第一篇：泰勒的科学管理

泰勒的科学管理

通过浏览网络上的各种资料，我了解许多有关泰勒的事迹和他的科学管理。关于泰勒的诸多事迹中的搬运铁块实验、铁砂和煤炭的铲掘实验、金属切削实验这三个著名试验是最吸引我的。成为工长的泰勒面对厂里的生产发展和责任心驱使，开始探索一种有效管理的方法。在众多实验中，这三个试验对于泰勒的科学发展理论最有影响。铁块实验中，总结了：

一、精心挑选工人；第二、诱导工人使之了解这样做对他们没有损害，还可以得到利益；第三、对他们进行训练和帮助，使之获得完成即定工作量的技能；第四、按科学的方法去干活会节省体力。铲掘实验正是标准化管理和人尽其才，物尽其用概念的形成。金属切削实验耗时最长，但最终使得发明了高速钢，还形成了金属加工方面的工作规范。

在泰勒所进行的科学管理实验中始终依据两个基本原理：作业究原理和时间原理。泰勒认为，以前的工作都是由工人包办的，他们按照工作经验工作生产，而泰勒始终不能认同靠经验工作，从而在实验中找到正确的工作方法，并改进，形成标准的工作方法。但我认为，过于细化标准操作，使得实际操作者生产效率上升，但是千篇一律的动作会使得工人十分劳累，精神压力大。标准的动作和规定的时间虽然对于提高生产十分有效，但是没有考虑工作者的心理。

在由基本原则加上从效率至上、劳资双方应该共同协作等出发点，从而构成了科学管理的基本框架。即，科学管理的基本内容：作业管理、组织管理和管理哲学。在组织管理上，泰勒的贡献是巨大的。他把计划的职能和执行的职能分开，改变了凭经验工作的方法，而代之以科学的工作方法，以确保管理任务的完成。由计划部门来制定标准的工作方法，并且下发给工人，工人要按照标准的工作方法来完成工作。而在管理哲学方面，泰勒的科学管理更加像是一种改变工人和管理者的心理的。让工人了解到多工作就能多得利益，要让高层知道只有用一切办法提高工人生产力才能加大公司的规模和利润。

泰勒宣称，“科学管理在实质上要求任何一个具体机构或机构中的工人及管理人员进行一场全面的心理革命，没有这样的心理革命，科学管理就不存在。”说明，泰勒考虑到了管理转变关系到人性的许多层面，他虽然没有展开深入研究，但他建议企业要考虑到各个层面人们的感受，尤其是强调工人要能够愉快地胜任新方法下的工作并获得更高报酬。他对人性假设的局限性，即认为人仅仅是一种经济人，这无疑限制了泰勒的视野和高度。

泰勒的三项实验都付出了巨大的代价，但都取得了成功，这些实验将他的科学管理思想理论，深深地扎根在科学实验的基础上，使之成为一门真正的科学。这也正是其理论能对当时社会起到巨大推动作用的原因。

第二篇：对泰勒科学管理理论的学习感悟

对泰勒科学管理理论的学习感悟

姓名：陈欣学号：2009200040班级：09投资一班学院：经济学院

一、泰勒科学管理理论的主要内容

泰勒的科学管理的内容概括起来主要有5条：工作定额原理、能力与工作相适应原理、标准化原理、差别计件付酬制、计划和执行相分原理。

1、泰勒认为，为了发掘工人们劳动生产率的潜力，首先应该进行时间和动作的研究。所谓时间研究，就是研究人们在工作期间各种活动的时间构成，它包括工作日写实与测时。所谓动作研究，是研究工人干活时动作的合理性。所谓能力与工作相适应原理，即主张一改工人挑选工作的传统，而坚持以工作挑选工人，每一个岗位都挑选第一流的工人，以确保较高的工作效率！

标准化原理是指工人在工作时要采用标准的操作方法，而且工人所使用的工具、机器、材料和所在工作现场环境等等都应该标准化，以利于提高劳动生产率

2、泰勒认为，工人磨洋工的重要原因之一是付酬制度不合理，计时工资不能体现按劳付酬，干多干少在时间上无法确切的体现出来；他认为，要在科学地制定劳动定额的前提下，采用差别计件工资制来鼓励工人完成或超额完成定额！

