重庆理工大学2019年攻读硕士学位研究生入学考试试题

学院名称：理学院

学科、专业名称：数学

考试科目（代码）：高等代数（822）（A卷）

（试题共

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注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。

2.试题附在考卷内交回。

一、填空题（每题4分，共20分）

1.设为阶方阵,有非零解,则必有一个特征值是______.2.设3维列向量，线性无关,是3阶方阵,且，,则

=_______.3.已知阶方阵的特征值为，，则A的伴随矩阵的迹（主对角线元素之和）为________.4.在中,若线性变换关于基，的矩阵为,则关于基，的矩阵为________.5.设阶方阵的秩为1,则=__________.二、（15分）

（1）（7分）

证明：在有理数域上不可约；

（2）（8分）

求的全部有理根.第1

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三、（15分）

设,（1）（7分）

计算的值,其中是中元素的代数余子式；

（2）（8分）

问是否可逆？

若可逆，求，其中为的伴随矩阵.四、（20分）

设有向量组

：及向量,问为何值时

（1）（6分）

向量可由向量组线性表示，且表示式唯一；

（2）（7分）

向量可由向量组线性表示，但表示式不唯一；

（3）（7分）

向量不能由向量组线性表示.五、（20分）

设非齐次线性方程组,秩,（1）（10分）

若有一个解,是其导出组的一个基础解系,证明：

线性无关；

（2）（10分）

若

为的解，证明：

也是的解，其中

为实数,且.第2

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六、（20分）

已知、为阶方阵，,其中为阶单位矩阵,（1）（10分）

证明：可逆,并求其逆（用或表示）；

（2）（10分）

若,求矩阵.七、（20分）

已知二次型,且是矩阵的一个特征向量,（1）（6分）

求的值；

（2）（7分）

求正交变换,将二次型化为标准形；

（3）（7分）

当时,求的最大值.八、（20分）

设,是数域上所有2阶方阵构成的集合,（1）（8分）

证明：是的子空间；

（2）（12分）

求的一般形式、基和维数.第3

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