三角形专题

三角形性质与边角计算

1．一个三角形的周长为36cm，三边之比a：b：c＝2：3：4，求a，b，c的值．

2．△ABC中，AB＝AC，△ABC周长为16cm，BD为中线，且将△ABC分成的两个小三角形周长的差为2cm．求△ABC各边的长．

3．如图，已知AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝44°，∠C＝76°，求∠DAE的度数．

4．下列说法中，错误的是（）

A．三角形中至少有一个内角不小于60°

B．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形

C．三角形的角平分线、中线、高均在三角形的内部

D．多边形的外角和等于360°

5．如图，以AB为边的三角形共有（）个．

A．5

B．4

C．3

D．2

6．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．等边三角形

7．三角形三条高的交点一定在（）

A．三角形内部

B．三角形外部

C．三角形内部或外部

D．三角形内部、外部或顶点

8．如图，AD是△ABC的中线，AB＝5，AC＝3，△ABD的周长和△ACD的周长差为（）

A．6

B．3

C．2

D．不确定

9．在Rt△ABC中，已知AB＝5，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°，若△ABC内有一点P到△ABC的三边距离相等，则这个距离是（）

A．1

B．

C．

D．2

10．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D．下列说法中：①∠B的余角只有∠BAD；②∠B＝∠C；③线段AB的长度表示点B到直线AC的距离；④AB•AC＝BC•AD；一定正确的有（）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

11．如图，D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，则△ABC的面积为（）

A．4

B．8

C．10

D．12

12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）

A．4

B．3

C．5

D．4.5

13．如图图形中，具有稳定性的是（）

A

B

C

D

14．下列图形中，有稳定性的是（）

A．长方形

B．梯形

C．平行四边形

D．三角形

15．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图，要使这个木架不变形，他至少还要再钉上木条的条数为（）

A．0根

B．1根

C．2根

D．3根

16．下列说法正确的是（）

A．.三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部

B．三角形三条中线的交点称为三角形的重心

C．.三角形的一个外角等于两个内角的和

D．.三角形三边的垂直平分线交于一点这点到三边的距离相等

17．如图，点G是△ABC的重心，下列结论中正确的个数有（）

①＝；②＝；③△EDG∽△CBG；④＝．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

18．如图，在△ABC中，中线BE、CD相交于点O，连接DE，下列结论：①＝；②＝；③；④＝．其中正确的个数有（）

A．①②

B．①③

C．②③

D．②④

19．若三角形的两边长为2和3，则第三边长可以是（）

A．1

B．3

C．5

D．7

20．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．4，5，9

B．5，5，11

C．1，2，3

D．5，6，10

21．已知三角形的三边长分别为2、x、10，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．4

22．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A．2，3，5

B．3，6，11

C．6，8，10

D．3，2，1

23．已知一个三角形的两边长分别为3和8，若第三边长为奇数，则第三边长为（）

A．5或11

B．7或9

C．6或8

D．10或12

24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥BC，且交AB于点E，∠A＝60°，∠BDC＝86°，则∠BDE的度数为（）

A．26°

B．30°

C．34°

D．52°

25．已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝70°，点D、E分别在AB和AC上，且DE∥BC．则∠ADE的度数是（）

A．40°

B．50°

C．60°

D．70°

26．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（）

A．165°

B．135°

C．105°

D．75°

27．如图，在△ABC中，∠B＝50°，∠A＝30°，CD平分∠ACB，CE⊥AB于点E，则∠DCE的度数是（）

A．5°

B．8°

C．10°

D．15°

28．如图是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D＝28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（）

A．62°

B．152°

C．208°

D．236°

29．如图，△ABC中，∠A＝50°，点E、F在AB、AC上，沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，则图中∠1+∠2等于（）

A．80°

B．90°

C．100°

D．120°

30．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）

A．180°

B．360°

C．540°

D．720°

31．如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（）

A．α+β+γ

B．α+β﹣γ

C．β+γ﹣α

D．α﹣β+γ

32．如图，共有

个三角形．

33．如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为

．

34．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠BAC＝75°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE交于H，则∠CHD＝

．

35．如图，D、E、F分别为BC、AD、BE的中点，若△BFD的面积为6，则△ABC的面积等于

．

36．如图，在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的中线与高，AE＝4，△ABC的面积为12，则CD的长为

