下载文档第一篇：鲁教版九年级数学上册第二章直角三角形的边角关系单元测试（最终版）
第二章直角三角形的边角关系单元测试
一.单选题（共10题；共30分）
1.sin45°的值等于()
A.B.C.D.2.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）
A.msin40° B.mcos40° C.mtan40° D.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）
A.B.C.如图放置，则
D.4.正方形网格中，的值为（）
A.B.C.D.2 5.用计算器验证，下列等式中正确的是（）
A.sin18°24′+sin35°26′=sin54° B.sin65°54′-sin35°54′=sin30° C.2sin15°30′=sin31° D.sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ 6.四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长 250m，200m，（平直的）分别为300m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法（）
A.A的最高 B.B的最高 C.C的最高 D.D的最高
7.（202_•巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）
A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里
8.若cosα=，则锐角α的大致范围是（）
A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.0°＜α＜90°
9.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）
A.msin35° B.mcos35° C.D.10.（202_•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）
A.1，2，3 B.1，1，C.1，1，D.1，2，二.填空题（共8题；共24分）11.如图，当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为________ m．（精确到0.01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度是________ 米．（结果保留根号）
13.如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=________ 度．
14.小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“﹣”，结果得202_，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________
15.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．
16.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是________
17.（202_•荆州）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．
18.cos240°+cos2α=1，则锐角α=________度．
三.解答题（共6题；共42分）19.（202_•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．
20.如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为12（即tan∠PAB=12，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一条直线上.（1）求此高层建筑的高度OC.(结果保留根号形式.)；
（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度.(人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留3个有效数字.)
21.已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．
22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7）
23.如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD=80°，（AB‖ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）
24.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠ BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据： 2 ≈1.414； 3 ≈1.732.）
答案解析
一.单选题
1.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】
【分析】根据
即可求解．
【解答】故选：B． ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
2.【答案】B
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°． 故选B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】B
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，∴cosA=故选B． =．
【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．
4.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题． 如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．
=
故选A.【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．5.【答案】D
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ．sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ ．
故选D.【分析】本题考查三角函数的加减法运算 ．
6.【答案】B
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【解答】A.的高度为：300×sin30°=150（米）．
B.的高度为：250×sin45°=125 ≈176.75（米）．
C.的高度为：200×sin45°=100 ≈141.4（米）．
D.的高度为：200×sin60°=100 ≈173.2（米）．
所以B的最高 ．
正确的是
故选：B.【分析】利用所给角的正弦值求出每个滑板的高度，比较即可 ．
7.【答案】C
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】【解答】根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=∴sin60°=，=20（海里）．，∴CD=40×sin60°=40×故选：C．
【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．
8.【答案】C
【考点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵cos30°=∴cos45°＜cosα＜cos60°，∴锐角α的范围是：45°＜α＜60°． 故选C．
【分析】理解几个特殊角的度数以及余弦值，根据余弦函数随角度的增大而减小即可作出判断．
9.【答案】A
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：sin∠A= ∴BC=msin35°，∵AB=m，∠A=35°，cos45°=，cos60°=，且＜＜，故选：A．
【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．
10.【答案】D
【考点】解直角三角形
22【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；
