第一篇：勾股定理证法

证法

1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则A2+B2=C

2证法2

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C

2证法

3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°,∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。

证法

4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积

= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积

∴ 即A2+B2=C

2证法5(欧几里得的证法)

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2。把这两个结果相加，AB2;+ AC2;;= BD×BK +

KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)= BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

通过证明三角形相似则有射影定理如下：

（1）（BD）2;=AD·DC，（2）（AB）2;=AD·AC，（3）（BC）2;=CD·AC。

由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）2;，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。图

1证法七（赵爽弦图）

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：4×（ab/2）+（b-a）2;=c2;

化简后便可得：a2;+b2;=c2;

亦即：c=(a2;+b2;)1/

2勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。

在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。1 周髀算经，文物出版社,1980年3月，据宋代嘉定六年本影印,1-5页。

2.陈良佐： 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》，1989年第7卷第1期, 255-281页。

3.李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾, 1991年7月，227-234页。

4.李继闵： 商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期,29-41页。

5.曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷，台湾, 1996年9月第3期，20-27页

证法8（达芬奇的证法）

达芬奇的证法三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。

证明：

第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形

CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形

B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

因为S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因为E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2

勾股定理得证。

证法9

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：b(a + b)= 1/2c2;+ ab + 1/2(b + a)(bb2;+ a2;= c2;

a2;+ b2;= c2;

注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

第二篇：关于勾股定理几种简单证法

关于勾股定理几种简单证法

摘要：勾股定理是一个基本的几何定理，即在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方和一定等于斜边长的平方，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，熟悉掌握它的基本原理以及简单的一些证明，能够在实际问题中的到广泛应用，对一些实际问题能起到简化明了处理，当然它的证明有很多种，就当前我们所学的知识水平，结合实际中的应用，简单介绍几种证明。

关键词：勾股定理原理工具证明

证法一：相似三角形及射影知识证明

如图：在Rt△ABC中，∠ACB=90°

作CD⊥AB，垂足为D，∵△BCD ∽ △BAC

可得 BC2BDBA①

B

∵△CAD ∽ △ABC

可得 AC2ADAB②

容易得出① ＋ ②可得：

BC2AC2AB(ADBD)222BCACAB ADBDAB

即a2b2c

2这种方法应用了相似三角形的方法，在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形分成两个三直角角形与原三角形相似，从而得到一系列比例关系，再通过代换运算很简洁的就可以证明勾股定理了。

证法二：

如图：有两个全等的边长分别为 a b c 的直角三角形Rt△ABC 和 Rt△BDE，连结AE，构成直角梯形ABCD，则梯形面积如图所示

1∵SABCDADDECD 2

111ACBCBDDEABBE

222

则有SABCD

ab

ab

111abcc 222

b

化简整理得到三角形三边关系为：

abc

这一证明采用了构造法,将三角形组填补成梯形,利用面积相等关系简洁的证的定理。

证法三:

222

CD

如图:做四个全等的直角三角形，直角边分别为

a b，斜边长为c,且组合成如图所示的图形，使得D、E、F三点在一条直线上，过C作AC的延长线交DF于P ∵D、E、F三点在一条直线上，且Rt△GEF ≌ Rt△EBD ∴∠1＝∠3① ∵∠1＋∠2＝90°②

由①②得 ∠2＋∠3＝90°

∴∠BEG＝180°－90°＝90°

又AB＝BE＝EG＝GA＝c

∴ABEG是边长为 c的正方形

∠4＋∠5＝90°③ 又Rt△ABC ≌ Rt△EBD ∴∠4＝∠6④

由③④得 ∠6＋∠5＝90°即∠CBD＝90°∵∠BDE＝90°∠BCP＝90°BC＝BD＝a ∴BDPC是边长为b的正方形 同理：HPFG是边长为a的正方形 设多边形GHCBE的面积为S

则SHBDP

B

SHPFGSSGFESEDB

122

abS2ab⑤ 即

又SABEG

SSAGHSABC

即cS2ab⑥

由⑤⑥可得：abc

这一证明采用组合图形的方法，利用图形之间角度与面积关系证的定理，是一种比较特殊的证明方法。

证法四：

有一Rt△ABC将其绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的，如图ABC旋转后的三角形且延长BA交AB于M

则

∴∠1＝∠2

延长BA交AB于M

A

则∠2＋∠4 = 90°且∠4＝∠3 ∴∠1＋∠3 = 90°即 BMAB ∴Rt△ABC ∽ RtABM CABAMB

∴ ABAC

222

abAM

AM即cb

∴SABBSBAB

ab

b

a

ABBMABBAAM 22

B'

11ccabb 2c

cabb22



①

11ABCBaba 2212

aab② 2

而



SABB2SABCSBAB

121122

cabb2abaab即 222



∴ cabb2abaab 从而abc

综上，关于勾股定理的证明有很多种方法，对于这一著名的定理的讨论证明，222

还有很广阔的天地，至此，水平有限对它的探讨只能是凤毛麟角，总之，在勾股定理探索的道路上，给我们带来了趣味，同时也有新的问题在等待着我们继续探讨

参考文献:

