第一篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第五讲 倒推法的妙用

第五讲 倒推法的妙用

在分析应用题的过程中，倒推法是一种常用的思考方法.这种方法是从所叙述应用题或文字题的结果出发，利用已知条件一步一步倒着分析、推理，直到解决问题.例1 一次数学考试后，李军问于昆数学考试得多少分.于昆说：“用我得的分数减去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.”小朋友，你知道于昆得多少分吗？

分析 这道题如果顺推思考，比较麻烦，很难理出头绪来.如果用倒推法进行分析，就像剥卷心菜一样层层深入，直到解决问题.如果把于昆的叙述过程编成一道文字题：一个数减去8，加上10，再除以7，乘以4，结果是56.求这个数是多少？

把一个数用□来表示，根据题目已知条件可得到这样的等式：

｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的数呢？我们可以从结果56出发倒推回去.因为56是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是减8以后得到的，减8以前是88＋8＝96.这样倒推使问题得解.解：｛［（□－8）＋10］÷7｝×4＝56

［（□－8）＋10〕÷7＝56÷4(□－8）+10＝14×7 □－8＝98－10 □＝88+8 □＝96

答：于昆这次数学考试成绩是96分.通过以上例题说明，用倒推法解题时要注意：

①从结果出发，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算.③列式时注意运算顺序，正确使用括号.例2 马小虎做一道整数减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的7看成1，结果得出差是111.问正确答案应是几？

分析 马小虎错把减数个位上1看成7，使差减少7—1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70—10＝60.因此这道题归结为某数减6，加60得111，求某数是几的问题.解：111－（70—10）＋（7—1）＝57

答：正确的答案是57.例3 树林中的三棵树上共落着48只鸟.如果从第一棵树上飞走8只落到第二棵树上；从第二棵树上飞走6只落到第三棵树上，这时三棵树上鸟的只数相等.问：原来每棵树上各落多少只鸟？

分析 倒推时以“三棵树上鸟的只数相等”入手分析，可得出现在每棵树上鸟的只数48÷3＝16（只）.第三棵树上现有的鸟16只是从第二棵树上飞来的6只后得到的，所以第三棵树上原落鸟16—6＝10（只）.同理，第二棵树上原有鸟16＋6—8＝14（只）.第一棵树上原落鸟16＋8＝24（只），使问题得解.解：①现在三棵树上各有鸟多少只？48÷3＝16（只）

②第一棵树上原有鸟只数.16＋8＝24（只）

③第二棵树上原有鸟只数.16＋6—8＝14（只）

④第三棵树上原有鸟只数.16—6＝10（只）

答：第一、二、三棵树上原来各落鸟24只、14只和10只.例4 篮子里有一些梨.小刚取走总数的一半多一个.小明取走余下的一半多1个.小军取走了小明取走后剩下一半多一个.这时篮子里还剩梨1个.问：篮子里原有梨多少个？

分析 依题意，画图进行分析.解：列综合算式：

｛［（1＋1）×2＋1］×2＋1｝×2

＝22（个）

答：篮子里原有梨22个.例5 甲乙两个油桶各装了15千克油.售货员卖了14千克.后来，售货员从剩下较多油的甲桶倒一部分给乙桶使乙桶油增加一倍；然后从乙桶倒一部分给甲桶，使甲桶油也增加一倍，这时甲桶油恰好是乙桶油的3倍.问：售货员从两个桶里各卖了多少千克油？

分析 解题关键是求出甲、乙两个油桶最后各有油多少千克.已知“甲、乙两个油桶各装油15千克.售货员卖了14千克”.可以求出甲、乙两个油桶共剩油15×2－14＝16（千克）.又已知“甲、乙两个油桶所剩油”及“这时甲桶油恰是乙桶油的3倍”.就可以求出甲、乙两个油桶最后有油多少千克.求出甲、乙两个油桶最后各有油的千克数后，再用倒推法并画图求甲桶往乙桶倒油前甲、乙两桶各有油多少千克，从而求出从两个油桶各卖出多少千克.解：①甲乙两桶油共剩多少千克？