．

37．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sinB＝，点G是△ABC的重心，连接CG并延长交AB于点M，则CG＝

．

38．一个三角形的两边长分别是3和8，周长是偶数，那么第三边边长是

．

39．已知a、b、c是三角形的三边长，化简：|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝

．

40．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°，则∠BEC＝

度．

41．如图，将三角形纸片（△ABC）进行折叠，使得点B与点A重合，点C与点A重合，压平出现折痕DE，FG，其中D，F分别在边AB，AC上，E，G在边BC上，若∠B＝25°，∠C＝45°，则∠EAG的度数是

°．

42．已知，点E是△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的角平分线交点，∠A＝50°，则∠E＝

°．

43．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的内部，已知∠1+∠2＝80°，则∠A的度数为

．

全等三角形的性质与判定

1．如图，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求证：△ACE是等边三角形．

2．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝3．求∠F的度数与DH的长．

3．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，∠A＝50°，BF＝2，求∠DFE的度数与EC的长．

4．如图，已知△EFG≌△NMH，∠F与∠M是对应角．

（1）写出边FG的对应边与∠EGF的对应角；

（2）若EF＝2.1cm，FH＝1.1cm，HM＝3.3cm，求MN和HG的长度．

5．如图，△ACF≌△DBE，∠E＝∠F，若AD＝11，BC＝7．

（1）试说明AB＝CD．

（2）求线段AB的长．

6．如图，AB、CD相交于点O，△AOB≌△DOC，且∠A＝80°，∠DOC＝30°，BO＝23，AO＝18，求∠DC0的度数和BD的长度．

7．如图所示，已知△ABC≌△DCB，是其中AB＝DC，试说明∠ABD＝∠ACD．

8．如图，点C、F在BE上，BF＝CE，∠A＝∠D，∠B＝∠E．求证：△ABC≌△DEF．

9．如图：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足为C，D．求证：

（1）OC＝OD；

（2）△ECF≌△EDF．

10．已知：AD是△ABC中BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，求证：△ACD≌△EBD．

11．已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AB∥DE，且AB＝DE，BE＝CF．

求证：△ABC≌△DEF．

12．如图，AE和BD相交于点C，∠A＝∠E，AC＝EC．求证：△ABC≌△EDC．

13．如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF．求证：△ADF≌△BCE．

14．如图，∠B＝∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．

15．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE．

求证：△ACD≌△CBE．

16．如图，△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AE，AC＝AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．

17．如图，点D、A、C在同一直线上，AB∥CE，AB＝CD，∠B＝∠D，求证：△ABC≌△CDE．

18．如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠C＝∠D．

求证：△ABC≌△AED．

19．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，∠B＝∠D，∠1＝∠2．求证：BC＝DE．

20．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MP∥AD交AC于P，求证：AB+AP＝PC．

21．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．

22．如图所示，在△ABC中，∠A＝30°，BE平分∠ABC，交AC于E，DE垂直平分AB于D．

（1）求∠ABE度数；

（2）求∠C度数；

（3）求证：BE+DE＝AC．

23．如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，DE垂直平分AB，垂足为点E，交AC于点D，∠BDC＝60°，AC＝6，求AD的长度．

24．如图，△ABC中，边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，交BC于点D、F，连接AD，AF，若∠DAF＝40°，求∠BAC的度数．

特殊三角形

1．如图，在等腰△ABC中，顶角∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若AB＝m，BC＝n，则△DBC的周长是（）

A．m+2n

B．2m+n

C．2m+2n

D．m+n

2．等腰三角形的底边长为4，则其腰长x的取值范国是（）

A．x＞4

B．x＞2

C．0＜x＜2

D．2＜x＜4

3．等腰三角形的周长为9cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（）

A．2cm

B．3.5cm

C．5cm

D．7cm

4．若等腰三角形有两条边的长度为5和8，则此等腰三角形的周长为（）

A．18或21

B．21

C．24或18

D．18

5．若实数m、n满足|m﹣3|+＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）

A．12

B．15

C．12或15

D．16

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AC的垂直平分线，△BCD的周长为24，BC＝10，则AC等于（）

A．11

B．12

C．14

D．16

7．如图，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，已知AB＝8，则BF的长为（）

A．3

B．4

C．5

D．6

8．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线一点，当PA＝CQ时，连结PQ交AC于D，则DE的长为（）

