第一篇：6.简易逻辑问题

第六讲 简易逻辑问题

“数学是锻炼思维的体操”。思维是大脑对事物的性质、它们之间的关系的认识过程。因为客观事物不是孤立存在的，是互相关联、互相影响的，往往具有某种因果关系，所以思维使我们能够知道并没有直接感觉到的事物，预见事情的进程和发展结果。就是从一些已知事实，推断出一些合理的结论。

正确的思维，应该是确定的，首尾一贯的，无矛盾的和有根据的。“逻辑”就是思维的规律。本讲讨论的“逻辑问题”，主要是判断推理问题。

例1 现有红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用纸包着，在桌子上排成一行，由甲、乙、丙、丁、戊五人，猜各包内珠子的颜色，每人只许猜两包。

甲猜：第二包是紫的，第三包是黄的；

乙猜：第二包是蓝的，第四包是红的；

丙猜：第一包是红的，第五包是白的；

丁猜：第三包是蓝的，第四包是白的；

戊猜：第二包是黄的，第五包是紫的。

事后，打开纸包，发现每人都只猜对了一包，并且每包都只有一人猜对。问他们各猜对的是哪一种颜色的珠子。解：根据题意我们列一个表：

因为每包都只有一人猜对，第一包只有丙猜，所以丙猜第一包是红的猜对了。又因为每人只猜对一包，因此页第五包猜错了；而第五包由丙、戊两人猜，戊猜对了第五包是紫的。

由于第一包是红的，第四包只能是白的，因此，丁猜对了第四包，甲猜对了第三包。甲、戊都猜错了第二包，只有乙猜对了第二包是蓝的。综上所述，甲猜对了第三包是黄的，乙猜对了第二包是蓝的，丙猜对了第一包是红的，丁猜对了第四包是白的，戊猜对了第五包是紫的。

说明：由于第一包只有一人猜，一定是猜对了。因此，确定第一包的颜色，是解决这道题的突破口。解决问题，找到突破口是很重要的。用“列表方法”把繁杂的条件更加条理化，是解决“罗辑问题”的有效手段。

例2 刘毅、马明、张健三个男同学都各有一个妹妹，六人在一起举行乒乓球混合双打练习。规定兄妹不许搭伴。第一盘是刘毅和小萍对张健和小英；第二盘是张健和小红对刘毅和马明的妹妹。推断刘毅、马明、张健的妹妹各是谁？

解：先列表分析，非兄妹关系画“×，兄妹关系画“√”，暂不能肯定画“？”。

由表中可看出张健的妹妹是小萍。刘毅、马明的妹妹分别是谁只有两种可能：

第一，刘毅的妹妹是小英，马明的妹妹是小红。第二，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英。

对第一种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小红（马明的妹妹）。不合理。对第二种可能，第二盘练习就是张健和小红对刘毅和小英。合理。

综合以上推断，刘毅的妹妹是小红，马明的妹妹是小英，张健的妹妹是小萍。说明：本题推断过程中，对可能的两种情况，进行－一检验，排除不合理的情况，肯定合理的情况。这是采用了“穷举法”。下面我们用穷举法再讨论一道题。例3 王红、李智、张慧三名同学中，有一人在教室没其他同学的时候，把教室打扫得干干净净。事后，老师问他们三人，是谁做的好事。王红说：“是李智干的”；李智说：“不是我干的”；张慧也说：“不是我干的”。后来知道他们三人中，有两人说的是假话，有一人说的是真话。你能断定教室是谁打扫的吗？ 解：由题意知只有三种可能，如果是王红干的，那么王红说的“是李智干的”是假话；李智说的“不是我干的”是真话；张慧说的“不是我干的”也是真话。不符合题意中“两假一真”条件。

如果是李智干的，那么王红说的“是李智干的”是真话；李智说的“不是我干的”是假话；张慧说的“不是我干的”是真话。也不符合“两假一真”条件。

只能是张慧干的。这样王红、张慧说的是假话，李智说的是真话。符合“两假一真”。例4 A、B、C、D、E五个球队进行单循环赛（每两个队之间都要比赛一场），进行到中途，发现A、B、C、D、比赛过的场次分别是4，3，2，1。问这时E队赛过几场？E队和哪个队赛过？

解：用图12－1表示各队之间是否比赛过。用平面上的点表示A、B、C、D、E队，两队比赛过，用两点连线表示，没有比赛过，则不连线。

A赛过4场，A与B、C、D、E均连线；B赛过三场，除与A赛过，还赛过2场，因为D只赛过1场（和A队赛），因此B只能和C、E赛过；这样正好符合C赛过2场，D赛过1场。由图看出这时E队赛过2场，E队和A、B队赛过。解法二：因为比赛一场，双方各计一次，因此，比赛过程中任何阶段，各队比赛的场次数总是偶数。A，B，C，D的场次数之和是4＋3＋2＋1＝10，是偶数，这时E赛过场次数一定也是偶数，有三种可能：0，2，4，因为A赛过4场，一定和E赛过。E不可能赛0场；又D只赛过一场，和A赛过，还没和E赛过，E不会赛过4场。只能是赛过2场。E和A赛过，B赛过3场，而B和D没赛过，B一定和E赛过。

