第一篇：浪漫的函数图像

浪漫的函数图像

（x^2 +(9/4)y^2 + z^2x^2z^3-(9/80)y^2z^3 = 0

一生只为等待能手绘这个函数给我的人。。

有人留言说这第一个3D图的参数有误，那么我在编辑一下：

那天看到笛卡尔的情书，于是想看看有没有加强版的爱心图，就发现了某位大侠用mathmatica画出来的这张图。

好像很多人蛮喜欢的，那把最原始的故事发上来：

笛卡儿，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大，他是第一个发现直角坐标的人，可惜一生穷困潦倒。一直到在５２岁，一直默默无名。

当时法国正流行黑死病，迪卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。

某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对迪卡儿非常好奇，于是上前问他.......你从哪来的啊? 法国。

你是做什么的啊? 我是数学家。

这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。

当她听到迪卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把迪卡儿邀请回宫。迪卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。

而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有迪卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将迪卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是.......将迪卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。

迪卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。迪卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到迪卡儿的信.......在迪卡儿快要死去的时候，他寄出了第１３封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行......r=a(1-sinθ)

国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这项数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想.......反正迪卡儿就快要快死了，而且公主被软禁时都闷闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比，她很高与她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a

…… A点

当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0

…… B点

当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a

…… C点

当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a …… D点

a为四截距的比值

而 B点是原点(0,0)，这要靠点想象，把A,B,C,D四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线。

这就是迪卡儿和克丽丝汀之间秘密数学式不久之后那位国王也死了，克丽丝汀继承王位，登基之后马上派人在欧洲四处寻找迪卡儿的踪迹，可惜........人已故。传说，这第１３封的另类情书还保留在欧洲的迪卡儿纪念馆里。不过极坐标系的更完美 这是原版的情书：

除了这些之外，还有很多平面函数：

看到很多男生留言说画这个很简单，也有的说这不是函数，这是方程之类之类的。。其实我想说，这都不是重点啦。。这只是女生对恋爱情结的一种美好向往，你可以说是矫情~但就是那么简单~ 一生只为等待能手绘这个函数给我的人。。只是想等待一个认认真真愿意把这份爱亲手转变为现实的人。。而不是用软件画出来花花小姑娘的。。

有友人留言说这是玫瑰的函数，会用这个的，可以试试看吧 x=(-pi:pi/100:pi);y=a*(1-sin(x));polar(y,'r')

1650年，斯德哥尔摩的街头，52岁的笛卡尔邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀。

那时，落魄、一文不名的笛卡尔过着乞讨的生活，全部的财产只有身上穿的破破烂烂的衣服和随身所带的几本数学书籍。生性清高的笛卡尔从来不开口请求路人施舍，他只是默默地低头在纸上写写画画，潜心于他的数学世界。

一个宁静的午后，笛卡尔照例坐在街头，沐浴在阳光中研究数学问题。他如此沉溺于数学世界，身边过往的人群，喧闹的车马队伍。都无法对他造成干扰。

突然，有人来到他旁边，拍了拍他的肩膀，“你在干什么呢？”扭过头，笛卡尔看到一张年轻秀丽的睑庞，一双清澈的眼睛如湛蓝的湖水，楚楚动人，长长的睫毛一眨一眨的，期待着他的回应。她就是瑞典的小公主，国王最宠爱的女儿克里斯汀。

她蹲下身，拿过笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中，他发现，这个小女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。

和女孩道别后，笛卡尔渐渐忘却了这件事，依旧每天坐在街头写写画画。

几天后，他意外地接到通知，国王聘请他做小公主的数学老师。满心疑惑的笛卡尔跟随前来通知的侍卫一起来到皇宫，在会客厅等候的时候，他听到了从远处传来的银铃般的笑声。转过身，他看到了前儿天在街头偶遇的女孩子。慌忙中，他赶紧低头行礼。

从此，他当上了公主的数学老师。

公主的数学在笛卡尔的悉心指导下突飞猛进，他们之间也开始变得亲密起来。笛卡尔向她介绍了他研究的新领域——直角坐标系。通过它，代数与几何可以结合起来，也就是日后笛卡尔创立的解析几何学的雏形。

