第一篇：空间直线和平面总结_知识结构图+例题

空间直线和平面

［知识串讲］

空间直线和平面：

（一）知识结构

（二）平行与垂直关系的论证

1、线线、线面、面面平行关系的转化： 面面平行性质 //a,ab//b a a//b  b a,b  a// a,b A b  a abA a//,b// 公理4(a//b,b//c a//c)线线∥ 线面平行判定 线面平行性质 线面∥ //面面平行判定1 面面平行性质 面面∥ 面面平行性质1 ////a ba//a//b//a // a//

2.线线、线面、面面垂直关系的转化： abO la,lba,bl  aa 面面⊥ 三垂线定理、逆定理 线线⊥ PA,AO为PO在内射影a则aOAaPOaPOaAOl线面垂直判定1 线面垂直定义 线面⊥ 面面垂直判定 面面垂直性质，推论2 a la ba a,ab a a 面面垂直定义 l，且二面角l成直二面角 

3.平行与垂直关系的转化：

a//baaa b a// 线线∥ 线面垂直判定2 线面垂直性质2 ab线面⊥ 面面平行判定2 面面平行性质3 面面∥ a//b //aa

4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”

5.唯一性结论：

（三）空间中的角与距离

1.三类角的定义：

（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°

（0时，b∥或b）

（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°

2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；

（2）证明其符合定义；

（3）指出所求作的角；

（4）计算大小。

3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。

4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。

常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。

【典型例题】

例.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）

A.32B.102C.35D.25

分析：如图，取AB中点E，CC1中点F

连结B1E、B1F、EF

则B1E//AM，B1F//NC

∴∠EB1F为AM与CN所成的角

又棱长为1 B1E556，B1F，EF222

B1E2B1F2EF22cosEB1F2BEBF5 1

1∴选D

例3.已知直线l平面，直线m平面，有下面四个命题：

①/lm

③l//m

A.①与② B.③与④

②l//m④lm//

C.②与④

D.①与③

其中正确的两个命题是（）

对于①

分析：lllm//m①正确

l对于②a/l//m，如图m

∴②错

对于③

lml//mm③正确

l对于④lm///，如图m

∴①③正确，选D

∴④错

例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO

∵底面ABCD是正方形

∴点O是AC中点

又E为PC中点

∴EO//PA

又EO面EDB，且PA面EDB

∴PA//面EDB

（2）∵PD⊥底面ABCD

∴BC⊥PD

又BCDC且PDDCD

∴BC⊥面PDC

∴BC⊥DE

又E为等直角三角形中点

DEPC且PCBCC

∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB

又已知EFPB且EFDEE

∴PB⊥面DEF

例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。

证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C

则AE面B1BCC1，A1E1面B1BCC1及EB1//E1C

AE面B1BCC1EBBC11E1CBC1AB1BC1EB1//E1CA1CBC1AE面BBCC1111

注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。

例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。

（1）D1 P C1 M A1 B1 N l D C A B（2）D1 C1 A1 B1 l N（3）D1 C1 A1 P 1 B N l D C M A B

M D C P A B

分析：①l在侧面的射影显然与MP、MN垂直

MPl，MNll面MNP

②显然l分别与MN在底面上射影垂直及与MP垂直

l面MNP

③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直

∴l⊥面MNP 例7.如图，斜三棱柱ABCA'B'C'中，AC'A'B，AA'AC8，AB10，∠ACB=90°，侧棱与底面成60°的角。

（1）求证：面AA'C'C面ABC；

（2）求侧面AA'B'B的面积。

分析：要证明面AA'C'C面ABC，只要证明BC面AA'C'C，又BCAC，只要

证明BCAC'，故只要证明AC'平面A'BC。

证明：（1）∵AA'C'C为菱形

AC'A'C

又AC'A'BAC'面A'BCAC'BC

又∠ACB=90°，即AC⊥BC

BC面AA'C'C

又BC面ABC

（2）作A'DAC于D

面AA'C'C面ABC，AC为交线

