第一篇：圆锥体体积教学设计专题

《圆锥的体积》教学设计

圆锥是小学几何初步知识的最后一个内容，是学生在学习了平面图形和长方体、正方体、圆柱体这三种立体图形的基础上进行教学的。教材包括理解圆锥体积的计算公式和圆锥体积计算公式的具体运用。学生掌握这些内容，不仅有利于全面掌握长方体、正方体、圆柱体和圆锥之间的本质联系、提高几何体知识掌握水平，为今后的学习打下基础，同时提高了运用所学的数学知识和方法解决一些简单实际问题的能力。

教学目标：

1．使学生知识圆锥体积公式的推导过程，能运用公式计算圆锥的体积。

2．培养学生的空间想象，动手操作，概括推理和创新能力，能运用所学的知识解决生活中的实际问题。

3．使学生能感受到数学来源于生活，积极参与数学活动体验数学活动中的探索与创造，本着实事求是的态度，养成质疑和独立思考的良好习惯。

教学重点：圆锥体积计算公式

教学难点：圆锥体积计算公式的推导过程

教学关键：学生通过实验操作，理解“圆锥的体积等于它等底等高圆锥体积的三分之一”

教学教具：

1．多媒体课件。

2．学具（4人为一小组）每小组准备用硬纸自制等底等高，等高不等底，等底不等高的圆柱和圆锥各一对，黄沙一小袋。

教学方法及组织形式：

主动探究性学习，异质分组教学

教学过程：

（一）联系生活，激趣设疑

1．出示课件，激趣引入

师：同学们，老师请你们看一个画面：一个夏天的中午妈妈带小丽到公园里玩，那里的风景可真美，就是天气有点热，她们决定买冰淇淋。小丽来到冷饮店，看见两种冰淇淋。一种圆柱形的，2元一支；一种圆锥形的0.5元一支。小丽，不知买哪一种既经济又实惠的冰淇淋，同学们，你们能帮帮他吗？

2．引入新知

（这时学生争论不休）

师：同学们都很棒，为了帮助小丽解决这个问题，这节课我们就来学习“圆锥的体积”的计算好吗？（板书课题）

（二）自主探究，合作交流

1．猜想。

师：好，请同学们回忆一下，我们已经学过哪些物体的体积计算方法呢？

师：那你认为哪一种物体的体积计算方法可能与圆锥有关呢？能说出你猜测的依据吗？

你们能大胆的猜测一下，圆锥体和圆柱体体积之间会存在着什么样的关系呢？谁愿意试一试呢？

师：那有了猜测，下一步我们就要动手操作进行实验，来验证我们的猜测。

师：那么请各组先拿出自己准备的圆锥与圆柱，观察比较他们的底与高的大小关系。

1、各小组进行观察讨论。

2、各小组进行交流，教师做适当的板书。

通过学生的交流出现以下几种情况：一是圆柱与圆锥等底不等高；二是圆柱与圆锥等高不等底；三是圆柱与圆锥不等底不等高；四是圆柱与圆锥等底等高。

3、师启发谈话：现在我们面前摆了这么多的圆柱和圆锥，我们是否有必要把每一种情况都进行研究？能否找到一种既简便又容易操作且能代表所有圆柱和圆锥关系的一组呢？（选择等底等高的圆锥体与圆柱体）

师：下面请同学们四人一组利用你桌子上的学具，找出两组等底等高的圆锥与圆柱，共同探讨它们之间的体积关系验证我们的猜想，不过在实验前先阅读实验要求，（课件演示）只有目标明确，才能更好的合作。开始吧！

