第一篇：三角函数的二倍角公式

三角函数的二倍角公式

一、指导思想与理论依据

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科。因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。所以在学生为主体，教师为主导的原则下，要充分揭示获取知识和方法的思维过程。因此本节课我以建构主义的“创设问题情境——提出数学问题——尝试解决问题——验证解决方法”为主，主要采用观察、启发、类比、引导、探索相结合的教学方法。在教学手段上，则采用多媒体辅助教学，将抽象问题形象化，使教学目标体现的更加完美。

二、教材分析

三角函数的二倍角公式是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修四，第三章第一节的内容，其主要内容是三角函数二倍角公式。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法，为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求.为此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位。

三、学情分析

本节课的授课对象是本校高一八班全体同学，本班学生水平处于中等偏下，但本班学生具有善于动手的良好学习习惯，所以采用发现的教学方法应该能轻松的完成本节课的教学内容。

四、教学目标

1、基础知识目标：理解公式的发现过程，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式；

2、能力训练目标：能正确运用公式；

3、创新素质目标：通过对公式的推导和运用，提高三角恒等变形的能力和渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力；

4、个性品质目标：通过公式的学习和应用，感受事物之间的普通联系规律，运用化归等数学思想方法，揭示事物的本质属性，培养学生的唯物史观。

五、教学重点和难点

1、教学重点：理解并掌握公式；

2、教学难点：正确运用公式，求三角函数值，化简三角函数式。

六、教法学法以及预期效果分析

“授人以鱼不如授之以鱼”，作为一名老师,我们不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想方法, 如何实现这一目的,要求我们每一位教者苦心钻研、认真探究.下面我从教法、学法、预期效果等三个方面做如下分析。

（一）、教法

数学教学是数学思维活动的教学，而不仅仅是数学活动的结果，数学学习的目的不仅仅是为了获得数学知识，更主要作用是为了训练人的思维技能，提高人的思维品质。在本节课的教学过程中，本人以学生为主题，以发现为主线，尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法，采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式，还给学生“时间”、“空间”，由易到难，由特殊到一般，尽力营造轻松的学习环境，让学生体味学习的快乐和成功的喜悦

（二）、学法

“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，很多课堂教学常常以高起点、大容量、快推进的做法，以便教给学生更多的知识点，却忽略了学生接受知识需要时间消化，进而泯灭了学生学习的兴趣与热情.如何能让学生最大程度的消化知识，提高学习热情是教者必须思考的问题。在本节课的教学过程中，本人引导学生的学法为思考问题、共同探讨、解决问题、简单应用、重现探索过程、练习巩固。让学生参与探索的全部过程，让学生在获取新知识及解决问题的方法后，合作交流、共同探索，使之由被动学习转化为主动的自主学习。

（三）、预期效果

本节课预期让学生能正确理解诱导公式的发现、证明过程，掌握公式，并能熟练应用公式了解一些简单的化简问题。

七、教学流程设计

（一）、创设意境 设计意图

自信的鼓励是增强学生学习数学的自信，简单易做的题加强了每个学生学习的热情，具体数据问题的出现，让学生既有好像会做的心理但又有迷惑的茫然，去发掘潜力期待寻找机会证明我能行，从而思考解决的办法。

（二）、新知探究

设计意图

由特殊问题的引入，使学生容易了解，实现教学过程的平淡过度,为同学们探究发现任意角 与 的三角函数值的关系做好铺垫。

（三）、问题一般化 探究

1、探究发现任意角a 的终边与360°+a的终边关于原点对称；

2、探究发现任意角a的终边和360°+a 的终边与单位圆的交点坐标关于原点对称；

3、探究发现任意角a 与360°+a 的三角函数值的关系。设计意图

首先应用单位圆，并以对称为载体，用联系的观点，把单位圆的性质与三角函数联系起来，数形结合，问题的设计提问从特殊到一般，从线对称到点对称到三角函数值之间的关系，逐步上升，一气呵成诱导公式二．同时也为学生将要自主发现、探索公式三和四起到示范作用，下面练习设计为了熟悉公式一，让学生感知到成功的喜悦，进而敢于挑战，敢于前进。

