第一篇：第一章 数的整除教材分析

第一章 数的整除

教学中要注意的问题

“数的整除”作为小学算术、小学数学的教学内容由来己久。这部分内容的特点是概念多，而且抽象，概念之间的联系紧密。因此被认为是小学数学中发展学生的逻辑思维能力，特别是判断、推理能力不可多得的重要内容。二期课改中把这部分内容编排在初中阶段。

本章中概念较多，而且比较抽象，概念的前后联系 非常紧密，教学时要找准知识的“固着点”和“生长点”，联系学生己有知识，通过具体事例来讲清概念，使用教材中的图表和集合图给学生提供表象支撑，加强概念的理解。再通过例题巩固相关内容；最后回到解决实际问题中去深化理解。减少运算的训练量，注重运算的合理性和多样性.1.理解自然数和整数的定义

2.在本章学习的整数，在没有特别说明时，都是指正整数.3.理解整除的意义

整除的意义：整数a除以整数b（记作a÷b），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a能被b整除(a÷b);或者说b能整除a(a÷b)．

训练学生规范表述整除的两种表达方式 4.整除的条件：三整一零 5.整除和除尽的关系

6.理解因数和倍数的意义及它们之间的 相互依 存关系，整数a能被整数b整除(a÷b)，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数(注意完整表述)．掌握求一个正整数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数有有限个，倍数有无限个，注意不遗漏.本章只限制在正整数范围内研究问题，所以不必扩展, 不必对学生作解释，只要教学时不涉及0就可以了.找一个数的倍数或因数，既能巩固倍数和因数的

概念，也为研究2，5的倍数的特征以及建构素数和合数的意义作准备.探索找一个数的倍数或因数的方法，教学重点是建立相应的数学模型，经历“实际问题一数学模型一解释应用”的过程.7.有关数轴

8、《数学课程标准》明确要求:在1--100的自然数中，找出10以内某个自然数的所有倍数;在1--100的自然数中，找出某个自然数的所有因数.教材在编排练习题时，严格遵守这些规定。第7页第4题写36等的倍数，只要从小到大写出3个，并用省略号表示个数无限。

另外，第2题让学生体会倍数与因数是一种关系，客观存在于两个具体的自然数之间。因此，要通过完整的语言表达关系，让学生体会这种关系，如2是4的因数、4是2的倍数，不能说成“4是倍数”或“2是因数”.9、偶数的概念、特征，最小的偶数

整除问题一般限定在正整数范围考虑，所以实 际仅仅研究了正奇数、正偶数.10、教学被2，5整除的数的特征，能进一步理解倍数的意义，2和5的倍数的特征都表现在数的个位上，比较明显，易发现，引导学生通过操作、观察、比较、分析，主动发现和归纳特征.11、教学中补充能被3整除的数的特征，对后面的学习是有益的，例如判断一个正整数是素数还是合数时，对于87，知道它能被3整除，那一定是合数；在用短除法解决问题时等等.12、理解素数和合数的概念，课本列出100以内的素数表，不要求学生背出这些素数，但是熟悉20以内常见的8个素数还是必要的，还有一些数，如39、51、91等是合数.13、“1”既不是素数也不是合数是一种规定，应使学生 知道这种规定的合理性，进一步明确素数和合数概念的内涵。

在讲完概念后，可以结合练习1、2增加练习，引导学生区分因数和倍数，素数和合数，奇数和偶数等不同 概念，防止将所学知识相互混淆.14、理解素因数的意义，对于一个数的素因数，要理解两种不同的要求：对于一个数有哪些素因数，必须说出它的每一个素因数，如24的素因数有4个：2，2，2，3，而不能只说2和3；而对于哪些数是一个数的素因数，则可以根据要求来说，如2和3都是24的素因数.15、分解素因数