B、∵1+1=（2），是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是 =，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确． 故选：D．
【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；
D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．
二.填空题
11.【答案】1.79
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）。故答案为：1.79。
【分析】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用。
12.【答案】53
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∵∠A=30°，∴∠A=∠ACB，∵AB=10，∴BC=AB=10，在R△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10× 32=53 ． 故答案为53 ．
【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．
13.【答案】70
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，∴∠α+20°=90°，即∠α=90°﹣20°=70°． 故答案为70．
【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．
14.【答案】202_
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：∵a﹣2cos60°=202_，∴a=202_．
∴a+2cos60°=202_+1=202_． 故答案为：202_．
【分析】根据错误的运算先确定a的值，然后求出正确的结果．
15.【答案】50
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：∵坡比为1：2.4，∴BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，则AB=AC2+BC2= x2+2.4x2=2.6x，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）． 故答案为：50．
【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．
16.【答案】2114
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AC=2，∴AD=12AC=1，根据勾股定理得：CD= AC2-AD2=3，在Rt△BCD中，CD=3，BD=BA+AD=4+1=5，根据勾股定理得：BC= CD2+BD2=28，则sinB= CDBC=328=2114． 故答案为：2114 ．
【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD=60°，进而确定出∠ACD=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值．
17.【答案】58
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′= ECBE = EC10 =4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）． 故答案为：58．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．
18.【答案】50
【考点】互余两角三角函数的关系
22【解析】【解答】解：∵cos40°+cosα=1，∴α=90°﹣40°=50°．
【分析】根据锐角三角函数的概念，知：互为余角的两个角的余弦平方和等于1．
三.解答题
19.【答案】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．
在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=CPAP，∴CP=AP•tan∠PAC=33x．
在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30×12，∴33x+x=15，解得x=153-32，∴PB=x=153-32，∴航行时间：153-32÷30=3-34（小时）．
答：该渔船从B处开始航行3-34小时，离观测点A的距离最近．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【解析】【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×12，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．
20.【答案】解：（1）∵∠OCA=300，∠COA=900，OA=50 ∴OC=503（2）作PD⊥CO 设PB=x,则AB=2x,OB=DP=50+2x,CD=503-x 00∵∠PCO=4
5，∠CDP=90，∴CD=DP 50+2x=503-x, x=
AP=5·503-13=5015-53≈27.3
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
【解析】【分析】解直角三角形的应用-坡度坡角问题
21.【答案】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2=10，sin∠A=BCAC=610=35；
tan∠A=BCAB=68=34．
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．
22.【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示： 在Rt△ACD中，∵∠C=60°，∴tanC=ADCD=3，∴CD=33AD，在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∴tan∠B=ADBD=1，∴AD=BD，∵BC=BD+CD=30米，∴AD+33AD=30米，解得：AD=15（3﹣3）≈19．
答：河的宽度约为19米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD=33AD，AD=BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．
23.【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．
∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=∠FCD﹣∠ACD=∠CGD+∠CDE﹣∠ACD=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h=0.42+0.74=1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．
24.【答案】试题解析：过点 A作AM⊥EF，过点B作BN⊥EF，垂足分别为点M、N
在Rt ΔACM中，∠ACF=45°，AM=60米 则CM=60米 ∵ CD=100米 ∴ MD=40米
在Rt ΔBDN中，∠BDF=60°，BN=60米 则DN= 603=203 米 ∵ AB //EF ∴∠ BAM= ∠ AMB= ∠ BNM=90 °∴四边形AMNB为矩形 ∴ AB=MN=40+ 203 米
∴ AB ≈74.6米
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】试题分析：过点，然后通过解直角三角形求解即可.
第二篇：直角三角形的边角关系复习与反思
复习与反思
1．判断正误：
(1)当锐角确定时，的三角函数值也就确定了；
（）(2)已知 tan A＝3，且∠A为锐角，则∠A＝30°；
（）(3)cos 75cos(3045)cos 30cos 45；
（）(4)在Rt△ABC中，各边都扩大到原来的5倍，则∠A的三角函数值也都扩大到原来的5倍．
（）2．计算：
(1)cos245°＋sin245°；
(2)1－2 sin230°·cos 30°；
cos45sin30(3)sin 30°·cos 45°＋cos30°·sin 45°；
(4)；
1cos60tan452(5)3 tan 30°＋2 sin 60°－2 tan 45°；
