第一篇：几何证明知识点（范文模版）

几何证明知识点

命题和证明

1、判断一件事情的句子，叫做命题。判断为正确的命题叫做真命题；判断为错误的命题叫做假命题。

2、数学命题通常由题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。因此命题可以写成“如果······，那么······”的形式。

3、人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真假的原始数据。

4、有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理。

证明举例

1、由题设、定义以及已被确定的公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确，这样的推理过程叫做证明。

2、真命题的证明一般包括“画图、写已知求证、证明”三个基本步骤。“画图和已知求证”通常是告诉大家的，因此不必书写。

3、几何证明没有固定的方法可循，因此只能在训练的过程中，积累一般分析方法和思维方法。例如：证明线段、角相等的一般途径有哪些？证明两直线平行、垂直的一般途径有哪些？常用的添加辅助线的方法有哪几种？等等。

逆命题和逆定理

1、在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。

2、如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理。

3、每个命题都有逆命题，但每个定理不一定都有逆定理。

线段的垂直平分线

1、定理：线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

3、线段垂直平分线可以看作和一条线段两个端点距离相等的点的集合。

角的平分线

1、角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。

2、角是轴对称图形，它的对称轴是这个角的平分线所在的直线。

3、角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

4、角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

5、角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。

轨迹

1、点的轨迹：符合某些条件的所有的点的集合叫做点的轨迹。

2、基本轨迹

（1）和线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线。

（2）在一个角的内部（包括顶点）且到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线。

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心、定长为半径的圆。

3、交轨法：先找出符合一部分作图要求的点的轨迹，再找出符合另一部分作图要求的点的轨迹，然后得出这两个轨迹的交点。这种利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法。

直角三角形全等的判定

1、直角三角形是特殊的三角形，对于一般三角形全等的判定方法，直角三角形都适用。

2、直角三角形全等的判定定理

定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等（简记为H.L.）。

直角三角形的性质

直角三角形的性质，可以从它的角、边以及特殊线段之间构成的各种关系的特征去理解。

1、定理1：直角三角形的两个锐角互余。

2、定理2：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。

勾股定理

1、在直角三角形中，斜边大于直角边。

2、勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

4、勾股定理及其逆定理在实际生活中有着广泛的应用。

两点的距离公式

在直角坐标平面内：

1、x轴或平行于x轴的直线上的两点P1(x1,y)，P2(x2,y)间的距离P1P2x1x2。

2、y轴或平行于y轴的直线上的两点Q1(x,y1)，Q2(x,y2)间的距离

Q1Q2y1y2。

22PQxyy3、在x轴上一点P与在轴上一点之间的距离(x,0)Q(0,y)111111114、任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)之间的距离公式是AB(x1x2)2(y1y2)2

第二篇：几何证明选讲知识点

几何证明选讲

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段相等。

推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线必平分另一腰。

梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

3．相似三角形的判定

定理1：两角对应相等的两个三角形相似．

定理2：三边对应成比例的两个三角形相似．

定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个二角形相似．

4．相似三角形的性质定理

性质1：相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比．

性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方．

推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．

5．射影定理

直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项．

6．直线与圆的位置关系

如果直线与圆没有公共点，就说直线与圆相离，这时圆心到直线的距离大于半径； 如果直线与圆有一个公共点，就说直线与圆相切，这时圆心到直线的距离等于半径； 如果直线与圆有两个公共点，就说直线与圆相交，这时圆心到直线的距离小于半径．

7．圆周角定理

定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。

8.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

9．圆的切线的判定及性质

定理：过圆的半径的端点且与半径垂直的直线与圆相切．

定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

7．相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两段线段的积相等．

8.割线定理

从圆外一点引圆的两条割线，这点到割线与圆交点的两条线段长的积相等。

9．切割线定理

从圆外一点引圆的切线与割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

10.切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____;圆心和这点的连线平分_____的夹角。

11．圆的内接四边形

(1)判定1：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形是圆内接四边形．

判定2：如果直线AB同侧的两点C，D向线段AB张的角相等，则A，B，C，D四点共圆．

(2)性质：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

12．平行投影的性质

(1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段；

(2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线；

(3)平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且相等．

13．圆锥面的截线、平面截圆锥面

在空间中，取直线l为轴，直线l′与1相交于O点，其夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任取平面n，若它与轴l的夹角为β，则：