“树枝分解法”、“口算法”、“短除法”是为以后的求最大公因数和最小公倍数作准备，要求学生熟练掌握“短除法”.因此建议教学完相关概念和方法后，单列一节课对短除法进行巩固，让学生习惯这种写法.(分解素因数的方法不唯一，学生做题时除题目规定可自行选择，不必强求用短除法.要注意的是：把一个合数分解素因数，思考过程与连乘算式正好相反，表达形式也正好相反，要引导学生注意分解素因数的书写格式.强调写出一个数的素因数与因数和分解素因数的区别.16、在现实的情境中教学概念，让学生通过解决实际问题的活动理解公因数、公倍数的含义.让学生感受学习数学是有用的，是为了解决现实生活中的问题的.克服了这一章由知识的特性而带来的枯燥，激发学生学习的兴趣.再如：在第17页教学完例3后，出现了本章开始的问题。这样安排体现了从问题中来又又回到 问题中去，教学时点明数学在认识世界、改造世界中的作用，激发学生学习数学的兴趣.17、突出概念的内涵，让学生准确理解概念.概念的内 涵是指这个概念所反映的一切对象的共同的本质属性。公因数是几个数公有的因数，公倍数是几个数公有的倍数，可见“几个数公有的”是公因数和公倍数这两个概念的本质属性.在因数、倍数的基础上教学公因数、公倍数，关键在于突出“公有”的含义.18、集合图能直观形象地显示公因数、公倍数的含义.第15页把24的因数与32的因数分别写到两个集合圈里，这两个集合圈有一部分重叠，在重叠部分里写的数既是24的因数，又是32的因数，是24和32的公因数.既渗透集合思想，又帮助学生进一步理解.教学时可让学生先观察这个集合图，再填写集合图.19、运用数学概念，让学生探索找两个数的最大公因数、最小公倍数的方法.本章只教学两个数的公因数、最大公因数和两个数的公倍数、最小公倍数，因为这些是最基础的数学知识，在约分和通分时应用最多.区别用短除法解决不同的问题，有些问题中，应先观察规律，在考虑是否用短除法.要总结规律.拓展课求三个数的最小公倍数要教, 但不考.在引导并得出两个具有特殊关系的整数找最大公因数最小公倍数的方法时，可以先让学生按照短除法来求四组数的最大公因数或最小公倍数，引导学生观察、讨论每一组的特点，归纳出两种特殊情况下求最大公因数或最小公倍数的结论性语言，并告诉学生，能直接看出最大公因数或最小公倍数的就不必再用短除法了.20、教材第20页例3是求两个数的最大公因数和最小公倍数。由于这两种方法比较相近，因此学生常因概念不清而发生混淆.通过例题3把两数既不互素也不成倍数关系时，求它们的最大公因数和最小公倍数的方法进行比较，教学时最后可以把两数互素和两数成倍数关系时求最大公因数和最小公倍数用图表进行梳理和比较.

第二篇：数的整除，分析与解

【内容概述】

能被2，3，4，5，8，9，11整除的数的数字特征，以及与此相关的整数的组成与补填问题，乘积末尾零的个数的计算．

1.整数a除以整数b(b≠0)，所得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除(也可以说b能整除a)，记作b︱a．如:15÷5=3，所以15能被5整除(5能整除15)，记作5︱15．

反之，则称为不能整除，用“”表示，如715.如果整数a能被整数b(b≠0)整除，则称a是b的倍数，b是a的约数．如15是5的倍数，5是15的约数．

特别的，注意0÷b=0(b≠0)，所以说零能被任何非零整数整除，零也是任何非零整数的倍数．

还有0÷1=0，所以说1能整除任何整数，1是任何整数的约数．

因为整除均在整数范围内考察，所以以下所指之数不特加说明均指整数．

2．整除的性质：

性质1.如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被C整除．

性质2.如果bc︱a，那么b︱a，c︱a．

如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．

性质3.如果b︱a，c︱a，且b、c互质，那么bc︱a．

如果b、c都能整除，且b和c互质，那么b与c的积能整除a．

性质4.如果c︱b，b︱a，那么c︱a．

如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．

3.一些质数整除的数字特征(约数只有1和它本身的数，称为质数)：

(1)能被2整除的数，其末位数字只能是0，2，4，6，8；

(2)能被3整除的数，其各位的数字和能被3整除；

(3)能被5整除的数，其末位数字只能是0，5；

(4)能被7整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与的差(大减小)能被7整除(即能被7整除，7︱-或7︱-)；