要求：

1、实验材料，任选沙、米、水中的一种。

2、实验方法可选择用圆锥向圆柱里倒，到满为止；或用圆柱向圆锥里倒，到空为止。

（生进行实验操作、小组交流）

师：

1、谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？

2、通过做实验，你们发现它们有什么关系？

师：为了使大家刚才做的实验更清楚，更准确请看大屏幕，看数学小博士是怎样做的？（课件演示）

3．推导圆锥的体积。

(1)师：根据实验和课件演示，你们一定有办法推导出圆锥的体积公式。

(2)课件演示。

智慧老人眨着眼睛向小朋友提出一个问题：“圆锥的体积是圆柱体积的三分之一”这句话对吗？

师：我们知道了怎样求圆锥的体积，那么假如圆柱形冰淇淋和圆锥形的冰淇淋是等底等高，你们说小丽买哪种合算呢？（这时同学们异口同声回答答案）。

师：所以，数学来源于生活，生活离不开数学，生活中有很多问题都可以用我们所学的数学知识来解决。

（三）巩固练习（课件出示）

1、判断对错，并说明理由。

①圆锥的体积等于圆柱体积的.（）

② 圆柱体的体积大于与它等底等高的圆锥的体积（）

③圆锥的高是圆柱的高的3倍，他们的体积一定相等。（）

2、一个近似圆锥形的煤堆，测得它的底面半径是1.5米，高是1.1米。这堆煤的体积是多少？如果每立方米的煤约重1.4吨，这堆煤大约重多少吨？（得数保留整数）

3、你能求出圆锥形冰淇淋的体积吗？

（1）半径3厘米

高6厘米

（2）直径6厘米

高6厘米

（3 周长18.84厘米

高6厘米

（四）评价体验

这节课你们有什么收获？能告诉老师吗？

（五）探究延伸

如何测量一个鸡蛋的体积

教学目标

1.通过动手操作实验，推导出圆锥体体积的计算方法，并能运用公式计算圆锥体的体积。

2.通过学生动脑、动手，培养学生的思维能力和空间想象能力。

教学重点和难点

圆锥体体积公式的推导。

教学过程设计

（一）复习准备

1.我们每组桌上都摆着几何形体，哪种形体的体积我们已经学过了？举起来。

这是什么体？（圆锥体）

（板书：圆锥）

上节课我们已经认识了圆锥体，这里有几个画好的几何形体。

（出示幻灯）

一起说，几号图形是圆锥体？（2号）

（指着圆锥体的底面）这部分是圆锥体的什么？（底面）

（指着顶点）这呢？

哪是圆锥体的高？（指名回答。）

（用幻灯出示几个图形。）

在这几个圆锥体中，几号线段是圆锥体的高，就举几号卡片。

（学生举卡片反馈）

你为什么选2号线段呢？为什么不选3号、4号呢？（指名回答）

那么这个圆锥体的高在哪呢？（在幻灯上打出圆锥体的高。）

看来，同学们对于圆锥体的特征掌握得很好，这节课我们就重点研究圆锥的体积。

（板书，在“圆锥”二字的后面写“的体积”。）

（复习内容紧扣重点，由实物到实间图形，采用对比的方法，不断加深学生对形体的认识。）

（二）学习新课

（老师拿出一大一小两个圆锥体问学生）这两个圆锥体哪个体积大，哪个体积小？

（再拿出不等底、不等高，但体积相等的一个圆柱体和一个圆锥体）这两个形体哪个体积大，哪个体积小？（引起学生争论，说法不一。）

看来我们只凭眼睛看是不能准确地得出谁的体积大，谁的体积小，必须通过测量计算出它们的体积。圆柱体的体积我们已经学过了，等我们学完了圆锥的体积再来解决这个问题。

为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体。你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？

（学生得出：底面积相等，高也相等。）

底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”。

（板书：等底 等高）

既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？（不行）

为什么？（因为圆锥体的体积小）

（把圆锥体套在透明的圆柱体里）是啊，圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的倍数关系？（指名发言）的大米、水和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系。注意，用大米做实验的同学不要浪费一粒粮食。

（学生分组做实验。）

谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？

你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么倍数关系？

（学生发言。）

同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？

我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？（指名发言）

（不是）

是啊，（老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱）如果老师把这个大圆锥体里装满了米，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？（不能）