综合以上分析，E赛过2场，和A、B各赛一场。说明：用图表示所研究对象及其关系，是讨论逻辑问题的又一个重要手段。用点表示所研究对象，用连线表示对象之间的某种关系。充分利用图形的直观性，便于说明问题。

例5 老师要从甲、乙、丙、丁四名同学中选派两人去参加某项活动，征求他们的意见，甲说：“我服从分配”；乙说：“如果甲去，那么我就去”；丙说：“如果我不去，那么乙也不能去”；丁说：“我和甲，要去都去，要不去就都不去”。老师要都满足他们的要求，应选派谁去？

分析：我们把命题“如果具有条件A，那么就有结论B，”表示成：AB，符号“”读作“推出”。根据题意老师应满足的条件是：

甲乙（乙说），丙非非乙，（丙说）这句话相当于乙丙，甲丁（丁说）。把这些关系联系起来，很容易得出结论。解 题目所要求的条件如下：

显然，如果甲去或乙去，按条件四人都得去。不符合只派两人去的要求。所以甲、丁不去，派乙、丙二人去参加符合题意。

例6 某参观团根据下列条件从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点：①若去A地，也必须去B地；②若去E地，A、D两地也必须去；③D、E两地至少去一地；④B、C两地只去一地；⑤C、、D两地都去或都不去。问参观团最多去哪几个地方？

解：用符号表示题意得，从以上用符号“”所表示的逻辑关系可以看出，如果去E或去A或去B，都推出非D且D。（既去D地，又同时不能去D地）矛盾。因此A、B、E三个地方不能去。

去C、D两地，与题意不矛盾。所以参观团最多可以去C、D两地。

说明：用推出符号“”表示题目中的逻辑关系，是很简明的。解题中经常练习使用是大有益处的。

例6甲、乙、丙、丁四人对A先生的藏书数目作了一个估计，甲说：“A先生有500本书”；乙说：“A先生至少有1000本书”；丙说：“A先生的书不到2000本”；丁说：“A先生最少有1本书”，这四个人的估计中，只有一句是对的。问A先生究竟有多少本书？ 解：把四人的估计列一个表：

我们采用“穷举法”讨论：

如果甲说的对，那么丙、丁说的都对，与题意（只有一句对）不符合。

如果乙说的对，那么丁说的也对，与题意不符。

如果丙说的对X＜200O，若1000≤x＜2000，则乙和丁说的也对；若1≤x＜1000，则丁说的也对，不符合题意。当x＜1时即x=0时，只有丙说的对，x=0合理。

如果丁说的对，x≥1，若1≤x＜2000，则丙说的也对；若x≥2000，则乙说的也对，不符合题意。

综合以上推断，A先生藏书是零。例7在神话传说的某国内，居民不是骑士就是无赖，骑士不说谎，无赖永远说谎。我们遇到该国居民A、B、C，A说：“C是骑士，B是无赖”。C说：“A和我不同，一个是骑士，一个是无赖”。问这三个人中谁是骑士，谁是无赖？ 解：对于A来说，不是骑士，就是无赖。

如果A是骑士（说真话）C是骑士，B是无赖C说真话A和C不同，一个是骑士，一个是无赖，与A、C均为骑士矛盾。这样A一定是无赖，说谎话“C是骑士，B是无赖”是假话。C是无赖，B是骑士。C说谎话“A与C不同”是假话，合乎题意。因此A、C是无赖，B是骑士。

例8把—8这八个号码，贴在四个小伙子小张、小赵、小王、小李和他们四个人的妹妹小敏、小珍、小兰、小英的背后，根据以下条件判断这八个人各贴的几号？并判断出谁是谁的妹妹？

①兄妹号码不相邻，男的与男的号码不相邻；②小张是1号，小敏是8号；③小王与小珍的号码相邻；④小李是小敏的哥哥；⑤小英是2号，小王的号码与小英相邻。

解：问题是要求出号码与八个人的对应关系和兄妹的对应关系。先把已知的条件列出（兄妹关系用连线表示）：

因为小王的号码与小英相邻，故小王的号码是1或3；又小王与小珍的号码相邻，因此小王的号码只能是3；小珍号码是4号。由于男的与男的号码不相邻，因此6号一定不是男的号码。因为如果6号是男的号码，还没有确定的号码还有5、7，不论哪个号码标在男背上，都与6相邻，不合题意，所以6号一定是女孩小兰的号码。小李与他的妹妹小敏号码不能相邻，不能是7号，只能标5号。小赵标7号。根据兄妹号码不相邻。小王（3号）的妹妹只能是小兰（6号）；小张（1号）的妹妹不能小英（2号），只能是小珍，小赵的妹妹是小英。答案如下表：