15×2-14＝16（千克）

②乙桶油剩多少千克？16÷（3＋1）＝4（千克）

③甲桶油剩多少千克？4×3＝12（千克）

用倒推法画图如下：

④从甲桶卖出油多少千克？ 15-11＝4（千克）

⑤从乙桶卖出油多少千克？ 15—5＝10（千克）

答：从甲桶卖出油4千克，从乙桶卖出油10千克.例6 菜站原有冬贮大白菜若干千克.第一天卖出原有大白菜的一半.第二天运进200千克.第三天卖出现有白菜的一半又30千克，结果剩余白菜的3倍是1800千克.求原有冬贮大白菜多少千克？

分析 解题时用倒推法进行分析.根据题目的已知条件画线段图（见下图），使数量关系清晰的展现出来.解：①剩余的白菜是多少千克？1800÷3＝600（千克）

②第二天运进200千克后的一半是多少千克？

600＋30＝630（千克）

③第二天运进200千克后有白菜多少千克？

630×2＝1260（千克）

④原来的一半是多少千克？1260—200＝1060（千克）

⑤原有贮存多少千克？1060×2＝2120（千克）

答：菜站原来贮存大白菜2120千克.综合算式：

［（1800÷3＋30）×2—200］×2

＝2120（千克）

答：菜站原有冬贮大白菜2120千克.习题

1.某数除以4，乘以5，再除以6，结果是615，求某数.2.生产一批零件共560个，师徒二人合作用4天做完.已知师傅每天生产零件的个数是徒弟的3倍.师徒二人每天各生产零件多少个？

3.有砖26块，兄弟二人争着挑.弟弟抢在前，刚刚摆好砖，哥哥赶到了.哥哥看弟弟挑的太多，就抢过一半.弟弟不肯，又从哥哥那儿抢走一半.哥哥不服，弟弟只好给哥哥5块.这时哥哥比弟弟多2块.问：最初弟弟准备挑几块砖？

4.阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜.别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加

7、加9加10加11。”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？

习题答案

1.615×6÷5×4＝2952.2.提示：先找到4倍是多少个.①徒弟每天生产多少个？

560÷4÷（3＋1）＝35（个）

②师傅每天生产多少个？

35×3＝105（个）

答：徒弟和师傅每天各生产35个、105个.3.提示：先用“和差”解法求出弟弟最后挑几块砖：

（26-2）÷2＝12（块）

再用倒推法求出弟弟最初准备挑几块砖.｛（26－〔26－（12＋5）］×2｝×2

＝16（块）

答：弟弟最初准备挑砖16块.4.①买菜的钱：

1＋2＋3＋3＋2＋1＋1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋7＋8＋8＋7＋9＋10＋11＝100（元）

②总钱数：100×2×2＝400（元）

③买鱼的钱：400÷2÷2＝100（元）

答：阿凡提一共带了400元钱，买鱼用去100元钱.

第二篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第六讲 行程问题

第六讲 行程问题

（一）我们把研究路程、速度、时间以及这三者之间关系的一类问题，总称为行程问题.在对小学数学的学习中，我们已经接触过一些简单的行程应用题，并且已经了解到：上述三个量之间存在这样的基本关系：路程＝速度×时间.因此，在这一讲中，我们将在前面学习的基础上，主要来研究行程问题中较为复杂的一类问题——反向运动问题，也即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题.它又包括相遇问题和相背问题.所谓相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点作相向运动的问题；所谓相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点作背向运动的问题，下面，我们来具体看几个例子.例1 甲、乙二人分别从相距30千米的两地同时出发相向而行，甲每小时走6千米，乙每小时走4千米，问：二人几小时后相遇？

分析 出发时甲、乙二人相距30千米，以后两人的距离每小时都缩短6＋4＝10（千米），即两人的速度的和（简称速度和），所以30千米里有几个10千米就是几小时相遇.解：30÷（6＋4）

＝30÷10

＝3（小时）

答：3小时后两人相遇.例1是一个典型的相遇问题.在相遇问题中有这样一个基本数量关系：

路程＝速度和×时间.例2 一列货车早晨6时从甲地开往乙地，平均每小时行45千米，一列客车从乙地开往甲地，平均每小时比货车快15千米，已知客车比货车迟发2小时，中午12时两车同时经过途中某站，然后仍继续前进，问：当客车到达甲地时，货车离乙地还有多少千米？