(1)β＞α，平面n与圆锥的交线为椭圆；

(2)β＝α，平面n与圆锥的交线为抛物线；

(3)β＜α，平面n与圆锥的交线为双曲线．

椭圆、双曲线、抛物线都可以看成平面截圆锥面所得的截线，其本质是统一的，只是由于平面与圆锥轴线交角的不同而产生这三种曲线的差异，因而这三种曲线可统一为“到定点F和定直线l的距离之比是一个常数e的动点的轨迹”，当0

第三篇：几何证明考点考纲及知识点总结

几何证明考点考纲及知识点总结

教学目标:

了解角平分线、垂直平分线的有关性质和定理，并能解决一些实际问题。

重点、难点：

1、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理

2、会用尺规作一个已知角的平分线.3、角的平分线的性质.4、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上

考点及考试要求：

1、要求学生掌握线段垂直平分线和角平分线的性质定理及判定定理，能够利用这些定理解决一些问题。

2、能够证明线段垂直平分线角平分线的性质定理及判定定理。

知识点总结：

命题和证明：

1、命题：判断一件事情的句子。

判断为正确的命题，叫做真命题

判断为错误的命题，叫做假命题。

说明: 命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项，可以写成“如果„„那么„„”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论

2、演绎证明（简称证明）

从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程。

3、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题叫做公理，它们可以作为判断其他命题真

假的原始依据。

4、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他

命题真假的依据的真命题。

5、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，则这两个命题叫互逆命题。

其中一个命题叫原命题；另一个命题叫它的逆命题。

6、互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，则这两个定理叫做互逆定理，其

中一个叫另一个的逆定理。

说明：（1）一个命题（定理）的逆命题（逆定理）并不是唯一的，这是因为一个命题的题设

中可能有两个或多个条件，结论也可能不止一个。

（2）逆命题的真假与原命题的真假没有关系

确认一个命题是真命题，要经过证明

7、证明真命题的一般步骤

1、理解题意，分清命题的条件（已知）、结论（求证）

2、根据题意，画出图形，并在图中标出必要的字母或符号

3、结合图形，用符号语言写出“已知”和“求证”

4、分析题意，探索证明思路（由“因”导“果”，执“果”索“因”）

5、依据思路，运用数学符号和数学语言条理清晰的写出证明过程

6、检查表达过程是否正确、完善

线段垂直平分线

1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理

垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

角的平分线，垂线

2、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

3垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

【归纳和方法指导】

1、线段的垂直平分线定理与逆定理往往与边相等、角相等的证明密切相关，它提供了证明

边、角相等的又一种重要的方法，在以后的学习中还会与直角三角形、角平分线、勾股定理等连在一起综合应用；

2、当题目中的条件涉及到角平分线上的点与角的两边的垂直关系时，利用角的平分线性质

可直接得到垂线段相等，而不必全等三角形来证，但是在书写过程中，不要漏掉垂直关系；

3、已知角的平分线，有两种常用的添加辅助线的方法：一是把角沿着角平分线翻折，在这

个角的两边截取相等线段，从而创设两个全等的三角形；二是过角平分线上的点向角两边做垂线段，利用角平分线的性质定理及其逆定理来解题。

1、把符合某些条件的所有点的集合叫做点的轨迹。

轨迹定义包含以下两层含义：

其一、轨迹图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都符合条件（也称图形的纯粹性）；

其二、轨迹图形包含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上（也称图形的完备性）；

所谓轨迹问题的证明就是用论证的方法证明得到的轨迹符合上述两层含义。

2、三条基本轨迹：

轨迹1：和已知线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；

轨迹2：到已知角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

轨迹

3、到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、以定长为半径的圆。

交轨法作图

利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法。

如果要求作的点（图形）同时要满足两个条件时，我们通常先作出满足条件A的轨迹，然后再作出满足条件B的轨迹，两轨迹的交点则同时满足条件A和条件B。

交轨法是常用的作图方法，我们在利用尺规作三角形、线段的垂直平分线、角平分线时，都运用了交轨法。

【说明】“尺规作图”是指限用无刻度直尺和圆规来作几何图形，基本的尺规作图有如下几种：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知角的平分线；

4、经过一点作已知直线的垂线；

5、作线段的垂直平分线。

直角三角形全等的判定定理

直角三角形全等一般判定定理：

直角三角形是特殊的三角形，一般三角形全等的判定方法也用于直角三角形，即

(SAS、ASA、SSS、AAS)

