第一篇：高等数学等价替换公式

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较

用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小.x0lim110, 函数是当x时的无穷小.xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小.nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无

都是无穷大量，穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程xx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0，x®x0x®x0f(x)A(x).（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xx0limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x).3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)n1110，limxsin0，limsinx0 nx0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sinx2lim0,x2比3x要快得多;x03xsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在.不可比.limx0x0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.lim1都是无穷小，观察各极限： x1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.(1)如果lim例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.tanx34xtan3x4lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.解limx0tanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim1,lim0,即o(),于是有o().1例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).23．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim存在,则limlim.lim()limlimlimlim.2tan22xex1.；

（2）lim例3（1）求lim x01cosxx0cosx112(2x)2解:（1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x®012x22x2（2）原极限=limx0x22=1

2例4 求limx0tanxsinx.sin32x错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式limxx=0

x0(2x)313x, 2正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x12.故原极限=limx®0(2x)316【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

tan5xcosx1.例5 求limx0sin3x1解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosxx2o(x2).12o(x)1o(x2)25x+o(x)+x+o(x)5x2x2x5.原式=limlimx®0x0o(x)3x+o(x)33x

三、极限的简单计算

1.代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法

x29limx36。例如，limx3x3x33.分子（分母）有理化法 例如，limx2x2532x15limx2x2532x12x15

52x15x53x2532x2 lim

x22x4

limx2x2 x22x21x1x

22 又如，limxx21xlimx0

4.化无穷大为无穷小法

1-3x2+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出

3+7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x242x25

a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

1xx21limx又如，limx1x（分子分母同除x）。1，21x212n5n5n5lim1再如，limn，（分子分母同除）。nn35nn315n5.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

xarctanx10，例如，lim（无穷小量乘以有界量）。x3x2x14x1.又如，求lim2x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x1x22x30又lim(4x1)30,lim0.x1x134x14x1.x1x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。由无穷小与无穷大的关系,得lim6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限

1x,x0例如，设f(x)2,求limf(x).x0x1,x0解: x0是函数的分段点,两个单侧极限为

x0limf(x)lim(1x)1,limf(x)lim(x21)1, x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx6

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

21(2)取x02ky(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，(k0,1,2,3,)

当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大． 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.解：不能保证.例f(x)lim1 x0, xf(x)10 limf(x)

xx1A0.xx思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

1sinx解：不能．例如当x时f(x),g(x)都是无穷小量

xx但lim较.xg(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比f(x)x【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx7

1x（2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos0【分析】 “”型，拆项。

011223sinxxcos3sinxxcos3x=limx= 解：原极限=limx02x2x2x02x5x54x43x2（3）lim ；

5x2x4x1【分析】“抓大头法”，用于

型 543355x55xx解：原极限=lim=，或原极限=lim5= x41222x2x45xx（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx1=

11x121x21)（5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21lim)=lim解：lim(2== 2x2x2x4x2x24x2x4（6）limx0x2x932

【分析】“子。0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0解：原极限=limx0x2x293x2=6（7）求lim(n12n).222nnn8

解:

n时,是无穷小之先变形再求极限.和1n(n1)12n12n1112lim(222)limlim(1).lim2nnnnnnnn22n2n【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)

无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.

第二篇：高等数学等价无穷小替换_极限的计算

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

讲义

无穷小 极限的简单计算

【教学目的】

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较

用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n数列xn的极限、x（x、x）函数fx的极限、xx0（xx0、xx0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用