为什么你们做实验的圆锥体里装满了水或米往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？

（因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。）

呢？（在等底等高的情况下。）

（老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线。）

现在我们得到的这个结论就更完整了。（指名反复叙述公式。）

今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。

（老师在教学中，注意调动学生的学习积极性，采用分组观察，操作，讨论等方法，突出了学生的主体作用。）

（三）巩固反馈

1.口答。

填空：

2.板书例题。

例 一个圆锥体，它的底面积10cm2，高6cm，它的体积是多少？

（指名回答，老师板书。）

=20（cm3）

答：它的体积是20cm3。

3.练习题。

一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。体积是多少？（学生在黑板上只列式，反馈。）

4.我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们会求前面遗留问题中的比大小的圆锥体体积了。

（幻灯出示其中之一）这个圆锥体，直径为10cm，高为12cm，求体积。

（学生在小黑板上只写结果，举黑板反馈。）

你们求出这个圆锥体的体积是314cm3。现在告诉你们另一个圆柱体的体积我已经计算出来了，它的体积也是314cm3。这两个形体体积怎样？（一样）刚才我们留下的问题就解决了，看来判断问题必须要有科学依据。

5.选择题。每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就举起几号卡片。

（1）一个圆锥体的体积是a（dm3），和它等底等高的圆柱体体积是（）（dm3）。

②3a（dm3）

③a3（dm3）

（举卡片反馈，订正。）

（2）把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6cm3，圆锥体体积是（）cm3。

（学生举卡片反馈，订正。）

6.刚才都是老师给你们数据，求圆锥体体积，你们能不能直接告诉我你们桌上的圆锥体体积是多少呢？（不能）

为什么？（因为不知道底面积和高。）

需要测量什么？（底面半径和高。）

怎么测量？（小组讨论。）

（指名发言）

今天回家后，把你们测量的数据写在本子上，再计算出体积。

这节课我们学了什么知识？

出思考题：

现在我们比一比谁的空间想象能力强。

看看我们的教室是什么体？（长方体）

要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？（小组讨论）

指名发言。当争论不出结果时，老师给数据：教室长12m，宽6m，高4m。并板书出来，再比较怎样放体积最大。

（四）指导看书，布置作业

（略）

课堂教学设计说明

本节课的主要特点有以下几点：

一是始终注意激发学生的求知欲。新课一开始就让学生观察，猜测两组圆锥的大小，激发学习的欲望。在公式推导过程中又引导学生估计两个等底等高的圆柱和圆锥的体积之间的倍数关系，使学生的学习兴趣进一步高涨。在应用公式的教学中，又把问题转向了课初学生猜测体积大小的两个圆锥，并引导学生边测量，边计算，终于使悬念得出了满意的结果，使学生获得了成功的喜悦。

二是在教学中重视以学生为学习活动的主体，整个公式的推导，是建立在学生分组观察、实验操作、测量的基础上的，学生不仅参与了获取知识的全过程，更重要的是参与了获取知识的思维过程。

三是教学层次清楚，步步深入，重点突出。

四是练习有坡度，形式多，教学反馈及时、准确、全面、有效。

第二篇：圆锥体体积教学设计

《圆锥体体积》教学设计

蒲县城关小学

韩淑丽 教学内容：

小学数学苏教版第12册内容.教学目标：

1.通过动手操作实验，推导出圆锥体体积的计算方法，并能运用公式计算圆锥体的体积.2.通过学生动脑、动手，培养学生的思维能力和空间想象能力.3.培养学生自主学习能力和小组合作学习的能力.教学重点和难点：掌握圆锥体体积公式的推导.教具准备：

