第一篇：证明两直线垂直的方法

证明两直线垂直的方法

1.矩形四个内角

2.三角形中的两角之和为90°，则另一角必为直角

3.证明两直线中的一条是等腰三角形的底边，另一边是顶角平分线或底边上的中线

4.勾股定理逆定理

5.圆直径所对的圆周角

6.垂径定理的判定

7.利用菱形的对角线互相垂直

8.利用正方形的对角线互相垂直

9.圆的切线垂直于过切点的半径

10.证这两直线中的一直线与第三直线平行，另一直线与第三直线垂直；或证明这两直线各与已知的两垂线平行

11.相交两圆的连心线垂直平分公共弦

12.轴对称那类的图形，对应点垂直于轴

13.到线段两边距离相等的点在这个线段的中垂线上

14.如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

15.与直角三角形相似的三角形 对应角是直角

16.与直角三角形全等的三角形 对应角是直角

17.利用邻角相等：两直线相交所成的两个邻角相等，可确定两直线垂直

18.点到直线最短的线段

19.45圆周角所对的圆心角

20.等边三角形中，任一顶点与内心所在直线垂直于底边

21.利用已知的直角或其余角：证两直线的夹角等于已知的直角，或证明两直线的夹角是两锐角互余的三角形的第三角

22.矩形中位线垂直他所在的两边

23.利用反证法、同一法

24.平面直角坐标系x、y轴垂直

第二篇：Z证明直线垂直的方法

证明直线垂直的方法

（一）相交线与平行线：

①两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角，则这两条直线互相垂直。②两平行线中有一条垂直第三直线，则另一条也垂直第三直线。

（二）三角形：

①直角三角形的两直角边互相垂直。

②三角形的两内角互余，则第三个内角为直角。

③三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这边所对的内角为直角（图1）。

④三角形一边的平方等于其他两边的平方和，则这边所对的内角为直角。⑤三角形（或多边形）一边上的高垂直于这条边。

⑥等腰三角形顶角的平分线、或底边上的中线垂直于底边。

（三）四边形：

①矩形的两邻边互相垂直。

②菱形的两对角线互相帮助垂直。

（四）圆：

①平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，平分弦所对的弧的直径垂直于这条弦。②半圆或直径所对的圆周角是直角（图2）。

③圆的切线垂直于过切点的半径。

④相交现圆的连心线垂直于两圆的公共弦。

证明直线平行的方法

（一）平行线与相交线：

①在同一平面内两条不相交的直线平行。

②同平行、或同垂直于第三直线 的两条直线平行。

③同位角相等、或内错角相等、或外错角相等、或同旁内角互补、或同旁外角互补的两条直线平行。

（二）三角形：

①三角形的中位线平行于第三边。

②一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边（图3、4）。

（三）四边形：

①平行四边形的对边平行。

②梯形的两底边平行。

③梯形的中位线平行于两底。

（四）圆：

①夹两等弧且在圆内不相交的二弦平行（图5）。

②二等圆的两条外公切线平行。

第三篇：证明两条直线垂直

证明两条直线垂直

根据定义推

线线垂直←→线面垂直←→面面垂直

线线平行←→线面平行←→面面平行

就这样

还是得实际操作

1利用直角三角形中两锐角互余证明

由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。

2勾股定理逆定理

3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。

二、高中部分

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

2高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：

Ⅰ.平行关系：

线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。2.公理4(平行公理)。3.线面平行的性质。4.面面平行的性质。5.垂直于同一平面的两条直线平行。

线面平行：1.直线与平面无公共点。2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。

面面平行：1.两个平面无公共点。2.一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行。

Ⅱ.垂直关系：

线线垂直：1.直线所成角为90°。2.一条直线与一个平面垂直，那么这条直线与平面内的任一直线垂直。

线面垂直：1.一条直线与一个平面内的任一直线垂直。2.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直。3.面面垂直的性质。4.两条平行直线中的一条垂直与一个平面，那么另一直线也与此平面垂直。5.一条直线垂直与两个平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角为直二面角。2.一个平面过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直

线线垂直分为共面与不共面。不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。

1向量法两条直线的方向向量数量积为0

2斜率两条直线斜率积为-1

3线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线

一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边

4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。

3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：。

第四篇：两直线平行与垂直

两条直线的平行与垂直导学案

姓名班级主编：李潭潭审编：李平原

学习目标

1． 掌握利用斜率判断两条直线平行和垂直的方法，感受用代数方法研究几何问题的思想；

2． 通过分类讨论、数形结合等数学思想的渗透，培养学生严谨、辩证的思维习惯． 学习重点与难点

本节课的重点是用斜率判断两直线平行与垂直的方法。

教学过程

问题情境

斜率刻画了直线的倾斜程度，那么，能否用斜率刻画两条直线的位置关系呢？ 首先看两直线平行的情况：

——两条直线（斜率存在）平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？——如果两条直线的斜率相等，那么它们平行吗？