在笛卡尔的带领下，克里斯汀走进了奇妙的坐标世界，她对曲线着了迷。每天的形影不离也使他们彼此产生了爱慕之心。

在瑞典这个浪漫的国度里，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发。

然而，没过多久，他们的恋情传到了国王的耳朵里。国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。在克里斯汀的苦苦哀求下，国王将他放逐回国，公主被软禁在宫中。

当时，欧洲大陆正在流行黑死病。身体孱弱的笛卡尔回到法国后不久，便染上重病。在生命进入倒计时的那段日子，他日夜思念的还是街头偶遇的那张温暖的笑脸。他每天坚持给她写信，盼望着她的回音。然而，这些信都被国王拦截下来，公主一直没有收到他的任何消息。

在笛卡尔给克里斯汀寄出第十三封信后，他永远地离开了这个世界。此时，被软禁在宫中的小公主依然徘徊在皇宫的走廊里，思念着远方的情人。

这最后一封信上没有写一句话，只有一个方程：r=a(1-sinθ)。

国王看不懂，以为这个方程里隐藏着两个人不可告人的秘密，便把全城的数学家召集到皇宫，但是没有人能解开这个函数式。他不忍看着心爱的女儿每天闷闷不 乐，便把这封信给了她。拿到信的克里斯汀欣喜若狂，她立即明白了恋人的意图，找来纸和笔，着手把方程图形画了出来，一颗心形图案出现在眼前，克里斯汀不禁 流下感动的泪水，这条曲线就是著名的“心形线”。

国王去世后，克里斯汀继承王位，登基后，她便立刻派人去法国寻找心上人的下落，收到的却是笛卡尔去世的消息，留下了一个永远的遗憾……

这封享誉世界的另类情书，至今，还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

<————————————————我是知音体的分割线————————————————> 这个故事进过无数次转载改写和脑补，最初出处已不可考，此处随便选择了一个版本。除了略显《知音》体之外（事实上这篇东西就是从知音网刨下来的），这篇文章对广大的数理宅男还是很励志的，“学好数学，推倒王女！”比那个逊毙了的“走遍天下都不怕”的版本听起来好多了。但是这个故事是真的吗？毕竟这不是小说里面，50多岁的老Geeker干掉18岁的小姑娘还是比较困难的（敝校杨教授属于偏离平均位置的例外……）。

首先看那个棒打鸳鸯的老国王。翻了一下手边的资料，发现克里斯汀公主的老爹居然是赫赫有名的古斯塔夫·阿道夫，号称“现代军事之父”的古斯塔夫二世是也。后人提起德意志三十年战争，基本上就只记得“新教的保护者“”北方雄狮”古斯塔夫同学带着瑞典大军干死蒂利老爹，和当时另一名将瓦伦斯坦互掐的两年。这么看来，作风强悍的古斯塔夫国王倒的确是做得出处死垂涎自己女儿的怪叔叔这种事。但是问题在于，猛人古斯塔夫同学的名字下面还有一个小小的括号：（1594.12.9～1632.11.6），1632年的时候他就因为人品不佳在吕岑会战中被乱枪打死了（值得一提的是虽然他几乎在刚开始就挂了，但勇猛的瑞典士兵仍然为他赢得了战役的胜利）。笛卡尔到瑞典的时候，他老人家已经死掉好多年了，也没有任何记载说他当时被气得从坟里爬了出来。

猛人古斯塔夫二世·阿道夫

根据上面的记述，1650年的时候克里斯汀（有的文章中拼成Christina，其实人家叫Kristina）公主已经在王位上坐了18年了，当然不可能同文中一样只有18岁还在街头到处与陌生人说话。事实上克里斯汀生于1626年，1632年她老爹阵亡的时候以假定继承人的身份继承了王位。虽然1650年才举行加冕仪式，但是显然她此时已不再是“公主”，而是正牌的女王。