A'D面ABC 面ABC面AA'C'C

A'AC∠60°

∠A'AD为侧棱AA 与底面成的角，即

过D作DEAB于E，连结A'E，则A'EAB

又AD8cos604，A'D8sin60

∴D为AC中点

在RtABC中

DEADBCABDE4612105

A'EA'D2DE2(43)2(1228)2155

S平行四边形A'ABB'ABA'E

1082116215

例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求：

（1）C到A’D的距离；

（2）D到平面A’BC的距离；

（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。

解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角

又A’E⊥ED，CE⊥ED

∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED

作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D

∴CF即为C点到直线A’D的距离

在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED

EF431255

FCEF2EC2(122434)4255

DE//BC，BC面A'BC，DE/面A'BC

∴DE//面A’BC

（2）

∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离

过E作EM⊥A’C于M

∵ED⊥面A’EC

又BC//ED

∴BC⊥面A’EC

∴BC⊥EM

∴EM⊥面A’BC

∴EM为E点到平面A'BC的距离即为D点到面A'BC的距离且EM=2或者用体积法：

由VDA'BC11即SA'BChSBCDA'EVA'BCD

1BCCEA'ESBCDA'E2h221SA'BCBCA'C2

（3）设A'D与平面A'BC所成角为

2）知D点到面A'BC的距离为h22及A'D又由（sinh22A'D5

例9.如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB90°，AC1，CB2，侧棱

AA11，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M。

（1）求证：CD平面BDM；

（2）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小。（1）证明：连结CA1，则CA1

又D为A1B中点

易知AC面BB1C1C

2BC

CDBD①

CB1是CD在底面BB1C1C上射影

故只要BMCB设BMCB1E

在RtCBB1和RtBB1M中

BB1CB21BB11MB122

又∠CBB1∠BB1M90°

RtCBB1~RtBB1M

1∠B1BM

∠BCB

又∠B1BM∠CBM90°

1∠CBM90°

∠BCB∠CEB90° BMCB1BMCD②

由①②知CD面BDM

（2）解：AB1312

B1DBDBB11 2

即△B1DB为正三角形，取BD中点F，则B1FBD

//1NFCD2

又取BC中点N，连结NF

又CDBD

∠NFB1为所求二面角的平面角

NFBD

26又B1N()12，CDBC2BD222

22121212

NF13，B1F22

136()2()2()2FNFBNB322cos∠NFB122FNFB313222

在△DCB1中由余弦定理

所求二面角为arccos33

【模拟试题】

一.选择题

1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）

A.成异面直线 B.相交

C.平行

D.平行或相交

2.已知直线a，b，平面，，，有下列四个命题

①a//，a////；

③a，a//；

其中正确的命题有（）

A.①②③ B.①②④

C.②③④

D.以上都不对

②//，///；

④a，b，a//b//

3.边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，角B－AD－C的大小为（）

A.30° B.45°

C.60°

D.90°

BC1a2，这时二面

4.设a，b是两条异面直线，P是a，b外的一点，则下列结论正确的是（）

A.过P有一条直线和a，b都平行

B.过P有一条直线和a，b都相交

C.过P有一条直线和a，b都垂直

D.过P有一个平面与a，b都平行

5.若a，b是异面直线，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且AD=AC，BD=BC，则直线a，b所成的角为（）

A.90°

二.填空题

6.设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则

（1）A点到CD1的距离为_____________

（2）A点到BD1的距离为_____________

（3）A点到面BDD1B1的距离为_____________

（4）A点到面A1BD的距离为_____________

（5）AA1与面BB1D1D的距离为_____________

7.如图，正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC中点，现沿AE、AF、EF把它折成一个四面体，使B、D、C三点重合于G，则VAGEF=_____________。