3、泰勒认为应该用科学的工作方法取代经验工作方法；应该把计划和执行分离开来。计划由管理当局负责，执行由工长负责，这里的计划包括三方面的内容：(1)时间和动作研究(2)制定劳动定额和标准的操作方法，并选用标准工具(3)比较标准和执行的实际情况，并进行控制。

二、泰勒科学管理理论的贡献和巨大意义

1、首先采用实验方法研究管理问题，开创实证式管理研究先河，为管理学研究开辟了一片无限广阔的新天地。

2、开创单个或局部工作流程的分析，是流程/过程管理学的鼻祖。

3、率先提出经验管理法可以为科学管理法所代替，从而开拓了管理的视野。

4、率先提出工作标准化思想，是标准化或基准化管理的创始人。

5、首次提出管理转变必须考虑人性

6、首次将管理者和被管理者的工作区分开来，管理首次被审视为一门可研究的科学。把管理从生产中分离出来，是管理专业化、职业化的重要标志，管理因此被公认为一门需要独立研究的科学。

三、对泰勒科学管理理论的学习感悟

1、用科学来取代经验，不要迷信或树立权威，要敢于质疑，研究，剖析现实中的问题，规则。实践出真知！

2、事实最有力量，事实最难体现；要用合适的方法体现事实，用事实推动工作和学科的发展。

3、认识人性，以人为本的管理方式。科技以人为本。只有我为人人，人人后方为我。企业上下员工团结一致，才能创造利润，带领企业不断向前蒸蒸日上。

4、朴实=伟大，这在泰勒身上有着明显的体现。在中国的古典文学《道德经》中便有说到，上善若水。水善利万物而不争，居众人之所恶，故几于道矣。不仅是一个管理者应该具备的，而且包括我们普通人，也应该朴实，平易近人，高调做事低调做人。

5、理论是次要的，而方法则是无比重要的，理论可以过时，也可以被新理论代替，而方法则具有更多的生命力，能够对后继理论和实践提供更多指引，因而具有更加深远和根本的意义。我们不仅要充分利用泰勒科学管理理论中的科学成分，发挥它的价值，将它用于实践，还应该在发展中不断地对他修正，不断地发展完善。

第三篇：泰勒科学管理理论对现代企业的借鉴意义

泰勒科学管理理论对现代企业的借鉴意义

但凡是从事管理学科研究或实际管理工作的，很少会有人不知道“科学管理之父”泰勒和他的科学管理理论。泰勒的科学管理理论对于西方管理思想的发展和管理实践产生了相当大的影响。不仅如此，泰勒的科学管理理论对现代企业更是有着巨大的借鉴意义。

泰勒认为：“科学管理的实质是一切企业或机构中的工人们的一次完全的思想革命——也就是这些工人，在对待他们的工作责任、对待他们的同事、对待他们雇主的态度的一次完全的思想革命；同时，也是管理方面的工长、厂长、雇主和董事会，在对他们的同事、他们的工人和对所有的日常工作问题责任上的一次完全的思想革命。没有工人和管理人员双方在思想上的一次完全的革命，科学管理就不会存在。”（引自泰勒《在美国国会听证会上的证词》）由泰勒的科学管理的实质可以看出，科学的管理就要进行思想的革命和处理好管理者之间，工人之间，还有管理者和工人之间的关系。

借鉴泰勒科学管理的实质，现代企业就需要进行思想革命和处理好各种关系。现代企业进行思想的革命，也就是建立企业文化，培养员工的素质。企业文化是一个企业的灵魂所在，建立起适合自己企业的文化，能够增加企业的凝聚力，提高管理效率。而对于培养员工的素质，泰勒指出：“在科学管理中，管理人员要主动承担的第二项责任，就是科学地选择和不断地培训工人。管理人员的责任在于，一方面要细致地研究每个工人的性格、脾气和工作表现，找出他们的能力；另一方面，更重要的是发现每个工人向前发展的可能性，并且逐步地、系统地训练、帮助和指导每一个工人，为他们提供上进的机会。这样，使工人在雇用他的公司里，能够担任最高的、最有兴趣的、最有利、最适合他的能力的工作。科学地选择和培训工人并不是一次性的行动，而是每年都要进行的，是管理人员要不断加以探讨的课题。”（引自泰勒《在美国国会听证会上的证明》）所以对于现代企业来说，应该通过适当的培训员工，使员工不仅适应工作，而且适应企业的管理，这样才能够提高工作效率。

