→fungi;abacus→abaci;focus→foci;cactus→cacti;cestus→cesti

七、以-is结尾的名词，通常将-is改变为-es。读音变化：尾音[is]改读。例：axis→axes;basis→bases;naris→nares;hypothesis→hypotheses;restis→restes

八、以-ix结尾的名词，通常将-ix改变为-ices，但有例外。读音变化：尾音[iks]改读[isi:z]。例：matrix→matrices;directrix→directrices;calix→calices;appendix→appendices 反例：affix→affixes

九、以-um结尾的名词，将-um改变为-a。读音变化：去掉鼻尾音[m]。例：forum→fora;stadium→stadia;aquarium→aquaria;datum→data;vacuum→vacua

十、以-a结尾的名词，在该词末尾加上后辍-e。读音变化：尾音[E]改读。例：larva→larvae;formula→formulae;ala→alae;media→mediae;hydra→hydrae

十一、部分单词的复数形式不变。读音变化：保持原音。

例：fish→fish;sheep→sheep;cattle→cattle;deer→deer;salmon→salmon

十二、极少数单词，其复数形式没有任何规律。读音变化：没有规律。例：man→men;woman→women;child→children;person→people;ox→oxen 十三、一些单数词得加en才能变成复数词： 例：ox→oxen;child→children;brother→brethren 十四、一些单数词得改头换面一番,才能变成复数词

例：analysis→analyses分析;basis→bases基础;datum→data数据;foot→feet;formula→formulae/formulas公式;goose→geese;louse→lice虱子;man→men mouse→mice;medium→media/mediums媒介;memorandum→memoranda/memorandums备忘录;parenthesis→parentheses 圆括号;phenomenon→phenomena现象;radius→radii 半径 tooth→teeth;woman→women

十五、有些名词是单数、复数不分的 例：deer;fish;cannon;sheep;salmon 鲑鱼;trout 鳟鱼十六、一些名词虽分单数、复数，但出现次数多的总是单数词

例：abscence;clothing;film;help;furniture家具;machinery机械;news;scenery风景;sugar;traffic交通

十七、另一些名词则以复数词出现的机会较多

例：bellows风箱;clothes;police;shorts短裤;scissors剪刀;spectacles眼镜;shears大剪刀 trousers长裤;wages工资

十八、compound nouns，这类复数词是以主要的名词来表示 例：daughter-in-law→daughters-in-law 媳妇;father-in-law→fathers-in-law岳父 man-of-war→men-of-war兵舰;maid-servant→maid-servants step-son→step-sons晚子;son-in-law→sons-in-law

十九、若表达具体数目，要借助数量词

例：pair(对，双);suit(套);a pair of glasses;two pairs of trousers

二十、另外还有一些名词，其复数形式有时可表示特别意思，例：goods货物，waters水域，fishes（各种）鱼

二十一、除人民币元、角、分外，美元、英镑、法郎等都有复数形式。

例：a dollar, two dollars;a meter, two meters

以O结尾的词，许多加es构成复数，特别是一些常用词如：heroes,potatoes,tomatoes,echoes,tornadoes,torpedoes,dominoes,vetoes,mosquitoes,Negroes,mangoes,buffaloes,volcanoes 但下面几类词只加s：1.以“元音+o”或“oo”结尾的词如:videos,radios,studios,folios,oratorios,embryos,zoos,bamboos,kangaroos,taboos 2.一些外来词，特别是音乐方面的词，如：pianos,solos,concertos,tobaccos,mottos,cellos 3.一些缩写词和专有名词，如：kilos,photos,memos,micros,Eskimos,Filipnos 有个别词加两种词尾都可以，如：archipelago(e)s,halo(e)s,cargoes(英），cargos(美）

名词单数变复数规则

「速记口诀」

单数变复数，规则要记住，一般加s，特殊有几处： /s/结尾，es不离后，末尾字母o，大多加s，两人有两菜，es不离口，词尾f、fe，s前有v和e；

没有规则词，必须单独记。

第五篇：复数教案

2014年10月16日教案

教学课程

复数的有关概念

教学目标

（1）掌握复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

（2）正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系；

（3）理解复数的几何意义，初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

（4）培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力．

教学内容

1、复数的有关概念，由x^2+1=0，引进概念虚数 正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

2、分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下。

3、复数相等的充要条件，对于复数 数 时，一定有，实部是，虚部是 ．注意在说复，否则，不能说实部是，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。用复数相等的条件要注意：

①化为复数的标准形式

②实部、虚部中的字母为实数，即

4、复数的几何表示，①任何一个复数 都可以由一个有序实数对()唯一确定．这就是说，复数的实质是有序实数对．一些书上就是把实数对（）叫做复数的．

②复数 而不是(用复平面内的点Z()表示．复平面内的点Z的坐标是()，)，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 ．由于 =0＋1·，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度．这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位，或者 就是纵轴的单位长度．

③当

(时，对任何，时，是纯虚数，所以纵轴上的点())都是表示纯虚数．但当 是实数．所以，纵轴去掉原点后称为虚轴．

复数z=a＋bi中的z，书写时小写，复平面内点Z(a，b)中的Z，书写时大写．

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点．

5、共轭复数的概念．要学生注意可以提一下当

于实轴本身对称，例如：5和－5也是互为共轭复数．当 轭虚数．可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行． 随即写几个例子

时的特殊情况，即实轴上的点关

时，与

互为共

6、“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意： 根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么

．两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小．

命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a，b来说，a＜b，a=b，b＜a这三种情形有且仅有一种成立；

(ii)如果a＜b，b＜c，那么a＜c；

(iii)如果a＜b，那么a＋c＜b＋c；

(iv)如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc．(不必向学生讲解)

教学重难点

1．要注意知识的连续性：复数因而注意与平面解析几何的联系．

2．注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想．

是二维数，其几何意义是一个点，3．注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答．