(6)tan2302 sin 60cos 45tan 45cos2301；
tan60(7)(1＋tan 30°－sin 60°)(1－tan 30°＋sin 60°)． 3．填空：
(1)在△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则cos B＝________；(2)在△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝2，则 sin A＝________；(3)在△ABC中，∠C＝90°，3BC＝3AC，则∠A＝________；(4)在△ABC中，∠C＝90°，若AC的长等于斜边上中线的4，则较大锐角的余3弦值是________；
(5)等腰三角形的一腰长为 2 cm，面积为 1 cm2，则顶角的大小为________；
AD(6)在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在线段AC上，∠CBD＝30°，则
DC的值为________；
(7)天河宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方米售价30元，主楼梯道宽2 m，其侧面如图所示(单位：m)，则购买地毯至少需要________元；
(8)在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高是________． 4．选择题：
(1)如图，一台起重机的机身高AB为 20 m，吊杆AC的长为 36 m，吊杆相对于水平线的倾角可以从 30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是________m；
[
] A．36＋20和36 tan 30° B．36 sin 80°和 36 cos 30°
C．36 sin 30°＋20和 36 cos 30° D．36 sin 80°＋20和 36 cos 30°
(2)水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD＝6 m，坝高DE＝24 m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡比i＝1∶2，则坝底BC的长是________m．
[
] A．42
B．302
43C．78
D．3083
5．如图，甲建筑物上从A到E挂有一长为30 m的宣传条幅，在乙建筑物的顶部D点测得A的仰角为45°，E的俯角为30°．求甲、乙两建筑物之间的水平距离BC(答案可带根号)．
6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求sin ∠ACE的值．
7．某森林管理处雇用两架农用直升飞机向森林喷洒药物，两飞机在同一地点出发，甲机沿北偏东 45°方向以 20 km/h的速度飞行，乙机沿南偏东 30°方向以202 km/h的速度飞行．3 h后，乙机发现有部分药品误放在甲机上，而此时，乙机只能沿北偏东 15°的方向追赶甲机．乙机以怎样的速度飞行才能正好赶上甲机？ 答案：
1．(1)√；(2)×；(3)×；(4)×． 2．(1)1；(2)223；(3)
246；(4)
212；(5)232；
63711(6)；(7)． 1223123．(1)(6)1；(2)355；(3)30°；(4)
2h． 32；(5)30°或150°； 331；(7)504；(8)4．(1)D；(2)C． 5．(45153)m． 6．sin∠ACE＝31010．
31010提示：过点 E 作 BD 的垂线，垂足为F．在Rt△CEF中，cos∠ECF＝而∠ACE＋∠ECF＝90°，所以sin∠ACE＝cos∠ECF． 7．乙机以 20(31)km/h的速度飞行才能正好赶上甲机．，提示：如图，∠BAC＝105°，∠B＝45°，∠C＝30°，过点A作BC的垂线，垂足为D． 由AB2023602，得 BD＝60．
由∠C＝30°，得AC＝120，所以CD603．
设乙机应以x km/h的速度飞行，则有
120606033． 20x解得x20(31)．
第三篇：13.直角三角形的边角关系单元备课
直角三角形的边角关系单元备课
一
本单元教材分析：
直角三角形中边角之间的关系，是现实世界中的应用最广泛的关系之一。锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用。如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和叫的关系问题。
利用锐角三角函数解决实际问题，也是本章的重要内容。为使学生交好地利用三角函数知识解决实际问题，本章介绍了解直角三角形的方法，并配置了一些实际应用问题，旨在培养学生解决问题的能力。二
本单元教学目标：
1．使学生经历探索直角三角形中边角之间关系的过程，经历探索30º、45º、60º角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力。2．理解锐角三角形函数的概念，并能够通过实例进行说明。3．会计算含30º，45º，60º角的三角函数只的问题。
4．能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知锐角函数值求出相应的锐角。
5．能够运用三角函数值解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，培养学生分析问题和解决问题的能力。
6．体会数、形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题 三
重点、难点 本单元教学重点：
运用三角函数值解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题，本单元教学难点
利用三角函数知识解决实际问题及实际应用问题
突出重点突破难点的措施
教师在教学中创设符合学生实际的问题情境，感受数学与现实世界的联系。采用多种方法并注重数形结合思想的渗透引导学生逐步从具体问题的研究中提炼出数学思想。四
本单元课时安排 锐角三角函数 2课时 2 30º，45º，60º角的三角函数值 1课时 3 用计算器求锐角函数的三角函数值 2课时 4 解直角三角形 2课时 5 解直角三角形的应用 3课时 6 测量物体的高度 1课时 复习检测根据时间进度自行 五 教学措施 引导学生逐步对具体问题的研究中提炼出数学思想方法，渗透数形结合 2 加强数学建模思想的渗透
引导学生弄清实际问题的意义，然后逐步把实际问题转化成数学问题。4 辅助线的添加，直角三角形的构造的训练要引得和加强。“双直角三角形”的教学要贯穿其中
第四篇：直角三角形的边角关系的应用(二)
直角三角形的边角关系的应用
（二）学习目标：
1.认识仰角、俯角，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.体会解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学问题，并通过作辅助线的方法转化成直角三角形来解。学习重点：
体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.学习难点：
发展学生数学应用意识和解决问题的能力。学习过程：
一、复习回顾
1、如右图：在Rt△ABC中，说出∠A、∠B的三角函数值
2、说出30°、45°、60°的三角函数值
3、测得某坡面垂直高度为2m, 坡面为4m,则坡度为_______，坡角为______。
二、新课讲解
1、定义：仰角：
俯角：
右图：一人站在旗杆前，那么他看旗杆顶的仰角是__________ 他看旗杆底的俯角是__________
2、例题：如图，A、B两座楼相距30米，某同学在A楼家中观测B楼测得B楼的顶部仰角为45°，B楼的底部的俯角为30°，你能求出B楼的高吗？
练习：
1、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为30°，测得乙楼底的俯角为45°，两楼相距60米。求两楼高度
2、右图：在甲楼A处测得乙楼顶的仰角为60°，测得乙楼底的俯角为45°，甲楼高100
米。求乙楼高度和两楼距离
3、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，甲楼的高为50米。求乙楼高度
例
2、右图：小明在A处测得塔顶仰角为45°，前进10米至B处, 测得塔顶仰角为60°。求塔高
练习：
1、右图：小明在A处测得塔顶仰角为30°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为45°。求塔高
2、如图，一飞机从一高炮C的正上方D点2 000 m 经过，沿水平方向飞行，稍后到达B点，此时仰角45°，一分钟后飞机到达A点，仰角为30°，求飞机从B到A的速度?