在现代企业的管理中，处理好各种关系，首先要处理好的是劳资双方的关系。泰勒认为：“差别计件工资制，是对同一种工作设有两个不同的工资率；对那些用最短的时间完成工作、质量高的工人，按较高的工资率计算；对那些用时长，质量差的工人，则按较低的工资率计算。”（引自泰勒《计件工资制》）而对于现代企业来说，就应该用工资的等级制度来激励员工提高效率。而且通过适时的提高员工工资，不仅能够提高员工的工作积极性，而且对于缓和上下级之间的关系也有着重要的作用。

在以上的阐述中主要强调了人的重要性，而在泰勒的科学管理中，很有先见之明地强调了体制的重要性。泰勒是这样阐述的：“过去，人是第一位的；将来，体制必须是第一位的。这并不意味着不再需要伟大人物，恰恰相反，任何好体制的第一位目标必须是发掘第一流的人才，并在系统管理之下，最佳人才能比以前更有把握和更迅速地提升到领导岗位上来。”（引自泰勒《科学管理原理》）因此在现代企业的管理中，就需要注意人才的发掘和培养，还有建立起适合企业发展的体制。

泰勒指出：“管理的主要目的，应该是使雇主实现最大限度的利益，同时也使每个雇员实现最大限度的利益。”因此可以看出，科学管理的真正基础就在于，它始终坚信雇主和雇员的利益是一致的，而不是根本对立。从长远的眼光来看，任何一种管理制度或方案，如果它不能够使劳资双方都满意，如果不能够表明劳资双方的最高利益是彼此一致的，如果不能带来双方彻底而诚挚的合作，使双方同心协力而不是分道扬镳，那么这种管理制度或方案就根本就不值得一提。所以，对现代企业的借鉴意义也就是，要使员工相信自己的利益和企业的利益是一致的，这样才能够使两者的利益最大化。

“诸种要素——不是个别要素——的结合，构成了科学管理，它可以概括如下：科学，不是单凭经验的方法；协调，不是不和合作，不是个人主义；最高的产量，取代有限的产量；发挥每个人最高的效率，实现利益最大化。”（引自泰勒的《科学管理原理》）因此，对现代企业来说，实现企业和员工两者的利益最大化，最好的办法就是协调合作，发挥每个人的最高效率。在此基础上，现代企业还需要借鉴的是泰勒提出的管理取得成功的四大基本原则：

第一，每天要有大量的任务。企业里的每一个人，无论职位高低，每天都应该有明确的任务。这些任务不应该有丝毫的漏洞或不明之处，必须对全部细节加以规定，而这不是轻易就能够完成的。

第二，标准的工作条件。每个人的任务都需要一整天的工作时间才能够完成、同时，要为每个人提供合乎标准的条件和设备，以保证他一定能够完成任务。

第三，完成任务者得到高报酬。每个人都有把握在其完成任务后一定能够得到高报酬。

第四，失败者将遭受损失。如果有人完不成任务，那么他迟早就一定会吃亏。（引自泰勒的《工厂管理》）在此四大基本原则中，前面三个原则对现代企业管理来说依然是有着十分重要意义的。企业如果能够做到前面三个原则的要求，那么就可以发挥出每个人的最高效率，而整体的效率也就会得到最大化。这样既实现了协调合作，同时也实现了企业与员工的利益统一，最终实现了利益的最大化。

泰勒的科学管理理论是从多个工厂实验中总结和升华出来的，对现代企业有着重要的借鉴作用。虽然有些实验对于现代企业来说已经没有现实的意义，但是其精华的方法部分是永远不会过时的。把泰勒的科学管理思想的精华充分运用到现代企业的管理中，是现代企业实现组织目标的永恒法宝。