(5)能被11整除的数，其末三位与前面隔开，末三位与的差(大减小)能被11整除(即能被11整除11︱-或11︱)或者，其所得的差能被11整除；

表示这是一个多位数，而不是q与p、o、c、b、a等数的乘积，下同．

4．对于合数，先把合数分解质因数，再一个一个的考察．这样就化归为质数整除问题，对于分解质因数，详见《质数、合数与分解质因数》．

5．对于一些特殊的合数的判断方法．

能被4整除的数，末两位数能被4整除；

能被8整除的数，末三位数能被8整除；

能被25整除的数，末两位数能被25整除；

能被125整除的数，末三位能被125整除；

能被9整除的数，其数字和一定是9的倍数．

范例1

在公元9世纪，有个印度数学家——花拉子米写有一本《花拉子米算术》，他们计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算过程丢失而经常检验加法运算是否正确．所以后来人把这种算法称为“土盘算法”．

如：1234+1898+18922+678967+178902=889923．他们看1234的数字和为，10除以9余1，1898的数字和除以9余8，18922的数字和除以9余4，678967的数字和除以9余7，178902的数字和除以9余0，余数的和除以9余2；而等式的右边889923除以9的余数为3．所以上面的加法算式一定是错误的．

为什么呢?

6．若干个数相乘，求其末尾有多少个连续的0，只要把这个乘积中的因数2与5的个数分别找出来，其中较少的因数个数就是积的末尾连续的0的个数．

范例2

试求1981×1982×1983×1984×1985×…×2005这25个数相乘，积的末尾有多少个连续的“0”?

【分析与解】其中1985，1990，1995，2000，2005含有因数5分别有1，1，1，3，1个，所以共有l+1+1+3+1=7个因数5；

其中1982，1984，1986，1988，1990，1992，1994，1996，1998，2000，2002，2004含有因数2，分别有1，6，1，2，1，3，1，2，1，4，1，2个，所以共有1+6+1+2+1+3+1+2+1+4+1+2=25个因数2．

其中因数5较少，含有7个，所以题中25个数的乘积末尾连续的0的个数为7．

评注：多数情况下，若干个连续的数相乘，需求其末尾连续0的个数．因为因数2的个数远多于因数5的个数，所以只考虑因数5的个数即可．

7.还有一种很重要的方法：试除法．如【典型问题】1、2、3、5、6等类问题都可以使用试除法．

如果一个数能同时被多个整数整除，那么一定能被这些数的最小公倍数整除，而求多个数的最小公倍数，则可以采用如下两种方法：

①短除法

求两个或以上数的最小公倍数，可以使用短除法．

范例3

试求120、180、300的最小公倍数．

【分析与解】

于是(120，180，300)=30×2×2×3×5=1800．

②分解质因数

将一组数的每个数严格分解质因数，然后提出每个质因数的最高次所对应的数，将这些提出的数相乘，求出积就是最小公倍数．

8．有时也可以将问题视为数字谜问题，如【典型问题】5、6类问题．

1．173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少?

【分析与解】方法一：利用整除特征

注意能被9，11，6整除的数的特征：

能被9整除的数，其数字和是9的倍数；

能被11整除的数，其和与的差为11的倍数；或将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是11的倍数；

能被6整除的数，其数字和是3的倍数，且末位为0，2，4，6，8的其中之一.1+7+3=ll，当口内填入7时，1735的数字和为18，为9的倍数，所以当口内填7所组成的数为9的倍数；

173口的奇数位数字和为7+口，偶位数数字和为1+3=4，所以当口内填11+4-7=8时，和与的差为11，所组成的数为11的倍数；

1+7+3=11，当口内填入l，4，7时，为3的倍数，但只有4为偶数，所以当口内填入4组成的数为6的倍数．

所以，这三种情况下填人口内的数字的和为7+8+4=19．

方法二：采用试除法

用1730试除，1730÷9=192……2，1730÷1l=157……3，1730÷6=288……2．

所以依次添上(9-2=)7、(11-3=)8、(6-2=)4后得到的1737、1738、1734依次能被9、11、6整除．

所以，这三种情况下填入口内的数字的和为7+8+4=19．

2．如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少?