例9在一次国际会议上，甲、乙、丙、丁四人交谈，其中每人只会英、法、日、中四种语言中的两种语言，没有四人都会的一种语言，只有一种语言三人会。

①乙不会英语，甲、丙交谈请他当翻译；

②甲会日语，丁不会，但他们能对话；

③乙、丙、丁可以不用翻译交谈，但没有三人都会的语言；

④没有人既会日语、又会法语；

问四人各会哪两种语言？

解：由②知，甲会日语；由④知甲不会法语，那么甲一定会英、中文的一种。

如果甲会英语，由①，丙会法语和中文，（因为甲、丙交谈需要翻译，没有共同语言），由乙作甲、两对话的翻译，乙不会英语，一定会日语与甲交谈，又由④，乙不会法语，乙一定会中文。

由②丁不会日语，而与甲能对话，丁一定会英语，假设丁会中文，则乙、丙、丁都会中文，与③矛盾。因此，丁一定会法语。

把以上推断结果列表如下：

此表反映的结果又与③矛盾（乙、丙、丁三人可以不用翻译交谈），乙与丁不能交谈。此结论不合题意。

那么只有甲会中文；丙会英、法语；乙会中文、法语；又知丁不会日语，假设丁会法语，则乙、丙、丁都会法语，与③矛盾（没有三人共同会的语言），那么丁一定会英语。

最后结论如下表：

此结论满足题目中的所有条件。

说明：此题推断过程中，首先从甲会日语进行突破。又对甲会英语、中文两种情况用“穷举法”进行讨论。排除与题意相矛盾的情况。肯定与题意相符合的结论。

例10体育馆里正进行一场精彩的羽毛球双打比赛，两位观众互相议论：

①“吴超比李明年轻”；

②“赵奇比他的两个对手年龄都大”；

③“吴超比他的伙伴年龄大”；

④“李明与吴超的年龄差距比赵奇与张辉的差距更大些”

请你写出他们四人的年龄大小顺序，（从小到大排）

解：设吴超年龄为x岁，李明为y岁，赵奇为z岁，张辉为w岁；

由①，y＞x；

由①，③可知，吴超的伙伴不是李明，只能是赵奇或张辉。

如果吴超的伙伴是赵奇，由③x＞z，那么y＞x＞z。由②，z＞y，z＞w，由此可得：

y＞x＞z＞y，推出y＞y，不合理，所以吴超的伙伴不会是赵奇。

吴超的伙伴只能是张辉。比赛是吴超、张辉对李明、赵奇。因此y＞x＞w

又由②，z＞x，z＞w。

z对y有两种可能，z≥y或z＜y。即z≥y＞x＞w或y＞z＞x＞w。

对于z≥y＞x＞w，z-w＞y-x。与④不符合。只有y＞z＞x＞w成立。

即四人年龄从小到大排是：张辉，吴超，赵奇，李明。

说明：此题是讨论大小关系，用到了大小关系的“传递性”。就是说，如果a＞b，b＞c，那么a＞c。

例11如图2—l，一个正六边形ABCDEF，在六条边AB，BC，CD，DE，EF，FA上随意写上—6这六个数字，每个数字写一次，同时又在OA，OB，OC，OD，OE，OF上也写上—6这六个数字，一个数字用一次。判断是否存在一种写法，使三角形OAB，OBC，OCD，ODE，OEF，OFA的三边上各数之和相等？为什么？

分析：按题意进行试验情况太多。我们用字母表示各边上标上的数字，如果六个三角形三边上各数之和都相等，看应该满足什么关系或有什么不合理情况。解：设AB，BC，CD，DE，EF，FA上写的数为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a1+a2+a3+a4+a5+a6=1+2+3+4+5+6=21。

设OA，OB，OC，OD，OE，OF边上写的数是b1，b2，b3，b4，b5，b6，b1+b2+b3+b4+b5+b6=l+2+3+4+5+6=21。

假设六个三角形三边上各数之和都相等，设三个数之和为S。六个三角形各边上的数的和为6S。那么在取和中，六边形六条边上各数a1，a2，a3，a4，a5，a6各出现一次b1，b2，b3，b4，b5，b6各出现两次。所以有以下关系：

6S=(a1+a2+a3+a4+a5+a6)×(b1+b2+b3+b4+b5+b6）

6S=21+2×21

6S=63（63是6的倍数）不合理

所以不存在一种写法使六个三角形中，每个三角形三边上三个数之和都相等。

说明：要说明某一结论的正确性，直接说明比较困难。可以先假设结论的反面正确，然后推出与题意或与某一个正确结论相矛盾的结果。上面的假设不正确，从而肯定要证明的结论的正确性。这种数学方法，就叫“反证法”，例6采用了反证法思想。