第四篇：泰勒

泰勒《课程与教学的基本原理》是特定时代的产物。一方面，泰勒从本世纪上半叶的哲学家和心理学家杜威、桑戴克、贾德和波特等人的学说中寻找理论依据，从现代课程理论先驱博比特和查特斯的研究成果中继承有用部分；另一方面，泰勒积极从事课程实践活动，尤其是投身于“八年研究”，从实践中汲取充分的养料。所以，泰勒的“课程原理”有它的理论背景和实践背景。

1918年，出版了第一本专门论述课程的书，那就是博比特的《课程》。人们一般认为它标志着课程作为专门研究领域的诞生。同时，全国教育协会“中等教育改组委员会”编著了《中等教育的主要原理》。从而拉开了美国20年代课程改革运动的序幕。

美国20年代课程改革运动的起因，在很大程度上是由于当时教育界人士和学生家长普遍认为：学校教育与当代生活不相干，因而没有实效。课程改革者几乎一致反对学校教育中与形式训练说有关的一切做法。他们认为，课程应该与当今事务有直接联系，应以功利为价值取向。因此，他们把泰罗在本世纪初提出的“科学管理原理”视为一种理想的模式。

泰罗的口号是“效率”。他强调“彻底的实际效用”。在科学管理原理中，“生产率”是一个核心概念；个体仅仅是整个生产系统中的一个要素。它的基本假设是：人是受经济利益驱动的；是一种可供操纵的生产工具。因此，若要提高生产率，就须用科学的原理来管理，即要分析工人的“特殊能力和限制条件，”以便使每个工人都处于自己最高效率和最大生产能力的状态。”

一些教育界人士对工厂企业的科学化管理运动，很快就作出反应。他们竟相仿效，并把这种“科学”方法运用于学校管理。所以，有人把这一时期称为“学校督导从教育者转变成经理的时期”。

效率运动不仅影响到学校管理，而且对课程理论也产生了深远影响。在效率运动的早期拥护者中，就有后来成为课程改革的学者博比特。事实上，现代课程领域的范围和研究导向，最早主要是由博比特确定的。

博比特后来在谈及自己的经历时说，引起他从事课程研究的原因，不只是为了学术研究，“而是由于感到这是一种社会需要”。正是由于上述这种“社会需要”，促成博比特的早期著作实质上遵循这样一条主线：把工业科学管理的原则运用于学校教育，继而又把它推衍到课程领域本身。这样，美国课程理论从一开始就依据这样的隐喻：学生是“原料”，是学校这架“机器”加工的对象。难怪后人称其为“学校工厂”（school一factory）。随后，博比特又把企业成本会计原理应用于学校的教学科目中。这样，学校课程的核心棗学科棗也围绕“效率”这个轨道运转。“效率等同于科学”，这就是当时一些课程理论工作者的看法。

博比特在现代课程理论史上的第一部专著《课程》中，将上述观点加以系统化和理论化。他认为：“教育实质上是一种显露人的潜在能力的过程，它与社会条件有着特殊的联系。”由于教育是要使学生为完美的成人生活作准备，因此，“我们首先应该根据对社会需要的研究来确定目标”。他指出，学习经验是达到目标的手段。为了使课程科学化，“我们必须使教育目标具体化”。因为“科学的时代要求精确性和具体性”。相应地，强调教育目标的具体化（particularization）和标准化（standardization），成了20年代初课程科学化运动的一个重要标志。

在博比特看来，课程是通过对人类活动的分析而被逐渐发现的东西，所以，“课程发现者首先是对人性和人类事务的分析者”。即要发现当代人类社会所需要的特定的“能力、态度、习惯、鉴赏力和知识的形式”。这种把人的活动分析成具体的和特定的行为单位的方法，即著名的“活动分析法”。

根据博比特《怎样编制课程》一书，可以把课程编制过程归纳成以下几个步骤： 1．对人类经验的分析。即把广泛的人类经验划分成一些主要的领域。通过对整个人类经验领域的审视，了解学校教育经验与其它经验的联系。

2．工作分析。即把人类经验的主要领域再进一步分析成一些更为具体的活动，以便一一列举需要从事哪些活动。

3．推导出目标。目标是对进行各种具体活动所需要的能力的陈述，同时也旨在帮助课程编制者确定要达到哪些具体的教育结果（博比特在《怎样编制课程》中，曾列举了人类经验的10个领域中的800多个目标）。