（四）、问题变形

学生自主探究。

设计意图

遗忘的规律是先快后慢，过程的再现是深刻记忆的重要途径，在经历思考问题－观察发现－到一般化结论的探索过程，从特殊到一般，数形结合，学生对知识的理解与掌握以深入脑中，此时以类同问题的提出，大胆的放手让学生分组讨论，重现了探索的整个过程，加深了知识的深刻记忆，对学生无形中鼓舞了气势，增强了自信，加大了挑战.而新知识点的自主探讨，对教师驾驭课堂的能力也充满了极大的挑战.彼此相信，彼此信任，产生了师生的默契，师生共同进步.展示学生自主探究的结果给出本节课的课题 ：三角函数公式。设计意图

标题的后出，让学生在经历整个探索过程后，还回味在探索，发现的成功喜悦中，猛然回头，哦，原来知识点已经轻松掌握，同时也是对本节课内容的小结.（五）、概括升华

设计意图 简便记忆公式

（六）、练习强化 求下列三角函数的值：

1、sin(-100°)；

2、cos(-20400°)。设计意图

本练习的设置重点体现一题多解，让学生不仅学会灵活运用应用三角函数的公式，还能养成灵活处理问题的良好习惯这里还要给学生指出课本中的“负角”化为“正角”是针对具体负角而言的。

设计意图

重点加强对三角函数的公式的综合应用。

（七）、小结

1、小结使用公式化简任意角的三角函数为锐角的步骤；

2、体会数形结合、对称、化归的思想；

3、“学会”学习的习惯。

（八）、作业

1、课本Ｐ-27,第1,2,3小题;

2、附加课外题。（略）设计意图

加强学生对三角函数的公式的记忆及灵活应用，附加题的设置有利于有能力的同学“更上一楼”。

第二篇：二倍角公式

二倍角公式

一、教学目标

1、知识与技能：

① 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

② 运用上述公式进行简单的三角函数式求值、化简。

2、过程与方法：

① 理解二倍角公式引入的意义。

② 研究三角函数化简求值的方法。

3、情感态度与价值观：

鼓励学生大胆猜想，勇于实践的探索精神。

二、教学重点

二倍角公式的推导、C2的两种变形公式及应用。

三、教学难点

理解“二倍”的实质并会简单应用。

四、教学方式

讲练结合，启发指导，做中学习。

五、教学课时

2课时

六、教学过程

（一）复习导引

复习和角公式（加法定理）sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)从一般化到特殊化。让学生把公式中的β替换成α，从而推导二倍角公式

（二）知识整理，帮助建构

1．让学生把公式中的β替换成α，从而推导二倍角公式

sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α-sin2α

2tantan2α=

1tan22．利用平方关系sin2α+ cos2α=1让学生推导余弦二倍角公式的其它两种形式：

cos2α=cos2α-sin2α=2 cos2α-1 =1-2sin2α

3.引导学生记住公式特征，特别是二倍与二次的关系。4.巩固公式，做几个简单的求值题。

sin(450+450)cos(300+300)tan(600+600)

（三）例题与练习（例题讲解，示范技能；做中学习，同化顺应）

1.例1.已知cosα=-3/4, (,)，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

Note: 1）求tan2α所用的并非公式法,而是定义法,因此方法并不唯一,提示学生下课后用其他方法再算。

求cos2α所用的方法并不唯一,提示学生下课后用其他两种方法再算

2）对于tan2α的两种求法，各有优劣。定义法易做但是如果说sin2α，或者cos2α

求错了，它一定错。反之，用公式法来做比较繁，但是出错少.提示学生下课后用其他方法再算。

2.学生练习：已知cosα=-12/13, α∈(,)，求sin2α，cos2α，tan2α的值

23.例2.用二倍角公式求下列各式的值:

22(1)sin cos;

(2)cos8-sin8

121212tan22.502(3)-sin;(4)

202121tan22.5(启发，让学生完成)111解：（1）原式=（2sin cos）= sin=

2121226（2）原式=cos(28)= cos

2= 42(3)原式= 1113(1-2sin2)= cos(2)= cos= 212212264

(4)原式=tan450=1 Note:1.有些形式作适当变形可以用公式，要注意系数的变化；

2．倍角公式具有相对性，比如4可以表示2的倍角，可以表示成的倍角，可22的倍角，亦即如下列公式： 4sin=2sincos 244cosα=cos2-sin2

222tan2tan4α=

1tan224.学生练习：P13，题1的5 个小题。以表示成5．学生练习（机动）：化简cos4

xx-sin4 226.作业：P13，题6的4个小题

（四）课堂小结

本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白一般到特殊的思想，并能正确熟练的运用二倍角公式进行解题。

