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九年级数学

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练

一、选择题

1.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于()

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米

D．100tan55°米

2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是()

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC＝1.2tan10°

米

D.AB＝

米

3.(2019•湖南湘西州)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是

A．10

B．8

C．4

D．2

4.（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为

（）

A.B.C.D.5.在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2.82米，△BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果保留小数点后一位．参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)()

A．1.2米

B．1.5米

C．1.9米

D．2.5米

6.（2020·咸宁）如图，在矩形中，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（）

A.B.C.D.7.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)()

A.30.6

B.32.1

C.37.9

D.39.4

8.(2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx

B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx

D．acosx+bsinx

二、填空题

9.如图，在△ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

10.齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

11.某电动车厂新开发的一种电动车如图7所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果保留小数点后一位．参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)

12.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

13.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10

m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1

m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)

14.(2019•江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．

15.（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．

16.【题目】（2020·哈尔滨）在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为

.三、解答题

17.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.(1)求新坡面的坡角α；

(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

18.阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CD⊥AB于点D，在Rt△ADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，∴BD＝c－bcosA.在Rt△BDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)

利用上述结论解答下列问题：

(1)在△ABC中，∠A＝45°，b＝2，c＝2，求a的长和∠C的度数；

(2)在△ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．

19.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；

(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

20.如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值.21.如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为

m，随后无人机从A处继续水平飞行30

m到达A′处．

(1)求A，B之间的距离；

(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

22.数学建模某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为如图12①所示的滑板车(示意图)或图②的自行车(示意图)，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30

cm，CE＝40

cm，∠ABC＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行，则图①变形到图②后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

23.(2019•铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)

24.阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ　　　tan(α±β)＝

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：

(1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为

米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

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九年级数学

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练-答案

一、选择题

1.【答案】C　[解析]

∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．

故选C.2.【答案】

B　【解析】∵斜坡AB的坡角是10°，∴选项A是错误的；∵坡度＝坡比＝坡角的正切，∴选项B是正确的；∵AC＝

米，∴选项C是错误的；∵AB＝

米，∴选项D是错误的．

3.【答案】D

【解析】∵∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，∴BC=2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD=BD=7x，∴AC=12x，∵AC=12，∴x=1，∴BC=2；故选D．

4.【答案】

B

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，∴在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，∵AC＝2，CB＝3，∴AB，∴sin∠ABC，∴∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．

5.【答案】B　[解析]

设CD的长为x米．在Rt△BCD中，∠BDC＝α＝18°.∵tan∠BDC＝，∴BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.在Rt△ACD中，∠ADC＝β＝66°.∵tan∠ADC＝，∴AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.∵AB＝AC－BC，∴2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.6.【答案】C

【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，∵点E是BC中点，∴BE=CE=EF=，∴∠EFC=∠ECF，AE=，∵∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∴∠ECF=∠AEB，∴==，因此本题选C．

7.【答案】D　【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EF⊥AB于点F，过点B作BH⊥ED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在Rt△BCG中，∵BC＝12，iBC＝＝，∴∠BCG＝30°，∴BG＝6，CG＝6，∴BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∵∠AEF＝α＝45°，∴AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，∴AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．

8.【答案】D

【解析】如图，过点A作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∴∠EAB=x，∴∠FBA=x，∵AB=a，AD=b，∴FO=FB+BO=a•cosx+b•sinx，故选D．

二、填空题

9.【答案】2　[解析]

过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示．

设AC＝x，则AB＝x.在Rt△ACD中，AD＝AC·sinC＝x，CD＝AC·cosC＝x.在Rt△ABD中，AB＝x，AD＝x，∴BD＝＝x.∴BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，∴x＝2.10.【答案】1.4　【解析】如解图，作AD⊥MN于点D，由题意得，AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝7

m，CD＝＝＝＝5.6

m，∴BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4

m.11.【答案】1.6　[解析]

如图，过点A作AD⊥MN于点D.由题意可得AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，∴BD＝≈，CD＝≈，∴BC＝BD－CD≈1.6(m)．