4．选择目标。即要从上述步骤得出的众多日标中选择与学校教育相关的、且能达到的目标，以此作为教育计划的基础和行动纲领。

5．制定详细计划。即要设计为达到教育目标而提供的各种活动、经验和机会。

第五篇：泰勒公式

华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

§3 泰勒公式

教学章节：第六章 微分中值定理及其应用——§3 泰勒公式 教学目的：掌握Taylor公式，并能应用它解决一些有关的问题.教学要求：（1）深刻理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异；

（2）掌握并熟记一些常用初等函数和Taylor展开公式，并能加以应用.（3）会用带Taylor型余项的Taylor公式进行近似计算并估计误差；会用代Peanlo余项的Taylor公式求某些函数的极限.教学重点：Taylor公式

教学难点：Taylor定理的证明及应用.教学方法：系统讲授法.教学程序：

引 言

不论在近似计算或理论分析中，我们希望能用一个简单的函数来近似一个比较复杂的函数，这将会带来很大的方便.一般来说，最简单的是多项式，因为多项式是关于变量加、减、乘的运算，但是，怎样从一个函数本身得出我们所需要的多项式呢？

上一节中，讨论过“微分在近似计算中的应用”从中我们知道，如果函数f在点x0可导，则有有限存在公式；

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)0(xx0)

即在x0附近，用一次多项式p1(x)f(x0)f(x0)(xx0)逼近函数f(x)时，其误差为0(xx0).然而，在很大场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为0(xx0)，其中n为多项式次数.为此，有如下的n次多项式：

pn(x)a0a1(xx0)an(xx0)n

易见：

(n)(x0)(x0)pnpnpn(x0)，a2，„，an（多项式的系数由其各阶导数在a0pn(x0)，a11!2!n!x0的取值唯一确定）.对于一般的函数，设它在x0点存在直到n阶导数，由这些导数构造一个n次多项式如下：

f(x0)f(n)(x0)Tn(x)f(x0)(xx0)(xx0)n

1!n!f(k)(x0)称为函数f在点x0处泰勒多项式，Tn(x)的各项函数，（k＝1,2,„,n）称为泰勒系数.k!问题 当用泰勒多项式逼近f(x)时，其误差为f(x)Tn(x)0((xx0)n)华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

一、带有皮亚诺余项的泰勒公式

定理1 若函数f在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)Tn(x)0((xx0)n)，即

f(x0)f(n)(x0)f(x)f(x0)(xx0)(xx0)n0((xx0)n)

1!n!即函数f在点x0处的泰勒公式；Rn(x)f(x)Tn(x)称为泰勒公式的余项.证明：设Rn(x)f(x)Tn(x), G(x)(xa)n.应用LHospital法则n1次, 并注意到f(n)(a)存在, 就有

(n1)Rn(x)Rn(x)f(n1)(x)f(n1)(a)f(n)(a)(xa)lim= lim(n1)limxaG(x)xaGxa(x)n(n1)2(xa)f(n1)(x)f(n1)(a)1(n) limf(a)0.xan!xa称Rn(x)(xa)n为Taylor公式的Peano型余项, 相应的Maclaurin公式的Peano型余项为Rn(x)(xn).并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Peano型余项的Taylor公式(或Maclaurin公式).注

1、若

nf(x)在点x0附近函数满足f(x)Pn(x)0((xx0))，其中pn(x)必定是f的泰勒多项式Tn(x).但pn(x)a0a1x(x)anxx(n，这并不意味着)00pn(x)并非f(x)的泰勒多项式Tn(x).（因为除f(0)0外，f在x＝0出不再存在其它等于一阶的导数.）；

n2、满足条件f(x)Pn(x)0((xx0))的n次逼近多项式pn(x)是唯一的.由此可知，当fn满足定理1的条件时，满足要求f(x)Pn(x)0((xx0))的多项式pn(x)一定是f在x0点的泰勒多项式Tn(x)；

3、泰勒公式x0＝0的特殊情形――麦克劳林（Maclauyin）公式：

f(0)f(n)(0)nf(x)f(0)xx0(xn)