七、板书设计

二倍角公式



sin2α=2sinαcosα 例1.已知cosα=-3/4, (,)，求sin2α，cos2α，tan2α的值。

22tan2

2tan2α= 例2(1)sin cos;

(2)cos8-sin812121tan2

sin2α+ cos2α=

1cos2α=cosα-sinα 22

12tan22.502

cos2α=cosα-sinα(3)-sin;(4)

2121tan222.5022

=2 cosα-1 2 =1-2sinα 2

八、教学后记

本节课的实施从整体上说是比较顺利的，教学目标基本达到．在我的引导下，学生的思维活动展开的比较充分，在课堂上学生积极参与探索，学习的热情较高，在对公式的理解，思想方法分析能力,逻辑的体会，以及运算推理能力的提高等方面都有较大的进步。针对上课情况反映出来的问题，现在我谈谈在上完这节课之后的感想，作一反思，以便更好的服务于课堂教学。本次课堂最大的不足就是时间安排欠缺，为了不超时，最后的一个公式逆运用的相关例题没有进行讲解，留待下次在讲，影响了本次课的整体效果，对学生没有放手，没有发挥学生的学习的主动性，应多多将问题交给学生自主独立思考，让学生更能体会学习数学的乐趣。

第三篇：二倍角公式及其应用

二倍角公式及其应用

郴州综合职业中专

张文汉

教学目的：

引导学生导出二倍角的正弦、余弦以及正切公式并且能够熟练掌握其应用 教学重点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式 教学难点：

二倍角的正弦、余弦以及正切公式的变换及公式的应用，特别是逆应用公式 引入：

回顾正弦、余弦以及正切的和角公式：

sinsincoscossin coscoscossinsin

tantantan1tantan

要求：

掌握三个公式的形式与结构并熟记公式 新授：

一、二倍角的正弦、余弦以及正切公式的导出

在上述正弦、余弦以及正切的和角公式中

以“”代“”得二倍角的正弦、余弦以及正切公式如下：sin22sincos，cos2cos2sin2，tan22tan1tan2, 另外、根据sin2cos21可得二倍角的余弦的另外两个公式：

cos22cos21，cos212sin2.二、应用训练 ㈠、公式的正用：

已知cos34,1800,2700,求sin2、cos2的值.解：因为cos3,1800,2700,43132

所以，sin1cos2144,所以，sin22sincos21334439,82

cos22cos2123415.8㈡公式的反用：求下列各式的值

12sin22.50cos22.50

2sin150cos150 32cos222.5041sin25212

解1原式sin(222.50)sin45022.解2原式122sin150cos15011112sin300224 解3原式cos(222.50)cos45022.解4原式1212sin2515122cos6

11132cos62cos62234.㈢公式的灵活运用：化简或求值

1化简：21sin822cos8;2求值：cos2417cos17cos17cos817.sin2sin23已知tan222，且0,，求21的值.2cos4解1原式212sin4cos4222cos241

2sin4cos424cos24

2sin4cos42cos42sin42cos4.因为，sin4与cos4皆为负.248coscos1717171717 解2原式24sin17224844823sincoscoscos22sincoscos17171717171717 24sin24sin171788162sincossinsin()sin17171717171.1624sin24sin24sin24sin171717172tan解3：因为tan222,所以22, 21tan24sincoscos整理得：2tan2tan20,解之，得tan2或tan2, 22若0,，则tan，此时222 1sincostan1原式2223;cossintan1212tan121若,，则tan2，此时 原式322.tan1212

三、课堂练习

求下列各式的值：1sin67.50cos67.50;2sin750cos150.四、课堂小结：

1、二倍角公式的导出；

2、二倍角公式的熟练应用；

3、二倍角公式的灵活应用.五、作业：

已知等腰三角形的一个底角的正弦值等于0.6,求这个等腰三角形的顶角的正弦、余弦值.六、课后思考训练



1、求值：sin60sin420sin660sin780;