【分析与解】

因为105=3×7×5，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的特征即可．

而能被7整数的数，将其后三位与前隔开，将新组成的两个数作差，将是7的倍数；

能被5整数的数，其末位只能是0或5．

方法一：利用整除特征

末位只能为0或5．

①

如果末位填入0，那么数字和为1+9+9+2+口+0=21+口，要求数字和是3的倍数，所以口可以为0，3，6，9，验证均不是200-199=1，230-199=31，260-199=61，290-199=91，有9l是7的倍数，即199290是7的倍数，所以题中数字的末两位为90．

②如果末位填入5，同上解法，验证没有数同时满足能被3、7、5整除的特征．

所以，题中数的末两位只能是90．

方法二：采用试除法

用199200试除，199200÷105=1897……15，余15可以看成不足(105-15=)90．所以补上90，即在末两位的方格内填人90即可．

3．某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?

【分析与解】

方法一：利用整除特征

因为这个数能被5整除，所以末位只能是0或5，又能被2整除，所以其末位为偶数，所以只能是0．

在满足以上条件的情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．

又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍数，，的数字和分别为24+A，26+B，28+C，30+D，对应的A、B、C、D只能是3，1，8，6．即末三位可能是320，140，860，680．

而只有320，680是8的倍数，再验证只有1993320，1993680中只有1993320是7的倍数．

因为有同时能被2，4，5，7，8，9整除的数，一定能同时被2，3，4，5，6，7，8，9这几个数整除，所以1993320为所求的这个数．

显然，其末三位依次为3，2，0．

方法二：采用试除法

一个数能同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，而将这些数一一分解质因数：，所以这个数一定能被××5×7=8×9×5×7=2520整除．

用1993000试除，1993000÷2520=790……2200，余2200可以看成不足2520-2200=320，所以在末三位的方格内填入320即可．

4．从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少?

【分析与解】

因为[3，5，7，13]=1365，在100000之内最大的1365的倍数为99645(100000÷1365=73……355，100000-355=99645)，有99645-1365=98280，98280-1365=96915．96915-1365=95550．95550-1365=94185．

所以，满足题意的5位数最大为94185．

5．修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少?

【分析与解】

方法一：采用试除法

823是质数，所以我们掌握的较小整数的特征不适用，31743÷823=38……469，于是31743除以823可以看成余469也可以看成不足(823-469=)354，于是改动某位数字使得得到的新数比原来大354或354+823n也是满足题意的改动．

有n=1时，354+823：1177，n=2时，354+823×2=2000，所以当千位增加2，即改为3时，有修改后的五位数33743为823的倍数．

方法二：视作数字谜

假设改动数位不是首位与末位，那么我们考虑3口口口3除以823的商：

30003÷823=36……375；39993÷823=48……489．

所以商在37～48之间，而823的个位3只有与1相乘所得的积才是3，所以这个商的尾数为1，这样的数字在37～48之问，只有41．

有823×41=33743．所以改动31743的千位为3即可．

6．在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?

【分析与解】方法一：采用试除法

如果一个数能同时被17和19整除，那么一定能被323整除．

110011÷323=340……191，余191也可以看成不足(323-191=)132．

所以当132+323n是100的倍数时，才能保证在只改动110011的千位、百位数字，而得到323的倍数．

所以有323n的末位只能是10-2=8，所以n只能是6，16，26，…

验证有n=16时，132+323×16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．

方法二：视为数字谜

因为[17，19]=323，所以有：

注意，第3行的个位数字为1，于是乘数的个位数字只能为7，所以第3行为323×7=2261；

于是有

所以第4行的末位为10+1-6=5，所以乘数的十位数字只能为5，于是第4行为323×5=1615；

于是有，所以第5行在(110011-16150-2261=)91600～(119911-16150-2261=)101500之间，又是323×100的倍数，所以只能为32300×3=96900；

于是最终有

.所以题中的方框内应填入5，3这两个数字．

7．已知四十一位数55…5口99…9(其中5和9各有20个)能被7整除，那么中间方格内的数字是多少?