8.把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离为_________________。

B.60°

C.45°

D.30°

D C A B D1 C1 A1 B1

9.如图PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正确命题的序号是_____________。

10.平面平面，其交线为l，A，B，AB与所成角为30°，则AB与α所成角的取值范围是_____________。三.解答题

11.四面体ABCS中，SB、SC、SA两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点。求：

（1）BC与面SAB所成的角；

（2）SC与平面ABC所成角的正弦值。

13.在矩形ABCD中，已知AB1AD2，E是AD的中点，沿BE将△ABE折到△A'BE的位置，使A'CA'D。

（1）求证：平面A'BE平面BCDE。

（2）求A'C和面BCD所成角的大小。

14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，（I）求VSABCD；

（II）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。

【试题答案】 一.1.C 2.C

3.C

AD12。

4.C（当P点和直线a确定的平面与b平行时，则过P点的直线与a不相交，∴B错，当P点在a或b上时，D不成立）

5.A 二.6.（1）66232，（2），（3），（4），（5）23232 15a

49.①②③

10.（0°，60°] a

37.24

8.（如图∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°

∴∠BAD≤60°

∴0<∠BAD≤60°）三.11.解：（1）∵SC⊥SA，SC⊥SB

∴SC⊥面SAB

∴SB是CB在面SAB上的射影

∴∠SBC是直线BC与面SAB所成的角，且为60°

（2）连SM，CM，则SM⊥AB（△SAB为等腰Rt△）

∴AB⊥面CSM，设SH⊥CM于H，则AB⊥SH

∴SH⊥面ABC

∴∠SCH为SC与平面ABC所成的角

设SB=SA=a，则SM2a，SCatg60°3a2

CM(3a)2(sin∠SCH22a)27a2

SM7CM7

注：“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，却又是面ABC的斜线。

12.证：（1）∵PA⊥面ABC，PC在面ABC上射影为AC

又AB为⊙O直径

∴BC⊥AC

∴BC⊥PC

∴BC⊥面PAC

又BC面PBC ∴面PAC⊥面PBC

（2）由（1）知BC⊥面PAC

又AE面PAC

∴BC⊥AE，又PC⊥AE

∴AE⊥面PBC

又AE面AEB

∴面AEB⊥面PBC

或者：由（1）知面PAC⊥面PBC，PC为交线

又AE⊥PC

∴AE⊥面PBC

又AE面AEB

∴面AEB⊥面PBC

注：线线垂直线面垂直

面面垂直

13.（1）取BE中点M，CD中点N，连A M，MN，A'N，M、N分别为中点

A'BA'E，A'CA'D A'MBE，A'NCD，MNCDCD面A'MNCDA'M又BE与CD不平行，必相交A'M面BCDE又A'M面A'BE

面A'BE面BCDE

（2）连结MC，∵A'M面BCDE

∴∠A'CM就是A'C与面BCDE所成的角，设AB=a，则

A'M2a2

3a510在RtMNC中，MC2MN2NC2(a)2()2a2MCa222

2在RtA'CM中，tg∠A'CM

14.分析：易证AD⊥面SAB

2a525105a∠A'CMarctg2

513(ADBC)AB24

（I）VSABC1SASABCD3SABCD

VSABC1311344

（II）延长CD、BA交于点E

连结SE，SE即为面CSD与面BSA的交线

又∵DA⊥面SAB

∴过A作AF⊥SE于F

连FD，则DF⊥SE

∠AFD为二面角的平面角

又易知△SAE为等腰直角三角形，F为SE中点

122SESA2221AD2又ADtanAFD2FA2

AF

第二篇：直线与平面平面与平面

直线与平面平面与平面

单选题，只要答案。不要用附件。例如：1.A 2.B 3.C 4.D 5.A......1.下列直线中，与铅垂面平行的直线不可能是（）。