2、已知sincos2,,,求tan;2

22sinsin2

3、已知k,,,试用k表示sincos的值.1tan42 3

第四篇：二倍角公式的运用

学科：数学

教学内容：导数的应用

（一）【学习目标】

利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值、函数在连续区间［a，b］上的最大（小）值，培养数学思维能力．

【高考试题剖析】

91．曲线y＝x在点（3，3）处的切线倾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函数f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的单调性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数． 【答案】增函数

3．函数y＝1＋3x－x3有（）A．极小值－1，极大值1

B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2

D．极小值－1，极大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函数y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）检验知，当x＝2时，y极小＝－15．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面说法正确的是（）

A．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B．函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C．对于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，则f（x）无极值 D．函数f（x）在区间（a，b）上一定存在最值

【解析】极值是函数的局部性质，最值是函数的整体性质，因此，极大值不一定是最大值，A错．由于函数的最值可能在端点取得，因此最大值不一定是极值，B错．

22对于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，当|p|<6时无实根，而f（x）在R内可导，因此f（x）无极值．

【答案】C 【典型例题精讲】

1［例1］研究函数f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的单调性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2b当a＞0时，f′（x）＞0，则x＜

2b33a或

22xbb33a，2bf′（x）＜0时，b33a2xbb33ab32，(,所以f（x）在在[bb3a2b2b33a],[b3a,)上单调递增，3,bb3a3]上单调递减．

[当a＜0时，同样可得f（x）在bb3bb3,]3a3a上单调递增，b3222bb323a3a在（－∞，＋∞）上单调递减．

432［例2］偶函数f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的图象过点P（0，1），且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的极值．

【解】（1）∵f（x）是偶函数，∴b＝d＝0．又图象过点P（0，1），则e＝1，此时f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切线的切点（1，－1）在曲线上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[ba52,c92，∴

f(x)52x4923x12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通过列表可知：

341当x＝±10时，f（x）极小＝－40

当x＝0时，f（x）极大＝1 1［例3］曲线y＝3x6上哪一个点的法线在y轴上截距最小?（所谓法线是指：过曲线上一点与以此点为切点的切线垂直的直线）

1【解】在曲线y＝3x6上任取一点（x，y），过该点切线的斜率为k＝2x5

1∴法线的斜率为－2x．

51∴法线的方程为Y－y＝－2x（z－x）

5Yy令z＝0，得法线在y轴上的截距：

12x4x6312x

4xx则

令Y′＝0，得x＝±1 当x＜－1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当－1＜x＜0时，Y′＞0，则Y单调增加； 当0＜x＜1时，Y′＜0，则Y单调减小； 当x＞1时，Y′＞0，则Y单调增加； Y2x5252(x1051)51从而当x＝±1时，Y取得最小值为6，此时点（±1，3）为所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1时取得极值，且f（1）＝－1，（1）试求常数a、b、c的值；

（2）试判断x＝±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由．

【分析】考查函数f（x）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f′（x）＝0的根建立起由极值点x＝±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函数的极值点

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的两根． 由根与系数的关系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)xxx(x1)(x1)22，∴f′（x）＝222（2）

当x<－1或x>1时f′（x）>0，当－1

【注】本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想，合理地实现了问题的转化，使抽象的问题具体化，在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向．

［例5］证明方程sinx＝2x只有一个实根：x＝0．

【证明】构造函数f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数． 由①、②、③解得：

a1,b0,c3a12,b0,c3又当x＝0时，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一实根x＝0． 【注】本题体现了函数思想的应用．

【达标训练】

1．函数y＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（）A．有极大值

B．有极小值 C．无极值

D．无法确定极值情况

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但当x∈（－∞，－1）时，y′<0，当x∈（－1，0）时，y′<0，因此当x＝－1时无极值．

【答案】C 2．设y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，则a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意实数 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函数y＝sin2x－x，x∈

[,22上的最大值是___________，最小值是_________．

32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(而端点6)326,f(6)6 ,f(2),f()222

所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函数f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上单调递增，则a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求证：当|x|≤2时，|3x－x3|≤2． 【证明】设f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）当x＝±1时，f′（x）＝0 当x＜－1时，f′（x）＜0 当－1

16．设f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函数f（x）的单调递增、递减区间；

（2）当x∈［－1，2］时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函数的单调增区间为（－∞，－3）、（1，＋∞），单调减区间为（－3，1）（2）原命题等价于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函数y＝xlnx的极值． f(1)11,f(2)522,f(1)72，1【解析】定义域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