西南石油大学《高等数学》专升本讲义

x＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

＊nxxxxx0xx0xx0

定义：当在给定的x＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x＊下的无穷小，即limfx0。

x＊.例如, limsinx0, 函数sinx是当x0时的无穷小x011lim0, 函数是当x时的无穷小.xxx(1)n(1)nlim0, 数列{}是当n时的无穷小.nnn【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x＊下，fx无限增大，则称fx是x＊下的无穷大，即limfx。显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，x＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如

limex0，limex，xx所以ex当x时为无穷小，当x 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果fx为无穷大，则11为无穷小；反之，如果fx为无穷小，且fx0，则为无穷大。fxfx小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x®x0xA+(x),其中(x)是自变量在同一变化过程xx0（或x）中的无穷小.证：（必要性）设limf(x)=A,令(x)=f(x)-A,则有lim(x)=0，x®x0x®x0f(x)A(x).西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（充分性）设f(x)=A+(x),其中(x)是当x®x0时的无穷小，则

xx0limf(x)=lim(A+(x))Alim(x)A.xx0xx0【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)»A,误差为(x).3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.但n个之和为1不是无穷小.例如,n时,是无穷小，nn定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.如：lim(1)nn1110，limxsin0，limsinx0 x0xxnx推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较

例如，当x®0时,x,x2,sinx,x2sin都是无穷小，观察各极限：

1xx2lim0,x2比3x要快得多;x03xsinx1,sinx与x大致相同;

x0x1x2sinxlimsin1不存在lim.不可比.2x0x0xxlim极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1．定义: 设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且¹0.=0,就说是比高阶的无穷小,记作=o();(2)如果limC(C0),就说与是同阶的无穷小;

特殊地如果lim=1,则称与是等价的无穷小，记作~;

(3)如果limk=C(C?0,k0),就说是的k阶的无穷小.(1)如果lim3 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例1 证明:当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.4xtan3xtanx34lim()4,故当x0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证：lim.4x0x0xx例2 当x0时,求tanxsinx关于x的阶数.解limtanxsinxtanx1cosx1lim(),tanxsinx为x的三阶无穷小.x0x0x3xx222．常用等价无穷小:当x0时，（1）sinx～x；（2）arcsinx～x；（3）tanx～x；（4）arctanx～x；（5）ln(1x)～x；（6）ex1～x

x2（7）1cosx～（8）(1x)1～x（9）ax-1～lna*x

2用等价无穷小可给出函数的近似表达式: lim1,lim0,即o(),于是有o().12例如sinxxo(x),cosx1x2o(x2).3．等价无穷小替换 定理：设~,~且lim证：lim存在,则limlim.lim()limlimlimlim.2tan22xex1.；

（2）lim例3（1）求lim x01cosxx0cosx112(2x)2解:（1）当x0时,1cosx~x,tan2x~2x.故原极限=lim= 8

x®012x22x2（2）原极限=lim2x0x2例4 求lim=1

2tanxsinx.3x0sin2x错解: 当x0时,tanx~x,sinx~x.原式lim4

xx=0

x0(2x)3西南石油大学《高等数学》专升本讲义

正解: 当x0时,sin2x~2x,tanxsinxtanx(1cosx)~13x, 213x1故原极限=lim23.x®0(2x)16【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。例5 求limtan5xcosx1.x0sin3x12xo(x2).2o(x)1o(x2)1225x5x+o(x)+x+o(x)x2x5.2lim原式=limx®0x0o(x)33x+o(x)3x解: tanx5xo(x),sin3x3xo(x),1cosx

三、极限的简单计算

1.代入法：直接将xx0的x0代入所求极限的函数中去，若fx0存在，2x53x42x12；若fx0不存在，我们也能知道属即为其极限，例如limx193x32x4x29于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim就代不进去了，但

x3x3我们看出了这是一个

0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02.分解因式，消去零因子法

x29limx36。例如，limx3x3x33.分子（分母）有理化法

x253x253x2532x15lim例如，lim

2x22x15x22x152x15x53x2 lim

x22x4

limx2x2 x22x2

2 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

又如，limxx221xlim1x1x2x0

4.化无穷大为无穷小法

13+-3x+x-7x例如，lim2=limx2x-x+4x12-+x这个无穷大量。由此不难得出

7x2=3，实际上就是分子分母同时除以x242x2a0，nmba0xma1xm1am0lim0，nm xbxnbxn1b01n，nm

1xlimx2x11x（分子分母同除x）。1，21x又如，limx21nn255lim1，再如，limn（分子分母同除5n）。nnn35n315n例如，limxarctanx10，（无穷小量乘以有界量）。x3x2x14x1.又如，求lim2x1x2x3解：lim(x22x3)0,商的法则不能用

x15.利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限

x22x30又lim(4x1)30,lim0.x1x134x1由无穷小与无穷大的关系,得lim4x1.x1x22x3再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。6.利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5）7.分段函数、复合函数求极限 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

