第一篇：中学数学常用的解题方法

数学常用的解题方法

1、配方法

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

第二篇：《中学数学解题研究》读书笔记

读完《中学数学解题研究》这本书，让我全面的了解了数学解题的一些知识，自己也对中学数学解题有了一些新的想法。

那么，首先，何为解题?而在中学数学中涉及的数学题，主要是标准性题目和训练性题目，这类数学题，大多是已经解决的数学题目为背景，根据数学的内在联系和教学的实际需要，在现有成题的基础上人工设计的。

怎么设计数学题目呢?设计数学题的方法是多种多样的，有的是对已有的经验观察、实验、计算、推理的结果，进行归纳整理，用合情推理方法设计的，也有的是对现有成题进行适当的因果变形，用逻辑推理方法设计的。这是我在其中学到的设计数学题，对于设计数学题，也是对数学老师的一项基本的要求。

那么解答数学题有什么要求呢?其中基本的要求是：正确、合理、完满、简洁、清楚。所以在平时的教学中，我们要再课堂上渗透解题的简洁合理性，不要只强调正确性，这也是很多老师在平时的教学中容易忽略的。

那么数学解题的一般步骤是什么呢?波利亚的“怎样解题”表，给出了一般的数学解题的步骤。第一，你必须弄清楚问题。第二，找出已知数和未知数之间的关系。第三，实行你的计划。而国内的常用数学解题分为了四步：第一，审题。第二，探索解题方法。第三，给出题解。第四，分析题解。

而对于数学解题的一些基本的思想方法原则，例如，遵循熟悉化原则、简单化、直观化、特殊化、一般化、和谐化等原则。还有转化法、代入法、参数法、直接法、数形结合法，也需要我们在平时的学习中加以渗透到课堂上，教给学生。

这是我读完这本书，自己参考书总结的一些东西，尽管理论性知识多了些，但是也受益匪浅。

第三篇：《中学数学解题研究》读后感

假期回老家，没事翻看以前的书籍，发现了在大学期间学校发的一本书《中学数学解题研究》其实大学期间的大部分书籍都让我给扔了，这本几乎是留下的唯一一本，为什么是这本书呢，这本书是我大学的王洪珂、田阿芳、崔国范三位老师编写的，大学期间学的是数学与应用数学，而作为一名将来的数学老师，其实很多大学中学的知识对于实际的工作都没有太多的用处，而作为一名中学的数学老师，解题的能力很重要，所以当时教我们数学教法的及其他专业课的三位老师一起编写了这本书，我们也学习了一年的这本书，我觉得这是大学期间我们学到的最有用的知识，所以在我毕业之后，在我确认自己要从事教师这个专业以来，我把大学中很多书都丢弃了，剩下的是这本书，以前没事的时候也会翻翻看看，毕竟自己曾经学过，所以看起来也算好看。

书一共分为四章，分别是第一章数学解题，主要讲中学数学解题的一些方法技巧以及数学解题之后的一些收获，这一章主要告诉我们数学解题的一些乐趣，以及一些基本的原则，在数学中找到成就感，体会数学的乐趣。第二章代数，第三章三角，第四章立体几何，第五章解析几何，这几章通过具体的数学题，分类总结其中的方法技巧，其中的题目，中学的知识居多，但是因为题目相对都比较难，所以书中运用一些技巧以及大学的知识进行题目的解决，这样一来很多难题，都得以迎刃而解。第六章是高考数学试题选编，其实高考的题目都比较灵活，所以可研究性非常强，因为我04年上的大学，这本书是我大三的时候学习的，所以书中罗列的高考题目到05年，也就是书籍出版的那一年，非常细致的讲解了高考题目的考点，灵活指出，真正让人觉得学会的不仅仅是一道题，而是一种方法，一类题目。

这本书对于中学数学老师是非常实用的一本书，读完受益匪浅。

第四篇：中学数学解题大赛小结

中学数学解题大赛小结

6月5日，数学科学学院中学数学解题大赛在苏州大学博远楼202拉开帷幕，这场大赛由中数社独家策划及承办。中数社社长姜雨廷带领着我和袁荔同学一起圆满地举办了此次活动，并且参赛者和过来观摩的人都给予了强烈的好评。