【分析与解】

我们知道这样的六位数一定能整除7、11、13；

下面就可用这个性质来试着求解：

由上知的末6位数999999必定整除7；

有=×1000000+999999；于是只用考察：

×1000000，又因为1000000，7互质，所以1000000对整除7没有影响，所以要求一定是7的倍数．

注意到，实际上我们已经将末尾的6个9除去；

这样，我们将数字9、5均6个一组除去，最后剩下的数为口，即55口99．

我们只用计算55口99当“口”取何值时能被7整除，有口为6时满足.评注：对于含有类似的多位数，考察其整除7、11、13情况时，可以将一组一组的除去，直接考察剩下的数．

8．用数字6，7，8各两个，组成一个六位数，使它能被168整除．这个六位数是多少?

【分析与解】

因为168=20×3×7，所以组成的六位数可以被8、3、7整除．

能够被8整除的数的特征是末三位组成的数一定是8的倍数，末两位组成的数一定是4的倍数，末位为偶数．

在题中条件下，验证只有688、768是8的倍数，所以末三位只能是688或768，而又要求是7的倍数，由上题知形式的数一定是7、11、13的倍数，所以768768一定是7的倍数，口口口688的口不管怎么填都得不到7的倍数．

至于能否被3整除可以不验证，因为整除3的数的规律是数字和为3的倍数，在题中给定的条件下，不管怎么填数字和都是定值，必须满足，不然本题无解．

当然验证的确满足．

所以768768能被168整除，且验证没有其他满足条件的六位数．

9．将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：***13…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少?

【分析与解】

因为72=×，所以这个数必须是8的倍数，即后三位必须是8的倍数(也一定有后二位为4的倍数，末位为偶数)，且数字和是9的倍数.有456，312，516，920，324，728，132，536…均是4的倍数，但是只有456，920，728，536是8的倍数．

验证这些数对应的自然数的数字和：

456对应123456，数字和为2l，920对应123…91011…1920，数字和为102，728对应123…91011…192021…28，数字和为154，536对应123…91011…192021…293031…36，数字和为207，所以在上面这些数中，只有536对应的123…91011…192021…293031…36既是8的倍数，又是9的倍数．

所以，满足题意的自然数为36．

10．1至9这9个数字，按图4-1所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在l和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?

【分析与解】

在解这道题之前我们先看一个规律：的差一定是

(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数．对于上面的规律想想为什么?)

那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．

于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．

注意图中的具体数字，有(3，4)处、(8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．

而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．

进一步验证，有(9，3)处剪开的末两位数字之差为43-19=24，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之差为62-3=28．86-42=44，58-26=32，85-17=68，91-57=34，71-39=32．

所以从(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．

(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．

11．有15位同学，每位同学都有编号，他们是l号到15号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：

(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?

(2)如果告诉你，1号写的数是五位数，请求出这个数．

【分析与解】

(1)列出这14个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15.注意到如果这个数不能被2整除，那么一定不能被4、6、8、10…等整除，显然超过两个自然数；类。似这种情况的还有3～6、9…；4～8、12…；5～10、15…；6～12…；

若不能被7整除，那么一定不能被14整除，而这两个自然数不连续；

若不能被12整除，那么4和3中至少有一个不能整除1号所说的自然数，而12与3、4均不连续；类似这种情况的还有10(对应2和5)；14(对应2和7)；15(对应3和5)；

这样只剩下8、9、11、13，而连续的只有8、9．

所以说的不对的两位同学的编号为8、9这两个连续的自然数．

(2)由(1)知，这个五位数能被2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15整除．

所以[2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15]=×3×5×7×11×13=60060．

所以1号写出的五位数为60060．

12．找出4个不同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除．如果要求这4个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这4个数里中间两个数的和是多少?

【分析与解】

我们设这四个数中最小的一个数为a，要求4个最大的数与最小的数的和尽可能小，则先尽量让a最小．

当a=1，设4个数中另外三个数中某个数为b，有等必须为整数，而=1+，则2能被(b-1)整除，显然(b-1)只能为2或1，对应b只能是3或2，但是题中要求a至少能与三个数存在差能被和整除的关系，所以不满足．

当a=2，设4个数中另外三个数中某个数为c，有必须为整数，而=l+，则4能被(c-2)整除，有(c-2)可以为4、2、1，对应c可以为6、4或3．

验证6、4、3、2是满足条件的数组，它们的中间两个数的和为4+3=7即为题中条件下的和．

试求6个不同的正整数，使得它们中任意两数之积可被这两个数之和整除．

【试题分析】

取六个数1，2，3，4，5，6，并把它们两两相加得到15个和：

1+2，l+3，…，5+6．

这15个和的最小公倍数是：

×××5×7×11=27720．

把它依次乘所取的六个数得：27720，55440，83160，110880，138600及166320.这六个数就满足题目的要求．

13．把若干个自然数1，2，3，…乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少?