A．

B．

C．

D．

9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE＝CD，连接DE．下面给出的四个结论，其中正确的个数是（）

①BD⊥AC；②BD平分∠ABC；③BD＝DE；④∠BDE＝120°．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

10．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

11．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE的形状是（）

A．等腰三角形

B．等边三角形

C．不等边三角形

D．不能确定形状

12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，则下列结论成立的是（）

A．EC＝EF

B．FE＝FC

C．CE＝CF

D．CE＝CF＝EF

13．已知非直角三角形ABC中，∠A＝45°，高BD与CE所在直线交于点H，则∠BHC的度数是（）

A．45°

B．45°

或135°

C．45°或125°

D．135°

14．在一个直角三角形中，有一个锐角等于45°，则另一个锐角的度数是（）

A．75°

B．60°

C．45°

D．30°

15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）

A．6cm

B．5cm

C．4cm

D．3cm

16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3．若点P是BC边上任意一点，则AP的长不可能是（）

A．7

B．5.3

C．4.8

D．3.5

17．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP＝2，则AC的长为（）

A．2

B．4

C．6

D．8

18．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝60°，点D为AB边的中点，DE⊥BC于E，若BE＝1，则AC的长为（）

A．2

B．

C．4

D．

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD＝2，则AD的长是（）

A．3

B．4

C．5

D．4.5

20．等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°，底角∠B的度数是

．

21．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为

度．

22．如图，△ABC中，AB＝AC＝5，D是BC中点，AD＝4．求BC的长．

23．如图，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠ABC的度数．

24．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．求证：△BED是等腰三角形．

25．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形．

（1）如果底边长是腰长的一半，那么各边的长是多少？

（2）能围成有一边长是6cm的等腰三角形吗？为什么？

26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∠BAD＝∠CBE．求证：BD＝CD．

勾股定理

1．在△ABC中，∠B＝90°，若BC＝3，AC＝5，则AB等于（）

A．2

B．3

C．4

D．

2．某直角三角形的一直角边长为8，另一直角边长与斜边长的和为32，则斜边的长为（）

A．8

B．10

C．15

D．17

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC＝4，BC＝2时，则阴影部分的面积为（）

A．4

B．4π

C．8π

D．8

4．如图，分别以直角△ABC的三边为直径作半圆，若两直角边分别为6，8，则阴影部分的面积是

．

5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB＝5，BC＝8，AD是∠BAC的平分线，则AD的长为（）

A．5

B．4

C．3

D．2

6．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AB边上的高为4cm，则Rt△ABC的周长为（）cm．

A．24

B．

C．

D．

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）

A．6

B．

C．

D．

8．以下各组数为三角形的三边长，其中能够构成直角三角形的是（）

A．32，42，52

B．7，24，25

C．8，13，17

D．10，15，20

9．以下各组数为三角形的三边长，其中不能够构成直角三角形的是（）

A．32、42、52

B．7、24、25

C．0.3、0.4、0.5

D．9、12、15

10．将下列长度的三根木棒首尾顾次连接，能构成直角三角形的是（）

A．6，8，12

B．

C．5，12，13

D．

11．已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和2，则斜边长为

．

12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BD：DC＝4：3，点D到AB的距离为6，则BC等于

．

13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，若AC＝2，AE＝1，则BC＝

．

14．如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图中，直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为

．

15．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了

米．

参考答案

三角形性质与边角计算

1．解：设三边长分别为2x，3x，4x，由题意得，2x+3x+4x＝36，解得：x＝4．

则a＝2×4＝8（cm），b＝3×4＝12（cm），c＝4×4＝16（cm）．

2．解：设AD＝xcm，BC＝ycm．

∵BD为中线，AB＝AC，∴DC＝xcm，AB＝2xcm．

∴|3x﹣（x+y）|＝2，∴|2x﹣y|＝2，∴2x﹣y＝2或2x﹣y＝﹣2．又4x+y＝16，∴6x＝18，x＝3，y＝4或6x＝14，．

∴△ABC各边长分别是6，6，4或．

3．解：∵∠B＝44°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，∵AE是角平分线，∴∠EAC＝∠BAC＝30°．

∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝14°，∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣14°＝16°．