我作为此次活动的参赛者之一，自然更有话语权了，不得不说这项活动办得的确很有意义，正如大赛的名字一样，我们此次主要通过考试的形式测试了大家对中学数学内容的掌握情况，或许有人会认为这样的活动太学术，对于已经很久没有碰中学教材的同学来说根本毫无吸引力，但是和大家所想象的似乎完全不同，当你真正开始做那些高中时曾经做过无数遍的题目时，你会发现这不仅仅是激发了你对中学数学的兴趣，同时也给大家带来了许多回忆，作为一个参赛者，我本人就常常做着做着就想到去年的这个时候，从某种程度上讲，这其实是一种我们对刚刚逝去的高三充实而忙碌的生活的追忆，对我们曾经美好青春的眷恋。此外，本次活动作为高考前两天的预演，也非常有纪念意义，看看我们时隔一周年，两周年后，那些曾经在我们心中早已烂熟了的知识如今还知道多少，它更像是一个祭奠我们的高考和我们的青春的活动。同时，本次中学数学解题大赛也帮助了我们数学（师范）班的同学们重新梳理了高中里所有重要的数学知识点，对他们今后熟悉高中教材具有重大的意义。

当然，作为本次活动的策划人之人，我也不得不说我们这个活动还是有很多不足，我们的参赛选手大多还是数科院的同学，因此我们并没有把它办成一个真正的全校的活动，我想以后我们在宣传上还是需要再加强，不过最主要的我想还是奖项设置的不够吸引人，还有就是很多人的面子问题，担心自己过了一年了就什么都不会了，这个我们以后可以尝试着多多设置鼓励奖等等，说服他们没什么好担心的，直接过来参与。

总之，中学数学解题大赛作为中数社每年必办得活动之一，我必须诚实地说它很成功，很具有影响力，无论从其前期的策划，宣传还是后期的评奖，也都做到了保密性（试卷内容）和绝对公开性（奖项颁布），对参赛选手们做到了真正的公平公正。

事后，为了提高以后这类大赛的质量水准，我们一如既往地对参赛选手们进行了采访，令人惊奇的是，他们对这个活动都感到很满意，他们中有的人甚至都立誓明年还要过来参加这样的活动，和他们的学弟学妹们竞争一把。

最后，晚上6点钟，姜雨廷同学在博远一楼大厅举办了隆重的颁奖典礼，其中陶振杰同学一举夺冠，王安洲同学紧随其次，而袁浩同学（也就是我本人）则也取得了第三名的好成绩。

作为中数社的社员之一，我觉得以后我们还要多办这样的活动，办这样大家都愿意积极参加的活动，从而提高同学们的能力，激发同学们学数学的兴趣，怀念曾经的那一段青春，那段忙碌的高中生活。同时也借此提高我们社团的声誉，积累办活动的经验，以督促我们以后办越来越好的活动，真正的为同学们服务，锻炼同学们的能力！

第五篇：中学数学中常用的解题方法与技巧毕业论文

江西师范大学2013届学士学位毕业论文

江西师范大学数学与信息科学学院

学士学位论文

中学数学中常用的解题方法与技巧

The commonly used in middle school mathematics problem solving methods and

skills

姓 名： *** 学 号： 090*0**9 学 院： 数学与信息科学学院

专 业： 数学与应用数学

指导老师： 完成时间： 201 年 月 日

江西师范大学2013届学士学位毕业论文

中学数学中常用的解题方法与技巧

*** 【摘要】随着素质教育的推进，在学习中学数学时，常会遇到一些比较复杂的问题，如果用直接求解的方式来解答，往往会使问题变得更加复杂，于是我们提出了数学常用解题方法和技巧，同时也证实了掌握数学解题方法和技巧是十分必要的。为了让读者能够更系统地了解中学数学常用的解题方法和技巧，本文通过理论阐述和例题分析就中学数学常用的解题方法和技巧进行详细的介绍。

本文主要介绍了配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。

【关键词】中学数学 解题方法 解题技巧

I

江西师范大学2013届学士学位毕业论文

The commonly used in middle school mathematics problem

solving methods and skills

********* 【Abstract】With the advancement of quality education, the study of middle school mathematics, often meet some complicated problems, if use direct solving way to answer, often will make problems become more complicated, so we put forward commonly used mathematical problem solving methods and skills, also confirmed the master mathematics problem-solving methods and skills are very necessary.In order to let the reader can understand more system middle school mathematics common problem solving methods and skills, in this paper, through theoretical elaboration and sample analysis the secondary school mathematics common problem solving methods and techniques for detailed introduction.This article mainly introduced the distribution method, the factorization method, the change of variable method, the discriminant method and wada theorem, undetermined coefficient method, construction method, geometric transformation method.【Key words】mathematics solution approach problem-solving skills