A．侧平线B．一般线C．水平线D．铅垂线

2.直线与一般平面平行，则直线与一般平面上（）。

A．一条直线平行B．一条一般线平行C．一条水平线平行D．以上都不对

3.两个一般平面互相平行，则两个平面各有（）。

A．两条相交直线互相平行B．两条平行直线互相平行

C．一条水平线互相平行D．以上都不对

4.判断两个铅垂面在空间平行，只要看投影图的（）。

A．水平投影平行B．侧面投影平行

C．正面投影平行D．以上都不对

5.正垂面与一般线相交有交点，在投影图上先找交点的哪一个面投影（）。

A．VB．HC．WD．以上都不对

6.两张正垂面的交线是一条（）。

A．铅垂线B．水平线C．一般线D．正垂线

7.一张水平面与一般面的交线是一条（）。

A．铅垂线B．一般线C．正垂线D．水平线

8.求一般线与一般面的交点，必须先包含一般线作一张（）。

A．铅垂面B．侧垂面C．正垂面D．以上都对

9.一般线与一般面垂直，则只要看投影图一般线与一般面上的（）。

A．正平线正面投影垂直B．水平线水平面投影垂直

C．一般线垂直D．正平线正面投影垂直，水平线水平面投影垂直

10.一水平线与一铅垂面垂直，则投影图的哪一个面投影反映直角（）。

A．HB．VC．WD．以上都不对

第三篇：平面连杆机构例题

典型例题

例1 如图所示，已知lBC=100mm，lCD=70mm，lAD=50mm，AD为固定件。（1）如果该机构能成为曲柄摇杆机构，且AB为曲柄，求lAB的值；（2）如果该机构能成为双曲柄机构，求lAB的值；（3）如果该机构能成为双摇杆机构，求lAB的值。

解（1）如果能成为曲柄摇杆机构，则机构必须满足“最长杆与最短杆长度之和小于或等于其他两杆长度之和，且AB为最短杆”。则有

lAB+lBC≤ lCD+lAD 代入各杆长度值，得

lAB≤20mm

（2）如果该机构能成为双曲柄机构，则机构必须满足“最长杆与最短杆长度之和小于或等于其他两杆长度之和，且机架AD为最短杆”。则

1）若BC为最长杆即lAB≤100mm，则

lAD+lBC≤ lCD+lAB

lAB ≥80mm

所以 80mm≤lAB≤ 100mm 2）若AB为最长杆即 lAB ≥100mm，则

lAD+lAB≤ lCD+lBC

lAB≤120mm

所以 100mm≤lAB≤ 120mm

将以上两种情况进行分析综合后，lAB的值应在以下范围内选取，即

80mm≤lAB≤ 120mm

（3）若能成为双摇杆机构，则应分两种情况分析：第一种情况，机构各杆件长度满足“杆长之和条件”，但以最短杆的对边为机架；第二种情况，机构各杆件长度不满足“杆长之和条件”，在本题目中，AD已选定为固定件，则第一种情况不存在。下面就第二种情况进行分析。

1）当 lAB＜50mm,AB为最短杆，BC为最长杆

lAB+lBC ＞ lCD+lAD

lAB ＞20mm

即 20mm＜ lAB＜50mm

2）当50≤lAB＜100时，AD为最短杆，BC为最长杆，则

lAD+lBC＞ lCD+lAB

lAB＜80mm 即 50mm≤lAB＜80mm

3）当lAB ＞100mm时，AB为最长杆，AD为最短杆，则

lAD+lAB＞ lCD+lBC

lAB＞120mm 另外，AB增大时，还应考虑到，BC与CD成伸直共线时，需构成三角形的边长关系，即

lAB＜（lCD+lBC）+ lAD

lAB＜220mm 则 120mm＜ lAB＜220mm 综合以上情况，可得 lAB的取值范围为：

20mm ＜lAB＜80mm 及 120mm＜lAB＜220mm

除以上方法外，机构成为双摇杆机构时，lAB的取值范围也可用以下方法得到：对于以上给定的杆长，若能构成一个铰链四杆机构，则它只有三种类型：曲柄摇杆机构、双曲柄机构、双摇杆机构。故分析出机构为曲柄摇杆机构，双曲柄机构时lAB的取值范围后，在0～220mm之内的其余值即为双摇杆机构时lAB的取值范围。

例2 在图示连杆机构中，已知各构件的尺寸为：lAB=160mm，lBC=260mm，lCD=200mm，lAD=80mm；并已知构件AB为原动件，沿顺时针方向匀速回转，试确定：

（1）四杆机构ABCD的类型；

（2）该四杆机构的最小传动角γmin；

（3）滑块的行程速度变化系数K。

解：（1）lAD +lBC =80+260 =340< lAB +lCD =160+200=360,即满足杆长条件，且以最短杆AD为机架，故为双曲柄机构。（2）解法一：作图法如图（b）所示

