实数

考点一、实数的概念及分类

（3分）

1、实数的分类

正有理数

有理数

零

有限小数和无限循环小数

实数

负有理数

正无理数

无理数

无限不循环小数

负无理数

整数包括正整数、零、负整数。

正整数又叫自然数。

正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。

2、无理数

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；

（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；

（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）

考点二、实数的倒数、相反数和绝对值

1、相反数

实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=-b，反之亦成立。

2、绝对值

一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根

1、平方根

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a的平方根记做“”。

2、算术平方根

正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

（0）

；注意的双重非负性：

-（<0）

03、立方根

如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根（或a的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

考点四、科学记数法和近似数

1、有效数字

一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。

2、科学记数法

把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。

考点五、实数大小的比较

1、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

2、实数大小比较的几种常用方法

（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

（2）求差比较：设a、b是实数，（3）求商比较法：设a、b是两正实数，（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

（5）平方法：设a、b是两负实数，则。

考点六、实数的运算

（做题的基础，分值相当大）

1、加法交换律

2、加法结合律

3、乘法交换律

4、乘法结合律

5、乘法对加法的分配律

6、实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？

实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。

7、有理数除法运算法则就什么？

有理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。

8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？

相同因数相乘的积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作:

an9、有理数乘方运算的法则是什么？

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。

10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？

去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。

不等式与不等式组知识点归纳

一、不等式的概念

1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5．用数轴表示不等式的解集。

二、不等式的基本性质

1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

说明：

①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。

②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

例:

1．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是。

2．已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是。

3．不等式组的整数解为。

4．如果关于x的不等式（a-1）x

5．已知关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是。

6．当

时，代数式的值不大于零

7.若<１，则

０（用“>”“=”或“”号填空）

8.不等式>１，的正整数解是

9.不等式>的解集为<３，则

10.若>>，则不等式组的解集是

11.若不等式组的解集是－１<<１，则的值为

12.有解集２<<３的不等式组是

（写出一个即可）

13.一罐饮料净重约为３００g，罐上注有“蛋白质含量”其中蛋白质的含量为

_____

g

14.若不等式组的解集为>３，则的取值范围是三、一元一次不等式（重点）

1．一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2．解一元一次不等式的一般步骤：

（1）去分母

（2）去括号

（3）移项

（4）合并同类项

（5）将x项的系数化为1

例：

一、判断题（每题1分，共6分）

1、a＞b，得a＋m＞b＋m

（）

2、由a＞3，得a＞

（）

3、x

=

2是不等式x＋3＞4的解

（）

4、由－＞－1，得－＞－a

（）

5、如果a＞b，c＜0，则ac2＞bc2

（）

6、如果a＜b＜0，则＜1

（）

二、填空题（每题2分，共34分）

1、若a＜b，用“＞”号或“＜”号填空：a－5

b－5；

－

－；－1＋2a

－1＋2b；6－a

6－b；

2、x与3的和不小于－6，用不等式表示为；

3、当x

时，代数式2x－3的值是正数；

4、代数式＋2x的不大于8－的值，那么x的正整数解是；

5、如果x－7＜－5，则x

；如果－＞0，那么x；

6、不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是；

7、一个长方形的长为x米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x应满足的不等式为；

8、点A（－5，y1）、B（－2，y2）都在直线y

=

－2x上，则y1与y2的关系是；

9、如果一次函数y

=（2－m）x＋m的图象经过第一、二、四象限，那么m的取值范围是；

四、一元一次不等式组

（难点）

1、一元一次不等式组的概念：

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。

3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

例：

一、选择题

1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（）

A．

B．

C．

D．

2．下列说法正确的是（）

A．不等式组的解集是5

B．的解集是－3

C．的解集是x=2

D．的解集是x≠3

3．不等式组的最小整数解为（）

A．－1

B．0

C．1

D．4

4．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（）

A．3

B．－3

C．－5

D．－5

5．不等式组的解集是（）

A．x>2

B．x<3

C．2

D．无解

二、填空题

6．若不等式组有解，则m的取值范围是______．

7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____．

8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子．

9．若不等式组的解集是－1

三、解答题

10．解不等式组

11．若不等式组无解，求m的取值范围．

12．为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划．如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约了2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度．若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天计划用电量在什么范围内？