分析 货车每小时行45千米，客车每小时比货车快15千米，所以，客车速度为每小时（45＋15）千米；中午12点两车相遇时，货车已行了（12—6）小时，而客车已行（12—6－2）小时，这样就可求出甲、乙两地之间的路程.最后，再来求当客车行完全程到达甲地时，货车离乙地的距离.解：①甲、乙两地之间的距离是：

45×（12—6）＋（45＋15）×（12—6—2）

＝45×6＋60×＝510（千米）.②客车行完全程所需的时间是： 510÷（45＋15）

＝510÷60

＝8.5（小时）.③客车到甲地时，货车离乙地的距离：

510—45×（8.5＋2）

＝510－472.5

＝37.5（千米）.答：客车到甲地时，货车离乙地还有37.5千米.例3 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.分析 首先应统一单位：甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米），乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.本题中，甲车的运动实际上可以看作是甲车乘客以每秒钟10米的速度在运动，乙车的运动则可以看作是乙车车头的运动，因此，我们只需研究下面这样一个运动过程即可：从乙车车头经过甲车乘客的车窗这一时刻起，乙车车头和甲车乘客开始作反向运动14秒，每一秒钟，乙车车头与甲车乘客之间的距离都增大（10＋15）米，因此，14秒结束时，车头与乘客之间的距离为（10＋15）×14＝350（米）.又因为甲车乘客最后看到的是乙车车尾，所以，乙车车头与甲车乘客在这段时间内所走的路程之和应恰等于乙车车身的长度，即：乙车车长就等于甲、乙两车在14秒内所走的路程之和.解：（10＋15）×1

4＝350（米）

答：乙车的车长为350米.我们也可以把例3称为一个相背运动问题，对于相背问题而言，相遇问题中的基本关系仍然成立.例4 甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地64千米处第一次相遇.相遇后两车仍以原速继续行驶，并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地48千米处第二次相遇，问两次相遇点相距多少千米？

分析 甲、乙两车共同走完一个AB全程时，乙车走了64千米，从上图可以看出：它们到第二次相遇时共走了3个AB全程，因此，我们可以理解为乙车共走了3个64千米，再由上图可知：减去一个48千米后，正好等于一个AB全程.解：①AB间的距离是

64×3－48

＝192－48

＝144（千米）.②两次相遇点的距离为

144—48－64

＝32（千米）.答：两次相遇点的距离为32千米.例5 甲、乙二人从相距100千米的A、B两地同时出发相向而行，甲骑车，乙步行，在行走过程中，甲的车发生故障，修车用了1小时.在出发4小时后，甲、乙二人相遇，又已知甲的速度为乙的2倍，且相遇时甲的车已修好，那么，甲、乙二人的速度各是多少？

分析 甲的速度为乙的2倍，因此，乙走4小时的路，甲只要2小时就可以了，因此，甲走100千米所需的时间为（4—1＋4÷2）＝5小时.这样就可求出甲的速度.解：甲的速度为：

100÷（4－1＋4÷2）

＝10O÷5＝20（千米/小时）.乙的速度为：20÷2＝10（千米/小时）.答：甲的速度为20千米/小时，乙的速度为10千米/小时.例6 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

分析 解这类应用题，首先应明确几个概念：列车通过隧道指的是从车头进入隧道算起到车尾离开隧道为止.因此，这个过程中列车所走的路程等于车长加隧道长；两车相遇，错车而过指的是从两个列车的车头相遇算起到他们的车尾分开为止，这个过程实际上是一个以车头的相遇点为起点的相背运动问题，这两个列车在这段时间里所走的路程之和就等于他们的车长之和.因此，错车时间就等于车长之和除以速度之和.列车通过250米的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，所以列车行驶的路程为（250—210）米时，所用的时间为（25—23）秒.由此可求得列车的车速为（250—210）÷（25—23）＝20（米/秒）.再根据前面的分析可知：列车在25秒内所走的路程等于隧道长加上车长，因此，这个列车的车长为20×25—250＝250（米），从而可求出错车时间.解：根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：