1、等底等高的圆柱体和圆锥体6套，大小不同的圆柱体和圆锥体6套、6水槽红颜色水.直尺6把.2.多媒体课件设计

教学过程：

一.复习铺垫：

1.怎样计算圆柱的体积？

指名回答,教师板书：圆柱体的体积=底面积×高.2.一个圆柱的底面积是60平方分米，高15分米，它的体积是多少立方分米？

指两名板演,全班齐练,集体订正.3.圆锥有什么特征？

学生回答后，教师用课件演示：屏摹上显示一个圆锥体，将它的底面、侧面、高和顶点闪烁.二.引入新课

今天我们就利用这些知识探讨新的——怎样计算圆锥的体积（板书课题）

三.教学新课

1.探讨圆锥的体积公式

教师：怎样探讨圆锥的体积计算公式呢？在回答这个问题之前，请同学们先想一想，我们是怎样知道圆柱体积公式的：

学生回答，教师板书：

圆柱——（转化）——长方体

圆柱体积公式——（推导）——长方体体积公式

教师：借鉴这种方法，为了我们研究圆锥体体积的方便，每个组都准备了一个圆柱体和一个圆锥体.你们小组比比看，这两个形体有什么相同的地方？学生操作比较.（1）

提问学生：你发现到什么？（这个圆柱体和这个圆锥体的形状有什么关系）

(学生得出：底面积相等，高也相等。)

底面积相等，高也相等，用数学语言说就叫“等底等高”.(板书：等底 等高)

（2）为什么？既然这两个形体是等底等高的，那么我们就跟求圆柱体体积一样，就用“底面积×高”来求圆锥体体积行不行？为什么?

教师：圆锥体的体积小，那你估计一下这两个形体的体积大小有什么样的关系？(指名发言)

用水和圆柱体、圆锥体做实验。怎样做这个实验由小组同学自己商量，但最后要向同学们汇报，你们组做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上有什么样的倍数关系.（2）

学生分组做实验.谁来汇报一下，你们组是怎样做实验的？

你们做实验的圆柱体和圆锥体在体积大小上发现有什么倍数关系？(学生发言：圆柱体的体积是圆锥体体积的3倍)

同学们得出这个结论非常重要，其他组也是这样的吗？

我们学过用字母表示数，谁来把这个公式整理一下？(指名发言)

（3）学生操作：出示另外一组大小不同的圆柱体和圆锥体进行体积大小的比较，通过比较你发现什么？

学生回答后，教师整理归纳：不是任何一个圆锥体的体积都是任何一个圆柱体体积的.(老师拿起一个小圆锥、一个大圆柱)如果老师把这个大圆锥体里装满了砂子，往这个小圆柱体里倒，倒三次能倒满吗？(不能)

为什么你们做实验的圆锥体里装满了水往圆柱体里倒，倒三次能倒满呢？(因为是等底等高的圆柱体和圆锥体。)

在等底等高的情况下.(老师在体积公式与“等底等高”四个字上连线.)

现在我们得到的这个结论就更完整了。(指名反复叙述公式.)

教师:同学们圆锥体里装满了水往圆柱体里倒,只倒一次,看看能不能想办法推出计算公式?让学生动脑动手?

得出用尺子量圆锥里的水倒进圆柱里,水高是原来水高的1/3.小结:今后我们求圆锥体体积就用这种方法来计算。

(4)应用巩固

1.出示例题学生读题，理解题意，自己解决问题。

例 一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米，这个零件的体积是多少？

学生完成后，进行小组交流.你是怎样想的和怎样解决问题。（提问学生多人）

教师板书:

1/3×19×12=76（立方厘米）

答：它的体积是76立方米

2.练习题。

一个圆锥体，半径为6cm，高为18cm。体积是多少？(学生在黑板上只列式，反馈。)

3.出示例2：要求学生自己读题，理解题意思.在打谷场上，有一个近似于圆锥形的小麦堆，测得底面直径是4米，高是1.2米，每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）

（1）提问：从题目中你知道什么？

（2）学生独立完成后教师提问。并回答同学的质疑：3.14×（）×1.2

表示什么？为什么要先求圆锥的体积？得数保留整千克数是什么意思？….4.比较：例1和例2有什么地方不同？

1）直接告诉了我们底面积，而（2）没有直接告诉，要求我们先求出底面积，再求出圆锥体积；（2）例1 是直接求体积，例2是求出体积后再求重量.我们已经学会了求圆锥体的体积，现在我们来解决有关圆锥体体积的问题.四.巩固练习：