【分析与解】

方法一：要求乘积的末十三位均是0，那么这个乘积至少含有13个质因数2，13个质因数5．

连续的自然数中2的倍数的个数远大于5的倍数的个数．所以只用考虑质因数5的个数，有：13×5=65，而1～65中，25、50均含有2个质因数5．

所以只需连乘到(13-2)×5=55即可．也就是说1×2×3×…的积的末十三位均是0，那么最后出现的自然数最小应是55．

方法二：我们分段考虑质因数5的出现的情况：

在1至9中，有5本身，出现1次因数5；

在10至19中，有10、15，出现2次因数5；

在20至29中，有20、25，由于25=5×5，5出现了2次，所以共出现3次因数5；

在30至39、40至49中，各出现2次5的因子，至此共出现了l+2+3+2+2=10次5的因子．

在50至59中，有50、55、50=2×5×5出现了两次5的次因子，所以这里共有3个5的因子．

所以到55为止，共出现13次5的因子，55为出现的最小自然数，使得2乘到它的结果中末尾有13个0．

14.975×935×972×口，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数?

【分析与解】

975含有2个质因数5，935含有1个质因数5，972含有2个质因数2．而975×935×972×口的乘积最后4个数都是0．

那么，至少需要4个质因数5，4个质因数2．

所以，口至少含有1个质因数5，2个质因数2，即最小为5×2×2=20．

15．如图4-2，依次排列的5个数是13，12，15，25，20．它们每相邻的两个数相乘得4个数．这4个数每相邻的两个数相乘得3个数．这3个数每相邻的两个数相乘得2个数．这2个数相乘得1个数．请问：最后这个数从个位起向左数．可以连续地数出几个零?

【分析与解】

如下图，我们在图中标出每个数含有质因数2、5的个数，除第一行外，每个数都是上一行左、右上方两数的乘积，所以每个数含有质因数2、5的个数也都是上一行左、右上方两数含有质因数2、5个数的和．

所以，最后一行的一个数含有10个质因数2，15个质因数5．

而一个数末尾含有连续0的个数决定于质因数2、5个数的最小值，所以最后一行的一个数末尾含有10个连续的0．

习题1

1～9九个数字按图4-3所示的次序排成一个圆圈，请在某两个数之间剪开，分别按顺时针和逆时针次序形成两个九位数．如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么应在何处剪开?

习题2

有20位同学，每位同学都有编号，他们是1号到20号．1号同学写了一个自然数，2号说：“这个数能被2整除”，3号说：“这个数能被3整除”，……，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除．1号作了一一验证：只有编号连续的两位同学说得不对，其余同学都对．问：

(1)说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数?

(2)如果告诉你，1号写的数是七位数，请求出这个数．

习题1

【分析与解】

在解这道题之前我们先看一个规律：

与的差一定是

(如：12365为原序数，那么它对应的反序数为56321，它们的差43956是99的倍数．对于上面的规律想想为什么?)

那么互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．

而396=99×4，所以我们只用考察它能否能被4整除．

于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能．

注意图中的具体数字，有(3，8)处、(8，1)处、(1，6)处、(4，9)处、(9，2)处、(2，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．

而(6，4)处、(5，7)处、(7，3)处奇偶性相同，有可能满足．

进一步验证，有(6，4)处剪开的末两位数字之差为94-16=78，不是4的倍数，不满足．

(5，7)处剪开则有末两位数字之差为37-25=12，是4的倍数，满足．

(7，3)处剪开则有末两位数字之差为83-57=26，不是4的倍数，不满足．

所以只能从5、7处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的倍数．

习题2

【分析与解】(1)列出这19个除数：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20．24、6、8、10、12、14、16、18、20，所以一定能被2整除；36、9、12、15、18，所以一定能被3整除：48、12、16、20，所以一定能被4整除；510、15、20，所以一定能被5整除；