易错点分析：

易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．

例1

解不等式组

错解：由①，得x＞1，由②，得x＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x＜1．

错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x＜－2或－2＜x＞1等，这些都是错误的．

正解：由①，得x＞1．由②，得x＜－2，所以此不等式组无解．

易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”．

例2解不等式组

错解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．由于x＞－的范围较大，所以不

等式组的解集为x＞－．

错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a＜b），①

②

③

④

利用数可确定它们的解集分别为

①x＞b，②x＜a，③a＜x＜b，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．

正解：解不等式①，得x＞－．解不等式②，得x＞5．

所以不等式组的解集为x＞5．

易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法．

例3

解不等式组

错解：由①＋②，得2x≤14，即x≤7，所以不等式组的解集为x≤7．

错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．

正解：由不等式①，得x≥－17，即x≥－．

由不等式②，得x≤－3，即

x≤－．

所以原不等式组的解集为－≤x≤－．

易错点4：在去分母时，漏乘常数项．

例4

解不等式组

错解：由①，得x＜2．在x－21＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋2≥－2x．于是有x≥－，所以原不等式组的解集为2＞x≥－．

错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接．

正解：由①，得x＜2．在＋2≥－x的两边同乘2，得x－1＋4≥－2x．于是有x≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x＜2．

易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错．

例5

解关于x的不等式（－a）x＞1－2a．

错解：去分母，得(1－2a)x＞2(1－2a)．将不等式两边同时除以（1－2a），得x＞2．

错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a)，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．

正解：将不等式变形，得(1－2a)x＞2(1－2a)．

（1）当1－2a＞0时，即a＜时，x＞2；

（2）当1－2a＝0时，即a＝时，不等式无解；

（3）当1－2a＜0时，即a＞时，x＜2．

例6

如果关于x的不等式(2a－b)x＋a－5b＞0的解集是x＜，则关于x的不等式ax＞b的解集是_________．

错解：因为不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，所以＝，则有

解得从而知ax＞b的解集是x＞．

错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错误得到ax＞b的解集是x＞．

正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0的解集是x＜，得解得所以ax＞b的解集是x＜．

易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．

例7

若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________________．

错解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a＞3．

错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a＝3，有x≤3及

x＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况．

正解：由得又因为不等式组无解，所以a的取值范围是a≥3．

例8

已知关于x的不等式组的整数解共有5个，则

a的取值范围是_________．

错解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2，这

5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a≤－3(或a＝－3)．

错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a≤x＜2中有5个整数解时，a虽不唯一，但也有一定的限制，a的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定

a的取值范围时扩大了解的范围．

正解：由解得又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a≤x＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a的取值范围是－4＜a≤－3．