例如，设f(x)1x,x0,求limf(x).2x1,x0x0,两个单侧极限为解: x0是函数的分段点

x02limf(x)lim(1x)limf(x)lim(x1)1, 1,x0x0x0左右极限存在且相等, 故limf(x)1.x0【启发与讨论】 思考题1：当x?0时,y11sin是无界变量吗？是无穷大吗？ xx

解：(1)取x012k2(k0,1,2,3,)

y(x0)2k, 当k充分大时,y(x0)M.无界，21(2)取x0(k0,1,2,3,)

2k当k充分大时,xk, 但y(xk)2ksin2k 0M.不是无穷大．

结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x)0，且limf(x)A，问：能否保证有A0的结论？试举例

x说明.解：不能保证.例f(x)11 x0, f(x)0 limf(x)

xxx1A0.xxlim思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？

解：不能．例如当x时f(x),g(x)1xsinx都是无穷小量 x7 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

但lim较.g(x)limsinx不存在且不为无穷大，故当x时f(x)和g(x)不能比xxf(x)【课堂练习】求下列函数的极限

excosx（1）lim；

x0xexcosxex11cosxlimlim1 解：原极限=limx0x0x0xxx1x（2）求limx0(1cosx)ln(1x)3sinxx2cos【分析】 “”型，拆项。0011223sinxxcosxcos3sinx3xx=lim= 解：原极限=limx0x02x2x22x5x54x43x2（3）lim ；

x2x54x1【分析】“抓大头法”，用于

型 355x55x解：原极限=lim=，或原极限=lim5=

x241252x2xx4x54x3（4）lim(x2xx)；

x【分析】分子有理化 解：原极限=limxx2xxx=limx11=

11x12x21)（5）lim(2x2x4x2【分析】型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。

x13x2x2x21)=lim2解：lim(2=lim=

x2x2x2x44x2x2x48 西南石油大学《高等数学》专升本讲义

（6）limx0x2x932

【分析】“子。0”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因0x2x293解：原极限=lim=6 2x0x（7）求lim(n12n).222nnn和解:

n时,是无穷小之先变形再求极限.1n(n1)12n12n1112limlim(222)limlim(1).22nnnnnnnnn2n2【内容小结】

一、无穷小（大）的概念

无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论.2、几点注意:(1)

无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；

（2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较: 1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶。

2.等价无穷小的替换:

求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法（不同类型的未定式的不同解法）;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.

第三篇：大学高等数学等价无穷小

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x)= lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x)= lim f(x)/u(x)* u(x)/v(x)* v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：

f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！

问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么

ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。

高数教了一段时间了，对于等价无穷小量代换法求极限为什么只能在乘除中使用，而不能在加减的情况下使用的条件感到有些疑惑，于是找了一些资料，仔细的研究了这个问题，整理如下：

等价无穷小的定义及常用的等价无穷小

无穷小量是指某变化过程中极限为0的变量。而等价无穷小量是指在某变化过程中比值极限为1的两个无穷小量。

常用的等价无穷小有：

sinx∼tanx∼arctanx∼arcsinx∼ln(1+x)∼x(x→0)

sin⁡x∼tan⁡x∼arctan⁡x∼arcsin⁡x∼ln⁡(1+x)∼x(x→0)1−cosx∼x22,1+x−−−−−√n−1∼xn(x→0)1−cos⁡x∼x22,1+xn−1∼xn(x→0)等价无穷小量在求极限问题中非常重要。恰当的使用等价无穷小量代换常常使极限问题大大简化。但是有时却不能使用等价无穷小量代换。