12.【答案】11　【解析】∵∠A＝30°，∴PM＝PA＝9海里．∵∠B＝55°，sinB＝，∴0.8＝，∴PB≈11海里．

13.【答案】10＋1　【解析】如解图，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则AE＝CD＝10

m，在Rt△AEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10

m，∴BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.14.【答案】

【解析】如图，过点B作BC1⊥AN，垂足为C1，BC2⊥AM，交AN于点C2，在Rt△ABC1中，AB=2，∠A=60°，∴∠ABC1=30°，∴AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在Rt△ABC2中，AB=2，∠A=60°，∴∠AC2B=30°，∴AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，当△ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时

15.【答案】

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与⊙O相切于点B，所以AB⊥BC，所以∠ABC＝90°．在Rt△ABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在Rt△ABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在Rt△OBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．

16.【答案】5或7

【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在△ABD中

tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD－

CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在△ABD中

tan∠ABD＝，∴＝解得，∴BC＝BD＋

CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．

三、解答题

17.【答案】

解：(1)∵新坡面AC的坡度为1∶，∴tanα＝＝，∴α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)

(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．

理由如下：

如解图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，∵坡面BC的坡度为1∶1，∴BD＝CD＝6米，(4分)

∵新坡面AC的坡度为1∶，∴CD∶AD＝1∶，∴AD＝6米，(6分)

∴AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．

答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)

18.【答案】

[解析]

(1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；

(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2)2＋22－2×2

×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．

∵22＋22＝(2)2，即a2＋c2＝b2，∴△ABC为直角三角形．

又∵a＝c＝2，∴∠C＝45°.(2)∵b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，∴c2－c＋1＝0，解得c＝.∵c＞a＞b，∴c＝.19.【答案】

解：(1)∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠EAB＝∠B＝25°.又∵∠C＝90°，∴∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.(2)∵∠C＝90°，∴sin∠CAE＝＝.∵CE＝2，∴AE＝3，∴AC＝.∵EA＝EB＝3，∴BC＝5，∴tanB＝＝.20.【答案】

[解析]

(1)过点A作AE⊥BC于点E，根据cosC＝，求出∠C＝45°，根据AC＝，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝，求出BE的长；

(2)根据AD是△ABC的中线，求出CD的长，得到DE的长，进而求得sin∠ADC的值．

解：(1)如图，过点A作AE⊥BC于点E.∵cosC＝，∴∠C＝45°.在Rt△ACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，∴AE＝CE＝1.在Rt△ABE中，tanB＝，即＝，∴BE＝3AE＝3，∴BC＝BE＋CE＝4.(2)∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝2，∴DE＝CD－CE＝1.∵AE⊥BC，DE＝AE，∴∠ADC＝45°，∴sin∠ADC＝.21.【答案】

解：(1)如解图，过点D作DE⊥AA′于点E，由题意得，AA′∥BC，∴∠B＝∠FAB＝30°，(2分)

又∵AC＝60

m，在Rt△ABC中，sinB＝，即＝，∴AB＝120

m.答：A，B之间的距离为120

m．(4分)

(2)如解图，连接A′D，作A′E⊥BC交BC延长线于E，∵AA′∥BC，∠ACB＝90°，∴∠A′AC＝90°，(5分)

∴四边形AA′EC为矩形，∴A′E＝AC＝60

m，又∵∠ADC＝∠FAD＝60°，在Rt△ADC中，tan∠ADC＝，即＝，∴CD＝20

m，(8分)

∴DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50

m，(10分)

∴tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为.(12分)

22.【答案】

解：图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了变化．

如图①，过点D作DF⊥BE于点F，则BE＝2BF.由题意知BD＝DE＝30

cm，∴BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，∴BE＝2BF≈36(cm)，则BC＝BE＋CE≈76(cm)．

如图②，过点D作DM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，则四边形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30

cm，EN＝DM.在Rt△DBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，∴EN≈24

cm.在Rt△CEN中，∵CE＝40

cm，∴CN≈32

cm，则BC≈18＋30＋32＝80(cm)．

80-76＝4(cm)．

故图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了改变，增加了约4

cm.23.【答案】

由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，在Rt△APM和Rt△BPM中，tanA==，tanB==1，∴AM==h，BM=h，∵AM+BM=AB=10，∴h+h=10，解得h=15–5≈6．

答：h约为6km．

24.【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在Rt△BDE中，∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

∴

BE＝14＋7，(6分)

又∵AE＝DC＝，∴AB＝BE＋AE＝14＋7＋＝14＋8(米)，(7分)

答：纪念碑的高度是(14＋8)米．(8分)