解法二:minb2c2ad2602202_16080arccosarccos13.325

2bc226020022

（3）在图（c）所示，极位夹角θ为滑块在两个极限位置时曲柄AB所夹的锐角，用作图法可得θ=43.6°。

180K1.639

180

例3 在图示的凸轮机构中，若已知凸轮2以等角速度顺时针转动，试求从动件上B点的速度。假设构件3在构件2上作纯滚动，求点B'的速度。

解：（1）瞬心位置如图所示，vP242O2P244P14P24

4O2P242 PP1424vB4O4B

方向如图所示（2）

vP232O2P233P13P23

3O2P232 PP1323vB3P13B

方向如图所示

例4 图示为一已知的曲柄遥杆机构，现要求用一连杆将摇杆CD和一滑块F连接起来，使摇杆的三个位置C1D，C2D，C3D，和滑块的三个位置F1，F2，F3相对应，试确定此连杆的长度及其与摇杆CD铰接点的位置。

解：该问题属于函数生成机构的设计，如图所示，根据低副运动的可逆性，如果改取从动连架杆为机架，则可得铰链F的转位点F'2，F'3。连接F1F'2和F'2F'3，分别作这两段线段的中垂线，其交点E1 即为所求。连杆长度EF可从图中直接量取。

例5试设计如图3-6所示的六杆机构。当原动件 OAA 自 OAy轴沿顺时针转过1260 到达 L2 时，构件OBB1顺时针转过 1245，恰与OAx轴重合。此时，滑块6在 OAx轴上自C1 移动到C2，其位移S1220mm，滑块C1距OB的距离为OBC160mm，用几何法确定A1和B1点的位置，并且在所设计的机构中标明传动角。同时，说明机构OAA1B1OB是什么样的机构（曲柄摇杆、双曲柄或双摇杆机构）？

第四篇：空间点、直线、平面之间的位置关系(一)

空间点、直线、平面之间的位置关系

（一）学习目标：

1．掌握平面的基本性质，在充分理解本讲公理、推论的基础上结合图形理解点、线、面的位置关系及等角定理．

2．异面直线的判定与证明是本部分的难点，定义的理解与运用是关键．

重点、难点：

运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．

知识梳理：

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类





共面直线



平行相交

异面直线：不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′

与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．②范围：π

0，2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角

典型例题：

【例1】►正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．

A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形 【例2】►正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：

(1)AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B和CC1是否是异面直线？说明理由．

【例3】►(202_·宁波调研)正方体ABCDA1B1C1D1中．

(1)求AC与A1D所成角的大小；

(2)若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

达标训练：

1．(人教A版教材习题改编)下列命题是真命题的是()． A．空间中不同三点确定一个平面B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面D．梯形一定是平面图形

2．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()．

A．一定是异面直线B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 3．(202_·浙江)下列命题中错误的是()．

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

反思小结：

第五篇：直线和平面垂直教案

直线和平面垂直教案

教学目的

1．进一步理解直线与平面垂直定义的两种用法； 2．理解并掌握直线与平面垂直的判定定理2； 3．理解并掌握直线与平面垂直的性质定理． 教学重点和难点

这节课的重点是使学生进一步理解、掌握直线和平面垂直的定义和判定定理．这节课的难点是直线和平面垂直的性质定理的证明．

教学设计过程

一、复习，讲练上节课所留的作业

师：先请一位同学讲他所做的第32页习题四中的第1题．（教师写出已知、求证并画出直观图）

已知：△ABC，l⊥AB，l⊥AC．（如图1）求证：l⊥BC．

生：因为l⊥AB，l⊥AC，所以 l⊥平面ABC．（线面垂直的判定定理）故 l⊥BC．（线面垂直的定义）

师：对，在上一节我们讲直线和平面垂直的定义时，就强调过在立体几何中这是一个很重要的定义，我们一定要很好地理解、应用．线面垂直的定义既是线面垂直最基本的判定方法，在线面垂直判定定理的证明思路就是回到定义去．关于这一应用在上节课中已经做了详细的说明．线面垂直的定义又是线面垂直的最基本的性质，当我们知道直线和平面垂直后，这平面的垂线就和平面内任何一直线都垂直，所以应用线面垂直的定义是证明两直线垂直常用的方法之一． 师：现在我们来看第32页习题四的第2题．请一个同学回答．（写出已知、求证和根据已知条件而画的直观图，我们叫它为起始图）

