第一篇：专题六 线与三角形

专题六 线与三角形

一、考点知识扫描 最简单图形：线与角 线：

1.直线、线段和射线的区别，表示方法；两条相交直线确定一个交点。

2．线段的中点、两点间的距离。

3．了解垂线段最短的性质，平行线的基本性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，※经过直线上或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

※直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。其中垂线段的长叫做点到直线的距离。

4．三类角的识别：同位角、内错角、同旁内角。

※导角的方法：1）两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补。2）直角三角形两锐角互余。3）等量代换法。4）全等法。5）外角定理。6）等边对等角。

7）同角（或等角）的余角相等。

※证明平行的方法：1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。2）平行四边形的两组对边分别平行。※证明线段相等的方法：

1）等角对等边。（用于要证明的两线段在同一个三角形中）2）全等。（用于要证明的两线段在两个三角形中）

3）垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）

4）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上）。5）等量加（或减）等量，和（或者差）相等。6）面积相等法。

7）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三角形：

1． 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接

所组成的图形叫做三角形。

※ 外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

2． 边的大小比较：※三角形任意两边之和大于第三边。※三角形任意两边之差小于第三边。

3． 角的大小比较：※三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。※三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

4． 三角形的分类：按角分有锐角三角形，直角三角形和钝角

三角形。按边分有不等边三角形和等腰三角形（等边三角形是其中的特殊情况）。※等边三角形也叫正三角形。

5． 三线：三角形的角平分线、中线和高线（简称高）。※三

角形的三条角平分线交于一点；三角形的三条中线交于一点；三角形的三条高所在的直线交于一点。

6． 全等：※全等三角形的对应边相等，对应角相等（反过来

也成立，既可做为一种证明全等的方法，也可做为全等的性质来应用）。

7． 全等证明：证明一般的两个三角形全等有以下四种方法：

边边边（SSS），边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）。证明两个直角三角形全等时，除了可以用以上四种方法外，还有一种方法：“斜边、直角边”或“HL”。具体内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

8．等腰三角形：1）性质；2）判定方法；3）三线合一（等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）； 4）确定一个三角形是等边三角形有如下方法：A 定义；B 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。C 三个内角都相等的三角形是等边三角形。

9．关于直角三角形的性质：1）在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3）勾股定理；（逆定理）

第二篇：三区六线

所谓“三区”就是在镇域范围内确定不准建设区（区域绿地）、非农建设区（城镇建设区）、控制发展区（发展备用地）三大类型地区的规模和范围；“六线”就是确定城镇建设与发展用地的空间布局和功能分区，以及镇中心区、主要工业区等位置、规模，建立城镇拓展区规划控制黄线、道路交通设施规划控制红线、市政公用设施规划控制黑线、水域岸线规划控制蓝线、生态绿地规划控制绿线、历史文化保护规划控制紫线等“六线”规划控制体系

红线一般是指道路用地的边界线。有时也把确定沿街建筑位置的一条建筑线谓之红线 ,即建筑红线。它可与道路红线重合,也可退于道路红线之后,但绝不许超越道路红线,在红线内不允许建任建筑物。

道路红线：

规划的城市道路路幅的边界线反映了道路红线宽度，它的组成包括：通行机动车或非机动车和行人交通所需的道路宽度；敷设地下、地上工程管线和城市公用设施所需增加的宽度；种植行道树所需的宽度。

任何建筑物、构筑物不得越过道路红线。根据城市景观的要求，沿街建筑物可以从道路红线外侧退后建设。

建筑红线：

城市道路两侧控制沿街建筑物或构筑物（如外墙、台阶等）靠临街面的界线。又称建筑控制线。

城市紫线：是指国家历史文化名城内的历史文化街区及省、自治区、直辖市人民政府公布的历史文化街区保护范围界线，以及历史文化街区外经县级以上人民政府公布保护的历史建筑的保护范围界线。