1、一个圆锥形沙堆，高是1.5米，底面半径是2米，每立方米沙重1.8吨.这堆沙约重多少吨？

2.选择题.每道题下面有3个答案，你认为哪个答案正确就用手指数表示.(1)一个圆锥体的体积是a立方米，和它等底等高的圆柱体体积是（）

⑴ 立方米

②3a立方米

③

9立方米

(2)把一段圆钢切削成一个最大的圆锥体，圆柱体体积是6立方米，圆锥体体积是（）立方米

（1）6立方米（2）3立方米

（3）2立方米

3.学生操作：

看看我们的教室是什么体？(长方体)

要在我们的教室里放一个尽可能大的圆锥体，想一想，怎样放体积最大？(小组讨论)

指名发言.当争论不出结果时，让学生以小组为单位动手测量数

据：教室长12m，宽6m，高4m.并板书出来，再比较怎样放体积最大的圆锥体.五.小结：

这节课你有什么收获？哪个同学、哪个小组学习最佳？

六.作业：

1、书本44页第3、4、5.2、回去观察你生活身边有哪圆锥物体？测量计算它们的体积.下节课交流汇报.教学设想与反思 ：

我认为这节课的设计与教学具有下面的特点：

一、这节课，没有像传统教学那样，直接拿出等底等高的圆柱和圆锥容器的教具，让学生观察倒水实验，而是通过师生交流、问答、猜想等形式，调动学生学习的积极性，激发学生强烈的探究欲望。学生迫切希望通过实验来证实自己的猜想，所以做起实验就兴趣盎然.特别是用不同的方法推到出计算公式,开阔学生思维,提高学生学习积极性.二、以实验要求为主线，既动手操作，又动脑思考，努力探索圆锥体制的计算方法。这样的学习，学生学得活，记得牢，既发挥教师的主导作用，又体现了学生的主体地位。学生在学习过程中，始终是一个探索者、研究者、发现者，并获得了富有成效的学习体验.只是，这节课学生是在教师预设引导中探究。为什么要学的疑念，怎样学的策略，可能还不够突显，与学生生活联系还不是很紧密的。

学生的问题意识不强，都有待探究.

第三篇：圆锥体体积教学设计

《圆锥的体积》教学设计

合方小学祝艳欣

【教材分析】:

《圆锥的体积》是人教版小学数学六年级下册第二单元第42-43页内容，圆锥在日常生活和生产中应用非常广泛,《圆锥的体积》是在学生学习了圆柱的体积和认识圆锥的基础上进行的教学，是小学阶段学习几何知识的最后部分，是几何知识的综合运用。掌握这部分知识，不仅有利于学生全面掌握长方体、正方体、圆柱和圆锥之间的本质联系、提高解决实际问题的能力, 发展学生的空间观念,还可为以后学习复杂形体知识打下扎实基础。

【教学目标】:

1、理解并掌握圆锥的体积公式，能够正确运用公式计算圆锥的体积，解决生活中的一些实际问题。

2、通过猜测、操作、验证结论的科学探究过程，在自主研究的基础上理解并掌握圆锥的体积公式。

3、增强自主探究新知的意识，体验学习数学的价值，发展数学思考能力；培养学生乐于学习、勇于探索的情趣。

【现代教学手段运用】

通过多媒体课件的运用，为学生提供更为丰富的学习资源，改变学生的学习方式，增强学生的学习兴趣。

【教学重点】

探索并掌握圆锥体积的计算公式，会正确地计算。

【教学难点】:

理解和掌握等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系，以及圆锥体积公式的推导过程。

【教学准备】:

多媒体课件、等底等高和不等底不等高的圆柱体和圆锥体容器、沙子。

【教学过程】:

一、创设情境，悬疑激趣。

1、比比谁最聪明

狐狸和小白兔来帮山羊伯伯搬运盖房的木材，狐狸抢先选择了圆柱形木材，小白兔笑了笑，选择了圆锥形木材，狐狸占到便宜了吗？（课件出示：圆柱形木材和圆锥形木材底面半径都是3分米，高都是2分米）