已知：直线a∥平面α，直线b⊥平面α．（如图2（1））求证：b⊥a．

生：过a作平面β，设β∩α＝c，因为a∥α，所以a∥c．（线面平行的性质定理）

又因为b⊥α，因此b⊥c，故b⊥a． 师：我们怎样想到要过a作平面β的呢？

生：这是线面平行的性质定理的要求．因为在线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．在图中没有这条交线，所以我们就要作平面β∩α＝c，作出这条交线，以满足定理的要求a平行交线c．

师：这是定理要求我们作辅助面．在立体几何解题过程中，我们经常要作辅助线、辅助面，我们根据什么原则来作辅助线、辅助面呢？有两条原则：一是用概念来指导作图，这在求异面直线所成的角时，我们曾反复强调；二是用定理来指导作图．这就是今天我们在证明这个题时要明确的．这是在立体几何中作辅助线、辅助面的两条基本原则，遵循这两条原则就说明解题的思路是正确的，就使解题的正确性有了基本的保证；反之，如果违背了这两条原则，那就说明了第一步就走错了方向．这一题肯定不可能做对．所以作辅助线、辅助面这两条原则我

们一定要理解、记住，并且在解题过程中应用．当然，以后随着课程内容不断的展开，我们还会反复强调这两条原则．

以前我们还讲过要使直观图有好的视觉效果，还要注意视角的选择，这一题的起始图（根据已知条件所画出的直观图）看起来它的视觉效果并不好，但当我们证完这道题，看到它的终止图（解完题后的直观图）视觉效果就比较好，所以视角选择好与不好要以终止图的视觉效果好与不好为标准．这样在解完一道题后，有时要重新设计起始图的画法，以保证终止图有最好的视觉效果．

二、直线与平面垂直的判定定理2．

师：这是课本第25页的例1，我们把它正式升格为判定定理2．我们来看下面的模型就很容易了解定理的内容．（这时拿出两根小棍平行地放在课桌面上，并使其中一根与桌面垂直，让学生观察另一根与桌面的关系）a∥b，如果a⊥平面α，那么b与平面α是什么关系？

生：b也垂直平面α．

师：这就是线面垂直的判定定理2．

判定定理

2如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．

已知：a∥b，a⊥α．（如图3）求证：b⊥α．

师：判定定理

1、判定定理2，这里的1，2不是人为的排列，而是有它内在的逻辑关系，也就是说我们可以应用判定定理1来证明判定定理2，那么我们如何用判定定理1来证明判定定理2呢？

生：为了用判定定理1，我们可以首先在平面α内作两条相交直线m，n． 因为 a⊥α，所以 a⊥m，a⊥n．（线面垂直的定义）

又因为 a∥b，所以 b⊥m，b⊥n．（一条直线垂直于平行线中的一条也就垂直于另一条）故 b⊥α．（线面垂直的判定定理1）

三、直线和平面垂直的性质定理

师：现在我们来研究直线和平面垂直的性质定理，先来看模型．（这时教师用两根小棍都垂直于桌面，让学生观察、回答）

生：这两直线平行．

师：这就是直线和平面垂直的性质定理．

直线和平面垂直的性质定理

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．

已知：a⊥平面α，（如图4）b⊥平面α，求证：a∥b．

师：我们讲过了线面垂直的判定定理1、2．也曾经在讲线面垂直的定义时，把课本中的两句话（第24页）升格为两个定理，即：

定理

过一点有且只有一条直线和一个平面垂直． 定理 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直． 现在可以根据上述定理来证明线面垂直的性质定理：

生：可用反证法，假设b a，设b∩α＝O，过O点作b′∥a，因为a⊥α，所以b′⊥α（判定定理2），所以过点O有两条直线b，b′都与平面α垂直，与垂线的唯一性矛盾，所以b

a不能成立，所以b∥a．

师：用反证法证明可以，也可以用同一法，即在证明的开始不做假设b a，证完b′⊥α后，根据垂线的唯一性b′应与b重合，所以b∥a．当然，对反证法和同一法，我们主要要掌握反证法，对同一法只要求有所了解．