黑线：市政公用设施规划控制黑线：规划用于界定市政公用设施用地范围的控制线。黑线导控的核心是控制各类市政公用设施、地面输送管廊的用地范围，以保证各类设施的正常运行。

建筑红线是指建筑物的外立面所不能超出的界线。建筑红线可与道路红线重合，一般在新城市中常使建筑红线退于道路红线之后，以便腾出用地，改善或美化环境，取得良好的效果

用地红线是围起某个地块的一些坐标点连成的线，红线内土地面积就是取得使用权的用地范围。

开发建设这个地块的建筑小区时候，还需要退红线2米左右，这个数字各地不一，要看当地规划局的规定。小区的建筑必须在退红线范围内，退出的这块地不准占用。也就是说，尽管你已经为退出的这块地付出了土地出让金，但就是不准占用。

用地红线只是标注在红线图上，现场是看不到的。不过退界线就一目了然：小区的围墙就是退界线。

第三篇：与三角形有关的定理、

与三角形有关的定理：定理 三角形两边的和大于第三边推论 三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°推论1 直角三角形的两个锐角互余推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形

推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应

线段成比例

推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边

平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）

第四篇：与三角形有关的角

与三角形有关的角

一．填空题（共8小题）

1．（202_•威海）将一副直角三角板如图摆放，点C在EF上，AC经过点D．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF=．

2．（202_•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 _________ ．

3．（202_•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=

4．（202_•荆门）若等腰三角形的一个角为50°，则它的顶角为．

5．（202_•葫芦岛）三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=°．

6．（202_•河北）如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B= _________ °．

7．（202_•达州）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分线交于点A2013，则∠A2013=

8．（202_•呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= _________ ．

二．解答题（共13小题）

9．（202_•青海）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．

探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴

∴

又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

∴

∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）

=

探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．

探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（只写结论，不需证明）

结论： _________ ．

10．（202_•玉溪）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系

（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；

（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）

（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

11．如图，CB∥OA，∠B=∠A=100°，E、F在CB上，且满足∠FOC=∠AOC，OE平分∠BOF．

（1）求∠EOC的度数；

（2）若平行移动AC，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动AC的过程中，是否存在某种情况，使∠OEB=∠OCA？若存在，求出∠OCA度数；若不存在，说明理由．

12．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜上，被a反射到平面镜b上，又被b镜反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=50°，则∠2= _________ °，∠3= _________ °；

（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3= _________ °，若∠1=40°，则∠3= _________ °；

（3）由（1）、（2）请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3= _________ °时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行，请说明理由．

13．已知：△ABC中，记∠BAC=α，∠ACB=β．

（1）如图1，若AP平分∠BAC，BP，CP分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN，BD⊥AP于点D，用α的代数式表示∠BPC的度数，用β的代数式表示∠PBD的度数

（2）如图2，若点P为△ABC的三条内角平分线的交点，BD⊥AP于点D，猜想（1）中的两个结论是否发生变化，补全图形并直接写出你的结论．

14．已知：△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，请根据题中所给的条件，解答下列问题：

（1）如图1，若∠BAD=60°，∠EAD=15°，求∠ACB的度数．

（2）通过以上的计算你发现∠EAD和∠ACB﹣∠B之间的关系应为： _________ ．

（3）在图2的△ABC中，∠ACB＞90°，那么（2）中的结论仍然成立吗？为什么？

15．如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点同时从原点O出发，点A以每秒m个单位长度沿x轴的正方向运动，点B以每秒n个单位长度沿y轴正方向运动．

（1）已知运动1秒时，B点比A点多运动1个单位；运动2秒时，B点与A点运动的路程和为6个单位，求m、n；

（2）如图2，设∠OBA的邻补角的平分线、∠OAB的邻补角的平分线相交于点P，∠P的大小是否发生改变？若不变，求其值；若变化，说明理由．

（3）若∠OBA的平分线与∠OAB的邻补角的平分线的反向延长线相交于点Q，∠Q的大小是否发生改变？如不发生改变，求其值；若发生改变，请说明理由．

16．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图两幅图都是由同一副三角板拼凑得到的：

（1）请你计算出图1中的∠ABC的度数．

（2）图2中AE∥BC，请你计算出∠AFD的度数．

17．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠B=72°，CD是AB边上的高；CE是∠ACB的平分线，DF⊥CE于F，求∠BCE和∠CDF的度数．