总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊．

中考考点解读：

1.（2012山东滨州3分）不等式的解集是【

】

A．

B．　　C．

D．空集

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解得，解得。按同大取大，得不等式组的解集是：．故选A。

2.（2012山东滨州3分）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如

果他骑车和步行的时间分别为分钟，列出的方程是【

】

A．　　B．

C．　　D．

【答案】D。

【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组。

【分析】李明同学骑车和步行的时间分别为分钟，由题意得：

李明同学到学校共用时15分钟，所以得方程：。

李明同学骑自行车的平均速度是250米/分钟，分钟骑了250米；步行的平均速度是80米/分钟，分钟走了80米。他家离学校的距离是2900米，所以得方程：。

故选D。

3.（2012山东德州3分）已知，则a+b等于【

】

A．3

B．

C．2

D．1

【答案】A。

【考点】解二元一次方程组。

【分析】两式相加即可得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案：a+b=3。故选A。

4.（2012山东东营3分）方程有两个实数根，则k的取值范围是【

】．

A．

k≥1

B．

k≤1

C．

k>1

D．

k<1

【答案】D。

【考点】一元二次方程的意义和根的判别式。

【分析】当k=1时，原方程不成立，故k≠1，当k≠1时，方程为一元二次方程。

∵此方程有两个实数根，∴，解得：k≤1。

综上k的取值范围是k＜1。故选D。

5.（2012山东菏泽3分）已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为【

】

A．±2

B．

C．2

D．

【答案】C。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值，算术平方根。

【分析】∵是二元一次方程组的解，∴，解得。

∴。即的算术平方根为2。故选C。

6.（2012山东莱芜3分）对于非零的实数a、b，规定a⊕b＝－．若2⊕(2x－1)＝1，则x＝【

】

A．

B．

C．

D．－

【答案】A。

【考点】新定义，解分式方程。

【分析】∵a⊕b＝－，2⊕(2x－1)＝1，∴2⊕(2x－1)＝。

∴。

检验，合适。故选A。

7.（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，则代数式的值为【

】

A．9

B．±3

C．3

D．5

【答案】C。

【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。

【分析】∵m、n是方程x2＋2x＋1＝0的两根，∴m＋n=，mn=1。

∴。故选C。

8.（2012山东临沂3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】D。

【考点】配方法解一元二次方程。

【分析】。故选D。

9.（2012山东临沂3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是【

】

A．　　B．

C．　　D．

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，在数轴上表示为：

故选A。

10.（2012山东临沂3分）关于x、y的方程组的解是，则的值是【

】

A．5　　B．3　　C．2　　D．1

【答案】D。

【考点】二元一次方程组的解和解二元一次方程组，求代数式的值。

【分析】∵方程组的解是，∴。

∴。故选D。

11.（2012山东日照4分）已知关于x的一元二次方程(k－2)2x2＋(2k＋1)x＋1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【

】

(A)

k>且k≠2

(B)k≥且k≠2

(C)

k

>且k≠2

(D)k≥且k≠2

【答案】C。

【考点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义。

【分析】∵方程为一元二次方程，∴k－2≠0，即k≠2。

∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，∴（2k＋1）2－4（k－2）2＞0，即（2k＋1－2k＋4）（2k＋1＋2k－4）＞0，∴5（4k－3）＞0，k＞。

∴k的取值范围是k＞且k≠2。故选C。

12.（2012山东日照4分）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒.则这个敬老院的老人最少有【

】

（A）29人

（B）30人

（C）31人

（D）32人

【答案】B。

【考点】一元一次不等式组的应用。

【分析】设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x＋28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组：，解得：29＜x≤32。

∵x为整数，∴x最少为30。故选B。

13.（2012山东泰安3分）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是【

】

A．

B．

C．

D．

【答案】C。

【考点】解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，由①得，＞3；由②得，≤4。

∴其解集为：3＜≤4。

不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个。在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示。因此，3＜≤4在数轴上表示为：

故选C。

14.（2012山东潍坊3分）不等式组的解等于【

】．

A．

1

B．

x>1

C．

x<2

D．

x<1或x>2

【答案】A。

【考点】解一元一次不等式组。

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）。因此，解2x＋3＞5得，x＞1；解3x－2＜4得，x＜2，∴此不等式组的解集为：1＜x＜2。故选A。

15.（2012山东潍坊3分）下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为【

】．

A．32

B．126

C．135

D．144

【答案】D。

【考点】分类归纳（数字的变化类），一元二次方程的应用。

【分析】由日历表可知，圈出的9个数中，最大数与最小数的差总为16，又已知最大数与最小数的积为192，所以设最大数为x，则最小数为x－16。

∴x（x－16）=192，解得x=24或x=－8（负数舍去）。

∴最大数为24，最小数为8。

∴圈出的9个数为8，9，10，15，16，17，22，23，24。和为144。故选D。

第8章

整式的乘法与因式分解

整式的乘法

同底数幂的乘法：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n都是正整数）

幂的乘方：

(am)n

=

a

m

n（m、n都是正整数）

积的乘方：(ab)n

=

a

n

b

n（n为正整数）

同底数幂的除法：

a

m

÷

a

n

=

a

m

n（a

≠

0，m、n都是正整数，并且m＞n）

零指数幂：a0

=

1（a

≠

0）

单项式与单项式相乘，单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘。（利用运算律和上面的运算性质解答）

乘法公式

平方差公式：（a+b）（a-b）=

a2

b2

完全平方公式：（a+b）2

=

a2

+

2ab

+

b2

（a-b）2

=

a2

2ab

+

b2

添括号法则：a+b+c

=

a+(b+c)

a-b-c

=

a

(b+c)