72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速度为：

（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）

某列车的车长为：

20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：

（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）.答：错车时间为10秒.例7 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车的速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在它们出发后的5小时.6小时，8小时先后与甲、乙、丙三辆车相遇，求丙车的速度.分析 甲车每小时比乙车快60-48＝12（千米）.则5小时后，甲比乙多走的路程为12×5＝60（千米）.也即在卡车与甲相遇时，卡车与乙的距离为60千米，又因为卡车与乙在卡车与甲相遇的6-5＝1小时后相遇，所以，可求出卡车的速度为60÷1-48＝12（千米/小时）

卡车在与甲相遇后，再走8-5＝3（小时）才能与丙相遇，而此时丙已走了8个小时，因此，卡车3小时所走的路程与丙8小时所走的路程之和就等于甲5小时所走的路程.由此，丙的速度也可求得，应为：

（60×5-12×3）÷8＝33（千米/小时）.解：卡车的速度：

（60-48）×5÷（6－5）－48＝12（千米/小时），丙车的速度：

（60×5－12×3）÷8＝33（千米/小时），答：丙车的速度为每小时33千米.注：在本讲中出现的“米/秒”、“千米/小时”等都是速度单位，如5米/秒表示为每秒钟走5米.行程问题

（一）习题

1.甲、乙两车分别从相距240千米的A、B两城同时出发，相向而行，已知甲车到达B城需4小时，乙车到达A城需6小时，问：两车出发后多长时间相遇？

2.东、西镇相距45千米，甲、乙二人分别从两镇同时出发相向而行，甲比乙每小时多行1千米，5小时后两人相遇，问两人的速度各是多少？

3.甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.4.甲、乙二人从相距100千米的A、B两地出发相向而行，甲先出发1小时.他们二人在乙出后的4小时相遇，又已知甲比乙每小时快2千米，求甲、乙二人的速度.5.一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长为385米，坐在快车上的人看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见快车驶过的时间是多少？

6.前进钢铁厂用两辆汽车从距工厂90千米的矿山运矿石，现有甲、乙两辆汽车，甲车自矿山，乙车自钢铁厂同时出发相向而行，速度分别为每小时40千米和50千米，到达目的地后立即返回，如此反复运行多次，如果不计装卸时间，且两车不作任何停留，则两车在第三次相遇时，距矿山多少千米？

习题答案

1.解：240÷（240÷4＋240÷6）＝2.4（小时）.2.解：①甲、乙的速度和45÷5＝9（千米/小时）.②甲的速度：（9＋1）÷2＝5（千米/小时）.③乙的速度：9—5＝4（千米/小时）.3.解：①A、B两地间的距离：

4×3—3＝9（千米）.②两次相遇点的距离：9－4－3＝2（千米）.4.解：①乙的速度为：

［100—2×（4＋1）］÷（4×2＋1）＝10（千米/小时）.②甲的速度为：10＋2＝12（千米/小时）.提示：甲比乙每小时快2千米，则（4＋1）小时快2×（4＋1）＝10（千米），因此，相当于乙走100—10＝90千米的路需（4×2＋1）＝9（小时）.5.解：280÷（385÷11）＝8（秒）.提示：在这个过程中，对方的车长＝两列车的速度和×驶过的时间.而速度和不变.6.解：①第三次相遇时两车的路程和为：

90＋90×2＋90×2＝450（千米）.②第三次相遇时，两车所用的时间：

450÷（40＋50）＝5（小时）.③距矿山的距离为：40×5—2×90＝20（千米）.

第三篇：北京华罗庚学校二年级奥数补习教案10-画图显示法

画图显示法

在有些数学题中，数量之间的关系不容易看出来;可是只要画个图就能显示清楚了.同学们要学会这种画图方法.例1 小明比小英小5岁，小方比小明大2岁.那么小英和小方差几岁?

解：先画个图看看：

①表示小明比小英小5岁，②表示小方比小明大2岁，由图可见，小英比小方大3岁.注意：画这个图时，由题意应以小明为基准.例2小初、小美、小英三个人分糖块.小美比小英多3块，小初比小美多2块.已知糖块总数是50块，那么每人各分到多少块?