那么笛卡尔与女王之间是不是真有什么不可告人的秘密呢？毕竟24岁也算不上人老珠黄，笛卡尔也有可能控的是御姐。事实上，笛卡尔的确到过斯德哥尔摩，但不是什么一文不名一路讨饭过去的（就算是流浪也不会挑在当时人们心目中贫瘠苦寒的瑞典吧）。真相是当时女王经常跟法国大使讨论笛卡尔的哲学，因此她对这个作者大感兴趣并邀他前往瑞典。这在当时是很正常的事情，韦达长年给亨利四世打工，欧拉同学也曾经应叶卡捷琳娜女皇的邀请在俄国呆过，也没见他干出什么有伤风化的事。虽然克里斯汀女王为笛卡尔身体着想（17世纪欧洲人平均寿命26岁，笛卡尔算是高龄了），特别提醒笛卡尔同学在比较暖和的次年春夏季来访，但是亢奋的笛卡尔在当年冬天立即动身前往瑞典。到了斯德哥尔摩笛卡尔才发现在这个地方TM每天早上5点就要起床教哲学，而他从小就养成了11点钟才起床的习惯。每天顶着凛冽寒风到炉火熊熊的宫殿里上课，上完课再顶着凛冽寒风回家的笛卡尔很快感冒了，这感冒又发展成了肺病。在离青霉素被发现还有200多年的当时肺炎是致命的，1650年2月11日笛卡尔死在了瑞典，当然克里斯汀表示十分内疚，但是显然没有所谓派人去法国寻找他的下落。

铁娘子克里斯汀女王

另外在此八卦一下克里斯汀女王，她是古斯塔夫国王三个女儿中唯一没有夭折的，所以很得宠爱。她出生时被误认为男孩，国王把她当男孩抚养，所以她即位宣誓时自称“国王”而非“女王”……对于她长大之后，wiki词条中这样写道：

纵使大臣经常催促她履行诞下继承人的职责，但克里斯蒂娜坚决不肯结婚。她认为婚姻“好得不能与爱情共存”。现代有人甚至认为她是女同性恋者，其中一个理据是她喜欢穿着男人衣服，或在服装上同时展现男性和女性风格──但克里斯蒂娜说穿着男装鞋子是为了方便。有人声称她是阴阳人，并在1965年检查她的遗体，但证实她是正常的女性，而她的验尸报告也没有提及生殖系统异常的状况。

当时的人认为，克里斯蒂娜坐下、走路、移动、交谈的举动都很像男性。她也较喜欢与男子作伴，除非该女人十分漂亮，才会结识她。同样地，她喜欢与有学识的女性交往，不管她们长得怎样。克里斯蒂娜年轻时十分热爱她的内侍艾芭·斯芭尔，大部分空余时间都和她在一起和称赞她的美。克里斯蒂娜把她介绍给英格兰大使怀特洛克，保证她的才智与美貌都是惊为天人的。她离开瑞典后也继续写信给斯芭尔，信中说她会永远爱着她。然而，这种信件在当时十分流行，包括克里斯蒂娜写给从未相遇，但仰慕其写作的女人的信件。后来在罗马时，她跟阿佐利诺枢机的关系亲昵。

再考虑到她与著名的女王伊丽莎白一样献身国家终身未嫁，这实在不像是能和笛卡尔有什么风流韵事的人。但是公正地说，文中有一点是正确的，就是克里斯汀的确是传说中的天才少女，她马术精湛，擅长剑击和射击，精通法语希腊语拉丁语，对哲学颇有研究……

退一步说，即使笛卡尔真的寄出了那封情书，克里斯汀真能看懂的概率有多少？首先要指出的是，天才少女克里斯汀的才艺范围似乎并没有数学这一项，笛卡尔教的是哲学。即使她略懂数学，我们看看那个方程：r=a(1-sinθ)，这是个极坐标方程……17世纪的时候极坐标系还是个新玩意，虽然古希腊人曾经有过类似的思想，但是他们并没有建立整个坐标系统。卡瓦列里1635年、圣-万桑特在1647年发表的成果才独立地各自引入了极坐标系这一概念。里卡瓦列里首次利用极坐标系来解决一个关于阿基米德螺线内的面积问题。帕斯卡随后使用极坐标系来计算抛物线的长度。1671年牛顿第一个将极坐标系应用于表示平面上的任何一点。直到1691年来自那个大牛家族的雅各布·伯努利才真正系统地研究了极坐标系。虽然笛卡尔因那个以他命名的坐标系而闻名，但是没有资料说他对极坐标有什么研究。真要写成他比较熟悉的方式应该是这样的：