练习：
1、右图：身高1．80米的同学测得旗杆顶的仰角为60°，他与旗杆的距离为5米 求旗杆高
2、右图：发射塔AB在山顶上，在距离山100米的C处，测得A、B的仰角为60°和45° 求发射塔AB高度
3、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，两楼相距50米 求两楼高度
4、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为45°，两楼相距300米 求两楼高度
5、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，甲楼高50米。求乙楼高度
6、右图：在甲楼顶测得乙楼顶的仰角为30°，在甲楼底测得乙楼顶的仰角为60°，乙楼高50米。求甲楼高度
7、右图：小明在A处测得塔顶仰角为30°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为45°。求塔高
8、右图：小明在A处测得塔顶仰角为45°，前进100米至B处, 测得塔顶仰角为60°，已知山高50米 求CD
1、右图：从楼顶测得C的俯角为30°，D的俯角为45°，已知CD=50米。求楼高
2、右图：太阳光与地面夹角为60°，一棵树与地面夹角为30°，树影长6米。求树高
3、右图：太阳光与地面夹角为60°，一棵树与地面夹角为45°，树影长4米.求树高
4.一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行，上午8时，该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30º的B处。上午9时行至C处，测得灯塔恰好在它的正北方向，此时它与灯塔的距离是 海里。（结果保留根号）
5.在一次实践活动中，小兵从A地出发，沿东北方向行进了5 千米到达B地，然后再沿西北方向行进了5千米到达目的地C。（1）A、C两地的距离为 千米。（2）试确定目的地C在A地的什么地方？
6.某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h（即 m/s）。交通管理部门在离该公路100m处设置了一速度监测点A，在如图所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60º方向上，点C在北偏东 45º方向上。
（1）请在图中画出表示北偏东45º方向的射线AC，并标出点C的位置。
（2）点B的坐标为，点C的坐标为。
(3)我开着车从点B行驶到点C用了15s，请帮我算一算，我的车在限速公路上是否超速行驶？（取1.7)
7.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A到点E挂一长为30米的宣传条幅,在乙建筑物的顶部D点测得条幅顶端A点的仰角为40°,测得条幅底端E的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC的长(精确到0.1米).AFDEBC
8.如图,小山上有一座铁塔AB,在D处测得点A的仰角为∠ADC=60°,点B的仰角为∠BDC=45°;在E处测得A的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).A
B
EDC
9.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A处测得黑匣子B在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C处,测得黑匣子B在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B最近,并求最近距离.北F
6030 AC
10.以申办202_年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B为圆心,半径与ABA等长的圆形危险区,现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶点A的仰角为60°,树的底部B点的俯角为30°, 如图所示,问距离B点8米远的保护物是否在危险区内?