等价无穷小替换原理

定理1：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，若limαβlimαβ存在，则limαβ=limα1β1limαβ=limα1β1。

例1： limx→0ln(1+3x)sin2x.limx→0ln⁡(1+3x)sin⁡2x.解：

limx→0ln(1+3x)sin2x=limx→03x2x=32.limx→0ln⁡(1+3x)sin⁡2x=lim

x→03x2x=32.例2：

limx→0tanx−sinxx3.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3.错误解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x−xx3=0.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x

−xx3=0.正确解法：

limx→0tanx−sinxx3=limx→0sinx(1−cosx)x3⋅cosx=limx→01−cosxx2⋅cosx=limx→012cosx=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0sin⁡x(1−cos⁡x)x3⋅cos⁡x=limx→01−cos⁡xx2⋅cos⁡x=limx→012cos⁡x=12.从上面的解法可以看出，该题分子不能直接用等价无穷小量替代来做，下面我们分析产生错误的原因：等价无穷小之间本身一般并不相等，它们之间一般相差一个较它们高阶的无穷小，由函数f(x)f(x)在点x=0x=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)f(x)=f(0)+f′(0)x+f”(0)2!

x2+⋯+f(n)(0)n!xn+o(xn)很容易有：

tanx=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)tan⁡x=x+x33+2x515+o(x5).(x→0)sinx=x+x33!+x55!+x77!+⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m−1).(x→0)sin⁡x=x+x33!+x55!+x77!+⋯+(−1)m−1x2m−1(2m−1)!+o(x2m−1).(x→0)由此可知，sin{x}与tan{x}相差一个较xx的三阶无穷小，此三阶无穷小与分母x3x3相比不可忽略，因为把上述结论代入原式得

limx→0tanx−sinxx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3=limx→0x33+x33!+o(x3)x3=12.由此，我们可以得出：加减情况下不能随便使用等价无穷小。

下面我们给出一个在加减情况下使用等价无穷小的定理并加以证明。在这里我们只讨论减的情况，因为我们知道加上一个数可以看成减去这个数的负数。为方便，首先说明下面的定理及推论中的无穷小量其自变量都是xx，其趋近过程都相同：x→0x→0，在有关的极限中都省去了极限的趋近过程。

定理2：设α,α1,β,β1α,α1,β,β1是某一变化过程中的无穷小量，且α∼α1,β∼β1α∼α1,β∼β1，则α−β∼α1−β1α−β∼α1−β1的充分必要条件是limαβ=k≠1limαβ=k≠1。

证明：

1∘1∘充分性：

α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1α∼α1,β∼β1⇒limαα1=limββ1=1

又

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1

则 limα−βα1−β1=limαβ1−ββ1α1β1−1=k−1k−1=1limα−βα1−β1=limαβ1−ββ

1α1β1−1=k−1k−1=1

即

α−β∼α1–β1.α−β∼α1–β1.2∘2∘必要性：

α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1α∼β,α1∼β1⇒limα−βα1−β1=1

即

lim(α−βα1−β1−1)=0lim(α−βα1−β1−1)=0

通分得

limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0limα−α1α1−β1−limβ−β1α1−β1=0

所以

limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0limαα1−11−βα1−lim1−ββ1α1β1−1=0

又

limαα1=1,limββ1=1limαα1=1,limββ1=1

所以

lim01−βα1−lim0α1β1−1=0lim01−βα1−lim0α1β1−1=0

所以

limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1limβ1α1=k≠1⇒limα1β1=k≠1

又

limαβ=limα1β1.limαβ=limα1β1.所以

limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.limαβ=k≠1,limα1β1=k≠1.由1∘,2∘1∘,2∘得，原命题成立。证毕。