/*———————————————我是Geeker的分割线———————————————*/ 实际上心脏线其实并不是Geeker们玩浪漫的最好选择，由两个旋转了45°的椭圆可以画出更好的心形线：

原子不怕冷同学在博文中介绍了一种更漂亮的心形：

事实上，将两个三次方替换成其他奇数也可以得到新的心形曲线，但他们长得都不太好看。另一种常见的生成心形曲线的方法是把一条过原点的螺线[0, p]的部分关于y轴对称，如Iamds同学在M67大牛的博文回复中提到的：

住在赛文奥特曼隔壁的M67大牛曾经介绍过一个更加漂亮的结果，实际上是上面心形在三维空间的推广。这一图案的Tee已经有卖了：

虽然上面列举了大量各式各样任君挑选的心形函数，但是血淋淋的事实告诉我们，除非你的目标妹子也是一只Geeker（至少会用Mathematica或者MATLAB等软件），否则像笛卡尔这样单给一个函数的结果大概就是别人推妹子你推公式……表白什么的还是选择更浅显易懂的方法吧。

第二篇：浪漫的函数图像

浪漫的函数图像

（x^2 +(9/4)y^2 + z^2x^2z^3-(9/80)y^2z^3 = 0

一生只为等待能手绘这个函数给我的人。。

有人留言说这第一个3D图的参数有误，那么我在编辑一下：

那天看到笛卡尔的情书，于是想看看有没有加强版的爱心图，就发现了某位大侠用mathmatica画出来的这张图。

好像很多人蛮喜欢的，那把最原始的故事发上来：

笛卡儿，１７世纪时出生于法国，他对于后人的贡献相当大，他是第一个发现直角坐标的人，可惜一生穷困潦倒。一直到在５２岁，一直默默无名。

当时法国正流行黑死病，迪卡儿不得不逃离法国，于是他流浪到瑞典当乞丐。

某天，他在市场乞讨时，有一群少女经过，其中一名少女发现他的口音不像是瑞典人，她对迪卡儿非常好奇，于是上前问他.......你从哪来的啊? 法国。

你是做什么的啊? 我是数学家。

这名少女叫克丽丝汀，１８岁，是一个公主，她和其它女孩子不一样，并不喜欢文学，而是热衷于数学。

当她听到迪卡儿说名身份之后，感到相当大的兴趣，于是把迪卡儿邀请回宫。迪卡儿就成了她的数学老师，将一生的研究倾囊相授给克丽丝汀。

而克丽丝汀的数学也日益进步，直角坐标当时也只有迪卡儿这对师生才懂。后来，他们之间有了不一样的情愫，发生了喧腾一时的师生恋。这件事传到国王耳中，让国王相当愤怒！下令将迪卡儿处死，克丽丝汀以自缢相逼，国王害怕宝贝女儿真的会想不开，于是.......将迪卡儿放逐回法国，并将克丽丝汀软禁。

迪卡儿一回到法国后，没多久就染上了黑死病，躺在床上奄奄一息。迪卡儿不断地写信到瑞典给克丽丝汀，但却被国王给拦截没收。所以克丽丝汀一直没收到迪卡儿的信.......在迪卡儿快要死去的时候，他寄出了第１３封信，当他寄出去没多久后...就气绝身亡了。这封信的内容只有短短的一行......r=a(1-sinθ)

国王拦截到这封信之后，拆开看，发现并不是一如往常的情话。国王当然看不懂这项数学式，于是找来城里所有科学家来研究，但都没有人能够解开到底是什么意思。国王心想.......反正迪卡儿就快要快死了，而且公主被软禁时都闷闷不乐的，所以，就把信交给克丽丝汀。当克丽丝汀收到这封信时，雀跃无比，她很高与她的爱人还是在想念她的。她立刻动手研究这行字的秘密。没多久就解出来了，用的就是直角坐标图 当θ＝0°时，r＝a(1－0)＝a