4．解：A、如果三角形中每一个内角都小于60°，那么三个角三个角的和小于180°，与三角形的内角和定理相矛盾，故本选项正确，不符合题意；

B、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确，不符合题意；

C、三角形的角平分线、中线与锐角三角形的三条高均在三角形内部，而直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，故本选项错误，符合题意；

D、多边形的外角和等于360°，故本选项正确，不符合题意；

故选：C．

5．解：以AB为边的三角形共有3个，它们是△ABC，△ABE，△ABD．

故选：C．

6．解：一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，这个三角形是直角三角形．

故选：C．

7．解：锐角三角形，三角形三条高的交点在三角形内部，直角三角形，三角形三条高的交点在三角形直角顶点，钝角三角形，三角形三条高的交点在三角形外部，故选：D．

8．解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC，∴△ABD和△ADC的周长的差，＝（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD），＝AB﹣AC，＝5﹣3，＝2，故选：C．

9．解：连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，由题意得，PE＝PD＝PF，S△APC+S△APB+S△BPC＝S△ACB，∴AB•PD+AB•PD+AB•PD＝AC•BC，即×5•PD+×4•PD+×3•PD＝×3×4，解得，PD＝1，故选：A．

10．解：①∠B的余角有∠BAD和∠C，原来的说法是错误的；

②∠B+∠C＝90°，∠B与∠C不一定相等，原来的说法是错误的；

③线段AB的长度表示点B到直线AC的距离是正确的；

④∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴AB：BC＝AD：BA，∴AB•AC＝BC•AD是正确的．

故选：B．

11．解：∵D是BC的中点，E是AC的中点，△ADE的面积为2，∴△ADC的面积＝4，∴△ABC的面积＝8，故选：B．

12．解：∵△DAB的面积为10，DA＝5，∠C＝90°，∴S△DAB＝AD•BC＝10，×5BC＝10，BC＝4，在Rt△BDC中，由勾股定理得：DC＝＝＝3，故选：B．

13．解：所有图形里，只有三角形具有稳定性．

故选：B．

14．解：因为三角形具有稳定性，所以下面图形中稳定性最好的是三角形．

故选：D．

15．解：如图所示：

要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，故选：B．

16．解：三角形三条高线所在直线的交点都在三角形内部、外部或斜边上，A错误；

三角形三条中线的交点称为三角形的重心，B正确；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，C错误；

三角形三边的垂直平分线交于一点这点到三角形三个顶点的距离相等，D错误；

故选：B．

17．解：∵点G是△ABC的重心，∴AE，CD是△ABC的中线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△DGE∽△BGC，∴＝，①正确；

＝，②正确；

△EDG∽△CBG，③正确；

＝（）2＝，④正确，故选：D．

18．解：∵BE、CD是△ABC的中线，即D、E是AB和AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，即，DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴，故①正确，②错误，③正确；

设△ABC的BC边上的高AF，则S△ABC＝BC•AF，S△ACD＝S△ABC＝BC•AF，∵△ODE中，DE＝BC，DE边上的高是×AF＝AF，∴S△ODE＝×BC×AF＝BC•AF，∴，故④错误．

故正确的是①③．

故选：B．

19．解：∵三角形的两边长为3和2，∴第三边x的长度范围是3﹣2＜x＜3+2，即1＜x＜5，观察选项，只有选项B符合题意．

故选：B．

20．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A中，4+5＝9，不能组成三角形；

B中，5+5＝10＜11，不能组成三角形；

C中，1+2＝3，不能够组成三角形；

D中，5+6＝11＞8，能组成三角形．

故选：D．

21．解：∵10﹣2＝8，10+2＝12，∴8＜x＜12，∵若x为正整数，∴x的可能取值是9，10，11，故这样的三角形共有3个．

故选：C．

22．解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得

A中，2+3＝5，不能组成三角形；

B中，3+6＝9＜11，不能组成三角形；

C中，6+8＝14＞10，能够组成三角形；

D中，1+2＝3，不能组成三角形．

故选：C．

23．解：根据三角形的三边关系，得

第三边应＞5，而＜11．

又第三边是奇数，则第三边应是7或9．

故选：B．

24．解：∵∠BDC＝∠A+∠ABD，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝86°﹣60°＝26°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD＝26°，又∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC＝26°．

故选：A．

25．解：在△ABC中，∵∠A＝60°，∠C＝70°，∴∠B＝180°﹣60°﹣70°＝50°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°，故选：B．