例12在数学晚会上，张华表演了一个数学猜谜节目。首先把35枚棋子中的2枚，3枚，4枚分别给甲、乙、丙三人，其余26枚放在桌子上。另外在桌上还有标有1、2、3号的竹签各一根。甲、乙、丙三个背着张华随意各取一根竹签。让张华猜，谁持有几号竹签。张华说“持有1号竹签的，从桌子上再取和自己一样多的棋子；持2号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的2倍；持3号竹签的，从桌子上再取自己原有棋子的4倍。谁又从桌子上取多少棋子，张华并不知道。事后张华见到桌子上还只剩3枚棋子。马上猜出甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签，请你说明张华根据什么猜的？

解：三人持签只有六种可能，对每种可能情况，分别计算棋子余数。

从以上表中可以看出，只有甲持2号签，乙持1号签，丙持3号签时，余数才是3枚。

从持签不同情况，余数均不相同，就可以从余数确定持签的情况。习题十四-1

1．地理课上，老师挂出一张空的中国地图，其中有五个省分别编上了1～5号。让大家写出每个编号是哪一省。A答：2号是陕西，5号是甘肃；B答：2号是湖北，4号是山东；C答：1号是山东，5号是吉林；D答：3号是湖北，4号是吉林；E答：2号是甘肃，3号是陕西。这五名同学每人都只答对了一个省，并且每个编号只有一人答对，问1～5号各是哪个省？

2．在甲、乙、丙三人中，有一位教师，一位工人，一位战士。知道丙比战士年龄大，甲和工人不同岁，工人比乙年龄小。请你推断谁是教师？谁是工人？谁是战士？

3．田径场上进行百米决赛，参加决赛的有A、B、C、D、E、F六个人。对于谁是冠军，看台上甲、乙、丙、丁四人有以下猜测：

甲说：“冠军不是A就是B。”

乙说：“冠军不是C。”

丙说：“D、E、F都不可能是冠军。”

丁说：“冠军是D、E、F中的一人。”

比赛后发现，这四人中只有一人的猜测是正确的。你能断定谁是冠军吗？

4．五年级的1，2，3，4班举行接力比赛，请甲，乙，丙三位小朋友猜测四个班的比赛名次：

甲说：“我看1班只能得第三，3班是冠军。”

乙说：“3班只能得第二，至于第三，我看是2班。”

丙说：“4班第二，1班第一。”

比赛结束后发现，三人的预测都只对了一半。请你判断四个班的名次。

5．某学校召开田径运动会，五名运动员赛跑，赛后有五名观众介绍比赛结果：

第一人说：A是第二，B是第三；

第二人说：C是第三，D是第五；

第三人说：D是第一，C是第二；

第四人说：A是第二，E是第四；

第五人说：B是第一，E是第四。

介绍后，他们都补充说“我的话半真半假”。请你判断五名运动员的名次。

6．有三个箱子，分别涂上红、黄、蓝三种颜色，一个苹果放入其中某个箱子里。

①在红箱子盖上写着：“苹果在这只箱子里”；

②在黄箱子盖上写着：“苹果不在这只箱子里”；

③在蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”。

已知以上三句话中，只有一句是真的。问苹果在哪个箱子里？ 参考答案：

1．1——山东，2——湖北，3——陕西，4——吉林，5——甘肃

2．乙是教师，丙是工人，甲是战士。

3．冠军是C。

4．3班是冠军，4班第二，2班第三。

5．A是第一名，C是第二名，B是第三名，E是第四名，D是第五名。

6．苹果在黄箱子里。习题十四-2

1.小张、小王、小李、小赵四位同学住在一个宿舍里，规定每晚最后一个回宿舍的同学把室外路灯关上。有一天晚上，他们中间最晚回来的那位同学忘了关灯，第二天宿舍管理员查问谁回来的最晚？

小张说：“我回来的时候，小李还没回来；”

小王说：“我回来的时候，小赵已经睡了，我也就睡了；”

小李说：“我进门的时候，小王正在上床；”

小赵说：“我回来就睡了，别的没有注意。”

四位同学说的都是实话，你知道谁回来的最晚吗？

2.在一个国际学生联欢会上，一个圆桌周围坐着五个人。甲是中国人，会说英语；乙是法国人，会说日语；丙是美国人，会说法语；丁是日本人，会说汉语；戊是法国人，会说西班牙语，问他们怎样坐，才能彼此间都能交谈。

3.小张、小王、小李谈年龄，每人都说三句话，并且有两句真话，一句假话。

小张说：“我今年才22岁”，“我比小王还小两岁”；“我比小李大1岁”。

小王说：“我不是年龄最小的”；“我和小李相差3岁”；“小李25岁了”。

小李说：“我比小张小”；“小张23岁了”；“小王比小张大3岁”。

请你推断他们三人的年龄。

4.少先队员要去采访一位电子科学家，可是不知道这位科学家姓什么，看门的老爷爷说了下面一段话：二楼住着姓李、姓王、姓张的三位科技会议代表，其中有一位科学家，一位技术员，一位编辑，同时还有三位来自不同地方的旅客，也是姓王、姓李、姓张各一位。并且知道：