212121212令y′＝0，得：x＝e时，y′>0，12，当0e∴y在（e12，＋∞）上是增函数．

1211∴x＝e时，y有极小值（e）2（－2）＝－2e．

【解题指导】

掌握求给定函数的单调区间、极值、最值的一般方法，会求已知曲线在指定点处的切线的斜率．

【拓展练习】 备选题

1．求y＝excosx的极值．

【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

35当x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）时，y′<0，f（x）为减函数；当x∈（2kπ－4π，2kπ＋4），k∈Z时，y′>0，f（x）为增函数，因此，当x＝2kπ＋4（k2∈Z）时，y有极大值2·e2k4（k∈Z）．

52当x＝2kπ＋4π（k∈Z）时，y有极小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m为常数），在［－2，2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值为f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函数y＝3x2－2lnx的单调增区间为_____；减区间为_____． 【解析】函数的定义域为：（0，＋∞）

42k52300，得x>3，∴单调增区间为（3，＋∞），由y′<0，得

3∴单调减区间为（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲线y＝4－x2（x>0）上与定点P（0，2）距离最近的点． 【解】设曲线y＝4－x2上任意一点为Q（x，y），则

4|PQ|＝

2423设f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，则f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x0)(y2)22x2(2x)22x43x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又当0

32时取极小值，因为f（x）只有一个极3当x>2时，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值点，因此该极小值也是最小值，相应地|PQ|也取得最小值，这时Q点坐标为（22），35,22）即与点P（0，2）最近的点是Q（．

注：如果函数f（x）在给定区间内只有一个极值点（单峰函数），那么极小值即为最小值，极大值即为最大值．

学科：数学 教学内容：导数的应用

（二）【学习目标】

利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力．

【高考试题剖析】

x1）的单调性是______________．

lgelgex2(1xx)(1)222xx11x 【解析】y′＝xx1lge021x，所以f（x）在R上是增函数． 1．函数f（x）＝lg（x＋【答案】增函数

212．已知一直线切曲线y＝10x于x＝2，且交此曲线于另一点，则此点坐标___________．

313【解析】∵k＝y′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切点为（2，0.8），切线方程为6x－5y－8＝0

x2x4,联立解得y0.8y6.4 所以另一交点为（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等边三角形当高为8 cm时，其面积对高的改变率是__________． 13xy106x5y801【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函数y＝x3＋3x2－24x＋12的极小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，检验知：当x＝2时，y取极小值－16． 【答案】－16

【典型例题精讲】

1［例1］当x＞0时，证明ln（1＋x）＞x－2x．

21【证明】设f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定义域为（－1，＋∞），1x1f′（x）＝x1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函数

由增函数定义知：当x＞0时，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 x1x201所以当x＞0时，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］设f（x）＝ax3＋x恰有三个单调区间，试确定实数a的取值范围，并求出这三个单调区间．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，则f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此时f（x）只有一个单调区间，矛盾；若a＝0，则f′（x）＝1>0，此时f（x）仍只有一个单调区间．

2(x若a<0，f′（x）＝3a·

13a)(x113a，综上可知a<0时，f（x）恰有

113a，＋∞），增区间为（－

3a)三个单调区间，其中减区间为（－∞，－

3a）和（，13a）．

［例3］用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积? 【解】设容器底面短边长为x m，则另一边长为（x＋0.5）m，高为（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 设容器的容积为y m3，则有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使y′＝0，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），因此，当x＝1时，ymax＝1.8，此时高1.2 m．

3【答】容器的高为1.2 m时容积最大，最大容积为1.8 m． ［例4］一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？

33【解】设船速为x（x>0）公里/小时，燃料费是Q元，则Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，总费用y＝（500x2＋96）·x3500x2966x，∵y′＝500x96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于该函数在（0，＋∞）内有惟一的极值点是极小值点，所以该极小值是最小值．因此，当船速为20公里/小时时，航行每公里的费用总和最小．

［例5］直线y＝a与函数f（x）＝x3－3x的图象有相异三个交点，求a的取值范围．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得单调增区间为（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得单调减区间为（－1，＋1），检验知x＝1时，f（1）＝－2是极小值，当x＝－1时，f（－1）＝2是极大值，结合图象知：

