08-12年高等数学下考点分类

一、偏导数的几何应用

1.[12]求曲面在点处的切平面和法线方程

解:

令，则

从而切点的法向量为

从而切平面为

法线方程为

2.[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数

解：方程组两端对求导，得

把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为

所求方向导数为

3.[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。

证：令，则

从而曲面在点处的切平面为，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。

二、多元函数的极限、连续、可微

1.[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。

证明：因为

与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又，或，或

于是函数在点存在有一阶偏导数。

2.[11]设函数。试证在点处是可微的解

用定义求出

3.[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。

解：（1）

4.[09]

5.[08]

函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的必要

条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的充分

条件（填必要、充分或充要）

三、复合函数求导

1.[12]设，则

0

2.[12]设,则

3.[12]设,求

解

令，则，于是用公式得

4.[11]设,则

5.[11]设可微，且，则

6.[11]设，其中可微，证明

证明

由于

7.，将变换为下的表达式。

解：

8.[09]

9.[09]

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

10.[09]

求由方程组所确定的及的导数及。

解：

11.[08]

设有连续偏导数，则

12.[08]

设，求

解：两边取微分，得

从而，四、多元函数的极值

1.[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解

设点为，则

等价于求在约束之下的最小值。令

且由

解得驻点，最短距离为

2.[11]若函数在点处取得极值，则常数

3.[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。

解

令，2

由，求出唯一驻点6

由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37

4.5.[09]

求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点，得唯一驻点

当时，是条件极值，考虑函数，解方程组

可得

所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成最大值为4，最小值为。

[08]

设，则它有极小值

五、梯度、方向导数

1.[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数

2.3.[09]

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？沿哪个方向值不变？

4.六、二重积分

1.[12]

设是所围成的区域,则

2.[12]计算二重积分，其中

3.[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.[11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。

解:

5.[09]

交换二次积分的积分次序：。

6.[09]

求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.[09]（化工类做）

计算二重积分，其中为圆域。

8.[08]

交换二次积分的积分次序

9.[08]

求球面含在圆柱面内部的那部分面积

解：上半球面的部分为七、三重积分

1.[12]设为两球的公共部分，计算三重积分

解

由

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，于是分段先二后一积分，得

2.[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体．

解：

4’

4’

3.[09]

计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则

原式

4.[08]

计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.解：由对称性

从而

八、曲线积分

1.[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分

2.计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解

由于

补两条直线是逆向的闭曲线，故

原式

或由曲线积分与路径无关，直接得

原式得

或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式

或者由是全微分表达式，凑微分，因

及

得

原式

3.[11]假设L为圆的右半部分，则

4.[11]计算,其中是椭圆的正向一周解:

由格林公式

5.[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线

解

所求解问题与路径无关，选折线

6.7.8.[10]计算

9..[10]计算

10.[09]

11.[09]

计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，的参数方程为

由格林公式有

12.[08]

计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关

取路径，九、曲面积分

1.[12]

计算曲面积分，式中是上半球面的上侧

解

补一个平面，取下侧，则原式

另法（看看:

归一化，多次换元够烦的）

即，上半球面指向上侧法线为，从而,原式=

2.[12]

求曲面包含在圆柱面内那部分（记为）的面积。

解

记为在部分的面积，或者

3.计算,其中是平面被圆柱面截出的有限部分

解

由题意或

从而

4.计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧.解

补平面区域取上侧，取下侧，取左侧，取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,围成由高斯公式

故

原式

5.[10]

计算

6.[10]

计算曲面积分其中为上半球面的上侧。

7.[09]

向量场的散度为。

8.[09]

计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式

9.[08]

向量场的散度为.向量场的旋度为.10.[08]

设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分

0，11.[08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧

解：取上侧，则原式

十、微分方程

1.[12]求定解问题的解

解

标准化，由标准方程的解的公式，得

由初值条件，有，于是特解为

2.[12]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程为，解得特征根

非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，代入原来的微分方程，得

即

于是根据解的结构定理得，所求通解为

3.[11]求微分方程的通解

解

方程即

4.[11]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程的特征方程为

对照非齐次项的标准形式不是特征根，故

特解的待定形式为，代入非齐次方程，得

从而原方程的通解为

5.求解微分方程初值问题

解

是一个特解2

故通解为4

由，又

从而特解为6

6.[10]设都是方程的解，则该方程的通解为

7.[10]求微分方程的通解。

8.[10]求微分方程的通解。

9.[10]求微分方程

10.[10]

求微分方程的通解。

11.[09]

求如下初值问题的解

解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为

变量分离两边积分得

由可得

解可得，由可得

所求解为：。

12.[09]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以的通解为

因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解为

13.[08]

求微分方程的通解

解：，14.[08]

计算满足下述方程的可导函数，解：原方程两端求导得

即，这是标准的一阶线性微分方程

原方程令得，代入通解得，从而

15.[08]求解初值问题

解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，特征根为，从而对应通解为

容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为

从而，由初值条件可得。

因此

十一、级数

1.[12]判别无穷级数的收敛性。

解

由于，故

而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.[12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解

比较标准幂级数，得，从而收敛半径为，收敛区间为

当时幂级数化为正项级数，由于，从而与调和级数一样发散；当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.[12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解

利用，从而

4.[11]求幂级数的收敛域.解

当时，由于，级数发散，3

当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5

故幂级数收敛域为6

5.[11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.解

由于，3

从而7

6.[11]设函数是以为周期的函数，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.解:，1

所以

7.[10]求幂级数的收敛域。

8.[10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区

9.[10]

设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。

10.[09]

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛；如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.[09]

将函数展成余弦级数。

12.[09]

求幂级数的收敛半径和收敛域。

13.[08]

设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14.[08]

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15.[08]

设，证明满足微分方程，并求。