C6030EDB
第五篇：鲁教版八年级数学上册 第一章 因式分解 单元测试
第一章因式分解单元测试
一.单选题（共10题；共30分）
1.4x2-12x+m2是一个完全平方式，则m的值应为（）
A.3 B.-3 C.3或-3 D.9
2.下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（）
A.x2+xy+y2 B.x2-2x-1 C.-x2-2x-1 D.x2+4y2
3.已知多项式分解因式为，则的值为（）
A.B.C.D.4.下列分解因式正确的是（）
A.B.C.D.5.若m＞-1，则多项式m3-m2-m+1的值为（）
A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数
6.下列从左到右的变形，是因式分解的是（）
A.（a+3）（a﹣3）=a2﹣9 B.x2+x﹣5=x（x+1）﹣5
C.x2+4x+4=（x+2）2 D.x2﹣4=（x﹣2）2
7.如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）
A.m=﹣2，n=5 B.m=2，n=5 C.m=5，n=﹣2 D.m=﹣5，n=2
8.﹣（3x﹣1）（x+2y）是下列哪个多项式的分解结果（）
A.3x2+6xy﹣x﹣2y B.3x2﹣6xy+x﹣2y C.x+2y+3x2+6xy D.x+2y﹣3x2﹣6xy
9.不论a，b为何有理数，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值总是非负数，则c的最小值是（）
A.4 B.5 C.6 D.无法确定
10.下列各式从左到右的变形为分解因式的是（）
A.m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B.（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6
C.x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x D.x2+1=x（x+）
二.填空题（共8题；共24分）
11.因式分解：a2﹣2a=________
.12.因式分解：x2﹣1= ________.13.分解因式：9a﹣a3=________ ．
14.分解因式：4x3﹣2x=________
15.分解因式：4ax2﹣ay2=________．
16.分解因式：a3﹣a=________．
17.已知a+b=3，ab=2，则a2b+ab2=________．
18.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=________．
三.解答题（共6题；共42分）
19.已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
20.分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．
21.已知：a﹣b=﹣202_，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．
22.我们对多项式x²+x﹣6进行因式分解时，可以用特定系数法求解．例如，我们可以先设x2+x﹣6=（x+a）（x+b），显然这是一个恒等式．根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab
所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．当然这也说明多项式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．
像上面这种通过利用恒等式的性质来求未知数的方法叫特定系数法．利用上述材料及示例解决以下问题．
（1）已知关于x的多项式x2+mx﹣15有一个因式为x﹣1，求m的值；
（2）已知关于x的多项式2x3+5x2﹣x+b有一个因式为x+2，求b的值．
24.（1）计算：（﹣a2）3b2+2a4b
（2）因式分解：3x﹣12x3
．
答案解析
一.单选题
1.【答案】C
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【分析】根据完全平方式的构成即可得到结果。
【解答】∵4x2-12x+m2=(2x)2-2×2x×3+m2，∴m2=32=9，解得m=
故选C.【点评】解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式。
2.【答案】C
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【解答】x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2；-x2-2x-1=-（x+1)2；x2+4xy+y2=（x+2y)2，故选C．
【分析】由于x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2，-x2-2x-1=-（x+1)2，x2+4xy+y2=（x+2y)2，则说明只有-x2-2x-1能用完全平方公式分解因式．本题考查了运用完全平方公式分解因式：a2±2ab+b2=（a±b)2
．
3.【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【分析】去括号可得。
故
故选择C。
【点评】本题难度较低，主要考查学生对分解因式整式运算知识点的掌握，去括号整理化简即可。
4.【答案】D
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】根据提公因式法和公式法分别分解因式，从而可判断求解．
选项A、，故错误；
选项B、，故错误；
选项C、，故错误；
选项D、，故正确．故选D．
5.【答案】C
【考点】多项式，因式分解的应用，因式分解-分组分解法
【解析】【解答】多项式m3-m2-m+1
=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）
=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．
选：C．
【分析】解此题时可把多项式m3-m2-m+1分解因式，根据分解的结果即可判断
6.【答案】C
【考点】因式分解的意义
【解析】【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9是多项式乘法运算，故此选项错误；
B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，不是因式分解，故此选项错误；
C、x2+4x+4=（x+2）2，是因式分解，故此选项正确；
D、x2﹣4=（x﹣2）（x+2），故此选项错误．
故选：C．
【分析】根据把多项式写出几个整式积的形式叫做因式分解对各选项分析判断后利用排除法求解．
7.【答案】C
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．
故选C
【分析】因式分解的结果利用多项式乘以多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出m与n的值即可．
8.【答案】D
【考点】因式分解-分组分解法
【解析】【解答】解：3x2+6xy﹣x﹣2y=（3x﹣1）（x+2y），A错误；
3x2﹣6xy+x﹣2y=（3x﹣1）（x﹣2y），B错误；
x+2y+3x2+6xy=（3x+1）（x+2y），C错误；
x+2y﹣3x2﹣6xy=﹣（3x﹣1）（x+2y），D正确．