26．解：∠1＝90°﹣30°﹣60°，∴∠2＝∠1﹣45°＝15°，∴∠α＝180°﹣15°＝165°，故选：A．

27．解：∵∠B＝50°，CE⊥AB，∴∠BCE＝40°，又∵∠A＝30°，CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠BCA＝×（180°﹣50°﹣30°）＝50°，∴∠DCE＝∠BCD﹣∠BCE＝50°﹣40°＝10°，故选：C．

28．解：∵如图可知∠BED＝∠F+∠B，∠CGE＝∠C+∠A，又∵∠BED＝∠D+∠EGD，∴∠F+∠B＝∠D+∠EGD，又∵∠CGE+∠EGD＝180°，∴∠C+∠A+∠F+∠B﹣∠D＝180°，又∵∠D＝28°，∴∠A+∠B+∠C+∠F＝180°+28°＝208°，故选：C．

29．解：∵∠A＝50°，∴∠AEF+∠AFE＝180°﹣50°＝130°，∵沿EF向内折叠△AEF，得△DEF，∴∠AED+∠AFD＝2（∠AEF+∠AFE）＝2×130°＝260°，∴∠1+∠2＝180°×2﹣260°＝360°﹣260°＝100°．

故选：C．

30．解：∵∠A+∠E+∠C＝180°，∠D+∠B+∠F＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．

故选：B．

31．解：由题可知α＝180°﹣β+γ，所以有180°﹣α+γ+180°﹣β＝180°，即α+β﹣γ＝180°．故选B．

32．解：图中有：△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，共6个．

故答案为：6

33．解：∵ED是BC边上的中垂线

∴EC＝EB

∵△ABE的周长＝AB+AE+EC＝AB+AC＝5+8＝13cm，故答案为：13cm．

34．解：在△ABC中，三边的高交于一点，所以CF⊥AB，∵∠BAC＝75°，且CF⊥AB，∴∠ACF＝15°，∵∠ACB＝60°，∴∠BCF＝45°

在△CDH中，三内角之和为180°，∴∠CHD＝45°，故答案为∠CHD＝45°．

35．解：∵F是BE的中点，∴BF＝EF，∴S△EFD＝S△BFD，又∵S△BDE＝S△EFD+S△BFD，∴S△BDE＝2S△BFD＝2×6＝12．

同理，S△ABC＝2S△ABD＝2×2S△BDE＝4×12＝48．

故答案为：48．

36．解：∵AE⊥BC，AE＝4，△ABC的面积为12，∴×BC×AE＝12，∴×BC×4＝12，∴BC＝6，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BC＝3，故答案为3．

37．解：在Rt△ACB中，sinB＝＝，即＝，解得，AB＝4，∵点G是△ABC的重心，∴点M是AB的中点，在Rt△ACB中，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝2，∵点M是AB的中点，∴CG＝CM＝，故答案为：．

38．解：设第三边长为x，则8﹣3＜x＜8+3，即5＜x＜11．

又∵x为奇数，∴x＝7或9，故答案为7或9．

39．解：根据三角形的三边关系，得

a+c＞b，a﹣b＜c．

∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0．

∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．

40．解：∵在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠A＝64°．

∴∠EBC+∠ECB＝＝58°，∴∠BEC＝180°﹣58°＝122°；

故答案为：122．

41．解：∵∠B＝25°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣25°﹣45°＝110°，由折叠可得，∠BAE＝∠B＝25°，∠CAG＝∠C＝45°，∴∠EAG＝110°﹣（25°+45°）＝40°，故答案为：40°．

42．解：如图，∵EB、EC是∠ABC与∠ACD的平分线，∴∠ECD＝∠ACD＝∠E+∠EBC＝∠E+∠ABC，∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，又∵∠E＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠E＝∠A＝25°，故答案为：25．

43．解：∵四边形的内角和等于360°，∴∠A+∠A′+∠AEA′+∠ADA′＝360°．

又∵∠1+∠AEA′+∠2+∠ADA′＝360°，∴∠A+∠A′＝∠1+∠2．

又∵∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2＝80°，∴∠A＝40°．

故答案为：40°．

全等三角形的性质与判定

1．证明：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．

∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC．

即∠BAD＝∠CAE．

∵∠BAD＝60°，∴∠CAE＝60°．

又∵AC＝AE，∴△ACE是等边三角形．

2．解：∵∠A＝90°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝30°，∵△ABC≌△DEF，AB＝8，∴∠F＝∠ACB＝30°，DE＝AB＝8，∵EH＝3，∴DH＝8﹣3＝5．