解：依题意画图，可以先画小英，见下图中①，再画小美，它比小英多3块，见下图中②，接着再画小初，它又比小美多2块，见下图中③，至此，图已画完，下面借助此图进行分析推理.由图可见，小初比小英多3+2=5块，由图还可以看出，50-(3+5)=42(块)就是小英糖数的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(块);

由此可求出小美的一份是14+3=17(块);

小初的一份是17+2=19(块).例3 小健到商店去买练习本，他的钱若买4本还剩2分;若买5本，就差1角.问小健有多少钱?

解：依题意画出下图：

由图易见一本的价钱是： 2+10=12(分)，所以小健有的钱是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 妈妈的年龄是小铃的3倍，两个人年龄加起来是40岁.问小铃和妈妈各多少岁? 解：依题画下图：

由上图可见，40岁是小铃年龄的3+1=4倍，所以小铃的年龄是：40÷4=10(岁);而妈妈的年龄则是：10×3=30(岁).例5 父亲今年40岁，小哲10岁.问几年以后父亲年龄是小哲年龄的2倍? 解：按题意画下图：

先画阴影部分，小哲(10岁)占1格，父亲(40岁)占4格，年龄差(40-10=30(岁))是3格，再画图表示二人年龄的增长，注意应从上往下画.不难得出当二人年龄各增加2格时，即20年后(父亲是6格，小哲是3格)父亲年龄是小哲年龄的2倍.画图显示法习题

1.王强和李明都想买一本《趣味数学》，但王强的钱少2角5分，李明的钱少3角1分.如果两个人的钱合在一起就刚够买这本书.问一本《趣味数学》多少钱?王强和李明各有多少钱?

2.大、小二数之和为10，之差为2，求大、小二数各多少?

3.小军、小方和小雄共有12本小人书，小军比小方多2本，小方比小雄多2本，问他们三人各几本?

4.今年弟弟8岁，哥哥14岁.问当两人的年龄和是30岁时，两人各几岁?

5.两个桶里共盛水30斤.如果把第一个桶里的水倒3斤给第二个桶里，两个桶里的水就一样多了.问每个桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里装着一些水，把水加到原来的2倍时，称得重为5千克;把水加到原来的4倍时，再称一称重为9千克，问原来水有多少千克? 7.一筐鲜鱼，连筐共重56千克.先卖出鲜鱼的一半，再卖出剩下的一半，这时连筐还重17千克.原来这筐鲜鱼重多少千克? 8.小秋用一根绳子测量一口枯井的深.他把绳子放入井里，当绳子到达井底后，井外还留有15米;小秋又把这根绳子对折后再放入井里，井外还留有1米.请问，这口枯井有多少米深?

画图显示法习题答案

1.解：画个图用实线段表示二人有的钱，虚线表示缺的钱.依题意，“两人钱合在一起，刚好买这本书”.就是说，如图所示，实线段(表示李明的钱)按图线可以向上移到短的虚线处(表示王强缺的钱)接起来刚好等书价.也就是说一本书的书价是：

2角5分+3角1分=5角6分.王强有3角1分，李明有2角5分.2.解：画线段图用长线段表示大数，用短线段表示小数，用差线段表示两数之差，见图：

由图显见，若在虚线处再加上一段“差线段”，那就显然得到了两条等长的长线段.这就表示，和加差等于两个大数，即(和+差)÷2=大数.反之，如果去掉那段“差线段”，则得到两条等长的短线段.这就表示，和减差等于两个小数，即(和-差)÷2=小数.注意，此题就叫“和差问题”，以上两式就叫和差问题公式.把题给的具体数值代入这两个公式，可得：

大数=(10+2)÷2=6，小数=(10-2)÷2=4.3.解：画线段图如下：

与上题类比，采用添加差线段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小军);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同样也可采用去掉差线段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小军).4.解：此题叫年龄问题，它的特点是年龄差保持不变.此题可归纳为和差问题：哥弟年龄之差为14-8=6(岁)，和为30岁，求哥弟各几岁?