四、两个定义

1．点到平面的距离

从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．

（教师可先用一根小棍垂直于桌面演示，然后给点到平面的距离下定义，下完定义后可指出，点到平面的距离可转化为两点间的距离，即这个点和垂足之间的距离）

2．平行的直线和平面的距离

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离．

（教师可先用一根小棍和平面平行，演示让学生观察，如何给平行的直线和平面的距离下定义，定义给出后，教师可指出平行的直线和平面的距离可能转化为点到平面的距离，当然也就可转化为两点间的距离）

师：在这定义中，是这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离，那会不会因在直线上所取的点不同，而使距离不同呢？

生：不会，它们之间的距离都相等．

师：对，但为了在理论上说明这个定义的合理性，我们来看下面这个例题． 例

已知：l∥平面α，A∈l，B∈l，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′．（如图5）

求证：AA′＝BB′．

生：因为AA′⊥α，BB′⊥α，所以AA′∥BB′（性质定理），所以过AA′，BB′作平面β，设β∩α＝A′B′，因为l∥α，所以l∥A′B′，故AA′＝BB′．（平行线间的距离处处相等）

师：通过这个例题的证明，我们就了解了定义的合理性．可以在直线上任意取点．这对于以后我们求平行的直线和平面的距离，提供了很好的思路． 今天我们讲了直线和平面垂直的第2个判定定理，讲了直线和平面垂直的性质定理，在这个基础上还讲了点到平面的距离、平行的直线和平面的距离两个定义．

作业

课本第32页习题四第3，5，8题． 补充题

1．已知：平面α∩平面β＝直线l．A∈α，AB⊥β于B，BC⊥α于C． 求证：AC⊥l．

［提示：证明直线l⊥平面ABC］

2．已知：AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A和B的点，PA⊥⊙O所在的平面．

求证：BC⊥PC．

［提示：证明BC⊥平面PAC］

3．已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，PB⊥平面ABC，BD⊥PC于D． 求证：（1）AC⊥BD；（2）BD⊥PA．

［提示：（1）证明AB⊥平面PBC：（2）证明BD⊥平面PAC］ 课堂教学设计说明

1．立体几何第一章直线和平面主要研究的是空间两条直线、空间直线和平面、空间两个平面的位置关系，其中以直线与直线的垂直、直线与平面的垂直、平面与平面垂直为重点．而直线与平面的垂直是其中的最重要的一个环节，它是三垂线定理及其逆定理、两平面垂直的判定和性质的基础．所以对直线与平面垂直的定义与判定定理一定要让学生深刻理解、牢固记忆、灵活应用．

2．直线与平面垂直的定义，既是直线与平面垂直的最基本的判定方法，别的判定定理都是根据定义和有关定理经过演绎推理而得，在这个意义上，我们说直线与平面垂直的定义是最基本的判定方法；直线与平面垂直的定义又是直线与平面垂直最基本的性质．别的性质定理是根据定义和有关定理经过演绎推理而得，在这个意义上，我们说直线与平面垂直的定义是直线与平面最基本的性质． 为了使学生理解直线与平面垂直的定义这两种用法，以平面几何中的平行四边形的定义为例．平行四边形的定义既是平行四边形的最基本的判定方法，也是平行四边形的最基本的性质．别的判定定理和性质定理都是根据定义和有关定理经过演绎推理而得．

在这里一定要让学生深刻的理解并掌握应用直线与平面垂直的定义是证明两直线垂直最常用的方法．

3．在课本第24页给直线与平面垂直下定义后的这两句话：“过一点有且只有一条直线和一个平面垂直；过一点有且只有一个平面和一条直线垂直．”是两个定理．关于垂线的唯一性和垂面的唯一性的这两个定理是可以证明的．关于这两个定理的证明可以参看1989年出版的《立体几何全一册（甲种本）教学参考书》第47页第11题（1）、（2）．要让学生了解这两个定理，并会应用这两个定理，在证明直线和平面垂直的性质定理时，用到垂线的唯一性，以后在证课本第38页习题五第4题时还要用到垂线的唯一性和垂面的唯一性．