直角三角形全等的HL判定定理：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等

（简记为：HL）

综上：直角三角形全等的判定方法有SAS、ASA、SSS、AAS、HL

直角三角形全等的性质

定理：直角三角形的两个锐角互余；

定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半；

推论：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

勾股定理

定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；

勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；

勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；

勾股定理证明思路：面积分割法（勾股定理逆定理证明思路：三角形全等）

勾股数组：如果正整数a、b、c满足abc，那么a、b、c叫做勾股数组，常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17

两点之间的距离公式

如果直角坐标平面内有两点Ax1,y1、Bx2,y2，那么A、B两点的距离：222ABx1x22y1y2

2两种特殊情况：

（1）在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点Ax1,y、Bx2,y的距离为： ABx1x22yy2x1x22x1x

2（2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点Ax,y1、Bx,y2的距离为： AB

xx2y1y22y1y22y1y2

第四篇：几何证明选讲--知识点1

几 何 证 明 选 讲

1.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段___.推论1: 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______________。

推论2: 经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线________________。

2.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________________成比例。

推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段____________。

3.相似三角形的性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_______；相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于_________________； 相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于____________________；

4.直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是______________________的比例中项；

两直角边分别是它们在斜边上_______与_________的比例中项。

5.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的____________的一半。

圆心角定理：圆心角的度数等于_______________的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角_________；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧_______。

o推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是_______；90的圆周角所对的弦是________。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的______________。

6.圆内接四边形的性质定理与判定定理：

圆的内接四边形的对角_______；圆内接四边形的外角等于它的内角的_________。

如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点__________；

如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点_________。

7.切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的__________。

推论：经过圆心且垂直于切线的直线必经过________；经过切点且垂直于切线的直线必经过______。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的__________。

8.相交弦定理：圆内两条相交弦，________________________________的积相等。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，________________________________的两条线段长的积相等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是________________________________的比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长_____;圆心和这点的连线平分_______的夹角。

补充：垂径定理：垂直弦等价于平分弦

补充1 同一个线段对的两个角相等，则四点共圆

补充2 角的平分线分对边的比等于该角临边的比值

ABBD4．在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，求证：.ACDC

第五篇：几何证明

几何证明

1.如图，AD是∠EAC的平分线，AD∥BC，∠B=30 o，求∠EAD、∠DAC、∠C的度数

2.已知∠BED=∠B+∠D，试说明AB与CD的位置关系

3.如图，EB∥DC，∠C=∠E，请你说出∠A=∠ADE的理由。

4.如图，已知AB//CD，AE//CF，求证：BAEDCF

AEFCD B

5.如图，AB//CD，AE平分BAD，CD与AE相交于F,CFEE。求证：

AD//BC。

6.如图，已知AB//CD，B40，CN是BCE的平分线，

A

D

F

B

C

E

CMCN，求BCM的度数。

7.如图若FD//BE，求123的度数

A

N

M

C

D

E

第三题

o

8.如图已知CAOC，OC平分AOD，OCOEC63求D，BOF的度

数

第四题

9.已知如图DB//FG//EC，若ABD60，ACE36AP平分BAC求PAG的度数

第五题

10.，已知如图AC//DE，DC//FE，CD平分BCA，那么EF平分BED？为什么？

B

11.1）已知三角形三边长分别是4,5,6-x,求x的取值范围

（2）已知三角形三边长分别是m，m-1，m+1，求m的取值范围

oo

12.在ABC中，B70BAC:BCA3:2，CDAD垂足为D且ACD35

oo

求BAE的度数

A50oD44 13.已知AC，BD交与O，BE，CE分别平分ABD,ACD且交与E，o

求E的度数。

E

o

14.ACE90AC=CE，B为AE上的一点，EDCB于D，AFCB交CB的延长

线于F，求证：AF=CD

第22题

15，已知AB=CD，BC=DA，E，F为AC上的两个点，且AE=CF，求证BF//DE

第23题

16.AD，BC交于D，BEAD于E,DFBC于F且AO=CO,BE=DF,求证 ＡＢ＝ＣＤ

o

17.中AB=AC，BAC90分别过BC做过A点的直线的垂线，垂足为D,E,求证DE=BD+CE

第25题