这样一来，就得到了差形式无穷小量等价代换的充要条件。例3：

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x

−sin⁡x.解：

1−cosx∼x22,−2sinx∼−2x,2arcsinx∼2x,sinx∼x(x→0)1−cos⁡x∼x22,−2sin⁡x∼−2x,2arcsin⁡x∼2x,sin⁡x∼x(x→0)所以

limx→01−cosx−2sinx=0≠1,limx→02arcsinxsinx=2≠1limx→01−cos⁡x−2sin⁡x=0≠1,limx→02arcsin⁡xsin⁡x=2≠1

由定理2得

limx→01−cosx+2sinxarcsin2x−sinx=limx→x22+2xx=2.limx→01−cos⁡x+2sin⁡xarcsin⁡2x−sin⁡x=limx→x22+2xx=2.例4：

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x.limx→0arctan⁡2x+arcsin⁡5xsin⁡3x.解：

arctan2x∼2x,arcsin5x∼5x,sin3x∼3x(x→0)arctan⁡2x∼2x,arcsin⁡5x

∼5x,sin⁡3x∼3x(x→0)又

limarctan2x−arcsin5x=−25≠1limarctan⁡2x−arcsin⁡5x=−25≠1

由定理2得

limx→0arctan2x+arcsin5xsin3x=2x+5x3x=73.limx→0arctan⁡2x+ar

csin⁡5xsin⁡3x=2x+5x3x=73.总结

本文指出，在有加减的情况下不能随便运用等价无穷小代换求极限，并且指出了在有加减的情况下能够使用等价无穷小代换的充分必要条件。对于不满足条件的情况，根据给出的泰勒展开公式，可以求出。

第四篇：三角函数、极限、等价无穷小公式

三角函数公式整合：

两角和公式

sin(A+B)= sinAcosB+cosAsinB

sin(A-B)= sinAcosB-cosAsinB 

cos(A+B)= cosAcosB-sinAsinB

cos(A-B)= cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)

tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)

cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式

Sin2A=2SinA•CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

和差化积

sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]

cosθ-cosφ =-2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]

tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)

tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)积化和差

sinαsinβ =-1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)]

cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)]

诱导公式

sin(-α)=-sinα

cos(-α)= cosα

sin(π/2-α)= cosα

cos(π/2-α)= sinα

sin(π/2+α)= cosα

cos(π/2+α)=-sinα

sin(π-α)= sinα

cos(π-α)=-cosα

sin(π+α)=-sinα

cos(π+α)=-cosα

tanA= sinA/cosA

tan（π/2＋α）＝－cotα

tan（π/2－α）＝cotα

tan（π－α）＝－tanα

tan（π＋α）＝tanα

诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限

万能公式

1.极限的概念

（1）数列的极限：0，N（正整数），当nN时，恒有xnA

nlimxnA 或 xnA(n)

几何意义：在(A,A)之外，xn至多有有限个点x1,x2,,xN

（2）函数的极限

x的极限：0，X0，当xX时，恒有f(x)A

limf(x)A 或 f(x)A(x)

x几何意义：在（XxX)之外，f(x)的值总在(A,A)之间。

xx0的极限：0，0，当0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x)A(xx0)

几何意义：在x(x0,x0)(x0,x0)邻域内，f(x)的值总在(A,A)之间。

（3）左右极限

左极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

右极限：0，0，当x0xx0时，恒有f(x)A

xx0limf(x)A 或 f(x0)f(x00)A

xx0f(x)Alimf(x)极限存在的充要条件：limxx0（4）极限的性质

唯一性：若limf(x)A，则A唯一

xx0保号性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内

xx0A0(A0) f(x)0(f(x)0)；f(x)0(f(x)0) A0(A0)