举例：a-b+c

=

a

(b-c)

因式分解（几个整式乘积的形式）

式子的变形：这个多项式的因式分解

=

把这个多项式因式分解。

1、提公因式法（多项式各项有公因式）

2、公式法（3个乘法公式左右互换）

3、十字相乘法（补充）

分式

9.1

分式：A/B。（A、B表示两个整式，并且B中含有字母。B

≠

0分式才有意义。）

分式的性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

约分、最简分式、通分、最简公分母。

9.2

分式的运算

乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

分式的乘方：要把分子、分母分别乘方。

整数指数幂：正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂（a-n

=

1/an,a≠0）。

归结：

am

·

an

=

a

m

+

n（m、n是整数）

(am)n

=

a

m

n（m、n是整数）

(ab)n

=

a

n

b

n（n是整数）

备注：分子、分母是多项式时，通常先分解因式，再约分。

9.3

分式方程

概念：分母中含未知数的方程。

最简公分母不为0→是分式方程的解；

步骤：分式方程

→

整式方程

→

X

=

a

→

最简公分母为0

→不是分式方程的解。

去分母

解整式方程

检验

相交线与平行线知识点精讲

1.相交线

同一平面中，两条直线的位置有两种情况：

相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：

1，2，3，4；

邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；

对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；

1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。

所以，对顶角相等

例题：

1.如图，31＝23，求1，2，3，4的度数。

2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且，则_______，__________。

垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中ABCD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。

例题：

如图，ABCD，垂足为O，EF经过点O，1＝26，求EOD，2，3的度数。

垂线相关的基本性质：

（1）

经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；

（2）

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

（3）

从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？

2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

如上图，直线a与直线b平行，记作a//b

3.同一个平面中的三条直线关系：

三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。

（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；

例题：

如图，直线AB,CD,EF相交于O点，DOB是它的余角的两倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度数。

（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；

*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；

*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；

指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。

两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：

两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；

两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等

两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。

如上图，指出相等的各角和互补的角。

例题：

1.如图，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度数。

2.如图所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度数。

平行线判定定理：

两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。

两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：

平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行

如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD

平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行

如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD

平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行

如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD

平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行

这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。

平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行

例题：

1.已知：AB//CD，BD平分，DB平分，求证：DA//BC

2.已知：AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且，求证：。

（3）有三个交点

当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：

你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？

三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。

（4）没有交点：

这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：

即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。

例题：

如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？

一．选择题：

1.如图，下面结论正确的是（）

A.是同位角

B.是内错角

C.是同旁内角

D.是内错角

2.如图，图中同旁内角的对数是（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

3.如图，能与构成同位角的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如图，图中的内错角的对数是（）

A.2对

B.3对

C.4对

D.5对

5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少，那么这两个角是（）

A.B.都是

C.或

D.以上都不对

二．填空

1．已知：如图。求证：。

证明：（）

（）

（）

（）

2．已知：如图，COD是直线。求证：A、O、B三点在同一条直线上。

证明：COD是一条直线（）

___________（）

（）

____________________

_______________（）

三．解答题

1．如图，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=（至少用三种方法）

2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。

3．已知：如图，且B、C、D在一条直线求证：

4．已知：如图，DE平分，BF平分，且。

求证：

5．已知：如图。

求证：

6．已知：如图。

求证：

相交线与平行线

10.1

相交线

邻补角、对顶角

对顶角相等

直线与直线互相垂直，记作。

垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

垂线段最短。

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

同位角、内错角、同旁内角

10.2

平行线及其判定

10.2.1

平行线

在同一平面内，当直线与直线不相交时，我们就说直线与直线互相平行，记作.平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

即如果，那么.10.2.2

平行线的判定

判定方法1

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

同位角相等，两直线平行。

判定方法2

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

内错角相等，两直线平行。

判定方法3

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

同旁内角互补，两直线平行。

10.3

平行线的性质

性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

两直线平行，同位角相等。

性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

两直线平行，内错角相等。

性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。

10.4

平移

相

交

线

平行公理

同位角、内错角、同旁内角

两条直线被第三条直线所截

两条直线

相交

垂线及其性质

邻补角、对顶角

点到直线的距离

对顶角相等

平移

判定

性质

平

行

线