1!n!引申：定理1给出了用泰勒多项式来代替函数y＝f(x)时余项大小的一种估计，但这种估计只告诉我们当xx0时，误差是较(xx0)n高阶的无穷小量，这是一种“定性”的说法，并未从“量”上加以描述；换言之，当点给定时，相应的误差到底有多大？这从带Peano余项的泰勒公式上看不出来.为此，我们有有必要余项作深入的讨论，以便得到一个易于计算或估计误差的形式.华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

二、带有Lagrange型余项的Taylor公式

定理2（泰勒）若函数f在[a,b]上存在直到n阶的连续导函数，在(a,b)内存在n＋1阶导函数，则对任意给定的x,x0[a,b]，至少存在一点(a,b)使得：

f(x0)f(n)(x0)f(n1)()nf(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n1（1）

1!n!(n1)!f(n1)()(xx0)n1，记 证明：记R(x)f(x)T(x)，要证Rn(x)nn(n1)!Qn(x)(xx0)n1，不妨设x0x，则Rn(x),Qn(x)在[x0,b]上有直到n阶的连续导数，在(x0,b)内存在n1阶导数，又因为

Rn(x0)Rn(x0)Rn(n)(x0)0，Qn(x0)Qn(x0)Qn(n)(x0)0.故在区间[x0,x]上连续运用Cauchy中值定理n1次，就有

(x0)Rn(x)Rn(x)Rn(x0)Rn(1)Rn()Rn Qn(x)Qn(x)Qn(x0)Qn(1)Qn()Qn(x0)Rn(2)Rn(n)(n)Rn(n)(x0)Rn(n1)()(n)(n1)，(n)Q()Q(x)Q()Qn(2)nnn0n(n1)(n1)()，Qn(n1)()(n1)!，其中，x0nn11x，Rn()ff(n1)()(xx0)n1，（2）从而得到 Rn(x)(n1)!介于x0与x之间.注：（1）、当n＝0时，泰勒公式即为拉格朗日公式，所以泰勒定理可以看作拉格朗日定理向高阶导数方向的推广；

（2）、当x00时，则变为带拉格朗日型余项的麦克劳林公式

f(0)f(n)(0)nf(n1)(x)n1f(x)f(0)xxx (0,1)

1!n!(n1)!5 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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称这种形式的余项Rn(x)为Lagrange型余项.并称带有这种形式余项的Taylor公式为具Lagrange型余项的Taylor公式.Lagrange型余项还可写为 f(n1)(a(xa))Rn(x)(xa)n1, (0 , 1).(n1)!a0时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

Rn(x)1f(n1)(x)xn1, 01.(n1)!三 函数的Taylor公式(或Maclaurin公式)展开: 1.直接展开: 例1 求 f(x)ex的Maclaurin公式.xx2xnex解：e1xn1,(01).1!2!n!(n1)!x例2 求 f(x)sinx的Maclaurin公式.x3x5x2m1m1解： sinxx(1)R2m(x), 3!5!(2m1)!x2m11 R2m(x)sinx(m), 01.(2m1)!2例3 求函数f(x)ln(1x)的具Peano型余项的Maclaurin公式.解：f(n)(x)(1)n1(n1)!(n)n1, f(0)(1)(n1)!.n(1x)nx2x3n1x(1)(xn).ln(1x)x23n例4 把函数f(x)tgx展开成含x5项的具Peano型余项的Maclaurin公式.(教材P179 E5, 留为阅读.)2.间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例5 把函数f(x)sinx2展开成含x14项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x3x5x7(x7), 解 sinxx3!5!7!华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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x6x10x14(x14).sinxx3!5!7!22例6 把函数f(x)cos2x展开成含x6项的具Peano型余项的Maclaurin公式.x2x4x6(x6), 解：cosx12!4!6!4x426x6(x6), 注意, (kx)(x), k0 cos2x12x3!6!2

12x425x62(x6). cosx(1cos2x)1x23!6!2例7 先把函数f(x)式,把函数g(x)解：f(n)1展开成具Peano型余项的Maclaurin公式.利用得到的展开1x1在点x02展开成具Peano型余项的Taylor公式.35x(1)nn!(n)n f(0)(1)n!.,n1(1x)f(x)1xx2x3(1)nxn(xn);g(x)11135x135(x2)131