…… A点

当θ＝90°时，r＝a(1－1)＝0

…… B点

当θ＝180°时，r＝a(1－0)＝a

…… C点

当θ＝270°时，r＝a(1＋1)＝2a …… D点

a为四截距的比值

而 B点是原点(0,0)，这要靠点想象，把A,B,C,D四点用弧线连接起来连接出来..就是有名的心脏线。

这就是迪卡儿和克丽丝汀之间秘密数学式不久之后那位国王也死了，克丽丝汀继承王位，登基之后马上派人在欧洲四处寻找迪卡儿的踪迹，可惜........人已故。传说，这第１３封的另类情书还保留在欧洲的迪卡儿纪念馆里。不过极坐标系的更完美 这是原版的情书：

除了这些之外，还有很多平面函数：

看到很多男生留言说画这个很简单，也有的说这不是函数，这是方程之类之类的。。其实我想说，这都不是重点啦。。这只是女生对恋爱情结的一种美好向往，你可以说是矫情~但就是那么简单~ 一生只为等待能手绘这个函数给我的人。。只是想等待一个认认真真愿意把这份爱亲手转变为现实的人。。而不是用软件画出来花花小姑娘的。。

有友人留言说这是玫瑰的函数，会用这个的，可以试试看吧 x=(-pi:pi/100:pi);y=a*(1-sin(x));polar(y,'r')

第三篇：二次函数图像教案

二次函数的图像

略阳天津高级中学 杨 娜

课 型：新授课 课时安排： 1课时 教学目标：

1、理解二次函数中a,b,c,h,k对其图像的影响。

2、领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究，而提高识图和用图能力。

3、培养学生数形结合的思想意识。重点难点: 1．教学重点:二次函数图像平移变换规律及应用

2．教学难点:理解平移对解析式的影响及如何利用平移变换规律求解析式，并能把平移变换规律迁移到一般函数． 教学过程：

一、导入新课

在初中我们已经学过二次函数，知道其图像为抛物线，并了解其图像的开口方向，对称轴，顶点等特征，本节课将进一步研究一般的二次函数的性质。二、讲授新课

提出问题1 二次函数yax(a0)的图像与二次函数yx的图像之间有什么关系？ 1.我们先画出yx 的图像，并在此基础上画出y2x的图像。

学生阅读课本41页并在练习本上作图（教师用几何画板演示）2.学生阅读课本41页，并动手实践。

3.概括：二次函数yax(a0)的图像可以由yx的图像个点的纵坐标变为原来的a倍得到。4.用几何画板演示a对开口大小得影响。5.抽象概括

二次函数y=ax2(a≠0)的图像可由的y=x2图像各点纵坐标 变为原来的a倍得到。

a决定了图像的开口方向:a>o开口向上，a<0开口向下

222222a决定了图像在同一直角坐标系中的开口大小:|a|越小图像开口就越大 6.练习列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为_ 11(1)f(x)=x2;(2)f(x)=x242

问题

212(3)f(x)=-x;(4)f(x)=-3x23函数ya(xh)2k(a0)的图像与函数yax2(a0)的图像之间有什么关系呢？

1.我们先一起回顾y2x2与y=2(x+1)²+3图像的关系。（教师用几何画板演示）

在初中我们已经知道，只要把y2x2的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，就可以得到y=2(x+1)²+3的图像。它们形状相同，位置不同（如图2-22）。2.学生动手实践想想并回答课本上的问题2。3.概括：二次函数y=a(x+h)2+k(a0), ①a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小； ②h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”； ③k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”。

问题3 yax(a0)和yaxbxc(a0)的图像之间有什么关系？ 1.我们先来回顾y2x与y2x4x1的图像关系（教师在黑板演示，可以转化为顶点式）

至此我们知道把y2x的图像向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，就可以得到y2x4x1的图像（如图2-23）。