3．解：∵∠B＝30°，∠A＝50°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△DEF，∴∠DFE＝∠ACB＝100°，EF＝BC，∴EF﹣CF＝BC﹣CF，即EC＝BF，∵BF＝2，∴EC＝2．

4．解：（1）∵△EFG≌△NMH，∴FG的对应边是MH，∠EGF的对应角是∠MHN．

（2））∵△EFG≌△NMH，∴MN＝EF＝2.1cm，HM＝FG＝3.3cm，∵FH＝1.1cm，∴HG＝3.3﹣1.1＝2.2cm．

5．解：（1）∵△ACF≌△DBE，∴AC＝DB，∴AC﹣BC＝DB﹣BC，即AB＝CD

（2）∵AD＝11，BC＝7，∴AB＝（AD﹣BC）＝（11﹣7）＝2

即AB＝2

6．解：∵△AOB≌△DOC，∴∠D＝∠A＝80°，DO＝AO＝18，在△COD中，∠DCO＝180°﹣∠D﹣∠DOC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，BD＝BO+DO＝23+18＝41．

7．解：∵△ABC≌△DCB，∴∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，∴∠ABC﹣∠DBC＝∠DCB﹣∠ACB，即∠ABD＝∠ACD．

8．证明：∵BF＝CE，∴BF+FC＝CE+FC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（AAS）．

9．证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，∴EC＝DE，∠ECO＝∠EDO＝90°，在Rt△COE和Rt△DOE中，∴Rt△COE≌Rt△DOE（HL），∴CO＝DO；

（2）∵Rt△COE≌Rt△DOE，∴CE＝DE，∠CEF＝∠DEF，在△ECF与△EDF中，∴△ECF≌△EDF（SAS）

10．证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ACD和△EBD中，∴△ACD≌△EBD（SAS）．

11．证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF

∵BE＝FC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS）．

12．证明：∵在△ABC和△EDC中，∴△ABC≌△EDC（ASA）．

13．解：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，∴AF＝BE，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）

14．解：添加∠BAC＝∠DAC．理由如下：

在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（AAS）．

15．证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC＝CB（线段中点的定义）．

∵CD∥BE（已知），∴∠ACD＝∠B（两直线平行，同位角相等）．

在△ACD和△CBE中，∴△ACD≌△CBE（SAS）．

16．证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC（SAS）．

17．证明：∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠DCE，在△ABC和△CDE中，∴△ABC≌△CDE（ASA）．

18．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，∵在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（AAS）．

19．证明：∵∠1＝∠2，∵∠DAC+∠1＝∠2+∠DAC

∴∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，∴△ADE≌△ABC（ASA）

∴BC＝DE，20．证明：如图，延长BA交MP的延长线于点E，过点B作BF∥AC，交PM的延长线于点F，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD

∵AD∥PM

∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠APE＝∠CPM

∴∠E＝∠APE

∴AP＝AE，∵M是BC的中点，∴BM＝MC

∵BF∥AC

∴∠ACB＝∠CBF，且BM＝MC，∠BMF＝∠CMP

∴△BMF≌△CMP（ASA）

∴PC＝BF，∠F＝∠CPM，∴∠F＝∠E

∴BE＝BF

∴PC＝BE＝BA+AE＝BA+AP

21．证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．

22．解：（1）∵DE垂直平分AB，∴EA＝EB，∴∠ABE＝∠A，∵∠A＝30°，∴∠ABE＝30°；

（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE，由（1）知，∠ABE＝30°，∴∠ANB＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝90°；

（3）由（2）知，∠C＝90°，∴CE⊥BC，∵DE垂直平分AB，∴DE⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴DE＝CE，∴AC＝AE+CE＝BE+DE．

23．解：∵DE垂直平分AB，∴DA＝DB，∵∠C＝90°，∠BDC＝60°，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD，∴CD＝AD，∵AC＝6，∴AD＝4．