当－2

【达标训练】

1．证明双曲线xy＝a2上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为定值．

a2【证明】设y＝x上任一点为Q（x0，y0），则

ky|xx0ax22|xx0a22x0，∴切a22线方程为：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，则xx0y0x0a22x0ax0a2222x0

yy0令x＝0，则

a2x02

x0y0ax02a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

22．当0

【证明】令f（x）＝x－sinx，则当0＜x＜2时，f′（x）＝1－cosx＞0 ∴f（x）在（0，2）上单调增加，而f（0）＝0，∴当0＜x＜2时，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－x，∴ｇ′（x）＝cosx－

当0＜x＜arccos时，ｇ′（x）＞0，则ｇ（x）单调增加；

2＝0

当arccos＜x＜2时，ｇ′（x）＜0，则ｇ（x）单调减小，而f（0）＝f（2）2∴当0＜x＜2时，ｇ（x）＞0，即sinx＞x．

2综上，当0＜x＜2时，x＜sinx＜x．

3．如图11—1，扇形AOB中，半径OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延长线上有一动点C，过C作CD与相切于点E，且与过点B所作的OB的垂线交于点D，当点C在什么位置时，直角梯形OCDB面积最小？

【解】设OC＝x（x＞0），过D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x1）

x2∴S′＝1－2x1＝0，∴x＝23

2所以当OC＝3时，直角梯形OCDB面积最小．

4．如图11—2，两个工厂A、B相距0.6 km，变电站C距A、B都是0.5 km．计划铺设动力线，先求C沿AB的垂线至D，再与A、B相连，D点选在何处时，动力线最短？

【解】设CD⊥AB，垂足为E，DE的长为x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.50.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x0.3动力线总长l＝22222x0.3＋0.4－x

2x222212x2x0.3x0.3222l′＝（2x0.3＋0.4－x）′＝2·2x0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于该函数只有这一个极值点．因此它是最小值点． 【答】D点选在距AB0.17 km处时，动力线最短．

【解题指导】

应用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系）．如果函数在区间内只有一个点使f′（x）＝0的情形，此时函数在此点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值．

【拓展练习】 备选题

1．已知x、y为正实数，且满足关系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222xx2

x02x2xx2xx0∴xy＝2，由得0

122xx(32x)2(2xxx)22222xx22xx∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333检验知x＝2是极大值点，由极值点是惟一的，知当x＝2时，函数f（x）的最大值为f（2）＝8，即x·y的最大值为8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1设x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），设f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

则f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

3338333∵0<α<π，∴α＝3，此时x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即当x＝2，y＝4时［x·y］max＝8． 2．如图，一条河宽1千米，相距4千米（直线距离）的两座城市A和B分别位于河的两岸（城市A、B与岸边的距离忽略不计），现需铺设一条电缆连通城市A与B，已知地下电缆的修建费为2万元／千米，水下电缆的修建费为4万元／千米．假设两岸是平行直线，问应如何铺设电缆可使总费用最省?（153.813,f()3331.732，精确到百米、百元）

【解】过B作对岸所在直线的垂线，垂足记为O，设在到O距离为x km的点C，分别铺设BC、CA间的水下、地下电缆可使费用最省．则BC＝x1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，总费用为y，则y＝2（15－x）＋41x（0≤x≤15）

4x求导y′＝1x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以当x＝3＝0.6千米时，费用最省． x23．过曲线4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一点引切线分别与x轴正半轴和y轴正半轴交于A、B两点，求当线段|AB|最小时的切点坐标．

【解】设|AB|＝l，切点为P（x0，y0），则所求切线方程为：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），1614122x0y0x0y02切线在x轴、y轴上的截距分别为、，∴l＝，∵P（x0，y0）在曲线上，∵y＝1x24，∴

y|xx0x04y0x02∴y02＝1－4，16422x04x02∴l＝（0

16令Y＝l＝2x0244x0232x（0

2226当Y′＝0时，有x0＝得极小值，也是最小值．

3，在（0，2）内Y只有一个极值点，检验知，在这点Y取26∴当x0＝

3时，l2取得最小值9，∴l的最小值为3，此时，y0＝3，切点为326（3,33）．

第五篇：二倍角公式教学设计方案

“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计

江门市荷塘职业技术学校 李苑华

教学内容：《数学》（普通高中课程标准实验教科书，高教版），3.1.3节 设计理念：

我们是职业学校，学生上进心很强。不仅要掌握职业技能，还要参加高考，继续深造。他们比一般学生要求更高。然而他们的基础较低，教、学都要付出多倍努力。我所用的教学方法和手段符合学生的认知能力，效果很好。