2.动画演示yaxbxc(a0)中a,b,c对图像的影响。3.概括：

⑴一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0），通过配方可以得到它的恒等形式y=a(x+h)2 +k，从而知道可以由y=ax2 的图像

通过平移得到y=ax2+bx+c(a≠0）的图像.⑵a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开口向下”；｜a｜越大开口越小；b影响了图像的位置不仅2222222上下平移而且左右平移；c决定了图像与坐标轴y轴的交点位置，c>0 交点在y轴上半轴，c<0交点在y轴下半轴。

三、巩固练习

１.完成课后练习题1，2，3 ２.把下列二次函数一般式化为顶点式：

① yx28x9 ② y2x212x16 ③yax2bxc(a0)3.把yx2的图像经过怎样平移可得到yx28x9的图像？

4.将二次函数y=3x2的图像平行移动,顶点移到（－３，２），则它的解式为？

5..二次函数y=f(x)与y=g(x)的图像开口大小相同，开口方向也相同，已知函数g(x)=x2+1，f(x)图像的顶点为(3,2)，则f(x)的表达式为什么？ 四．小结

1.回顾二次函数ya(xh)2k(a0)中，h,k对函数图像有何影响？

二次函数yaxbxc(a0)中，确定函数开口大小及方向的参数是什么？确定函数位置的参数是什么？

2.我们经历了yx到yax2(a0)，yax2(a0)到ya(xh)2k(a0)，通过这个过程，我们就能体会yax2(a0)到yax2bxc(a0)的图像变化过程，到研究一般函数的拓展过程。五．作业

完成课后习题1.2题。六．板书设计

二次函数再研究

问题1 演算过程 练习题 问题2 结论 问题3 附加题：

将二次函数y2x的图像平移顶点移到下列各点，写出对应的函数解析式。⑴（4,0）;⑵（0，-2）;⑶(-3，2)⑷（3，-1）222

第四篇：《函数的图像1》教案

《函数的图像1》教案

褚兰初中

知识技能目标

1.掌握平面直角坐标系的有关概念；

2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；

3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义． 过程性目标

1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；

2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.教学过程

一、创设情境

如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．

我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．

二、探究归纳 问题1 例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？

解 因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．

问题2 在教室里，怎样确定一个同学的座位？

解 例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．

问题3 要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：

(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm． 试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？

分析 圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点(圆心O)的位置要有两个数(20和10)．

在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴(如图)，这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点． 在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应的数为3，称为点P的横坐标(abscissa)；点N在y轴上对应的数为2，称为点P的纵坐标(ordinate)．依次写出点P的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3，2)，称为点P的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3，2)．

在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．

三、实践应用

例1 在上图中分别描出坐标是(2，3)、(－2，3)、(3，－2)的点Q、S、R，Q(2，3)与P(3，2)是同一点吗？S(－2，3)与R(3，－2)是同一点吗？

解

Q(2，3)与P(3，2)不是同一点； S(－2，3)与R(3，－2)不是同一点．

例2 写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察你所写出的这些点的坐标，回答

(1)在四个象限内的点的坐标各有什么特征？(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？

解 A(－1，2)、B(2，1)、C(2，－1)、D(－1，－1)、E(0，3)、F(－2，0)．

(1)在第一象限内的点，横坐标是正数，纵坐标是正数； 在第二象限内的点，横坐标是负数，纵坐标是正数； 在第三象限内的点，横坐标是负数，纵坐标是负数； 在第四象限内的点，横坐标是正数，纵坐标是负数；(2)x轴上点的纵坐标等于零； y轴上点的横坐标等于零．

说明 从上面的例

1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．

例3 在直角坐标系中描出点A(2，－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：

(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(2)关于 y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？ 解

(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；

(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；

(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．

例4 在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？

分析 如图，P为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM⊥x轴于M，在Rt△PMO中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM｜=｜MP｜，则P点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P点位于第一象限内，OM为正值，MP也为正值，所以P点横坐标与纵坐标相同．同样若P点位于第三象限内，则OMMP也为负值，为负值，所以P点横坐标与纵坐标也相同．若P点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM与MP一正一负，所以P点横坐标与纵坐标互为相反数．