①姓李的旅客来自北京；

②技术员在广州一家工厂工作；

③姓王的说话有口吃毛病，不能做教师；

④与技术员同姓旅客来自上海；

⑤技术员和一位教师旅客来自同一个城市；

⑥姓张的代表赛乒乓球总是输给编辑。

请判断科学家姓什么？

5.一个国家的珠宝店发生了一起盗窃案，经过侦破，作案人肯定是A、B、C、D中的一人，把这四人作为重大嫌疑人讯问。

A说“珠宝被盗那天，我在别的城市；

B说：D是罪犯；

C说：B是盗窃犯；

D说：B与我有仇，有意诬谄我。

经过调查，四人中只有一人说的是真话，你能断定谁是罪犯吗？

参考答案

1.最晚回来的是小李。

2.只有一人会西班牙语，不能用西班牙语交谈；会西班牙语的法国人（戊）两边只能坐法国人乙和懂法语的英国人丙；再确定中国人甲和日本人丁的位置，甲与丙相邻，丁与乙相邻。

3.先从小张年龄想起，若小张22岁，推出小王说的有两句假语，不合题意。正确结果是小张23岁，小王25岁，小李22岁。

4.列表分析，科学家姓张。

5．A是罪犯。数学故事：

联欢会上，老师拿着5顶帽子，其中3顶黑色，2顶白色，从中任意取3顶分别戴在甲、乙、丙三人的头上。他们三人都不知道自己头上的帽子是什么颜色，其中有一个人是用毛巾蒙上了眼睛。老师要请这三个人分别说出自己头上的帽子是什么颜色。甲看了看另外两人的头上，摇摇头说：“不知道。”乙非常诚实，他看后也回答说不知道。丙因为蒙上了眼睛，他听完甲、乙两人回答后，立刻说道：“我的帽子是黑的。”丙的回答正确吗？请说明理由。

第二篇：简易逻辑

山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 13：简易逻辑

一、选择题 1 ．（山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题）下列说法错误的是:

（

）

A．命题“若 x —4x+3=0,则 x=3”的逆否命题是“若 x≠3,则 x-4x+3≠0” B．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件 C．若 p∧q 为假命题,则 p、g 均为假命题 D．命题 P:″ x  R ,使得 x +x+1<0”,则 P :“x  R, x2  x  1  0”
2

2

2

【答案】C 若 p∧q 为假命题,则 p、g 至少有一个为假命题,所以 C 错误.选 2 ．（山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学（理）试题）“ n  N *, 2an 1

C．

 an  an  2 ”是“数列 {an }
（）

为等差数列”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C

B．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件

由 n  N *, 2an 1  an  an  2 得 an 1  an  an  2  an 1 , 所 以任 意相邻 的两项 只差 相等 , 所以数 列

{an } 为等差数列,所以 n  N *, 2an 1  an  an  2 是“数列 {an } 为等差数列”的充要条件,选

C．

3 ．（山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理）“ m  1 ”是“直线 x  y  0 和直线 x  my  0 互

相垂直”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】C

（B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

）

【解析】当 m  0 时,直线 x  my  0 为 x  0 ,此时两直线不垂直,所以 m  0 ,所以 x  my  0 的斜 率为 

1 1 , 若 直 线 垂 直 , 则 有   1 , 即 m  1 , 所 以 “ m  1 ” 是 “ 直 线 x  y  0 和 直 线 m m
,选 C．

x  my  0 互相垂直”的充要条件
4 ．（山 东 省 青 岛 即 墨 市 2013

届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学（理）试 题）设

   R，则“  ”是f(x) sin(x  )为偶函数”的
2
A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（

）

【 解析】 若 f(x) sin(x  )为偶函数,则有 偶函数的充分而不必要条件,选 A．




2

 k , k  Z

,所以  


2

是

f(x) sin(x  )

为

5 ．（山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学）已知直线 l 平面  , 直线 m ∥平面  , 则

“  / /  ”是“ l  m ”的

（

）

A．充分不必要条件 C．充要条件
【答案】 A

B．必要不充分条件 D．既非充分也非必要条件

当  / /  时,由 l 平面  得, l   ,又直线 m ∥平面  ,所以 l  m.若 l  m ,则推不出

 / /  ,所以“  / /  ”是“ l  m ”的充分不必要条件,选 A．
6 ．（山东省枣庄三中 2013

届高三上学期 1 月阶段测试理科数学）已知 a, b  R ,那么 “ a  b  1 ” 是
2 2



“ ab  1  a  b ”的（A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C
2 2 2 2 2