为什么课本在这里只是提出两个唯一性没有明确是两个定理也没有证明呢？这是课本的编者为了降低学习立体几何的难度而这样处理的．但我以为还是明确垂线的唯一性、垂面的唯一性是两个定理，但可以不予证明而直接应用为好． 4．前面我们提出了“视觉语言”这个概念，既然作为一种“语言”它应该而且必须与思维过程相一致．所以这里我们又提出“起始图”（根据题中的条件而出现的“视觉语言”）和“终止图”（解完题后，或思维过程完结时出现的“视觉语言”）这两个概念．

前面我们也提到过为了使“视觉语言”达到最佳的视觉效果，必须注意视角的选择，我们认为视角的选择要以终止图有最佳的视觉效果为标准，这样有时会出现起始图视觉效果较好而终止图视觉效果并不好；或者起始图视觉并不太好而终止图视觉效果较好这样不一致情况，所以这样就要求教立体几何的教师对于直观图要精心地、反复地设计，务必使终止图有最佳的视觉效果，这样才能使这个“视觉语言”起到它应有正面效应；否则，这个“视觉语言”不但不能起到它应有正面效应，相反，却起到负面效应．增加了学生在学习立体几何中的困难．这是每一个教立体几何的教师务必要理解并切实掌握的基本功．

起始图和终止图不仅仅是形式上的不同，而且它们之间还应该有“时间差”．因为这两个图是与思维过程相一致，思维既然以一个过程而出现，所以与这抽象思维过程相一致，或者说要以具体形象来表现这个抽象思维过程的“视觉语言”当然也要以一个过程而展现．这两个过程当然是一致的，但是“视觉语言”展现的过程应该比思维过程慢“半拍”，而不是同步，也就是说动脑先于动手．我们说以概念指导作图，以定理指导作图，也就是说在我们动手作图前，脑中得先有有关概念和定理．

在一篇文章中，我看到中国画画家在总结他们的创作国画经验时，用“蓄图在胸、意在笔先”这八个字来概括．当我看过这篇文章后，这八个字就牢记在心，感到对于立体几何的教学很有启发、很有教益．我们在脑中所蓄的图应该是由起始图到终止图一个不断的展现过程，而以终止图为主．这里的所谓意，就是思想，就是有关的概念和定理．

最后我还想以江泽民同志在1998年一次讲话中所引用的李白的《春夜宴桃李园序》“夫天地者，万物之逆旅也，光阴者，百代之过客也”．后说李白已经意识到了四维空间．明确指出“视觉语言”是要在二维平面来展现“四维空间”。不论用什么手段进行教学，一定要把这“时间差”表现出来．即展现出一个随时间的变化而变化的有“动感”的空间图形．

当然有的立体几何题的起始图和终止图是同一个图形，不要作任何的辅助线和辅助面，如这节课所讲的课本第32页习题四中的第1题．但伴随着思维过程的进展，作为对起始图的认识到对作为终止的认识（由直线与直线的垂直，到直线与平面的垂直，再到直线与直线的垂直）也同样有一个过程．

科学和艺术在一定条件下是可以统一的．记得在《新华月报》上曾看到有名的华人物理学家请中国有名的美术家用他们的绘画来展现高深抽象的物理内容．因此在立体几何教学中我们有可能也有必要把科学和艺术统一起来，即所画的每一个空间图形既要展示它所包含的数学科学的内涵，又要展示它的形式的艺术的美．把数学中（立体图形）的美渗透在每一节课中，这样可以培养学生对美的感受，可以更好吸引学生的注意力，从而达到更好的教学效果．

每一个听过我的课的人，都表扬我所画的图很美．在上课时有时让学生做练习，我踱步向教室后面走去，回过头来也很自我欣赏所画图的美．因为从某种意义上来说，每一个图都是一幅美术作品——空间图形的素描．当然我们在立体几何画“素描”的方法用的是平行投影中的斜二测画法，而在美术课中画素描的方法用的是中心投影中的透视法．（可参看1989年版，人民教育出版社出版《立体几何（甲种本）全一册教学参考书》第78页）