有界性：若limf(x)A，则在x0的某邻域内，f(x)有界

xx02.无穷小与无穷大

（1）定义：以0为极限的变量称无穷小量；以为极限的变量称无穷大量；同一极限 过程中，无穷小（除0外）的倒数为无穷大；无穷大的倒数为无穷小。

注意： 0是无穷小量；无穷大量必是无界变量，但无界变量未必是无穷大量。例如当x时，xsinx是无界变量，但不是无穷大量。

（2）性质：有限个无穷小的和、积仍为无穷小；无穷小与有界量的积仍为无穷小；xx0limf(x)A成立的充要条件是f(x)A（x(x0,x0)，lim0）

（3）无穷小的比较（设 lim0，lim0）： 若lim则称是比高阶的无穷小，记为o()；特别称为o()0，的主部

，则称是比低阶的无穷小； 若limC，则称与是同阶无穷小；

若lim1，则称与是等价无穷小，记为~；

若limkC，（C0,k0）则称为的k阶无穷小；

若lim（4）无穷大的比较： 若limu，limv，且lim无穷大，记为o1(v)；特别u称为uvo1(v)v的主部

3.等价无穷小的替换

u，则称u是比v高阶的v若同一极限过程的无穷小量~，~，且lim存在，则 limf(x)f(x)limg(x)g(x)121cos~2111~2 ~ 11(1)n1~na1~lna常用等价无穷小(lim0)sintanarcsinarctanln(1)e111注意：（1）无论极限过程，只要极限过程中方框内是相同的无穷小就可替换；

（2）无穷小的替换一般只用在乘除情形，不用在加减情形；

（3）等价无穷小的替换对复合函数的情形仍实用，即

若limf()f(0)，~，则f()~f()

4.极限运算法则（设 limf(x)A，limg(x)B）（1）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB（2）limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB

特别地，limCf(x)Climf(x)，limf(x)limf(x)An

nn（3）limf(x)limf(x)A(B0)g(x)limg(x)B5.准则与公式（lim0，lim0）准则1：（夹逼定理）若(x)f(x)(x)，则

lim(x)lim(x)A  limf(x)A

准则2：（单调有界数列必有极限）

若xn单调，且xnM（M0），则limxn存在（xn收敛）

n准则3：（主部原则）

limo()o()o()lim； lim111lim11

2o1(2)o1(2)o()公式1： limsinsinx 11

 limx0x1xlim(1x)x0公式2： e



1lim(1)nnn1lim(1lim(11)e

)公式3： lim(1)elim，一般地，lim(1)felimf

0anxnan1xn1a0anxnan公式4：limlimm1xbxmbxbxmxbmm10mbm6.几个常用极限(a0,a1)（1）limnnmnm nmna1，limnn1；（2）limxx1，limxx；

nx0x（3）limex，limex0；（4）limlnx； x0x0x0110q11limarctanq1x0x2n（5）；（6）limq

nq1limarctan11x2x0不存在q1

第五篇：差函数的等价无穷小替换

差函数的等价无穷小替换

这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧，基本上可以涵盖所有的求极限题目，因为，我们所学的初等函数有五类，反三角函数，对数函数，幂函数，三角函数，指数函数，简称反对幂三指，以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0

常见代换：x～sin x～tan x～arctan x～arcsin x

幂函数代换：(1+x)λ～λx+1λ可以取整数也可以取分数

指数函数代换：ex ～ x + 1ax ～ lna ·x­­­­­ + 1

对数代换：ln(1+x)～ xloga(1+x)～ x/lna

差代换：1.二次的：1－cos x ～ x­­­­­­­2/2x－ln(1+x)～ x­­­­­­­2/2

2三次的：(1)三角的：x － sin x ～ x3/6tan x － x ～ x3/3tan x －sin x ～ x3/2

(2)反三角的：arcsin x － x ～ x3/6x －arctan x ～ x3/3arcsin x － arctan x ～ x3/2

下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用

例如：求：当x→0时，lim(arcsin x－arctan x)/ x3的值。

当求这个极限的值的时候，如果用洛必达法则，计算量则会很大，这里不再赘述运用洛必达法则如何求解，只介绍如何使用上述技巧。

lim(arcsin x－arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2

大家可以自己做一下洛必达法则的方法，对比一下两者之间的差别。

需要注意的是，等价无穷小的运用往往不止一次，只要发现运用洛必达法则运算困难，则可以尝试等价无穷小代换。