）

【 解 析 】若 a 2  b 2  1 , 则 a  2ab  b  1  2ab  1  2ab (ab), 即(a  b)(1  ab), 所 以

a  b  1  ab 成 立.当 a  b  2 时 , 有 1  ab  a  b 成 立 , 但 a 2  b 2  1 不 成 立 , 所 以
“ a 2  b 2  1 ” 是“ ab  1  a  b ”的充分不必要条件,选 C．
7 ．（山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学）命题“ x  R, x
2

 2 x  0 ”的否定是

（

）

A． x  R, x  2 x  0
2

B． x  R, x  2 x  0
2

C． x  R, x  2 x  0
2

D． x  R, x  2 x  0
2

【答案】C 特称命题的否定式全称命题,所以命题“

x  R, x 2  2 x  0 ” 的 否 定 是

x  R, x 2  2 x  0 ,选

C．
2

8 ．（2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知 a,b 为非零向量,则“函数 f(x)(ax  b)为偶

函数”是“ a  b ”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
【答案】C 因为
2

（B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2

）

f(x)(ax  b)2  a x 2  2a  bx  b , 所 以 若 f(x)(ax  b)2 为 偶 函 数 , 所 以
, 所 以

2a  b  0 , 即 a  b  0 , 所 以 a  b.若 a  b , 则 有 a  b  0
2 2 2 2

f(x)(ax  b)2  a x2  2 a  bx  b  a x2  b , 为偶函数 , 所以“函数 f(x)(ax  b)2 为偶函
数”是“ a  b ”的充要条件,选 C．（）

9 ．（山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）下列结论错误 的是 ．．
2 A．命题“若 x  3x  4  0 ,则 x  4 ”的逆否命题为“若 x  4, 则x  3x  4  0 ”
2

B．“ x  4 ”是“ x  3x  4  0 ”的充分条件
2

C．命题“若 m  0 ,则方程 x  x  m  0 有实根”的逆命题为真命题
2

D．命题“若 m  n  0 ,则 m  0且n  0 ”的否命题是“若 m  n  0.则m  0或n  0 ”
2 2

2

2

【答案】C

命 题 “若 m  0 , 则 方 程 x  x  m 0 有 实根” 的 逆命 题为 “若 方 程 x  x  m 0 有 实 根 , 则
2 2

1 1 m  0 ”.若方程 x 2  x  m  0 有实根,则   1  4m  0 ,解得 m  .所以 m   时,不一定有 4 4 m  0 ,所以 C 错误.
10．（山东省淄博市 2013 届高三上学期期末考试数学（理））“ m  1 ”是“直线 mx (2m  1)y  2  0 与

直线 3 x  my  3  0 垂直”的 A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】A 【 解析】当 2m  1  0 ,即 m  B．

．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

（

）

1 1 时,两直线方程为 x  4 和 3 x  y  3  0 ,此时两直线不垂直.当 2 2 1 m  0 时 , 两直线方程为 y  2 和 x  1 , 此时两直线垂直.当 m  0 且 m  时 , 两直线方程为 2 m 2 3 3 m 3 和 y   x  ,两直线的斜率为 y x , ,要使两直线垂直,则有 1  2m 1  2m m m 1  2m m m 3 () 1 ,解得 m  1 ,所以直线 mx (2m  1)y  2  0 与直线 3 x  my  3  0 垂直”则 1  2m m 有 m  1 或 m  0 ,所以 m  1 是两直线垂直的充分而不必要条件,选 A． 1 11．（山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学）在△ABC 中,“ A  30 ”是“ sin A  ”的 2
（A．充分不必要条件 C．充要条件
【 答 案 】 A 由 sin A 

）

B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件

1 得 A  30  k  360 或 A  150  k  360 , 所 以 “ A  30 ” 是 2

“ sin A 

1 ”的充分不必要条件,选 A． 2

12．（山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学）“ a

 1 ”是“函数 f(x) x  a 在区间 [2, )上
（）

为增函数”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 【答案】A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

函数 f(x)的单调增区间为 [a, ), 减区间为(, a ].所以当 a  1 时 , 增区间为 [1, ), 所以在

[2, )上也递增.当 f(x)在区间  2,   上为增函数 , 则有 a  2 , 所以 a  1 不一定成立 , 所以
“ a  1 ”是“函数 f(x) x  a 在区间 [2, )上为增函数”的充分不必要条件 ,选 A．

13．（山东省临沂市 2013 届高三 5 月高考模拟理科数学）若集合 A 

x x

2

 5 x  4＜0;B  x x  a ＜1 ,
（）







则“ a (2,3)”是“ B  A ”的 A．充分不必要条件 C．充要条件
【答案】A

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

A  x x 2  5 x  4＜0  {x 1  x  4} , B  {x a  1  x  a  1}.若 B  A , 则 满 足





a  1  1 ,解得 2  a  3 ,所以“ a (2,3)”是“ B  A ”的充分不必要条件,选 A．  a  1  4
14．（山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学）非零向量 a, b 使得 | a  b || a |  | b | 成立的一个