II

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目 录 引言..............................................................1 2 中学数学常用的解题方法............................................1 2.1 配方法......................................................1 2.2 因式分解法..................................................2 2.2.1提公因式法.............................................2 2.2.2运用公式法.............................................2 2.2.3十字相乘法.............................................2 2.2.4分组分解法.............................................2 2.3 换元法......................................................3 2.3.1局部换元...............................................3 2.3.2三角换元...............................................4 2.3.3均值变换...............................................4 2.4 判别式法与韦达定理..........................................5 2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征...........................5 2.4.2构造方程，巧妙求根.....................................6 2.5 待定系数法..................................................6 2.5.1用待定系数法分解因式...................................6 2.5.2待定系数法在数列中的应用...............................7 2.5.3待定系数法在函数中的应用...............................7 2.6 构造法......................................................8 2.6.1构造数.................................................8 2.6.2构造函数或方程.........................................8 2.6.3构造等式或不等式.......................................9 2.7 几何变换法..................................................9 2.7.1平移变换...............................................9 2.7.2旋转变换..............................................10 2.7.3对称变换..............................................10 3 小结............................................................11 参考文献...........................................................12

III

江西师范大学2013届学士学位毕业论文 引言

众所周知，数学解题与数学的进展是紧密相关的．我国古代数学经典《九章算术》就是从“解题”形式展现那个时代数学发展的丰硕成果的．伴随着数学的发展，数学解题的思想、方法等也日臻深化和完善．如今浩如烟海的解题方法和技巧构思巧妙，千变万化，异彩纷呈，美不胜收．著名数学教育家波利亚说过: “一位好的数学老师或学生应努力保持解题的好胃口．”这是因为，解题是深刻理解和熟练掌握数学理论和方法的必要手段;解题是培养分析问题、解决问题能力和创造能力的有效途径． 中学数学常用的解题方法

本节将介绍中学数学常用的解题方法，其中包括配方法、因式分解法、换元法、判别式法与韦达定理、待定系数法、构造法、几何变换法。

2.1 配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成”完全平方”)的技巧,通过配方找到已知与未知的联系,从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是完全平方公式(ab)2a22abb2，将这个公式灵活运用可得到各种基本配方形式。其次结合其它数学知识，我们可以相应地可得到另外一些配方形式。如：1sin212sincos(sincos)2，x211212(x)2(x)2，„„ 2xxx例1 如果a2b2c2abbcac0，求证：abc 证明

a2b2c2abbcac0

a2abb2bccc2aca0

222 故(ab)(bc)(ca)0

ab0,bc0,ca0所以abc

例2 求证不论为何值，关于x的方程xxcoscos0总有实

416根，并求当为何锐脚时，方程有等根。

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12coscos证明： 41211(cos)0xxcoscos0总有实数，所以方程24161cos0时，即60时，方程有两个实数根。

根。又当22.2 因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、这种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。2.2.1提公因式法

如果一个多项式中含有公因式，将这个公因式提取出来放在括号的前面从而将一个多项式华为两个整式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。

例3(1)6x2y23xy(2)(ab)23(ba)解：(1)6x2y23xy3xy(2xy1)

(2)(ab)23(ba)(ab)23(ab)(ab)(ab3)2.2.2运用公式法

这里的公式指的是平方差、完全平方差、完全平方和、立方差以及立方和公式。

例4 把下列各式进行因式分解：(1)a4

1(2)9x212xy4y2

解：(1)a41(a2)212(a21)(a21)(a21)(a1)(a1)

(2)9x212xy4y2(3x2y)2 2.2.3十字相乘法

十字相乘法主要解决二次三项式这一类问题。具体操作如下：

（1）十字型的左边是把二次项分解成两个因式的成绩，右边是把常数项分解成两个因数的乘积，使得交叉相乘乘积的和等于一次项的系数；

（2）书写时要横着写且十字形左边的未知数常常省略。2.2.4分组分解法

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把多项式中某些项放在一起从而实现因式分解，这种分解方法叫分组分解法，一般地当多项式项数多于三项时用分组分解法。

例5 把下列各式进行因式分解：

(1)mnmn1(2)a22abb21

解：(1)mnmn1(mnm)(n1)m(n1)(n1)(m1)(n1)

(2)a22abb21(a22abb2)1(ab)21(ab1)(ab1)

2.3 换元法

一般而言，在数学问题中，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质就是“转化与化归”的数学思想，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，获得问题的解决[3]。

换元的基本方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。2.3.1局部换元

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，摸个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4x2x20，先变形为(2x)22x20，设2xt(t0)，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