24．解：在△ADF中，∵∠DAF＝40°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣40°＝140°，∵边AB、AC的垂直平分线ED、GF分别交AB、AC于点E、G，∴AD＝BD，AF＝CF，∴∠BAD＝∠B，∠CAF＝∠C，∴∠ADF＝∠BAD+∠B＝2∠B，∠AFD＝∠CAF+∠C＝2∠C，∴2∠B+2∠C＝∠ADF+∠AFD＝140°，∴∠B+∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠C）＝110°．

特殊三角形

1．解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠A＝40°，∴AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝40°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABC＝40°+30°＝70°，∠C＝180°﹣40°﹣40°﹣30°＝70°，∴∠ABC＝∠C，∴AC＝AB＝m，∴△DBC的周长是DB+BC+CD＝BC+AD+DC＝AC+BC＝m+n，故选：D．

2．解：∵等腰三角形的底边长为4，腰长为x，∴2x＞4，∴x＞2．

故选：B．

3．解：若2cm为等腰三角形的腰长，则底边长为9﹣2﹣2＝5（cm），2+2＜5，不符合三角形的三边关系；

若2cm为等腰三角形的底边，则腰长为（9﹣2）÷2＝3.5（cm），此时三角形的三边长分别为2cm，3.5，cm，3.5cm，符合三角形的三边关系；

故选：A．

4．解：根据题意，①当腰长为5时，周长＝5+5+8＝18；

②当腰长为8时，周长＝8+8+5＝21．

故选：A．

5．解|m﹣3|+＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；

当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．

故选：B．

6．解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∵△BCD的周长为24，∴BD+CD+BC＝24，∴AB+BC＝24，∵BC＝10，∴AC＝AB＝24﹣10＝14．

故选：C．

7．解：∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB＝8，∴AD＝4，AC＝8，∠A＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于E，EF⊥BC于F，∴∠AFD＝∠CFE＝90°，∴AE＝AD＝2，∴CE＝8﹣2＝6，∴CF＝CE＝3，∴BF＝5，故选：C．

8．解：过P作PF∥BC交AC于F．如图所示：

∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．

∵在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．

故选：A．

9．解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC上的中线，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，BD平分∠ABC；

∴BD⊥AC；

∵∠ACB＝∠CDE+∠DEC＝60°，又CD＝CE，∴∠CDE＝∠DEC＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DB＝DE．

∠BDE＝∠CDB+∠CDE＝120°

所以这四项都是正确的．

故选：D．

10．解：有两个角等于60°的三角形为等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；三个角都相等的三角形为等边三角形；三边都相等的三角形为等边三角形．

故选：C．

11．解：∵△ABC为等边三角形

∴AB＝AC

∵∠1＝∠2，BE＝CD

∴△ABE≌△ACD

∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD＝60°

∴△ADE是等边三角形．

故选：B．

12．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．

故选：C．

13．解：①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，在△ABD中，∵∠A＝45°，∴∠ABD＝90°﹣45°＝45°，∴∠BHC＝∠ABD+∠BEC＝45°+90°＝135°；

②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE＝90°，∠BHC+∠HCD＝90°，∵∠ACE＝∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC＝∠A＝45°．

综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．

故选：B．

14．解：∵直角三角形两锐角互余，∴另一个锐角的度数＝90°﹣45°＝45°，故选：C．

15．解：∵DE垂直平分AB，∴EB＝EA，∴∠EAB＝∠B＝15°，∴∠AEC＝30°，∴AC＝AE＝3（cm），故选：D．

16．解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3≤AP≤6，故选：A．

17．解：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴∠ABC＝60°．

又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC＝30°，∴∠AEB＝∠C+∠EBC＝60°，∠C＝∠EBC，∴∠AEP＝60°，BE＝EC．

又AD⊥BC，∴∠CAD＝∠EAP＝60°，则∠AEP＝∠EAP＝60°，∴△AEP的等边三角形，则AE＝AP＝2，在直角△AEB中，∠ABE＝30°，则EB＝2AE＝4，∴BE＝EC＝4，∴AC＝CE+AE＝6．

故选：C．

18．解：

∵∠B＝60°，DE⊥BC，∴BD＝2BE＝2，∵D为AB边的中点，∴AB＝2BD＝4，∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝4，故选：C．

19．解：∵∠ACB＝60°，∠B＝90°，∴∠A＝30°，∵DE是斜边AC的中垂线，∴DA＝DC，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵BD＝2，∴AD＝4，故选：B．

