辅助圆思想

题型一：共顶点等线段

【例1】

在中，是的中点，是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段．

⑴

若且点与点重合（如图1），线段的延长线交射线于点，请补全图形，并写出的度数；

⑵

在图2中，点不与点重合，线段的延长线与射线交于点，猜想的大小（用含的代数式表示），并加以证明；

（2012年北京中考节选）

【解析】

⑴

图略，．

⑵

如图，连接，根据对称性可知，以为圆心、长为半径作，则，∴．

【例2】

已知：中，中，．连接、，点、、分别为、、的中点．

⑴

如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是

___________，此时________；

⑵

如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值（用含的式子表示）；

（海淀一模）

【解析】

⑴

等边三角形，1；

⑵

证明：连接、．

由题意，得，．

∵、、三点在同一直线上，∴、、三点在同一直线上．

∴．

∵为中点，∴在中，．

在中，．

∴．

∴、、、四点都在以为圆心，为半径的圆上．

∴．

又∵，∴．

∴．∴．

由题意，又．

∴．∴．

在Rt中，．

题型二：

共斜边的直角三角形

∵，∴．∴．

【例3】

已知，是的平分线．将一个直角的直角顶点在射线上移动，点不与点重合．如图，当直角的两边分别与射线、交于点、时，请判断与的数量关系，并证明你的结论；

【解析】

与的数量关系是相等

．

常规证法：过点作，垂足分别为点．

∵，易得，∴，而，∴．

∵是的平分线，∴，又∵，∴．∴．

辅助圆证法：∵，∴四点共圆，∵平分，∴，∴．

【例4】

如图，四边形是正方形，是上一点，交的外角平分线于，求证：．

【解析】

连接

∵四边形是正方形，∴，∵是外角平分线，∴，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．

【例5】

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．

⑴

如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；

⑵

将三角板从⑴中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：

①

∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；

②

直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

备用图

（朝阳一模）

【解析】

⑴

在矩形ABCD中，AP=1，CD=AB=2，∴PB=，．

∵，∴．

∴．

∴

△ABP∽△DPC．

∴，即．

∴PC=2．

⑵

①

∠PEF的大小不变．

理由：过点F作FG⊥AD于点G．

∴四边形ABFG是矩形．

∴．

∴GF=AB=2，．

∵，∴．

∴．

∴

△APE∽△GFP.∴．

∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=．

即tan∠PEF的值不变．

∴∠PEF的大小不变．

②

.辅助圆证法：

连接，∵，∴四点共圆，∴，∴不会发生变化．

题型三：

四点共圆的简单应用

【例6】

如图，在四边形中，是的平分线，若，求证：．

【解析】

∵，∴是圆内接四边形，∵平分，∴，∴．

【例7】

已知：如图，正方形中，为对角线，将绕顶点逆时针旋转（），旋转后角的两边分别交于点、点，交于点、点，联结．在的旋转过程中，的大小是否改变？若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围．

【解析】

∵是对角线，∴，∵，∴四点共圆，∴，∴的大小不发生改变．

【例8】

（海淀区2010-2011学年度第一学期初三期末25）如图一，在△ABC中，分别以AB，AC为直径在△ABC外作半圆和半圆，其中和分别为两个半圆的圆心.F是边BC的中点，点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点.⑴

连结，证明：；

⑵

如图二，过点A分别作半圆和半圆的切线，交BD的延长线和CE的延长线于点P和点Q，连结PQ，若∠ACB=90°,DB=5，CE=3，求线段PQ的长;