612、18，所以一定能被6整除；

714，但是7、14不连续，所以一定能被7整除；

816，但是8、16不连续，所以一定能被8整除；

918，但是9、18不连续，所以一定能被9整除；

1020，但是10、20不连续，所以一定能被20整除：

11，保留；

12不能被3或4整除，它们又不连续，所以一定能被12整除；

13，保留；

14不能被2或7整除，它们又不连续，所以一定能被14整除；

15不能被3或5整除，它们又不连续，所以一定能被15整除；

16，保留；

17，保留；

18不能被2或9整除，它们又不连续，所以一定能被18整除；

19，保留；

20不能被4或5整除，它们又不连续，所以一定能被20整除．

其中，保留的数有11，13，16，17，19，但是只有16、17两个数连续，所以说得不对的两个同学的编号为16、17．

(2)由(1)知，这个七位数能被2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20整除．如下所示：

[2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，18，19，20]=××5×7×11×13×19=6846840．

所以1号写出的七位数为6846840．

第三篇：数的整除教案

1、使学生理解自然数与整数的意义．

2、使学生掌握整除、约数与倍数的概念．

3、培养学生抽象概括与观察物的能力． 教学过程

一、建议自然数与整数的概念

1、谈话引入：今天这节课，我们学习数的整除．（板书课题）

2、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？

（教师板书：整数、小数、分数）

同学们会数数吧？（学生数数）

（教师板书：1、2、3、4、5、）

继续数下去，能数到头吗？

数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？

（教师板书：“„„”）

3、教师小结：

用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数．（板书：自然数）

提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？

当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0）

二、建立整除的概念

1、教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学阶段，我们研究整除不包括“0”．

2、出示卡片 1.2÷4

提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？

3、再出示卡片：10÷20，16÷5，15÷3，36÷9，24÷2

提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？

教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件．

4、教师说明：被除数和除数都是自然数，如：10÷20，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商．

组织学生口算出5张卡片的商．（其中16÷5指定回答“商几余几”）

提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？

排除没有整除关系的卡片，指15÷3=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除．

5、学生举例

6、提问：用字母a表示这样的被除数，用b表示这样的除数，商怎么样，我们就说a能被b整除呢？

这样看来，整除除了被除数和除数都是自然数外，还得有一个什么条件？

教师明确：商是自然数，没有余数是整除的又一个重要的条件．

7、出示卡片（区别整除和除尽）

4÷3=1.3 18÷18=1 7÷5=1.4

4÷0.2=20 42÷6=7

三、建立约数与倍数的概念

1、教师说明：当数a能被数b整除时，a就是b的倍数；b就是a的约数．

2、联想训练：教师说一句由学生说出另外两句．

如：教师：15能被3整除（生：15是3的倍数，3是15的约数）

教师：36是9的倍数（生：36能被9整除，9是36的约）

教师：2是24的约数(生：24能被2整除, 24是2的倍数)

教师：7不能被4整除(生：7不是4的倍数,4又不是7的约数)

3、区分“倍数”与“几倍”

教师提问：能说4是0.2的倍数吗?为什么?

4、判断

12是3的倍数()7是21的约数()

1是25的约数()3.6是3的倍数()