解(1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．

四、交流反思

1.平面直角坐标系的有关概念及画法；

2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法； 3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；

4.分别关于x轴、y轴及原点的对称的两点坐标之间的关系．

第五篇：函数图像及部分应用题

函数的图像及部分应用题

一、选择题(本大题共7小题，共21.0分)

1.向某一容器中注水，注满为止，表示注水量与水深的函数关系的图象大致如图所示，则该容器可能是（）

A.B.C.D.A B C D 2.在函数中，自变量x的取值范围是（）

A.B.C.D.6.下面哪一幅图可大致反映短跑运动员在比赛中从起跑到终点的速度变化情况（）

A.x≥-1

B.x＞-1且x≠

C.x≥-1且x≠

D.x≥-1 3.相信大家还记得龟兔赛跑的故事，如图表示乌龟和兔子赛跑过程中它们各自的路程y（单位：米）随时间x（分钟）的变化关系，小珂根据图象写出了四条是信息： ①乌龟和兔子赛跑的路程为2000米

②乌龟爬到兔子睡觉的地点用了50.2分钟； ③兔子前4分钟的速度是乌龟速度的12.8倍；

④假如兔子睡觉前后的速度不变，那么兔子在途中睡了75分钟 其中，正确的有（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

4.如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C⇒B⇒A的方向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）

A B C D

5.下列平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（）

A B C D

7.明明骑自行车去上学时，经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上所走的路程s（单位：千米）与时间t（单位：分）之间的函数关系如图所示．放学后如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这段路所用的时间为（）

A.12分

B.10分

C.16分

D.14分

8.看图说故事．如图，设计一个问题情境，使情境中出

现的一对变量满足图示的函数关系．结合图象，说出这对变量的变化过程的实际意义．

9.据统计，2013年某地区建筑商出售商品房后的利润率(即利润除以成本)为25％。（1）2013年该地区一套总售价为60万元的商品房，成本是多少？

（2）2014年第一季度，该地区商品房每平方米价格上涨了2a元，每平方米成本仅上涨了a元，这样60万元所能购买的商品房的面积比2013年减少了20平方米，建筑商的利润率达到三分之一。求2014年该地区建筑商出售的商品房每平方米的利润.初中数学试卷第1页，共2页 10.全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．

（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？

（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同． ①求2014年社区购买药品的总费用；

②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．

11、某条公路分作两段由甲、乙两队同时开始分别施工修建，上级要求两队同时完成各自的任务．施工开始后两队用30天时间共修了1500米，其中甲队的施工进度比乙队快了50％(施工进度指每天修路的长度，单位：米／天)．由于两队继续按这样施工进度修路，将不能同时完成各自的任务，所以从第31天起，通过合理调配，降低甲队的施工进度并提高两队的总施工进度(两队施工进度之和)，其中甲队的施工进度降低的百分数恰为总施工进度增加的百分数，这样刚好使两队同时完成各自的任务.如果一开始两队就按调配后各自的施工进度修路，则完成各自的任务甲队比乙队需多用50天．(1)求调配前两队各自的施工进度；(2)求调配后两队各自的施工进度．

12.【函函游园记】

函函早晨到达上海世博园D区入口处等待开园，九时整开园，D区入口处有10n条安全检查通道让游客通过安检入园，游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，直到中午十二时D区入口处才没有排队人群，游客一到就可安检入园。九时二十分函函通过安检进入上海世博园时，发现平均一个人通过安全检查通道入园耗时20秒。【排队的思考】

（1）若函函在九时整排在第3000位，则这时D区入口安检通道可能有多少条？

（2）若九时开园时等待D区入口处的人数不变：当安检通道是现有的1.2倍且每分钟到达D区入口处的游客人数不变时，从中午十一时开始游客一到D区入口处就可安检入园；当每分钟到达D区入口处的游客人数增加了50%，仍要求从十二时开始游客一到D区入口处就可安检入园，求这时需要增加安检通道的数量。（10分）

初中数学试卷第2页，共2页