充分非必要条件是 A． a / / b
【答案】B

（B． a  2b  0 C．

）

a b  |a| |b|

D． a  b

b 共线,且方向相反,且 a  b ,所以选 【 解析】要使 | a  b || a |  | b | ,则 a，
15．（山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）在 ABC 中,“ sin

B．

A

3 ”是 2

“ A 


3

”的

（

）D．既不充

分也不必要条件

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
【答案】A

在 ABC 中 , 若 sin A 

 2  2 3  A  ,则.当 A  时 , 若 A  3 3 3 3 2

是, sin A 

 3 3 ,所以“ sin A  ”是“ A  ”的充分不必要条件,选 A． 3 2 2

16．（山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）如果命题 “ (p 或 q)”为假命题,

则（）A．p,q 均为真命题 B．p,q 均为假命题 C．p,q 中至少有一个为真命题 D．p, q 中至多有一个为真命题 【答案】C 【解析】命题“ (p 或 q)”为假命题,则 p 或 q 为真命题,所以 p,q 中至少有一个为真命题,选 C．
17．（山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A．）“ m  1 ”是“直线 mx (2m  1)y  2  0 与直线 3 x  my  3  0 垂直”的（）

（

）

A．充分而不必要条件 C．充要条件 【答案】A

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】若两直线垂直,则当 m  0 时,两直线为 y  2 与 x  1 ,此时两直线垂直.当 2m  1  0 ,即

1 1 1 时,两直线为 x  4 与 3 x  y  3  0 ,此时两直线相交不垂直.当 m  0 且 m  时,两直线 2 2 2 m 2 3 3 m 3 的斜截式方程为 y  与 y   x .两直线的斜率为 与  , 所以由 x 2m  1 2m  1 m m 2m  1 m m 3 () 1 得 m  1 ,所以 m  1 是两直线垂直的充分不必要条件,选 A． 2m  1 m m
18 ．（山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理））设 a, b,, R, 则“ a  1 且 b  1 ”是

“ a  b  2 ”的 A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

（B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

）

【解析】 若 a  1 , b  1 ,则 a  b  2.若 a  b  2 时,当 a  5, b  “ a  1 且 b  1 ”是“ a  b  2 ”的充分而不必要条件,选 A．

1 时有 a  b  2 成立,但 b  1 ,所以 2

第三篇：两个简易逻辑题目

1.已知命题p: 函数ylog0.5(ax2x1)的值域为R；命题q: 函数y(a0.5)x为减

函数，若pq为假命题，求a的取值范围。由p得，a[0,],由q得a

2.命题p:对x[1,3]，xax10;命题 214313，所以a[0,](,)242

第四篇：集合与简易逻辑测试题(高中)

思南县第九中学2015届高三第一轮复习《集合与简易逻辑》单元测试

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分）

1.设合集U=R，集合M{x|x1},P{x|x21}，则下列关系中正确的是（）A．M=P B．

MP C． P

M D．MP 2．如果集合U1,2,3,4,5,6,7,8，A2,5,8，B1,3,5,7，那么（U

()

（A）充分非必要条件（C）充要条件9．“m

（B）必要非充分条件

（D）既非充分又非必要条件

”是“直线

2(m2)x3my10与直线(m2)x(m2)y30相互垂直”的(B)充分而不必要条件

3．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合足的关系是()P+Q={ab|aP,bQ},若P{0,2,5},111111101010（D）a、b的（A）（B）（C）（）Q{1,2,6}，则P+Q中元素的个数是()

ababab

(A)6(B)7(C)8(D)9

关系不能确定

4.设集合Ax|1x2，Bx|xa，若AB，则a的取值

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）

范围是()

11．对任意实数a，b，c，给出下列命题：

（A）a2（B）a2（C）a1（D）1a

2①“ab”是“acbc”充要条件；②“a5是无理数”是“a是无理数”

x

15． 集合A＝｛x|＜0｝，B＝｛x || x －b|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠”的充要条件

x1

③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”的必要条件.的充分条件，则b的取值范围是（）

其中为真命题的是（A）－2≤b＜0（B）0＜b≤2（C）－3＜b＜－1（D）－1≤b＜2 6．设集合A＝｛x|

A)B等于（）

(D)既不充分也不必要条件

(A)5(B)1,3,4,5,6,7,8(C)2,8(D)1,3,710.已知0a1b，不等式lg(axbx)1的解集是{x|1x0}，则a,b满

（）

(A)充分必要条件(C)必要而不充分条件

x1

＜0}，B＝｛x || x －1|＜a}，若“a＝1”是“A∩B≠x1

12．若集合A1,3,x，B1,x

，且AB1,3,x，则x

213．两个三角形面积相等且两边对应相等，是两个三角形全等的条件 φ ”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件(C)充要条件(D)