［1］ 罗增儒.中学数学课例分析（第二版）［M］.西安：陕西师范大学出版社 ［2］ 黄远生.初中数学课例：勾股定理［J］.人民教育，202_，［3］Mary Kay Stein 等著，李忠如译.实施初中数学课程标准的教学案例［M］.上海：上海教育出版社，202_

第三篇：浅谈勾股定理的几种证法

浅谈勾股定理的几种证法

子洲三中陕西子洲乔 智718499

【摘要】勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方

【关键词】:割补法达芬奇的证法加菲尔德图

证法1（图1）

左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都

是)，所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是

他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易

懂。

证法2（图2）

第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方。形“小洞”。

因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思

想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。

证法3（图3）

这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简

洁，它在数学史上被传为佳话。

证法4达芬奇的证法

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前

后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相

等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么

个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因

为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然

后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为

对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角

A'和角D'都是直角。

证明：

第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE

第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'

因为S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因为E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2

勾股定理得证。

证法5

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b(a + b)= 1/2c^2;+ ab + 1/2(b + a)(bb^2;+ a^2;= c^2;a^2;+ b^2;= c^2;

注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

参考文献

《数学原理》人民教育出版社

《探究勾股定理》同济大学出版社

《优因培教数学》北京大学出版社

《勾股书籍》 新世纪出版社

《九章算术一书》

第四篇：勾股定理的十种证法

勾股定理的十种证法

证法

1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF ≌ RtΔEBD，∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180°―90°= 90°

又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形。

∴ ∠ABC + ∠CBE = 90°

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD，∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90°

即 ∠CBD= 90°

又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，BC = BD = a.∴ BDPC是一个边长为a的正方形。

同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则

A2+B2=C

2证法2

作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC，交AC于点P.过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点

F作FN⊥PQ，垂足为N.∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90°，∵ BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90°，∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°。∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90°，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即A2+B2=C

2证法

3作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，∴FI=a，∴G,I,J在同一直线上，∵CJ=CF=a，CB=CD=c，∠CJB = ∠CFD = 90°，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD，同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE

∴∠ABG = ∠BCJ,∵∠BCJ +∠CBJ= 90°，∴∠ABG +∠CBJ= 90°，∵∠ABC= 90°，∴G,B,I,J在同一直线上，A2+B2=C2。

证法

4作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD.过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L.∵ AF = AC，AB = AD，∠FAB = ∠GAD，∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，∵ ΔFAB的面积等于，ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，∴ 矩形ADLM的面积 =.同理可证，矩形MLEB的面积 =.∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴ 即A2+B2=C

2证法5（欧几里得的证法）

《几何原本》中的证明

在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：

如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。

其证明如下：

设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB²。同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC2。把这两个结果相加，AB2;+ AC2;;= BD×BK + KL×KC。由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC)= BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB2;+ AC2;= BC2。此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的证法6（欧几里德（Euclid）射影定理证法）

如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高

通过证明三角形相似则有射影定理如下：

（1）（BD）2;=AD·DC，（2）（AB）2;=AD·AC，（3）（BC）2;=CD·AC。

由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD）·AC=（AC）2；，图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。

图

1证法七（赵爽弦图）

在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2 =c2；

化简后便可得：a2 +b2 =c2;

亦即：c=(a2 +b2)1/

2勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。

中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。

在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。周髀算经，文物出版社，1980年3月，据宋代嘉定六年本影印，1-5页。

2.陈良佐：周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系。刊於《汉学研究》，1989年第7卷第1期，255-281页。

3.李国伟： 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章。刊於《第二届科学史研讨会汇刊》，台湾，1991年7月，227-234页。

4.李继闵：商高定理辨证。刊於《自然科学史研究》，1993年第12卷第1期，29-41页。

5.曲安京： 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明。刊於《数学传播》20卷，台湾，1996年9月第3期，20-27页

证法8（达芬奇的证法）

达芬奇的证法

三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。

证明：

第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△

BCO=OF2+OE2+OF·OE

第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E'因为S1=S2

所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'

又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF

所以OF2+OE2=E'F'2

因为E'F'=EF

所以OF2+OE2=EF2

勾股定理得证。

证法9

从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：

b(a + b)= 1/2c2 + ab + 1/2(b + a)(bb2 + a2 = c2;

a2 + b2 = c2;

注：根据加菲尔德图进一步得到的图形。

证法10

在Rt三角形ABC中，角C=90度，作CH垂直于AB于H。

令a/sinA=b/sinB=c/sinC=d

1=sin90=sinC=c/d=AH/d+BH/d=cosA×b/d+cosB×a/d=cosA×sinB+cosB×sinA=a/c·a/c+b/c·b/c=(a^2+b^2)/c^2=1

所以a^2+b^2=c^2

得证。

第五篇：勾股定理的总统证法

勾股定理的总统证法

勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．

总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；

1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．

1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法．

亲爱的同学们，从上面的故事我们可以看出发明创造并非科学家、学者的专利，只要我们用心观察发现问题，认真思考钻研问题，照样可以取得成就。