一、学生活动、建构数学

探究：两条直线平行，即倾斜程度相同，那么它们的斜率如何？

二、数学理论、数学运用

两条直线平行的条件

一般地，设直线l1，l2（不重合，斜率存在）所对应的斜率分别为k1，k2，则

说明：

（1）如果直线l1，l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，从而l1//l2；

（2）在利用以上结论判断两直线的位置关系时，一定要注意前提条件，即斜率存在，因此在讨论问题过程中一定要注意对斜率是否存在作分类讨论．

（3）若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1，A2，B1，B2全不为零）平行，那么两直线平行的等价条件为.两条直线重合的等价条件为

欢中高二数学导学案-1-

例1（课本P78例1）

求证：顺次连结A（2，−3），B（5，

7），C（2，3），D（−4，4）四点所得的四边形

2是梯形．

例2（课本P79例2）

求过点A（2，−3），且与直线2x+y−5=0平行的直线的方程.练习：课本82页：1,2

再看直线垂直的情况：若l1⊥ l2（l1、l2都不与x轴垂直）一．学生活动

如图：作出两个直角三角形。（直角边分别平行于坐标轴）

PQ

ST

=k2设l1、l2的斜率为k1、k2，则：=k1，QRPS

由于Rt⊿PST∽Rt⊿PQR（因为∠TPS=∠RPQ）故

STQR

= PSPQ

从而k1=－

即k1k2=－1 k

2反过来，若k1k2=－1，则l1⊥ l2。

二．数学理论：

因此，我们得到：

当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么，它们的斜率的乘积等于－1。反之；如果它们的斜率的乘积等于－1，那么它们互相垂直。即：还有其他的证明方法吗？（运用三角函数解决）

思考题：若l1、l2其中一条直线的斜率不存在，那么这两条直线什么时候互相垂直？逆命题成立吗？

若一条直线的斜率不存在，且l1⊥ l2，则另一条直线的斜率为0。逆命题同样成立。三．理论应用： 例3：（1）已知四点A(5,3)，B(10,6)，C(3,-4)，D(-6,11)求证：AB⊥CD

(2)已知直线l1的斜率k1=，直线l2经过点A(3a，－2)，4B（0,a＋1），且l1⊥ l2，求实数a的值

例4.如图：已知三角形的顶点为A(2,4), B（1,-2），C(-2,3),求BC边上的高AD所在的直线方程。

练习：判断两条直线的是否垂直：

2x3y75x2y5（1）（2）

3x2y42x5y3

（3）

2xy5x

3（4）

6x3y4y0

如果它们垂直，试分别计算A1A2+ B1B

2结论：（若两直线斜率存在）对于两直线l1：A1x+B1y+C1＝0和l2：A2x+B2y+C2＝0,若l1⊥ l2，则A1A2+ B1B2＝0

例5在路边安装路灯，路宽23m，灯杆长2.5m，且与灯柱成120°角，路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，当灯柱高h为多少米时，灯罩轴线正好通过道路路面的中线（精确到0.01m）

四．课堂小结：

1.直线平行与垂直的条件（用斜率刻画）

2.直线平行与垂直的条件（在一般式下的表达）

五．课后反思：六．课外作业

1、直线mx+y−n=0和直线x+my+1=0平行的条件是

2、分别求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点A(3,2)，且与直线4x+y-2=0平行

（2）经过点C(2,-3), 且平行于过两点M(1,2)和N(-1,-5)的直线；

3.求与直线3x+4y+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是24的直线方程。

4、已知直线a与直线m：2x+3y-5=0平行，且在两坐标轴上的截距之和为1，求直线a的方程

5、求经过点M(-2,1)且与点A(-1,2)、B(3,0)距离相等，又不与直线AB相交的直线方程6.（1）过原点O作直线l的垂线，垂足为点N（-2，1），则直线l的方程为.（2）直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a-1=0垂直，则a=.7.已知直线l1经过点A(2,a),B(a1,3)，直线l2经过点C(2,2),D(2,a2),（1）若l1//l2,求 a的值；（2）若l1l2,求a的值。

第五篇：初中几何证明两直线平行和垂直的方法

初中几何证明两直线平行和垂直的方法大全

三、证明两直线平行

1.垂直于同一直线的各直线平行。

2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。

3.平行四边形的对边平行。

4.三角形的中位线平行于第三边。

5.梯形的中位线平行于两底。

6.平行于同一直线的两直线平行。

7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。

四、证明两直线互相垂直

1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。

2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。

3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。

4.邻补角的平分线互相垂直。

5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。

6.两条直线相交成直角则两直线垂直。

7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的对角线互相垂直。

10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。

11.利用半圆上的圆周角是直角。