既不充分又不必要条件

14．若(x1)(y2)0，则x1或y2的否命题是

7.已知p:225,q:32,则下列判断中，错误的是．．（）

(A)p或q为真，非q为假(B)p或q为真，非p为真(C)p且q为假，非p为假(D)p且q为假，p或q为真

8．a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1<0和a2x2＋b2x

15．已知集合M＝{x|1≤x≤10，x∈N}，对它的非空子集A，将A中每个元素k，都乘以(－1)k再求和(如A={1，3，6}，可求得和为(－1)·1＋(－1)3·3＋(－1)6·6＝2，则对M的所有非空子集，这些和的总和是．

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算

abc

＋c2<0的解集分别为集合M和N，那么“111”是“M＝N”步骤）

a2b2c

216．（本小题满分12分）

x(x21)(x1)(x2x1)

用列举法写出集合xZ|

12x3(x9)

17．（本小题满分12分）

已知p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x＋4(m－2)x＋1＝0无实根。若p或q 为真，p且q为假。求实数m的取值范围。18．（本小题满分12分）设aR，函数f(x)

ax2x2若a.f(x)0的解集为A，21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)lg(x2axb)的定义域为集合A,函数

g(x)kx24xk

3的定义域为集合B,若

(CRA)BB,(CRA)B{x|2x3},求实数a,b的值及实数k的取值

范围.思南第九中学《集合与简易逻辑》单元测试题参考答案

一、选择题：

1、C；

2、D；

3、C；

4、C；

5、D；

6、A；

7、C；

8、D；

9、B；

10、B；

5.答案：D评述：本题考查了分式不等式，绝对值不等式的解法，及充分必要条件相关内容。

解：由题意得：A：－1则A：－1

6.答案：A评述：本题考查分式不等式,绝对值不等式的解法,充分必要条件等知识.解：由题意得A:－11(1)由a=1.A:－1

Bx|1x3,AB，求实数a的取值范围。

19．（本小题满分12分）

解关于x的不等式：(x2)(ax2)020．（本小题满分13分）

已知集合A=｛x|| x



|≤

1

3｝, 集合B=｛y| y= －cos2x－2asinx+,22

2

x∈A｝, 其中≤a≤, 设全集U=R, 欲使BA, 求实数a的取值范围.6

分性成立.(2)反之:AB,不一定推得a=1,如a可能为

1.2

综合得.”a=1”是: AB”的充分非必要条件.故选A.二、填空题：

11、②④ ；

12、3；0；

13、必要不充分；

14、若x1y20，则x1且y2；

15、2560

三、解答题：

16、{1，2，3，4，5}；

17、由题意p,q中有且仅有一为真，一为假，p真

0x1x2m0m>2，q真<01

210若p假q真，则m2



31

18、解：

aR,当a=0时，f(x)=-2x,A={xx<0},AB=

∴a0，令f（x）＝0

解得其两根为x11

a1x2a由此可知x10,x20

（i）当a0时，A{x|xx1}{x|xx2}

AB的充要条件是x

3，即1a623解得a7

（ii）当a0时，A{x|x1xx2}

AB的充要条件是x2

1，即1a1解得a

2综上，使AB成立的a的取值范围为(,2)(6

7,)



a1,x2

a或x2a1,x219、

0a1,x2或x

2

a

a0,x2

a0,2ax220、解: 集合A=｛x|-6

≤x≤5226｝, y=sinx-2asinx+1=(sinx-a)+1-a

2.∵x∈

A, ∴sinx∈[12,1].①若6

≤a≤1, 则y2122

5min=1-a, ymax=(-2-a)+1-a=a+4.又∵

6

≤a≤1, ∴B非空(B≠φ).∴B=｛y|1-a2≤y≤a+52

4｝.欲使BA, 则联立1-a

≥-6和a+54≤56,解得

6≤a≤1.②若1

4｝.欲使BA, 则联立2-2a≥-6

和a+54≤56

解得a≤1+12.又1

12.综上知a的取值范围是

[

6,1+12].21、解:A{x|x2

axb0},B{x|kx4xk30,kR}

(CRA)BB,BCRA,又(CRA)B{x|2x3} CRA{x|2x3}.A{x|x2或x3}

即不等式x2

axb0的解集为{x|x2或x3}a1,b6

由B且BC2

RA可得,方程F(x)kx4xk30的两根都在[2,3]内



k0

0

3

F(2)0解得4k



F(3)0





22k3故a1,b6,2k[4,3

]

第五篇：高中数学-公式-集合与简易逻辑

集合与简易逻辑

1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；

2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；

3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；

4.判断命题的真假要以真值表为依据。原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；

5.判断命题充要条件的三种方法：（1）定义法；（2）利用集合间的包含关系判断，若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：即利用等价关系“ABBA”判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；

6.（1）含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集（非空子集）个数为2n－1；

（2）ABABAABB;

（3）CI(AB)CIACIB,CI(AB)CIACIB;