故选：D．
【分析】根据分组分解法把各个选项中的多项式进行因式分解，选择正确的答案．
9.【答案】B
【考点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+c=（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c=（a﹣1）2+（b﹣2）2+c﹣5≥0，∴c的最小值是5；
故选B．
【分析】先把给出的式子通过完全平方公式化成（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c≥，再根据非负数的性质，即可求出c的最小值．
10.【答案】A
【考点】因式分解的意义，因式分解-十字相乘法
【解析】【解答】解：A、符合因式分解的定义，是因式分解，故正确；
B、是多项式乘法，故不符合；
C、右边不是积的形式，故不表示因式分解；
D、左边的多项式不能进行因式分解，故不符合；
故选A.二.填空题
11.【答案】a（a﹣2）
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】【解答】a2﹣2a=a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
12.【答案】（x+1）（x﹣1）
【考点】因式分解-运用公式法
【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x+1）（x﹣1）
【分析】代数式利用平方差公式分解即可．
13.【答案】a（3+a）（3﹣a）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】
9a﹣a3，=“a”
（9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．
【分析】
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．
先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
14.【答案】2x（2x2﹣1）
【考点】公因式
【解析】【解答】解：4x3﹣2x=2x（2x2﹣1）．
故答案为：2x（2x2﹣1）．
【分析】首直接提取公因式2x，进而分解因式得出答案．
15.【答案】a（2x+y）（2x﹣y）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）
=a（2x+y）（2x﹣y），故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
16.【答案】a（a+1）（a﹣1）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
17.【答案】6
【考点】因式分解-提公因式法
【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．
故答案为：6．
【分析】首先将原式提取公因式ab，进而分解因式求出即可．
18.【答案】xy2（y﹣3）2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：原式=xy2（y2﹣6y+9）=xy2（y﹣3）2，故答案为：xy2（y﹣3）2
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
三.解答题
19.【答案】解：∵x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，当x=﹣2时多项式的值为0，即16+20﹣2+b=0，解得：b=﹣34．
即b的值是﹣34．
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】由于x的多项式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一个因式是x+2，所以当x=﹣2时多项式的值为0，由此得到关于b的方程，解方程即可求出b的值．
20.【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），∴x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的两个根，∴2-3+m+7+n=032-24+4m-14+n=0，解得：m=-103n=-83
【考点】因式分解的意义
【解析】【分析】由“多项式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是关于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的两个根”，所以将其分别代入该方程列出关于m、n的方程组，通过解方程组来求m、n的值．
21.【答案】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴ab（a﹣b）=（﹣202_）×（﹣）=202_．
【考点】代数式求值，因式分解-提公因式法
【解析】【分析】首先把代数式因式分解，再进一步代入求得数值即可．
22.【答案】解：（1）由题设知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，故m=n﹣1，﹣n=﹣15，解得n=15，m=14．
故m的值是14；
（2）由题设知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．
解得：k1=32，k2=﹣1．
∴t1=﹣2，t2=3．
∴b1=b2=2kt=﹣6．
【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用
【解析】【分析】（1）根据多项式乘法将等式右边展开有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根据等式两边对应项的系数相等可以求得m的值；
（2）解答思路同（1）．
23.【答案】解：（1）证明：
z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）
=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）
=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2
=﹣7x2+9y2
∵x是3的倍数时，∴z能被9整除．
（2）当y=x+1时，则z=﹣7x2+9（x+1）2
=2x2+18x+9
=2（x+92）2﹣632
∵2（x+98）2≥0
∴z的最小值是﹣632
．
【考点】因式分解-运用公式法，因式分解的应用
【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法计算方法计算，进一步合并求证得出答案即可；
（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函数的性质解决问题．
24.【答案】解：（1）原式=﹣a6b2+2a4b；
（2）原式=﹣3x（x2﹣1）=﹣3x（x+1）（x﹣1）．
【考点】整式的混合运算，提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【分析】（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可得到结果；
（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