2、揭示课题，明确本节课的学习任务：

（1）、先让学生想解决的办法：对于谁更聪明，我们怎么来判断呢？你有什么方法？（让学生知道要判断谁更聪明需求出它们的体积）

（2）、这节课我们就一起来研究圆锥体积的计算方法。

二、探究新知

1、自主探索，获取知识

（1）、确定类比对象。“你认为圆锥的体积可能与哪种立体图形的体积有关？”

（2）、回忆:长方体、正方体和圆柱的体积都可以用一个什么公式表示？

（3）、想一想：圆锥的体积能不能用“底面积x高”来计算？

（4）、学生实验

第一、比较圆柱和圆锥是否等底等高？

第二、在“等底等高”的条件下通过装沙子实验比较圆锥与圆柱的体积。

第三、在“不等底不等高”的条件下做装沙子实验比较圆锥与圆柱的体积。

（6）、汇报实验结果。学生的实验结果如下：

①用底面积相等高也相等的圆柱和圆锥，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，倒了三次，正好装满。

②用不等底或高不相等的圆柱和圆锥，圆锥体容器装满沙土往圆柱体容器里倒，不是三次正好装满。

2、得出结论：只有等底等高的圆柱和圆锥才存在着一定的倍数关系。

3、播放课件（重点理解：等底等高）

4、推导公式

（1）根据等底、等高的圆柱体和圆锥体体积之间的倍数关系，你能得出圆锥体的体积公式吗？

（2）播放课件：圆锥体的体积可以怎么表示？

（3）想一想，讨论一下。

通过得出的公式你知道要求圆锥的体积必须知道什么吗？

三、运用公式，解决实际问题。

1、一个圆锥形的零件，底面积是19平方厘米，高是12厘米。这个零件的体积是多少？（直接放手让学生尝试练习）

2、解决开始时提出的问题，现在你知道狐狸和小白兔谁最聪明了吗？

3、出示课件

（一）填空(口答)：

1、圆锥的体积=（），用字母表示是（）。

2、圆柱体积的与和它（）的圆锥的体积相等。

3、一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆柱的体积是3立方分米，圆锥的体积是（）立方分米。

4、一个圆锥的底面积是3平方厘米，高是6厘米，体积是（）立方厘米。

（二）判断：

1、圆柱体的体积一定比圆锥体的体积大（）

2、圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体的（）

（）

4、等底等高的圆柱和圆锥，如果圆柱体的体积是27立方米，那么圆锥的体积是9立方米。（）

4、在打谷场上，有一个近似于圆锥的小麦堆，测得底面直径是４米，高是1.2米。每立方米小麦约重735千克，这堆小麦约有多少千克？（得数保留整千克）

3、正方体、长方体、圆锥体的体积都等于底面积×高。

四、全课总结，课外延伸。

让学生说说这节课的收获，并在课后从生活中找一个圆锥形物体，想办法计算出它的体

积。

五、板书设计

圆锥的体积

圆锥的体积=等底等高的圆柱体积的三分之一

=底面积×高×1/3

V=1/3sh

第四篇：《圆锥体体积的练习》教学反思

《圆锥体体积的练习》教学反思

圆锥的体积练习内容包括利用公式直接计算圆锥的体积，利用公式求圆锥形物体的容积。能灵活地运用公式解决一些简单的实际问题，提高解决问题的能力。

我在教学时，发现大部分学生对于直接利用公式计算的题目掌握的很好了。并且我要求学生在做图形题时，审题要做到以下几点：

1.弄清物体的形状，题目给出的数量单位是否统一。

2.弄清题目给出了哪些已知条件？通过这些条件你能提出哪些问题？

3.弄清问题求什么？与已知条件之间有什么联系？找出数量关系。

4.根据数量关系列式解答。

但是也有一些不足，例如：已知底面周长和高求体积；或已知体积和底面半径求高这种变式题，还有部分学生不熟练。

第五篇：圆锥体体积公式的证明

圆锥体体积公式的证明

证明需要几个步骤来解决：

1)圆柱体的微分单元是三棱柱, 而圆锥体的微分单元是三棱锥。

所以, 只要证明三棱锥的体积，是等底等高的三棱柱的体积的1/3，即可知题目所求正确。

2）如图，一个三棱柱可以切分成三个三棱锥：

(上图中,第二个“等底等高”的“高”是横着的，而“底”是竖着的。)