18．已知如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系： _________ ；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： _________ 个；

（3）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，试求∠P的度数；

19．（1）如图①∵∠B+∠D+∠1=180°

又∵∠1=∠A+∠2

∠2=∠C+∠E

∴∠A+∠C+∠E+∠B+∠D=180°

（2）将图①变形成图②，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°，请证明这个结论．

（3）将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°，请继续证明这个结

论．

20．如图

（1）如图（1），∠ADC=100°，试求∠A+∠B+∠C的度数；

（2）如图（2）所示，DO平分∠CDA，BO平分∠CBA，∠A=20°，∠C=30°，试求∠O的度数．

21．在小学学习中，我们已经知道三角形的三个角之和等于180°，如图，在三角形ABC中，∠C=70°，∠B=38°，AE是∠BAC的平分线，AD⊥BC于D．

（1）求∠DAE的度数；

（2）判定AD是∠EAC的平分线吗？说明理由．

（3）若∠C=α°，∠B=β°，求∠DAE的度数．（∠C＞∠B）

第五篇：三角形

已知△ABC中,AD,BE,CF分别是∠A,∠B,∠C的平分线。求证：AD,BE,CF交于一点。

证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分∠C，用向量知识分析，即要证存在λ，使得向量CP=λ(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)。

为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b.∵AP平分∠A,BP平分∠B，∴存在λ1, λ2,使得向量AP=λ1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=λ2(向量BA/c+向量BC/a)，∵向量AB+向量BP=向量AP，∴向量AB+λ2(向量BA/c+向量BC/a)=λ1(向量AB/c+向量AC/b)，即(1-λ2/c)向量AB+λ2/a向量BC=(λ1/c+λ1/b)向量AB+λ1/b向量BC

由平面向量基本定理，有：1-λ2/c=λ1/c+λ1/b，λ2/a=λ1/b，消去λ2，求得λ1=bc/(a+b+c)，于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b），∴向量CP=向量CA+向量AP=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a)这就证到了存在λ＝ab/(a+b+c），使得向量CP=λ(向量CA/b+向量CB/a)

所以AD,BE,CF交于一点．

2.用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法，不使用坐标。

证明：先假设两条中线AD,BE交与P点，连接CP,取AB中点F连接PF，PA+PC=2PE=BP，PB+PC=2PD=AP，PA+PB=2PF，三式相加，得到

2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF，3PA+3PB+2PC=2PF，6PF+2PC=2PF，PC=-2PF，所以PC,PF共线，PF就是中线，所以ABC的三条中线交于一点P，连接OD,OE,OF，OA+OB=2OF，OC+OB=2OD，OC+OC=2OE，三式相加，OA+OB+OC=OD+OE+OF，OD=OP+PD，OE=OP+PE，OF=OP+PF，OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP，由第一问结论，2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP，2PA+2PB+2PC=0，1/2AP+1/2BP+1/2CP，所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP，向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量），3试用平面向量数量积的知识证明:△ABC的三条高线交于一点。

设三角形ABC中，AB、AC边上的高分别为交于H，求证：AH⊥BC。

BH⊥AC,CH⊥AB--->BH*AC=CH*AB，AH=AC+CH=AB+BH--->2AH=(AC+AB)+(CH+BH)，又 BC=AC-AB，2AH*BC=[(AC+AB)+(CH+BH)](AC-AB)=(AC^2-AB^2)+(AC*CH-AB*BH)=AC(AC+CH)-AB(AB+BH)=AH(AC-AB)=AH*BC--->AH*BC=0--->AH⊥BC