在和角公式基础上，探讨研究特殊情况：两个角相等，得到“二倍角”公式。例题教学体现了把未知变为已知的转化数学思想。公式的运用，体现了由感性认识上升到理性认识的规律。

学生的求学，好比响鼓，还需重锤敲，特别引用名言勉励学子上进。(一)、教学目标：

1.知识目标：从两角和公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目标： 通过公式的推导，培养学生的逻辑推理能力。3.情感、态度与价值观：强化参与意识，培养学生的综合分析能力。

设计意图：让学生在求学路上有得学，听得懂，学得到，用得上。

(二)、过程与方法:

1.过程：推导公式，再综合运用公式。2.方法：用讲授法和探究式教学。

设计意图：运用从普遍性到特殊性的认知规律提，高解题的能力。

（三）、学情分析：

师生都很刻苦教、学，常常进行练习、检测，经过反复的强化、记忆，学生对知识掌握较好，学习相当感兴趣，他们是渴求学习的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通过联想，设问特殊况：两个角相等，得出二倍角公式，学生知道和角公式与二倍角公式的联系，由此及彼，由浅入深。

设计意图：培养学生严谨的治学态度，勇于探索新知识的进取精神。

（五）、教学重点与难点分析：

重点：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推导过程。难点：二倍角公式的综合运用。

设计意图： 职业班学生在他们的专业课中，更多地应用二倍角的知识，发挥本节内容对所学专业起的促进作用

（六）、教学过程

一、复习和角公式：

1、（学生回答）（1分钟）

2、探究设问：当时，公式的变化。（８分钟）

教师推导

二、例题教学 例1 已知sin=5,<α<132,求sin2,cos2,tan2的值.（８分钟）

2设计意图：引导学生开拓思路，找到解题突破口。

方法：先观察题目，找出二倍角关系。

过程：求出cos, cos2和tan2用两种方法求出来。

预期目标：公式学以致用，优选方法，采用计算量最小，最准确的一种。技巧归纳：从条件出发，顺着问题的线索，展开公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分钟）

tan22.5（1）sin22°30′cos22°30′(2)sincos

(3)2881tan22.522选题意图：根据本班学生的知识水平，有必要加强公式运用。解题入手：观察系数，符号变化，对比公式。思路点拨：仔细对照比较，设法转化到能应用公式。

预期目标：对公式的正用、逆用，变形用都能举一反三，应用自如。技巧归纳：根据式子结构特点，对公式有一个整体的感知，进行等价变形。

三、练习固巩：（6分钟）

① 已知sin()=,求cos2的值。② 已知tan2=,，求tan

③ 高考接触：（9分钟）（202_年广州二模文科）已知函数f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函数f(x)的最小正周期。(2)若023513，02，且f(2)12,f(),求sin()的值323

设计意图：教会学生运用转化的数学思想。

① 运用诱导公式，先把角进行化简，就可应用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可应用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素变为已知的元素。

预期目标：加深巩固二倍角公式运用，培养学生思维的灵活性。

让学生接触高考题型，扩大知识面，解题融会贯通。

7、感悟小结：（1）、这节课你学到了什么知识，怎么获得这些知识？

（2）、你在推导和应用公式中，用了什么数学思想方法？

设计意图：（1）、让学生懂得归纳本节课的的收获，获取知识的途径。

（2）、让学生总结领悟：好好学习，天天进步。

8、回顾反思的

二倍角公式，技巧性强，只要勤奋好学，熟能生巧。

设计意图：教师时常反省教学，及时反馈，力求不断完善，不断提高。

数学家启迪我们学习的方法：

学习数学要多做习题，边做边思考，知其然，知其所以然。——苏步青

设计意图：应用名人名句激励学生，增强士气。

9、课后作业的设计意图

检查学习质量，查漏补缺，巩固学习成果。

分层次布置作业，让一般能力的学生，完成基本的练习，有余力的学生，拓展创新，达到分槽喂马的目的。