5(x2)113=15525n2nnn1(x2)()(x2)(1)()(x2)+(x2).13131313例8 把函数shx展开成具Peano型余项的Maclaurin公式，并与sinx的相应展 开式进行比较.xx2xn(xn), 解： e11!2!n!xnxx2nx(1)(xn);e11!2!n!xexexx3x5x2m1x (x2m1). shx23!5!(2m1)!x3x5(1)m1x2m1而 sinxx(x2m1).3!5!(2m1)!

四、常见的Maclaurin公式 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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(1)带Penno余项的Maclaurin公式

xx21xxne2!n!0(xn)

sinxxx3x53!5!(1)x2m1m1(2m1)!0(x2m)

2x1x2x4mcos(1)mx0(x2m12!4!(2m)!)nln(1x)xx22x33(1)n1xn0(xn)(1x)1x(1)22!x(1)(n1)n!0(xn)

11x1xx2xn0(xn)2）带Lagrange型余项的Maclaurin公式

x2x1xxnexe1)!xn12!n!(n xR，(0,1)

sinxxx3x5m1x2m1cosx2m13!5!(1)(2m1)!(1)m(2m1)!x xR，(0,1)cosx1x2x42m(1)mx(2m)!(1)m1cosx2m22!4!(2m2)!x xR，(0,1)ln(1x)xx2x3n1xnxn1n23(1)n(1)(n1)(1x)n1 x1，(0,1)(1x)1x(1)n2!x2(1)(n1)n!x(1)(n)n!(1x)n1xn1 x1，(0,1)

1xn12n1x1xxx(1x)n2 x1，(0,1)

五、常见的Maclaurin公式的初步应用 1.证明e是无理数: 例9 证明e是无理数.证明：把ex展开成具Lagrange型余项的Maclaurin公式, 有

华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

111e e11, 01.2!3!n!(n1)!ep反设e是有理数, 即e(p和q为整数), 就有 n!e整数 +.n1qpep对nq, n!en!也是整数.于是, n!整数 = 整数―整数 = 整数.但由qn1q01,  0ee3, 因而当 n3时，en1不可能是整数.矛盾.2.计算函数的近似值: 例10 求e精确到0.000001的近似值.1112!13!1n!e解 e(n1)!, 01.注意到01,  0ee3, 有 R3n(1)(n1)!.为使3(n1)!0.000001, 只要取n9.现取n9, 即得数e的精确到0.000001的近似值为 e1112!13!19!2.718281.3.利用Taylor公式求极限: 原理: 例11 求极限 limaxax2x0x2,(a0).解：axexlna1xlnax222lna(x2), ax1xlnax222lna(x2);axax2x2ln2a(x2).9 华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

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 limaxax2x0x2limx2ln2a(x2)x0x2ln2a.例12 求极限lim11x0x(xcotx).解：lim1x0x(1xcotx)lim1sinxxcosxx0xxsinx xx3(x3)x[1x2(x2)]lim3!2!x0x3(12!13!)x3(x3)lim1.x0x33例13 设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f(a)f(b)0，则存在(a,b)，f()4(ba)2fb()fa(.)证明： x(a,b)，将函数f(x)在点a与点b处Taylor展开

f(x)f(a)f(a)(xa)f(1)2!(xa)2，a1x，f(x)f(b)f(b)(xb)f(2)2!(xb)2，x2b.令xab2代入得： f(abf(1)(ba)2f(2)f(a)2!4，f(ab22)f(b)2)(ba)2!4，上述二项相减，移项并取绝对值得

f(b)f(a)(ba)2f(2)f(1)42

(ba)2f(22)f(1)(ba)424f()，使得华东师范大学数学系编《数学分析》第三版上册教案

第六章 微分中值定理及其应用

黔西南民族师专数学系

其中，f()max{f(1),f(2)}，取f()4f(b)f(a).(ba)2例14 证明: x0时, 有不等式 ex1x.[作业] 教材P141 1，2，3（1），4（1），5（1）.