4是约数()（说明：通过此题，深化倍数、约数相互依存的关系）

四、巩固练习

思考题：1，3，6，9，12这几个数中谁与谁之间有约数和倍数的关系？

五、课堂小结

1、数的整除是在自然数范围内讨论的．

2、两个数之间，一旦具备整除关系，那么这两个数之间必定还具有约数、倍数的关系．所以，整除是前提，倍数、约数是在这个前提下必然产生的一种结果．

六、布置作业

1、下面的说法对吗？说出理由．

（1）因为36÷9＝4，所以36是倍数，9是约数．

（2）57是3的倍数．

（3）1是1、2、3、4、5，„„的约数．

2、一个数是42的约数，同时又是3的倍数．这个数可以是多少？

七、板书设计 数的整除

整数a除以整数b（b≠0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）

如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或因数）．

探究活动 把数分类 活动目的

1、使学生掌握奇数、偶数、约数、倍数的交叉关系和区别．

2、帮助学生建立完整的知识结构． 活动题目

桌上有20张卡片，在这些卡片上分别写着1，2，3，„19，20这20个数．请将这20个数加以分类． 活动过程

1、学生以小组为单位讨论．

2、汇报讨论结果．

3、交流收获． 参考答案

要把这20个数分类，首先确定分类标准，不同的标准有不同的分类方法．

1、根据数的奇偶性分类．

奇数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19

偶数：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20

2、根据数的位数分类．

一位数：1，2，3，4，5，6，7，8，9

两位数：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

3、根据是否大于8分类．

大于8：9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20

不大于8：1，2，3，4，5，6，7，8

4、根据约数个数的多少分类．

一个约数：1

两个约数：2，3，5，7，11，13，17，19

两个以上约数：4，6，8，9，10，12，14，15，16

5、根据约数的个数是否是奇数分类．

约数的个数是奇数：1，4，9，16

约数的个数是偶数：2，3，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，17，18，19，20

第四篇：数的整除反思

“数的整除”教学反思

东于中心校水屯营小学校

刘瑞红

在“数的整除”这部分内容中，虽然学生已经学过，但数的整除都是一些纯数学的概念，掌握的情况并不是很理想，针对这种情况，我是先让学生在课前预习，让他们对整除中的概念有一个温习的过程，接着在课堂上在通过老师的引导，让学生系统、全面地把所有的概念结合起来，用图例来让学生认识每一个概念的由来，与其他概念的结合点，最后通过练习进一步加深理解。

在今天的课堂上，出现了很多的问题：

第一，每一概念的出现都是教师硬塞给学生的。课后我也反思了，为什么会这样呢？我觉得问题还是出在我的设计上，如：公倍数出现，教师让学生去找两个数的倍数，然后提出把两个集合图并起来，再得出什么是公倍数，什么是公约数。在这过程中，老师是让学生做什么，学生就去做什么，学生的自主意识完全没了，学生也不知道为什么要这样做，做了之后会得到什么。我想，在我今后的复习课中，应尽量避免这样的情况再次出现，第二，每个概念之间的衔接不恰当，导致学生的思维比较乱。解析：概念多，如：在教学完能被2、3、5整除数的特征后，我是想通过38÷2＝19，让学生通过说，38是2的倍数，2是38的约数，从而引出倍数和约数的概念，但为了让学生理解2的倍数，就是能被2整除的数的特征，再次提到能被2整除的数。再如，如何让学生系统地认识“倍数——公数数——最小公倍数，约数——公约数——最大公约数”这两组概念间的关系。第三，课堂效率并不高，解析：概念联系性强，如：有关约数，可以根据约数的个数可将自然数分成1、质数和合数，同时为了方便，我们可以将合数进行分解质因数，分解后每个因数就是这个合数的质因数，这个质因数一定是个质数，这一连串的关系比较抽象。

另外，在这堂课中的唯一收获，就是总结，在总结中，我是与学生连说每个概念，边把概念与概念之间的联系线板书出来。要这个总结中，才达到了我最后的教学目标，把所有的概念系统化了，让学生全面地认识知识。

改进：学生课前预习，课堂中让学生先说说每个概念及意义，再集体整理。

第五篇：数的整除概念

数的整除概念

1.1 整数和整除的意义

1．在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，„„，叫做整数

2．在正整数1,2,3,4,5，„„，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，„„，叫做负整数

3.零和正整数统称为自然数

4．正整数、负整数和零统称为整数

5．整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

1.2 因数和倍数

1．如果整数a能被整数b整除，a就叫做b倍数，b就叫做a的因数

3．一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身

4．一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身

1.3能被2,5整除的数

1．个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除

3．在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数

4．在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数

5．个位数字是0,5的数都能被5整除

6.0是偶数

1.4 素数、合数与分解素因数

1．只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数

2．除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数

3.1既不是素数也不是合数

4．奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数

5．每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数

6．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。

7．通常用什么方法分解素因数: 树枝分解法,短除法

1.5 公因数与最大公因数

3．把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数

4．如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数

5．如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是1

1.6公倍数与最小公倍数

2．几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数

3．求两个数的最小公倍数，所得的积就是他们的最小公倍数

45．如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是；两个数的乘积