⑶

如图三，过点A作半圆的切线，交CE的延长线于点Q，过点Q作直线FA的垂线，交BD的延长线于点P，连结PA.证明：PA是半圆的切线.【解析】

⑴

如图一，∵，F分别是AB，AC，BC边的中点，∴F∥AC且F

=A，F∥AB且F

=A，∴∠BF=∠BAC，∠CF=∠BAC，∴∠BF=∠CF

∵点D和点E分别为两个半圆圆弧的中点，∴F

=A=E，F

=A=D，∠BD

=90°，∠CE

=90°，∴∠BD=∠CE.∴∠DF=∠FE.∴.⑵

如图二，延长CA至G，使AG=AQ,连接BG、AE.∵点E是半圆圆弧的中点，∴AE=CE=3

∵AC为直径，∴∠AEC=90°，∴∠ACE=∠EAC

=45°，AC==，∵AQ是半圆的切线，∴CA⊥AQ，∴∠CAQ=90°，∴∠ACE=∠AQE=45°，∠GAQ=90°

∴AQ=AC=AG=

同理：∠BAP=90°，AB=AP=

∴CG=,∠GAB=∠QAP

∴，∴PQ=BG

∵∠ACB=90°，∴BC==

∴BG==，∴PQ=.⑶

证法一：如图三，设直线FA与PQ的垂足为M，过C作CS⊥MF于S，过B作BR⊥MF于R，连接DR、AD、DM.∵F是BC边的中点，∴.∴BR=CS，由⑵已证∠CAQ=90°,AC=AQ，∴∠2+∠3=90°

∵FM⊥PQ,∴∠2+∠1=90°，∴∠1=∠3,同理：∠2=∠4,∴，∴AM=CS，∴AM=BR，同⑵可证AD=BD，∠ADB=∠ADP=90°,∴∠ADB=∠ARB=90°,∠ADP=∠AMP=90°

∴A、D、B、R四点在以AB为直径的圆上，A、D、P、M四点在以AP为直径的圆上，且∠DBR+∠DAR=180°，∴∠5=∠8,∠6=∠7,∵∠DAM+∠DAR=180°，∴∠DBR=∠DAM

∴，∴∠5=∠9，∴∠RDM=90°，∴∠5+∠7=90°，∴∠6+∠8=90°，∴∠PAB=90°，∴PA⊥AB,又AB是半圆直径，∴PA是半圆的切线.训练1.如图，分别切于两点，满足，且，求的度数．

【解析】

∵都是的切线，∴

∵，∴

∴，∴三点都在以为圆心，为半径的圆上．

设，则，∴

∵，∴

在中，即

∴，∴，即．

训练2.如图，分别是正方形的边的中点，相交于，求证：．

【解析】

连接

∵是的中点，∴，∴，∴，即，∴四点共圆，∴，很明显，∴，∴．

训练3.如图，已知在五边形中，，且．求证：．

【解析】

连接，∵，∴，∴，∴，∴四点共圆．

同理四点共圆，∴五点共圆，∵，∴．

题型一

共顶点等线段

【练习1】

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，连结．

⑴

求证：是等边三角形；

⑵

点在线段的延长线上，连结，作的垂直平分线，垂足为点，并与轴交于点，分别连结、．

①若，直接写出的度数；

②若点在线段的延长线上运动（不与点重合），的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数；

【解析】

⑴

证明：如图，∵一次函数的图象与x轴交于点A（－3，0），B（0，）．

∵C（3，0）．∴OA＝OC．

又y轴⊥AC，∴AB＝BC．

x

O

A

B

C

P

E

y

在Rt△AOB中，．∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.⑵

①答：∠AEP=120°．

②解：如图，作EH⊥CP于点H，∵y轴垂直平分AC，△ABC是等边三角形，∴EA=EC，∠BEA＝∠BEC＝，∠DEP=30°．

∴∠BEH=60°．

∵ED垂直平分AP，∴

EA=EP．

∴

EA＝EC＝EP，∴EH垂直平分CP，在△CEP中，∠CEH=∠PEH＝，∵∠BEH=∠BEC＋∠CEH＝＋=60°．

∴∠AEP=∠AEC＋∠PEC＝120°．

辅助圆的证法：

∵点在轴上，∴，∵，∴以为圆心、长为半径作圆，在该圆上，∴．

题型二

共斜边的直角三角形

【练习2】

如图，正方形的中心为，面积为，为正方形内一点，且，求的长．

【解析】

连接，∵是正方形，∴，∵，∴四点共圆，∴．

在中，∴，设，则，解得，∴，∴．

题型三

四点共圆的简单应用

【练习3】

设是等腰底边的中点，过两点（但不过点）任作一圆交直线于点，连接交此圆于点．求证：．

【解析】

连接，由题意可知四点共圆，⑴

若在线段上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．

⑵

若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴．

⑶

若在的延长线上，则，∵，∴四点共圆，∴，∴，∴．

综上所述，命题成立．