例6 求函数f(x)x11的极值。x11x（-,0）(0,+), 解：因为函数的定义域为：（1）当x(0,)时，x112，设x2t(t0)，xx1(1t)22 则原函数2t 2t2t(1t)2 2

2(1t)

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2 1t 25 2 当且仅当t0即x1 时取等号。

（2）当x(,0)时，x0，f(x)f(x)51时，f(x)min；

2251 当x2或时，f(x)max。

2255，所以f(x)。22 所以当x2或

2.3.2三角换元

三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时，易发现x0,1，设xsin2，0,，问题变成了熟悉的求三角函数值域。

2例7

实数x、y满足4x25xy4y25（式），设Sx2y2，求的值。

xScossincos5，解：设代入式得，4S5SySsin1Sxma1nmiS

解得S10；

85sin25sin2

1sin2138



101010 1385sin31Smax3138

Smin1010512.3.3均值变换

如遇到xyS形式时，设x例

SSt，yt等等。22B，8

ABC的三个内角A、B、C满足：AC24

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AC112，求cos的值。

2cosAcosCcosBAC120解：ABC中已知AC2B，可得，由AC120，B60A60设，代入已知式得：

C60111111cosAcosCcos(60)cos(60)1313cossincossin222cos

13cos2sin244cos

22

3cos24

2.4 判别式法与韦达定理

一元二次方程 2ax+bx+c=0（a、b、c 属于 R，a≠0）根的判别，△=2b-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。2.4.1结合判别式，讨论根的符号特征

判断一元二次方程根的情况，一般依据根的判别式，有时还要结合韦达定理，以下是我们常见的三种情况：

000两个正根x1x20，两个负根x1x20，一正一负。

xx0xx0xx0121212例9 如果函数yx22(m2)xm21图像与x轴有两个交点，且都在x轴的正半轴上，求m的取值范围。

解：由题意知：x22(m2)xm210有两个不相等的正实数根，设它的

[2(m2)]24(m21)002(m2)0两个根为x1、x2，则有：x1x20，即 2xx0m1012

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解不等式组得：55m1或m1，(,1)(1,)。即m的取值范围是： 442.4.2构造方程，巧妙求根

如果知道两项的和与积，让我们求解两项。按照一般的代入化简，利用求根公式求值，计算量很大。而利用两项的和与积构造一元二次方程，运用“十字相乘法”求解，则容易得多。一般的，已知x1x2、x1x2，所对应的的二次方程为x2(x1x2)xx1x20。

例10 已知公差大于0的等差数列{an}中，a3a4117，a2a522，求：an。

解：a2a5a3a422又a3a4117

设a3、a4分别为方程x222x1170的两个根

数列{an}的公差大于0，解之得：a39，a41

3da4a3139

4an9(n3)44n3

2.5 待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题意设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。2.5.1用待定系数法分解因式

例11 分解因式x2xy6y22x11y3。解：先把x2xy6y2分解成(x3y)(x+2y)

设 x2xy6y22x11y3(x3yA)(x2yB)

计算(x3yA)(x2yB)

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x2xy6y2(AB)x(2A3B)yAB

AB22A3B11 则有AB3，解得 A1,B3。

故x2xy6y22x11y3(x3y1)(x2y3)。2.5.2待定系数法在数列中的应用

例12 求和：Sn1111。123234345n(n1)(n2)解：设1ABC，比较系数，得 n(n1)(n2)nn1n21111121，B1，C，故()，22n(n1)(n2)2nn1n2 A1121121121)] 则Sn[()()(2123234nn1n2111222111)()] [(1)(22n23n134n21121)

(22n1n22.5.3待定系数法在函数中的应用

例13 已知直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过A、B两点，且对称轴方程为x1，求此二次函数的解析式。

解：对称轴方程为x1，可设二次函数的解析式为ya(x1)2k，直线yx3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，由此可求得两点坐 标分别为：A(3,0)，B(0,3)，(31)2k0 根据二次函数的图像经过A、B两点可得，2a(01)k3 a1，k4

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此二次函数的解析式为y(x1)24x22x3

2.6 构造法

“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情：那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。”这是著名数学家韦尔在《数学的思维方式》中向我们介绍构造法时讲的一段话[6]。

所谓构造法，是指按定势思维难以奏效时，应根据题设条件或结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察分析解释对象，抓住反映问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的外形、数值、位置等特征，使用已知条件中的元素为元件，运用已知数学关系式为支架，在思维中构造出满足条件或结论的数学对象，从而使原问题中隐讳不清的关系和性质在新构造的数学对象中清楚地展现出来，并借助该数学对象简捷地解决数学问题的方法［10］． 2.6.1构造数