(30+6)÷2=18(岁)(哥)

(30-6)÷2=12(岁)(弟).5.解：此题的实质也是和差问题.和为30斤，差：3×2=6(斤)，由和差问题公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：画线段图如下：

由图可见，线段③-线段②=2倍小线段，即一条小线段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原来瓶中水重是2千克.7.解：画线段图如下：

由图可以看出总重减去最后剩下的(包括筐重和鱼)等于第一次和第二次卖出的鲜鱼总数.又知第一次卖出的是第二次卖出的2倍，即两次卖出的鲜鱼总数是第二次卖出的3倍，即得第二次卖出鱼的总量为(56-17)÷3=13千克.原来鲜鱼总数为13×4=52千克.8.解：画示意图如下：

小秋第二次把绳子对折量，井外留1米长的双股绳相当实际绳长2米，比第一次单股绳测时，井外少了15-2=13(米)，因为这段绳放到井里去了，所以得出井深为13米.

第四篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 三角形的等积变形

S2=III+IV , S3=S△BDG.因为III＝IV 所以F为CD中点，有：S△BCF－S△BDF，又因为III＝IV，所以S△BGD＝S△BCG.即S3+S1，由已知I为II的2倍，所以BE＝2EC，所以

第五篇：北京华罗庚学校四年级奥数补习教案 第三讲 定义新运算

第三讲 定义新运算

我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等.如：2＋3＝5

2×3＝6

都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a—2×b，①求 3△2，2△3；

②这个运算“△”有交换律吗？

③求（17△6）△2，17△（6△2）；

④这个运算“△”有结合律吗？

⑤如果已知4△b＝2，求b.分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2＝ 3×3-2×2＝9-4＝ 5

2△3＝3×2－2×3＝6－6＝0.②由①的例子可知“△”没有交换律.③要计算（17△6）△2，先计算括号内的数，有：17△6＝3×17-2×6＝39；再计算第二步

39△2＝3 × 39-2×2＝113，所以（17△6）△2＝113.对于17△（6△2），同样先计算括号内的数，6△2＝3×6-2×2＝14，其次

17△14＝3×17－2×14＝23，所以17△（6△2）＝23.④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b＝3×4-2×b＝12-2b，那么12-2b＝2，解出b＝5.例2 定义运算※为a※b＝a×b－（a＋b），①求5※7，7※5；

②求12※（3※4），（12※3）※4；

③这个运算“※”有交换律、结合律吗？④如果3※（5※x）＝3，求x.解：① 5※7＝5×7－（5＋7）＝35-12＝23，7※ 5＝ 7×5－（7＋5）＝35-12＝23.②要计算12※（3※4），先计算括号内的数，有：3※4＝3×4－（3＋4）＝5，再计算第二步12※5＝12×5－（12＋5）＝43，所以 12※（3※4）＝43.对于（12※3）※4，同样先计算括号内的数，12※3＝12×3－（12＋3）＝21，其次

21※4＝21×4－（21＋4）＝59，所以（12※ 3）※4＝59.③由于a※b＝a×b－（a＋b）；

b※a＝b×a－（b＋a）

＝a×b－（a＋b）（普通加法、乘法交换律）

所以有a※b＝b※a，因此“※”有交换律.由②的例子可知，运算“※”没有结合律.④5※x＝5x－（5＋x）＝4x－5；

3※（5※x）＝3※（4x－5）

＝3（4x－5）－（3＋4x－5）

＝12x－15－（4x－2）

＝ 8x－ 13

那么 8x－13＝3

解出x＝2.③这个运算有交换律和结合律吗？

到

例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.(1△2）*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过（2*3）△4=64求出 k的值.解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n

=5.又因为m、n均为自然数，所以解出： 的观察，找 规律：

①当m=1，n=2时：

（2*3）△4=（1×2+2×3）△4

=8△4=k×8×4=32k

有32k=64，解出k=2.②当m=3，n=1时：

（2*3）△4=（3×2+1×3）△4 =9△4=k×9×4=36k

所以m=l，n=2，k=2.（1△2）*3=（2×1×2）*3

=4*3

=1×4+2×3

=10.在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.习题三

计算：① 10*6 ② 7*（2*1）.7.“*”表示一种运算符号，它的含义是：

9.规定a△b=a+（a+1）+（a+2）+„+（a+b-1），（a、b均为自然数，b＞a）如果x△10=65，那么x=？

习题三解答

所以有5x-2=3O，解出x=6.4.8.解：由于

9.解：按照规定的运算：

x△10=x+（x+1）+（x+2）+„+（x+10-1）

=10x+（1+2+3+„+9）=10x+45 因此有10x+45=65，解出x=2.