20．解：∵等腰三角形ABC中顶角∠A＝40°，∴底角∠B的度数＝（180°﹣40°）＝70°，故答案为：70°

21．解：设较小锐角为x度．

由题意：4x+x＝90，解得x＝18，故答案为18．

22．解：∵AB＝AC，点D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝＝3，∵点D是BC中点，∴BC＝2BD＝6．

23．解：∵BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，∠B＝∠BAP，∠C＝∠CAQ．

又∵∠BAP+∠ABP＝∠APQ，∠C+∠CAQ＝∠AQP，∴∠ABC＝∠BAP＝∠CAQ＝30°．

24．证明∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD＝∠DBC．

∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC．

∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，∴△BED是等腰三角形．

25．解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，则

2x+2x+x＝20

解得，x＝4

∴2x＝8

∴各边长为：8cm，8cm，4cm．

（2）①当6cm为底时，腰长＝7cm；

②当6cm为腰时，底边＝8cm；

故能构成有一边长为6cm的等腰三角形，另两边长为7cm或8cm．

26．证明：∵AD是BC边上的高，BE⊥AC于点E，∴∠ADB＝∠BEC＝90°，∴∠BAD+∠ABC＝90°，∠CBE+∠ACB＝90°，∵∠BAD＝∠CBE

∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD．

勾股定理

1．解：在Rt△ABC中，∵∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，∴AB＝＝＝4，故选：C．

2．解：设直角三角形的斜边长为x，由勾股定理得，x2＝82+（32﹣x）2，解得，x＝17，故选：D．

3．解：由勾股定理得，AB2＝AC2+BC2＝20，则阴影部分的面积＝×AC×BC+×π×（）2+×π×（）2﹣×π×（）2

＝×2×4+×π××（AC2+BC2﹣AB2）

＝4，故选：A．

4．解：S阴＝S半圆AC+S半圆BC+S△ABC﹣S半圆AB

＝+

＝

＝24

故答案为：24．

5．解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD＝BC＝4，AD⊥BC，由勾股定理得，AD＝＝3，故选：C．

6．解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝100，由三角形的面积公式可知，•AC•BC＝•AB•CD＝20，∴2•AC•BC＝80

则（AC+BC）2＝AC2+BC2+2•AC•BC＝180，解得，AC+BC＝6，∴Rt△ABC的周长＝AC+BC+AB＝6+10，故选：D．

7．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，故选：C．

8．解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不能组成直角三角形，故此选项错误；

B、72+242＝252，能组成直角三角形，故此选项正确；

C、82+312≠172，不能组成直角三角形，故此选项错误；

D、102+152≠202，不能组成直角三角形，故此选项错误；

故选：B．

9．解：（32）2+（42）2＝337，（52）2＝625，则32+42≠52，A组数为三角形的三边长，不能够构成直角三角形；

72+242＝625，252＝625，则72+242＝252，B组数为三角形的三边长，能够构成直角三角形；

0.32+0.42＝0.25，0.52＝0.25，则0.32+0.42＝0.52，C组数为三角形的三边长，能够构成直角三角形；

92+122＝225，152＝225，则92+122＝152，D组数为三角形的三边长，能够构成直角三角形；

故选：A．

10．解：A、62+82≠122，故不能组成直角三角形，错误；

B、（）2+（）2≠42，故不能组成直角三角形，错误；

C、52+122＝132，故能组成直角三角形，正确；

D、（）2+（）2≠72，故不能组成直角三角形，错误．

故选：C．

11．解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2，∴斜边＝＝，故答案为．

12．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD＝6．

∵BD：DC＝4：3，∴BD＝CD＝×6＝8，∴BC＝6+8＝14．

故答案为：14．

13．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠ACD+∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A．

∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE．

又∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，设BC＝BE＝x，∴AB＝1+x，∵AC2+BC2＝AB2，∴22+x2＝（1+x）2，解得：x＝1.5，故答案为：1.5．

14．解：∵直角三角形的两条直角边长分别为2，3，∴整个大正方形的边长为：＝，∴整个大正方形的面积为：13．

15．解：在Rt△ABO中，根据勾股定理知，A1O＝＝4（m），在Rt△ABO中，由题意可得：BO＝1.4（m），根据勾股定理知，AO＝＝4.8（m），所以AA1＝AO﹣A1O＝0.8（米）．

故答案为：0.8．