第二讲

导数、微分及其应用

一、导数、偏导数和微分的定义

对于一元函数

对于多元函数

对于函数微分

注：注意左、右导数的定义和记号。

二、导数、偏导数和微分的计算：

1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；

2）隐函数、参数方程的导数

3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。

例1：求函数在处的阶导数。

解：，所以有

（1）

利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得

当时，由此可得

例2：求的阶导数。

解：

设

其中，则有

注：计算时注意一阶微分不变性的应用。

4）方向导数与梯度

三、导数、偏导数及微分的应用

1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。

证明：在上可导，则在上一定有最大值和最小值。

1、如果异号，无妨设，由于，由极

限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有，这就说明不可能是在上的最大值，所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马

定理可得。

2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函

数，则有异号，由前

面的证明可得，存在有，即。

2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理

其中，这里在与之间的某个值。

3）一元函数的单调性及极值、最值

4）一元函数的凹凸性：

在区间上凹：和，若，则；

在区间上凸：和，若，则；

性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有；

2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有

证明：因为

其中，所以用数学归纳法可证明以上结论。

例3：证明：若，则有

证明：考虑函数，因为

所以时，是凹函数。因此对于由性质有

5）多元函数几何应用

6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

例4：设在上连续，在上可导。又在上连续，证明：至少存在一点使得。

证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。

考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得

因此至少存在一点使得。

例5：设函数在上连续，在上可导，（1）如果，证明：至少存在一点，使得。

（2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点，使得。

证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有

因此我们有，由此我们可得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得

(2)因为，由夹逼准则得

考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得。

例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得

证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得

因此我们有

例7：设在上可导，证明：。

证明：1）设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，特别是；

2）设在上有，设设在内的最大值为，则有

这就得到在上有，由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有。

例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得

证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式

当时，（1）

当时，(2)

得

因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有

例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得

证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为

由此可得

即有

例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得；

（2）存在使得。

证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；

（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有。

例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。

四、练习题

1）求函数的阶导数。

2）设在上有阶导数，且，证明：存在，使得。

3）设在上有二阶导数，且存在使得证明：存在，使得。

4）设在区间上三次可微，证明：存在，使得

5）设函数在上是导数连续的有界函数，证明：

五、