构造某些特殊结构，特殊性质的整数或整数组合，能使一些复杂的数变得有规律，使计算更加简单。

例14 证明：N911139999990.003 1012141000000证明：本题若直接计算十分繁杂，且方法不具一般性。下面构造辅助量

101214999998 11*** 显然MN

*** 又NM(,,)，所以N2MN，***30.00

3从而N1000 M2.6.2构造函数或方程

构造函数或方程，就睡从问题本身的特点出发构作一个辅助函数或方程，把问题转化为研究这一函数或方程的性质，从而达到解题的目的。

，例1

5已知a、b、c、d、e是实数，且abcde8a2b2c2d2e216，求证：0e16。5

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abcd8e解：将已知条件变形为2，由此联想到构造一个关于 2222abcd16e t的二次函数f(t)(ta)2(tb)2(tc)2(td)2

f(t)0，对于任意实数t恒成立，故其二次式的判别式小于或等于零，即 4(abcd)216(a2b2c2d2)0

5e216e0，解得0e2.6.3构造等式或不等式

2z22x22y2例16 求满足下列方程组的实数解x，y，z。

1z21x21y216 52a2解：此方程组以常规方法是不易求解的，观察每个方程都有的形式，1a22z21z212x222 联想到ab2ab，于是构造下列不等式：1，与原方程组比 21x2y2121yx10x21xz 较，得，yx，故有xyz，代入元方程组解得y10或y21

z0z1zy122.7 几何变换法

利用几何变换的思想和方法解几何问题，为我们克服解几何问题作辅助线的困难提供了一条有效途径。利用几何变换解题时，一般不需要对整个图形进行变换，而只需要对图形中有关部分进行变换，将其余部分保持不变，从而使整个图形改组，化不规则图形为规则图形，化一般为特殊，化隐蔽关系为明显关系，通过变换将不利条件转化为有利条件，让有用条件保持不变，这就是利用几何变换解题的基本途径[8]。

几何变换一般包括：平移变换、旋转变换、对称变换。2.7.1平移变换

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将几何图形中的各顶点沿它们所在的一组平行线向同一方向移动相同的距离, 这种几何变换的方法叫做平移变换。

例17 如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，B与C互余，点分别是AD、1BC的中点，试证明MN(BCAD)。

2解析：线段MN、BC、AD比较分散，没有集中在一个三角形中，由于AD∥BC，所以可以分别将AM、DM进行平移变换，构成BC与AD的差，然后再证明MN等于它的一半。2.7.2旋转变换

将几何图形绕着一固定点按顺（或逆）时针方向转动到另一个位置，像这样的变换叫做旋转变换。

例18 如图2，P是等边ABC外一点，试说明PAPBPC。

解析：本题采用其他方法证明有一定的困难。若采用旋转变换思想，问题就

'，简单的多。将ACP绕点A顺时针旋转60得到ABP'，则有APAPCPBP'，PAP'60，所以APP'是等边三角形，所以PP'AP。在BPP'中，根据三角形三边之间的关系有：PP'BPBP'，于是PAPBPC得证。2.7.3对称变换

把一个图形沿着某条直线翻折过去，如果它能够和另一个图形重合,称这两个图形成轴对称。如果一个图形沿着某直线对折,对折的两部分能够完全重合, 这种图形称为轴对称图形。

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例19 如图3，在ABC中，BCAB，BD平分B，交AC于D。求证：CDDA。

解析：CD和DA分别是BCD、BAD的边，但这两个三角形没有两组边相等，故CDDA不能利用两个三角形证得。若将BCD沿着BD翻折到BED的位置，这样这两个三角形就全等，于是把CD迁移到DE的位置。因DE、DA是DAE的两边，要证DEDA，只需证DAEE，在ABC中，DAE是其外角，C是不相邻的一内角，故DAEE，CDDA得证。小结

从上述的例子中可以看到，解题运算中方法和技巧越是灵活，运算也就越快，越准。在某种意义上来说，解题运算能力的提高，往往是在运算的技巧上表现出来，我们看一个学生解题能力的高低，往往是看他是否能采用灵活和简捷的方法，因而灵活的解题运算技巧在运算能力的提高中具有重要作用，合理的解题技巧要以简化解题运算程序，提高解题运算速度，经常注意解题的合理技巧的培养及训练，还可以锻炼学生的观察分析能力，使思维敏捷而深刻，长期的训练学生合理的解题运算技巧，使他们会探索、会思考、会独立地分析问题和解决问题，才能使之终生受益。

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参考文献

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