现在需要证明，这三个三棱锥，体积都是相等的，也就是各自的体积都是图中三棱柱的体积的1/3.证明需要的命题是：底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。

3）如图，底面全等，且高度相等的三棱锥，体积必然相同。这个命题的证明，需要基本的一个原理：祖暅原理。

注释：祖暅原理

祖暅原理也就是“等积原理”。它是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之(429-500)的儿子祖暅(gèng)首先提出来的。

祖暅原理的内容是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为“卡瓦列里原理”。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

祖暅原理的思想

我们都知道“点动成线，线动成面，面动成体”这句话，直线由点构成，点的多少表示直线的长短；面由线构成，也就是由点构成，点的多少表示面积的大小；几何体由面构成，就是由线构成，最终也就是由点构成，点的多少也表示了体积的大小，要想让两个几何体的体积相等，也就是让构成这两个几何体的点的数量相同，祖暅原理就运用到了它。

两个几何体夹在两平行平面中间，可以理解为这两个几何体平行面间的的高度相等。两平行面之间的距离一定，若视距离为一条线段，那么这个距离上就有无数个点，过一个点，可以画出一个平行于两平行面的截面，若两几何体在被过每一点的平行截面截出的截面面积两两相等，则说明两几何体在同一高度下的每两个截面上的点的数量相同。有无数个截面，同一高度每两个几何体的截面上的点的数量相同，则说明，这两个几何体所拥有的点数量相同，那么也就是说，它们的体积相同。所以我们可以用这种思想来理解祖暅原理。

这个原理说：如果两个高度相等的立体，在任何同样高度下的截面面积都相等，那么，这两个立体的体积就相等。

所以，下图可证明：若两三棱锥的底面（三角形）全等，高度相等，那么它们在任何高度上的截面（三角形）也必然全等。于是可以根据祖暅原理断言：

等底等高的三棱锥，体积都相等：

三棱柱的体积，与立方体的体积一样，是底面积乘以高，（三棱柱可来自于半个立方体）：

知道有关三角形的相似、比例、全等的一些定理，就可深入完成题目的证明。

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下面这个图, 说明了一个直接的、有趣的推论：

注意上面这个图，在推算球体的体积的时候，还可以用到。

下面再给几个有趣的推论，直到求出球体的体积和表面积公式:

1)金字塔锥的体积也是:(1/3)x底面积x高.这是由于金字塔锥是两个三棱锥构成的:

2）下面的图说明，球体的微分单元是金字塔锥体。

由此可知，球体的体积 =（1/3）x 球的表面积 x 球半径.上面的公式说明，球体的体积和表面积，只要知道其中一个信息，那么就可知道另一个信息。实际上，根据球体半径推算球体的体积，可以更先一步。

3）球体的体积。

先看半球的体积：

这还要用到祖暅原理。上图中，左边的内部被挖空一个圆锥体的圆柱体，我们前面见过，右边是一个半球，高度（球半径）与左边的挖空圆柱体高度相同，都是R.根据图，在任何一个高度h上的水平截面，左边的被截环（绿色）面积是：πR图里，被截的圆（绿色）面积是:πr2 = π(R2-h2).可见，两形体在任何高度上的截面面积都是相等的。于是，根据祖暅原理，上面两形体的体积相同。

左边形体的体积=圆柱体的体积-圆锥体的体积=(2/3)πR3.-πh2.而右边的

所以，右边的半球的体积也是=(2/3)πR3.可知整个球体的体积公式是：

V=(4/3)πR3.再根据球的体积与表面积的关系公式，可得球体的表面积公式为：

S=4πR2.(我们用直观方法得出了球的体积公式。学了微积分的人容易知道用下图的微积分算法求出球的体积公式）